Điểm bất động và điểm bất động chung của các ánh xạ giãn suy rộng trong không gian g mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ THỊ THƯ TRÚC TÍNH CHẤT SƠ KHẢ VI CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ THỊ THƯ TRÚC TÍNH CHẤT SƠ KHẢ VI CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG NGHỆ AN - 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Thị Quỳnh Trang Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên hướng dẫn tận tình Cô Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô Bộ mơn giải tích, Trường Đại học Vinh giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới trường Đại học Sư phạm kĩ thuật Vĩnh Long tạo điều kiện cho học tập , cảm ơn tập thể lớp Cao học Tốn K24 chun ngành Tốn giải tích, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn tới Sở GD ĐT tỉnh Vĩnh Long, Ban giám hiệu đồng nghiệp tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Tuy có nhiều cố gắng, hạn chế mặt kiến thức, trình độ ngoại ngữ lần nghiên cứu nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q Thầy, Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Vĩnh Long, tháng năm 2018 Ngô Thị Thư Trúc Mục lục Lời cám ơn Mở đầu Ánh xạ đa trị sơ khả vi 1.1 Sơ đạo hàm 1.2 Tính sơ khả vi tính khả vi suy rộng 15 Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz ứng dụng 2.1 Sơ đạo hàm tính giả Lipschitz 2.2 Đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu Kết luận Tài liệu tham khảo 19 19 27 38 40 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dáng điệu nghiệm toán tối ưu tham số đầu vào thay đổi đối tượng nghiên cứu quan trọng tối ưu hóa giải tích biến phân Sự phụ thuộc vào tham số tập nghiệm tối ưu tập nghiệm chấp nhận tập điểm dừng có mơ hình tốn học ánh xạ đa trị Để khảo sát đối tượng này, vi phân cổ điển khơng cịn thích hợp, người ta cần đến vi phân suy rộng Trong năm qua, nhiều khái niệm vi phân suy rộng cho ánh xạ đa trị giới thiệu nghiên cứu Năm 1980, Mordukhovich đưa khái niệm đối đạo hàm ánh xạ đa trị sử dụng để thiết lập điều kiện cần cực trị cho lớp toán điều khiển tối ưu Đối đạo hàm sau dùng để nghiên cứu tính chất ổn định toán tối ưu, hệ biến phân phương trình suy rộng Các kết theo hướng nghiên cứu tìm thấy tài liệu [5] [9] Năm 1981, Aubin đề xuất khái niệm đạo hàm cho ánh xạ đa trị áp dụng công cụ vào khảo sát tính ổn định số lớp tốn tối ưu toán cân Đạo hàm ánh xạ đa trị điểm thuộc đồ thị ánh xạ đa trị có đồ thị nón tiếp tuyến đồ thị ánh xạ cho điểm xét Tùy theo loại nón tiếp tuyến sử dụng có loại đạo hàm khác nhau: đạo hàm đồ thị nón dùng nón tiếp tuyến Bouligand, đạo hàm trung gian nón dùng nón tiếp tuyến trung gian, đạo hàm Clarke nón dùng nón tiếp tuyến Clarke Những kết đạo hàm ánh xạ đa trị trình bày tài liệu [1], [3] [10] Năm 1989, Rockafellar [9] nghiên cứu