Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHÔNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ THẮM ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Phan Thị Thắm Xác nhận trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp quý báu suốt trình học tập thực luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Phan Thị Thắm ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu 1 Khơng gian metric nón 1.1 Nón khơng gian Banach 1.2 Không gian metric nón hội tụ 1.3 Một số định lý điểm bất động 14 Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón ứng dụng 21 2.1 Khái niệm c-hội tụ không gian Banach 21 2.2 Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón 27 2.3 Ứng dụng 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Một số ký hiệu viết tắt N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương {xn }n≥1 dãy số ∅ tập rỗng A := B A định nghĩa B A⊂B A tập B A⊂B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B θ véctơ gốc không gian Banach E A\B hiệu hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B int A phần tôpô tập hợp A ✷ kết thúc chứng minh iv Mở đầu Năm 2007, Huang Zhang [10] lần đầu giới thiệu không gian metric nón cách thay tập số thực R định nghĩa metric thơng thường nón định hướng không gian Banach Định nghĩa: Giả sử X tập khác rỗng quan hệ thứ tự phận khơng gian Banach E sinh nón C xác định bởi: x, y ∈ E; x y y − x ∈ C Ánh xạ d : X × X → E gọi metric nón X (d1) θ d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = θ x = y ; (d2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (d3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi khơng gian metric nón Sau tác giả chứng minh số định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian với nón chuẩn tắc Năm 2008, Rezapour Hamlbarani [14] chứng minh lại kết Huang Zhang mà không cần tính chuẩn tắc nón Từ sau cơng trình có nhiều báo viết vấn đề liên quan đến khơng gian Ngồi việc nghiên cứu Nguyên lý điểm bất động ánh xạ co Banach mở rộng chúng cho khơng gian metric nón, người ta quan tâm đến vấn đề sau lớp không gian này: Nguyên lý thác triển liên tục, Nguyên lý tương giao Cantor, Nguyên lý Baire phạm trù, bổ sung đủ số tính chất tơpơ khơng gian metric nón Năm 2011 tác giả Alnafei, Radenovic Shahzad [2] chứng minh Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón với nón đa diện có phần khác rỗng khơng gian Banach Sau đó, năm 2016 phương pháp hội tụ theo nón dãy, Jachymski Klima [12] chứng minh Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón mà khơng cần tính đa diện nón Mục đích luận văn giới thiệu lại số kết nghiên cứu tác giả Jachymski Klima [12] định lý tương giao Cantor không gian metric nón phương pháp hội tụ theo nón dãy ứng dụng vào định lý điểm bất động Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương chúng tơi trình bày số vấn đề nón, khơng gian metric nón, hội tụ khơng gian metric nón tính chất lớp khơng gian Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày nguyên lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian metric nón giả thiết tính chuẩn tắc khơng chuẩn tắc nón K Chương dành cho việc trình bày khái niệm c- hội tụ đều, hội tụ theo nón dãy khơng gian metric nón mối quan hệ hội tụ theo nghĩa Huang- Zhang hội tụ theo nón dãy Nội dung chương trình bày định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón ứng dụng vào định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng với số co toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ nhỏ Chương Khơng gian metric nón Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón hội tụ khơng gian metric nón Ngồi ra, chúng tơi trình bày cách chi tiết định lý điểm bất động ánh xạ co khơng gian metric nón giả thiết nón chuẩn tắc nón khơng chuẩn tắc Một số ví dụ tính tốn mơ tả cho kết trình bày Các khái niệm kết chương chúng tơi trình bày dựa hai báo [10] [14] 1.1 Nón khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính trường K với điểm gốc θ Hàm : X → R gọi chuẩn X (i) x ≥ với x ∈ X x = ⇔ x = θ (ii) λx = |λ| x với x ∈ X λ ∈ K (iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Khi cặp (X, ) gọi không gian định chuẩn Nhận xét Mọi không gian định chuẩn không gian metric với khoảng cách d(x, y) = x − y Khoảng cách xác định gọi khoảng cách sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn X đầy đủ khoảng cách sinh chuẩn gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E không gian Banach Tập K E gọi nón (i) K tập khác rỗng, đóng K = {θ} (ii) ax + by ∈ K với x, y ∈ K a, b ≥ (iii) K ∩ (−K) = {θ} Ví dụ 1.1.4 Giả sử E := R2 Đặt K := {(x, y) ∈ E : x ≥ 0, y ≥ 0} Khi K nón E Định nghĩa 1.1.5 Giả sử nón K ⊂ E với phần khác rỗng, ta định nghĩa quan hệ thứ tự phận E sinh nón K sau x, y ∈ E : x Nếu x y x = y ta viết x ≺ y Nếu y − x ∈ int K ta viết x Đôi ta viết y x y y − x ∈ K x, y x y x thay cho x y y, x ≺ y y Tập A ⊂ E gọi bị chặn tồn y ∈ E cho x y với x ∈ A Tập A ⊂ E gọi bị chặn tồn z ∈ E cho z x với x ∈ A Một véctơ a gọi cận tập A a với x ∈ A (i) a chặn A, tức x (ii) a chặn nhỏ A, tức tồn b ∈ E cho x với x ∈ A a b b Ta kí hiệu cận tập A sup A Định nghĩa 1.1.6 Cho K nón khơng gian Banach E Ta nói (i) K chuẩn tắc tồn số Λ > cho θ x y kéo theo x ≤ Λ y 2.2 Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 Giả sử A tập không gian metric nón (X, d) Ta nói (i) A bị chặn thứ tự tồn c ∈ K cho d(x, y) c với x, y ∈ A (ii) A bị chặn chuẩn diam A := sup d(x, y) < ∞ x,y∈A Định nghĩa 2.2.2 Giả sử A bị chặn thứ thự K nón đa diện mạnh Đường kính thứ tự A định diam A := sup{d(x, y) : x, y ∈ A} Ví dụ tập bị chặn thứ tự khơng có đường kính thứ tự Ví dụ 2.2.3 Giả sử E := C[0, 2] với chuẩn f := supt∈[0,2] |f (t)| K := {f ∈ E : f ≥ 0} nón dương E Khi K khơng nón đa diện mạnh ([8]) Đặt X = E d(f, g) = |f − g| với f, g ∈ X Dễ thấy d metric nón X Đặt A := {f ∈ C[0,2] : f (t) ∈ [0, 1], với t ∈ [0, 1] f (t) ∈ [0, 2] với t ∈ (1, 2]} Khi A ⊂ X d(f, g) ho với f, g ∈ A, ho (t) = với t ∈ [0, 2] Suy A bị chặn thứ tự Mặt khác, dễ thấy {d(f, g) : f, g ∈ A} = A A cận Từ suy tập {d(f, g) : f, g ∈ A} khơng có cận Vậy A khơng có đường kính thứ tự 27 Mệnh đề 2.2.4 Giả sử (X, d) không gian metric nón E dãy {An }n≥1 ⊂ X Khi khẳng định sau tương đương: K (i)Tồn dãy {cn }n≥1 ⊂ E cho cn − → d(x, y) cn , với x, y ∈ An n ∈ N∗ ; (ii)Tồn dãy {cn }n≥1 ⊂ E cho