tình số loại đạo hàm trùng nhau, đề xuất khái niệm khả vi mới, đồng thời xem xét ứng dụng vào tối ưu hóa Một ánh xạ đa trị gọi sơ khả vi đạo hàm đồ thị trùng với đạo hàm trung gian, ánh xạ đa trị gọi sơ khả vi chặt đạo hàm đồ thị trùng với đạo hàm Clarke (xem [9],[10]) Poliquin Rockafellar [6] dùng sơ đạo hàm để thiết lập điều kiện tối ưu, phân tích độ nhạy nghiệm toán tối ưu phụ thuộc tham số Hướng gần số nhà toán học tiếp tục nghiên cứu (xem [2],[4]) Tính sơ khả vi thiết lập cho lớp ánh xạ nón pháp tuyến miền ràng buộc toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa ràng buộc mạnh (xem [6],[7],[10]) Vấn đề cho quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc yếu cần khảo sát thêm Kết theo hướng sử dụng để thiết lập điều kiện cực trị cần đủ bậc hai, mở rộng lớp tốn tối ưu khảo sát (xem [10]) Vì tìm hiểu chất, vai trị tính sơ khả vi mối quan hệ tính sơ khả vi với tính chất quy khác vấn đề cần thiết hữu ích Đó lý chọn đề tài nghiên cứu “Tính chất sơ khả vi ánh xạ đa trị ứng dụng” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Phân tích, tổng hợp trình bày lại cách chi tiết có hệ thống tính chất sơ khả vi, mối quan hệ sơ đạo hàm với số khái niệm vi phân suy rộng khác ứng dụng sơ đạo hàm tối ưu ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận văn nghiên cứu vấn đề sau đây: - Tính sơ khả vi ánh xạ đa trị - Mối liên hệ tính sơ khả vi với tính chất liên tục tính khả vi suy rộng khác - Dùng tính sơ khả vi để nghiên cứu tính chất giả Lipschitz - Vận dụng mối liên hệ vào đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu khái niệm tính chất sơ đạo hàm - Nghiên cứu mối quan hệ tính chất sơ khả vi với tính liên tục, với tính khả vi, tính nửa khả vi - Nghiên cứu mối quan hệ tính sơ khả vi tính chất giả Lipschitz - Nghiên cứu việc dùng sơ đạo hàm để đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Dùng phương pháp nghiên cứu giải tích, giải tích hàm - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết,nghiên cứu tài liệu để vận dụng vào việc giải vấn đề đặt CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương Ánh xạ đa trị sơ khả vi Nội dung chương trình bày cách chi tiết có hệ thống khái niệm tính chất sơ đạo hàm, mối quan hệ tính chất sơ khả vi với tính liên tục, với tính khả vi, tính nửa khả vi 1.1.Sơ đạo hàm Mục dành để trình bày tính chất sơ khả vi liên hệ với số vi phân suy rộng Đồng thời nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích đa trị, giải tích biến phân cần dùng sau (xem [1], [5], [9], [10]) 1.2.Tính sơ khả vi tính khả vi suy rộng Mục trình bày mối liên hệ tính sơ khả vi với tính liên tục, tính khả vi tính nửa khả vi Chương Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz ứng dụng Chương trình bày mối quan hệ tính sơ khả vi tính chất kiểu Lipschitz ánh xạ đa trị