cn → d(x, y) cn , với x, y ∈ An n ∈ N∗ Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả thiết {cn }n≥1 ⊂ E cho cn → d(x, y) cn , với x, y ∈ An n ∈ N∗ Theo Định lý 2.1.7 ((i) ⇒ (viii)), tồn dãy {dn }n≥1 cho dn → cn dn Khi d(x, y) dn với x, y ∈ An n ∈ N∗ Vậy (ii) chứng minh (ii) ⇒ (i) Bây giả sử {cn }n≥1 ⊂ E cho cn → d(x, y) cn , với x, y ∈ An n ∈ N Theo Định lý 2.1.7 ((viii) ⇒ (i)), với an = cn a = 0, ta cn → Vậy (i) chứng minh Mệnh đề 2.2.5 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón Khi đó: (i) Nếu tập A ⊂ X bị chặn chuẩn, bị chặn thứ tự (ii) Nếu {An }n≥1 dãy tập X thỏa mãn diam An := sup d(x, y) → 0, x,y∈An tồn dãy {cn }n≥1 ⊂ E cho cn → d(x, y) cn với x, y ∈ An n ∈ N∗ Chứng minh (i) Giả sử A ⊂ X với diam A < ∞ Với c cho B(c, α) ⊂ K Từ suy λB(c, α) = B(λc, λα) ⊂ K với λ > diam A , ta có α diam A B( c, diam A) ⊂ K α Đặc biệt, cách chọn λ = Do vậy, a ∈ E thỏa mãn a ≤ diam A diam A c − a ∈ K, α 28 0, tồn α > tức a (diam A )c Điều kéo theo α d(x, y) diam A c với x, y ∈ A α Vậy A bị chặn thứ tự (ii) Giả sử An ⊂ X với n ∈ N∗ diam An → Nếu c 0, ta chọn α > cho B(c, α) ⊂ K Theo chứng minh (i), ta có d(x, y) cn với An x, y ∈ An n ∈ N∗ , cn := (diam )c Vì diam An → nên α cn → Vậy mệnh đề chứng minh Ví dụ sau khẳng định ngược lại Mệnh đề 2.2.5 (ii) khơng Ví dụ 2.2.6 Giả sử E := C ([0, 1]) với chuẩn f := max | f (t) | + max | f (t) | với f ∈ E t∈[0,1] t∈[0,1] Gọi K nón dương E Đặt X := K với f, g ∈ X , xét ánh xạ f + g, 0, d(f, g) := f = g, f = g Với n ∈ N∗ , đặt An := {f ∈ X : d(f, 0) cn }, n cn (t) := t , với t ∈ [0, 1] Khi ∈ An cn ∈ An Từ suy n diam An Điều chứng tỏ diam An d(0, cn ) = cn = + n Mặt khác, với f, g ∈ An , ta có d(f, g) dn (t) := 2cn dn , với t ∈ [0, 1] Hiển nhiên, dn → n 29 Mệnh đề 2.2.7 Giả sử K nón tùy ý khơng gian Banach E Khi khẳng định sau tương đương: (i) K chuẩn tắc; (ii) Với (X, d) khơng gian metric nón, A ⊂ X , A bị chặn thứ tự bị chặn chuẩn; (iii) Với (X, d) khơng gian metric nón {An }n≥1 là dãy đơn điệu giảm tập X , tồn dãy {cn }n≥1 E cho cn → d(x, y) cn với x, y ∈ An n ∈ N∗ diam An → Chứng minh Ta ý K chuẩn tắc chuẩn E nửa đơn điệu, tức tồn γ > cho với a, b ∈ E, θ a a γ b Do đó, {An }n≥1 (iii) d(x, y) b kéo theo γ cn , với x, y ∈ An n ∈ N∗ , nên diam An → Vậy (i) ⇒ (ii) (i) ⇒ (iii) (ii) ⇒ (i) (iii) ⇒ (i) Giả sử ngược lại K khơng chuẩn tắc Khi tồn dãy {an }n≥1 {bn }n≥1 E cho với n ∈ N∗ , θ bn an > n3 bn an Từ an > nên an = θ suy bn = θ Với n ∈ N∗ , ta đặt an := Khi θ an 1 a b := bn n n n2 bn n2 bn ∞ n=1 bn bn Dễ thấy hội tụ tuyệt đối không gian Banach E , nên hội tụ E Ta đặt ∞ bi với n ∈ N∗ bn := i=n Khi bn → bn ∈ K K đóng Bây đặt X := K với x, y ∈ X , xét ánh xạ d(x, y) := x + y, θ, x = y, x = y Khi d metric nón X Với n ∈ N∗ , ta đặt An := {ak : k 30 n} ∪ {θ} Dễ thấy, {An }n≥1 giảm với k diam An n, d(an , 0) = ak = k2 ak > k bk Từ suy diam An = ∞ Mặt khác, x, y ∈ An d(x, y) = 0, d(x, y) = ak d(x, y) = ak +am với k, m n k = m Trong trường hợp, ta có d(x, y) bk + bm bn Vì bn → nên diam An → Điều mâu thuẫn với diam An = ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.2.8 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón Khi