Các kết này, sau ứng dụng để đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm tốn tối ưu thơng qua sơ đạo hàm (xem [9]) 2.1 Sơ đạo hàm tính giả Lipschitz Mục dành cho việc trình bày số kết liên hệ tính sơ khả vi với số tính chất kiểu Lipschitz ánh xạ đa trị 2.2 Đặc trưng tính Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu Trong mục này, trình bày ứng dụng kết thu vào nghiên cứu tính chất sơ khả vi tính chất giả Lipschitz ánh xạ nghiệm tốn tối ưu, tính sơ khả vi ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương Ánh xạ đa trị sơ khả vi Nội dung chương trình bày cách chi tiết có hệ thống khái niệm tính chất sơ đạo hàm, mối quan hệ tính chất sơ khả vi với tính liên tục, với tính khả vi, tính nửa khả vi 1.1 Sơ đạo hàm Mục dành để trình bày tính chất sơ khả vi liên hệ với số vi phân suy rộng Đồng thời nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích đa trị, giải tích biến phân cần dùng sau (xem [1], [5], [9], [10]) 1.1.1 Định nghĩa ([1],[9]) Cho {St }t họ tập hợp phụ thuộc vào tham số t ∈ M, M không gian mêtric, St ⊂ Rn với t (i) Tập hợp lim sup St := {ω ∈ Rn | lim inf d(ω, St ) = 0}, t→t¯ t→t¯ (1.1) gọi giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ {St }t t → t¯ Trong d(ω, S) := inf{ ω − x : x ∈ S} (ii) Tập hợp lim inf St := {ω ∈ Rn | lim d(ω, St ) = 0}, t→t¯ t→t¯ (1.2) gọi giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ {St }t t → t¯ 10 (iii) Họ St gọi hội tụ tập S ⊂ Rn t → t¯, viết S = lim St , t→t¯ (1.3) S = lim sup St = lim inf St t→t¯ t→t¯ 1.1.2 Nhận xét ([1]) (i) Do (1.1), ω ∈ lim sup St tồn dãy t→t¯ k {t }k∈N ⊂ M, t → t¯ cho lim d(ω, Stk ) = k k→∞ Do (1.2), ω ∈ lim inf St với dãy {tk }k∈N ⊂ M, tk → t¯ t→t¯ cho lim d(ω, Stk ) = k→∞ (ii) Ta có S = lim St tập đóng cho với ρ > lớn tùy ý t→t¯ ε > bé tùy ý, tồn τ > cho St ∩ ρB ⊂ S + εB S ∩ ρB ⊂ St + εB t ∈ (0, τ ) (1.4) Trong B hình cầu đơn vị đóng khơng gian Euclide định chuẩn Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm Đồ thị F, kí hiệu gphF, tập gphF = {(x, y) ∈ Rn × Rm |y ∈ F (x)} Miền hữu hiệu F, kí hiệu domF, domF = {x ∈ Rn |F (x) = ∅} Miền ảnh F, kí hiệu rgeF rgeF = {y ∈ Rm |∃x ∈ Rn cho y ∈ F (x)} Ánh xạ ngược F, kí hiệu F −1 , xác định x ∈ F −1 (y) ⇔ y ∈ F (x) Ta ln có rgeF = domF −1 domF = rgeF −1 Ta nói ánh xạ F có đồ thị đóng gphF tập đóng Rn × Rm Ánh xạ F có đồ thị đóng F −1 có đồ thị đóng 26 2.1.7 Định lý ([9]) Cho F : Rn ⇒ Rm sơ khả vi x ¯ tương ứng với y¯, y¯ ∈ F (¯ x) Nếu Fx¯,¯y giả Lipschitz quanh (0, 0), F Lipschitz địa phương với modulus µ > Khi đó, với ρ > ε > 0, tồn τ > cho F (¯ x + tω) ∩ (¯ y + tρB) ⊂ y¯ + tFx¯,¯y (ω) + tεB, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ) (2.18) Nếu thêm điều kiện Fx¯,¯y (0) = {0} , với ρ¯ > đó, với ρ > ε > 0, tìm τ > cho F (¯ x + tω) ∩ (¯ y + ρ¯B) ⊂ y¯ + tFx¯,¯y (ω) + tεB, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ) (2.19) Chứng minh Ánh xạ Fx¯,¯y giả Lipschitz quanh (0, 0) nghĩa tồn µ > 0, ε > δ > cho Fx¯,¯y (ω ) ∩ εB ⊂ Fx¯,¯y (ω ) + µ|ω − ω |B với ω , ω ∈ δ B Nếu ω , ω ∈ Rm , lấy ρ ≥ max{|ω |, |ω |}, vectơ δ δ ¯ := ω ω ¯ := ω ω ρ ρ thuộc ρB, nên theo bao hàm thức ta có Fx¯,¯y (¯ ω ) ∩ εB ⊂ Fx¯,¯y (¯ ω ) + µ|¯ ω −ω ¯ |B Do Fx¯,¯y dương, dẫn đến ρε B ⊂ Fx¯,¯y (ω )µ|ω − ω |B δ Điều với ρ ≥ max {|ω | , |ω |} , nên Fx¯,¯y Lipschitz địa Fx¯,¯y (ω ) ∩ phương Tiếp theo, F sơ khả vi x ¯ tương ứng với y¯, theo Mệnh đề 1.1.14, với ρ > ε > 0, tồn τ > cho Dt (ω) ∩ ρ B ⊂ D (ω + ε B) + ε B, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ) , D (ω + ε B) + ε B ⊂ D (ω) + (µε + ε ) B 27 Với ε > tùy ý, chọn ε ≤ ε , ta có 1+µ Dt (ω) ∩ ρB ⊂ D (ω) + εB, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ ) , bao hàm thức tương đương với (2.18) Khi Fx¯,¯y = {0}, theo mệnh đề (c) Định lý 2.1.3, tồn ρ¯ > 0, µ ¯>0 τ¯ > cho F (¯ x + tω) ∩ (¯ y + ρ¯B) ⊂ y¯ + t¯ µ|ω|B, ∀ω ∈ B, t ∈ (0, τ¯) Nếu ρ > tùy ý ε > 0, đặt t := ρt, ω := (2.20) ω , (2.20) trở thành ρ F (¯ x + t ω ) ∩ (¯ y + ρ¯B) ⊂ y¯ + t µ ¯|ω |B, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, ρ¯ τ) (2.21) Đổi ký hiệu từ t ω trở t ω biểu diễn (2.21) theo Dt ta có ρ¯ Dt (ω) ∩ B ⊂ µ ¯ |ω| B, ∀ω ∈ ρB, t ∈ (0, ρ¯ τ) t (2.22) Lấy ρ = (1 + µ ¯) ρ, theo chứng minh trên, tồn τ > Dt (ω) ∩ ρ B ⊂ D (ω) + εB, ∀ω ∈ ρ B, t ∈ (0, τ ) (2.23) Do µ ¯ |ω| ≤ µ ¯ρ < ρ ω ∈ ρB, nên từ (2.22) ta có ρ¯ Dt (ω) ∩ B ⊂ Dt (ω) ∩ µ ¯ |ω| B ⊂ Dt (ω) ∩ ρ B, t với ω ∈ ρB, t ∈ (0, ρ¯ τ ) Áp dụng (2.23), với τ1 = (τ , τ¯) ta có ρ¯ Dt (ω) ∩ B ⊂ D (ω) + εB, t với ω ∈ ρB, t ∈ (0, τ1 ) Đây (2.19), ta có điều phải chứng minh 2.2 Đặc trưng tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm tốn tối ưu Trong mục này, chúng tơi trình bày ứng dụng kết thu vào nghiên cứu tính chất sơ khả vi tính chất giả Lipschitz ánh xạ 28 nghiệm toán tối ưu, tính sơ khả vi ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 2.2.1 Mệnh đề ([9]) Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm sơ khả vi x ¯ tương ứng với y¯ ∈ F (¯ x) ánh xạ ngược F −1 sơ khả vi y¯ tương ứng với x¯ ∈ F −1 (¯ y ), Fx¯,¯y −1 = Fy¯−1 ,¯ x Kết tương tự cho tính sơ khả vi chặt 2.2.2 Mệnh đề ([9]) Giả sử F = F˜ + f, F˜ : Rn ⇒ Rm sơ khả vi x ¯ tương ứng với y˜ ∈ F˜ (¯ x) f : Rn → Rm hàm đơn trị khả vi x ¯ Khi F sơ khả vi x¯ tương ứng với y¯ = y˜ + f (¯ x) ∈ F (¯ x) với x) Fx¯,¯y = F˜x¯,˜y + f (¯ 2.2.3 Mệnh đề ([9]) Giả sử F : Rn ⇒ Rm sơ khả vi x ¯ tương ứng với y¯ ∈ F (¯ x) có tính chất giả Lipschitz (¯ x, y¯) Giả sử Rn = Rn1 × Rn2 x¯ = (¯ x1 , x¯2 ), F1 : Rn1 ⇒ Rm xác định F1 (·) = F (·, x¯2 ) Khi F1 sơ khả vi x ¯1 tương ứng với y¯ có tính chất giả Lipschitz quanh (¯ x1 , y¯) 2.2.4 Định nghĩa ([10]) Cho S tập