với hình cầu B(x, a) := {y ∈ X : d(x, y) a} d - đóng d Chứng minh Giả sử yn ∈ B(x, a) với n ∈ N∗ yn → − y Khi d(x, y) Với c d(x, yn ) + d(yn , y) a + d(yn , y) (2.3) θ, theo Định lý 2.1.7 ((i) ⇒ (v)), d(yn , y) → θ Từ suy d(yn , y) Theo Hệ 2.1.5, K c c → - đóng Từ (2.3) ta suy d(x, y) a, tức y ∈ B(x, a) Vậy B(x, a) d - đóng Mệnh đề 2.2.9 Giả sử (X, d) không gian metric nón {xn }n≥1 d dãy Cauchy X Khi {xn }n≥1 d - hội tụ chứa dãy d - hội tụ Chứng minh Điều kiện đủ: hiển nhiên d Điều kiện cần: Giả sử {xkn }n≥1 dãy {xn }n≥1 thỏa mãn xkn → − x Khi θ Với c d(xn , x) d(xn , xkn ) + d(xkn , x) θ, theo Định lý 2.1.7 ((i) ⇒ (v)), K K d(xn , xkn ) − → θ d(xkn , x) − → θ 31 (2.4) Suy d(xn , xkn ) + d(xkn , x) Theo Hệ 2.1.5, K c c → - chuẩn tắc Từ (2.4) suy d(xn , x) c → d Theo Hệ 2.1.8 ((vii) ⇒ (i)), ta suy xn → − x Năm 2011, Alnafei, Radenovíc Shahzad [2] chứng minh định lý tương giao Cantor giả thiết K nón đa diện mạnh Định lý 2.2.10 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón với K nón đa diện mạnh Khi (X, d) đầy đủ dãy đơn điệu giảm {An }n≥1 tập khác rỗng, bị chặn thứ tự đóng thỏa mãn diam An → 0, có giao khác rỗng Dưới Định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón mà khơng cần đến tính đa diện nón Định lý 2.2.11 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón Khi khẳng định sau tương đương: (i) (X, d) không gian đầy đủ; (ii) Nếu {An }n≥1 ⊂ X dãy đơn điệu giảm tập khác rỗng, đóng X thỏa mãn tồn dãy {cn }n≥1 ⊂ E cho K cn − → θ d(x, y) tồn x ∈ X cho cn với x, y ∈ An , n ≥ 1, ∞ n=1 An = {x}; (iii) Nếu {An }n≥1 ⊂ X dãy đơn điệu giảm tập khác rỗng, đóng X thỏa mãn tồn dãy {cn }n≥1 ⊂ E cho cn → d(x, y) tồn x ∈ X cho ∞ n=1 An cn với x, y ∈ An , n ≥ 1, = {x}; 32 (iv) Nếu {B(xn , an )}n≥1 dãy hình cầu đóng đơn điệu giảm với an θ an → ∞ B(xn , an ) = ∅ n=1 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử {An }n≥1 dãy đơn điệu giảm tập khác rỗng, đóng X Theo Định lý 2.1.7 ((i) ⇒ (viii)), tồn dãy {dn }n≥1 ⊂ E cho dn → cn dn với n ≥ Khi ta có dn với x, y ∈ An n ≥ d(x, y) Với c θ, theo Hệ 2.1.5, d(x, y) c ≤ dn c c (2.5) đơn điệu Điều (2.5), ta suy với x, y ∈ An n ≥ Từ suy diamρc An := sup d(x, y) c → x,y∈An Từ Hệ 2.1.9, d ρc tương đương Cauchy Theo Mệnh đề 2.1.10, An ρc - đóng với n ≥ (X, ρc ) không gian đầy đủ Theo Định lý tương giao Cantor cổ điển, tồn phần tử x ∈ X cho ∞ An = {x} n=1 (ii) ⇔ (iii) Suy từ Mệnh đề 2.2.4 (iii) ⇒ (iv) Giả sử {B(xn , an )}n≥1 dãy đơn điệu giảm hình cầu đóng X Theo Mệnh đề 2.2.8, B(xn , an ) d - đóng với n ≥ Hơn nữa, với x, y ∈ B(xn , an ), ta có d(x, y) d(x, xn ) + d(xn , y) Từ an → 0, theo giả thiết (iii), ∞ B(xn , an ) = ∅ n=1 33 2an (iv) ⇒ (i) Giả sử (iv) thỏa mãn Lấy {xn }n≥1 dãy Cauchy (X, d) Với c θ, tồn dãy {xkn }n≥1 {xn }n≥1 cho d(xkn , xkn+1 ) Đặt Bn := B(xkn , c 2n+1 với n ≥ c ) với n ≥ Ta chứng minh 2n Bn+1 ⊂ Bn với n ≥ Thật vậy, x ∈ Bn+1 d(x, xkn ) d(x, xkn+1 ) + d(xkn+1 , xkn ) c c + 2n+1 2n+1 c = n, nên x ∈ Bn Vậy Bn+1 ⊂ Bn với n ≥ Theo giả thiết (iv), tồn x0 ∈ X cho ∞ xo ∈ Bn n=1 Từ d(xo , xkn ) c với n ≥ 2n Theo Hệ 2.1.8, d x kn → − xo Sử dụng Mệnh đề 2.2.9 ta suy {xn }n≥1 hội tụ đến xo Vậy (X, d) không gian đầy đủ 2.3 Ứng dụng Trong phần này, trình bày ứng dụng Định lý tương giao Cantor vào chứng minh định lý điểm bất động ánh xạ co với số co toán tử tuyến tính dương có bán kính phổ nhỏ 34 Mệnh đề 2.3.1 Giả sử (X, d) không gian metric nón, x, y ∈ X giả sử {xn }n≥1 , {yn }n≥1 dãy X Nếu d d xn → − x yn → − y, K d(xn , yn ) − → d(x, y) Chứng minh Theo Hệ 2.1.8 ((i) ⇒ (viii)), tồn dãy {cn }n≥1 {dn }n≥1 E cho cn → 0, dn → d(xn , x) cn , d(yn , y) dn với n ≥ Do đó, theo bất đẳng thức tam giác, ta nhận d(xn , yn ) − d(x, y) d(xn , x) + d(yn , y) cn + dn với n ≥ (2.6) Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta thu d(x, y) − d(xn , yn ) cn + dn với n ≥ (2.7) Từ (2.6) (2.7) ta −(cn + dn ) d(xn , yn ) − d(x, y) cn + dn với n ≥ Từ cn + dn → Định lý 2.1.7 ((viii) ⇒ (i)), ta suy K d(xn , yn ) − → d(x, y) Bổ đề 2.3.2 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón T : X → X ánh xạ thỏa mãn d(T x, T y) Λ(d(x, y)) với x, y ∈ X, Λ : E → E tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Λ) < Khi T d - liên tục 35 Chứng minh Giả sử d xn → − x Theo Hệ 2.1.8 ((i) ⇒ (viii)), tồn dãy {cn }n≥1 cho cn → d(xn , x) cn với n ≥ Theo giả thiết, Λ xác định dương nên đơn điệu Từ suy d(T xn , T x) Λ(d(xn , x)) Λ(cn ) với n ≥ Vì Λ - liên tục nên Λ(cn ) → Theo Hệ 2.1.8 ((viii) ⇒ (i)), ta thu d T xn → − T x Vậy T d - liên tục Bổ đề 2.3.3 Giả sử (X, d) không gian metric nón T : X → X ánh xạ thỏa mãn Λ(d(x, y)) với x, y ∈ X d(T x, T y) Λ : E → E tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Λ) < Đặt A := {x ∈ X : d(x, T x) c} Khi A khác rỗng, đóng d(x, y) 2(I − Λ)−1 (c), với x, y ∈ A (2.8) Chứng minh Ta A khác rỗng Thật vậy, cố định x ∈ X Bởi tính đơn điệu Λ, d(T n x, T n+1 x) Λn (d(x, T x)) với n ∈ N∗ Từ r(Λ) < 1, ta có Λn (d(x, T x)) → Theo Định lý 2.1.7 ((viii) ⇒ (i)), ta suy K d(T n x, T n+1 x) − → θ 36 Do đó, tồn p ∈ N cho T p x ∈ A Vậy A khác rỗng Ta chứng minh A đóng Thật vậy, xét ánh xạ ϕ(x) = d(x, T x), với x ∈ X Theo Mệnh đề 2.3.1 Bổ đề 2.3.2, ϕ liên tục theo nghĩa d xn → − x, K ϕ(xn ) − → ϕ(x) Theo Định lý 2.1.7, ta ϕ(xn ) − ϕ(x) c → Vì A = ϕ−1 ([−c, c]) tính liên tục ϕ nên A đóng Mặt khác với x, y ∈ A, ta có d(x, y) d(x, T x) + d(T x, T y) + d(y, T y) 2c + Λ(d(x, y)) Từ suy (I − Λ)(d(x, y)) 2c (2.9) Từ r(Λ) < 1, toán tử I − Λ khả nghịch (I − Λ)−1 biểu diễn chuỗi Neumann: ∞ −1 (I − Λ) Λn = n=0 Do Λ tăng, nên Λn tăng Do vậy, với a, b ∈ E, a n b, ta có n k Λk b Λ a k=0 k=0 Cho n → ∞ tính đóng K , ta ∞ ∞ k Λk b Λ a k=0 k=0 Từ (I − Λ)−1 a (I − Λ)−1 b Vậy (I − Λ)−1 tăng Do từ (2.9) ta thu (2.8) 37 Định lý 2.3.4 Giả sử (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ ánh xạ T : X → X thỏa mãn d(T x, T y) Λ(d(x, y)) với x, y ∈ X, Λ : E → E tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Λ) < d Khi T có điểm bất động x ¯ với x ∈ X , ta có T n x → − x¯ θ, n ≥ 1, ta đặt Chứng minh Với c An := {x ∈ X : d(x, T x) c} n Dễ thấy {An }n≥1 dãy đơn điệu giảm tập X Theo Bổ đề 2.3.3, An khác rỗng, đóng d(x, y) (I − Λ)−1 (c) với x, y ∈ An n (I − Λ)−1 (c) Rõ ràng cn → 0, nên từ Định lý 2.2.11 ta suy n tồn x ¯ ∈ X cho Đặt cn = ∞ An = {¯ x} n=1 Bởi tính đóng K nên ta có F ixT = ∞ n=1 An , F ixT kí hiệu tập điểm bất động ánh xạ T Điều chứng tỏ x ¯ điểm bất động T Hơn nữa, với x ∈ X n ≥ 1, ta có d(T n x, x¯) = d(T n x, T n x¯) Λn (d(x, x¯)) Từ Λn (d(x, x ¯)) → 0, nên theo Hệ 2.1.8 ta có d T nx → − x¯ Vậy định lý chứng minh 38 Kết luận luận văn Trong luận văn này, trình bày số nội dung sau đây: Trình bày số kiến thức nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón số định lý điểm bất động khơng gian metric nón Trình bày định lý tương giao Cantor khơng gian metric nón mà khơng cần đến tính đa diện nón phương pháp hội tụ theo nón dãy Trình bày ứng dụng định lý tương giao Cantor vào toán điểm bất động cho ánh xạ co với số co tốn tử tuyến tính dương có bán kính phổ nhỏ 39 Tài liệu tham khảo [1] Alimohammady M., Balooee J (2011), S Radojevíc, V Rakocevíc , M Roohi, Conditions of regularity in cone metric space, Appl Math comput, 217, 6359-6363 [2] Alnafei S H., Radenovíc S and Shahzad N (2011), Fixed point theorems for mappings with convex diminishing diameters on cone metric spaces, Appl Math Lett, 24, 2162-2166 [3] Aliprantis C D and Tourky R (2007), Cones and Duality, Grad Stud Math 84, Amer Math Soc., Providence, RI [4] Boyd D W and Wong J S W (1969), On nonlinear contractions, Proc Amer Math Soc, 20, 458-464 [5] Dugundji J (1975/76), Positive definite functions and coincidences, Fund Math, 90, 131-142 [6] Goebel K (1969), An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk, Michigan Math J, 16, 381-383 [7] Goebel K and Kirk W A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math 28, Cambridge University Press, Cambridge [8] Guo D and Lakshmikantham V (1988), Nonlinear Problems in Abstract Cones, Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering 5, Academic Press, Boston, MA 40 [9] Goebel K and Reich S (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry, and Non-expansive Mappings, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathe-matics 83, Marcel Dekker , New york [10] Huang L G and Zhang X (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl, 332, 1468-1476 [11] Jachymski J (2009), Around Browder’s fixed point theorem for contractions, J Fixed Point Theory Appl, 5, 47-61 [12] Jachymski J and Klima J (2016), Cantor’s intersection theorem for K- metric spaces with a solid cone and a contraction principle, J Fixed Point Theory Appl, DOI 10.1007/s11784-016-0312-1 [13] Kirk W A ( 2003), Fixed points of asymptotic contractions, J Math Anal Appl, 277, 645-650 [14] Rezapour Sh and Hamlbarani R (2008), Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl, 345, 719-724 41 ... 1.1 Nón khơng gian Banach 1.2 Khơng gian metric nón hội tụ 1.3 Một số định lý điểm bất động 14 Định lý tương giao Cantor không gian metric nón ứng dụng. .. quy nón K Dễ thấy T x = x với x ∈ X Điều chứng tỏ Định lý 1.3.5 khơng trường hợp 20 Chương Định lý tương giao Cantor không gian metric nón ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý. .. khơng gian metric nón mối quan hệ hội tụ theo nghĩa Huang- Zhang hội tụ theo nón dãy Nội dung chương trình bày định lý tương giao Cantor không gian metric nón ứng dụng vào định lý điểm bất động