lồi Rn , x ¯ ∈ Rn Nón pháp tuyến S x ¯, ký hiệu NS (¯ x), tập Rn xác định NS (¯ x) = {v ∈ Rn : v, u − x ≤ ∀u ∈ S} x ∈ S ∅ x ∈ / S 2.2.5 Chú ý Ta ln có NS (¯ x) = TS∗ (¯ x) = {u ∈ Rn | u, v ≤ 0, ∀v ∈ TS (¯ x)} 2.2.6 Định nghĩa ([10]) Cho f : Rn → R hàm lồi x ¯ ∈ Rn Dưới vi phân f x ¯ ∂f (¯ x) := {v ∈ Rn |f (x) − f (¯ x) − v, x − x¯ ≥ ∀x ∈ Rn } 2.2.7 Nhận xét Cho S tập lồi khác rỗng Rn , x ¯ ∈ Rn NS (¯ x) = ∂δS (¯ x) 29 δS hàm tập S cho ∂δS (x) = x ∈ S +∞ x ∈ Rn \ S 2.2.8 Bổ đề ([8]) Cho G(u) = {x : F (u, x) ∈ C, (u, x) ∈ D} C ⊂ Rm , D ⊂ Rd × Rn tập đóng, F : Rd × Rn ⇒ Rm Lipschitz địa phương Cho u ¯ ∈ Rd , x¯ ∈ G(¯ u) cho tiêu chuẩn ràng buộc sau đúng: véctơ y ∈ Rn z ∈ Rd cho y ∈ NC F (¯ u, x¯ (z, 0) ∈ ∇F (¯ u, x¯) + ND (¯ u, x¯) y = 0, z = Khi G giả Lipschitz (¯ u, x¯) Xét toán tối ưu min{f (x)|x ∈ D, F (u, x) ∈ C} f : Rn → Rm , F : Rd × Rn → Rm Khi tập giá trị tối ưu toán G(u) = {x ∈ D|F (u, x) ∈ C} 2.2.9 Định lý ([9]) Cho G : Rd ⇒ Rn có dạng G(u) = {x ∈ D|F (u, x) ∈ C}, (2.24) F : Rd × Rn → Rm ánh xạ đơn trị thuộc lớp C C ⊂ Rm , D ⊂ Rn tập lồi đóng Giả sử với u x ∈ G(u) thỏa mãn điều kiện ràng buộc: véctơ y cho y ∈ NC F (u, x) thỏa − y∇x F (u, x) ∈ ND (x) y = (2.25) Khi G sơ khả vi giả Lipschitz u tương ứng với x Sơ đạo hàm xác định Gu,x (ω) = ξ ∈ TD (x)|∇u F (u, x)ω + ∇x F (u, x)ξ ∈ TC F (u, x) 30 Chứng minh Đặt H(u, z) := {(u, x) ∈ Rd × D| F (u, x) − z ∈ C} A(u) := H(u, 0) + h(u) h(u) = (−u, 0) Khi ta có A(u) = {(0, x) ∈ Rd × Rn | x ∈ G(u)} Au,(0,x) (ω) = {(0, ξ) | ξ ∈ Gu,x (ω)}, sơ đạo hàm tồn Như vậy, để chứng minh kết luận Định lý, ta chứng tỏ A sơ khả vi giả Lipschitz u tương ứng với (0, x), có Au,(0,x) (ω) = (0, ξ) ∈ Rd ×TD (x)| ∇u F (u, x)ω+∇x F (u, x)ξ ∈ TC F (x, u) Bởi Mệnh đề 2.2.2 2.2.3 nên ta cần H sơ khả vi giả Lipschitz (u, 0) tương ứng với (u, x), có H (u,0),(u,x) (ω, ζ) = (ω, ξ) ∈ Rd × TD (x)| ∇u F (u, x)ω + ∇x F (u, x)ξ − ζ ∈ TC F (u, x) (2.26) Xét F˜ (v, x) := v, F (v, x) ∈ Rd × Rm với (v, x) ∈ Rd × Rn (2.27) Khi (2.24) trở thành ˜ F˜ (v, x) − (u, z) ∈ C˜ H(u, z) = (v, x) ∈ D| (2.28) ˜ = Rd × D C˜ = {0} × C D Điều cho ta H −1 = F˜ + S, (2.29) 31 S ánh xạ đa trị xác định ˜ −C˜ (v, x) ∈ D S(v, x) = ˜ ∅ (v, x) ∈ / D ˜ C˜ đóng lồi, nên gphS = D ˜ × (−C) ˜ tập lồi đóng Các tập D Tập lồi, theo Nhận xét 1.1.8, quy tiếp tuyến có tính chất khả vi điểm Từ Mệnh đề 1.1.11 suy S sơ khả vi điểm Hơn nữa, F˜ khả vi nên theo Mệnh đề 2.2.2 H −1 sơ khả vi điểm Sơ đạo hàm H −1 (u, x) tương ứng với (u, 0) ∈ H −1 (u, x) (H −1 )(u,x),(u,0) (θ, ξ) = ∇F˜ (u, x)(θ, ξ) + S(u,x),(0,−ω) (θ, ξ), ω = F (x, u) gphS(u,x),(0,−ω) = TgphS (u, x), (0, −ω) = TD˜ (u, x) × T−C˜ (0, −ω) = TD˜ (u, x) × − TC˜ (0, ω) Theo Mệnh đề 2.2.1, H sơ khả vi (u, 0) tương ứng với (u, x) ∈ H(u, 0) có H(u,0),(u,x) (ω, ζ) = (θ, ξ) ∈ TD˜ (u, x)|∇F˜ (u, x)(θ, ζ) − (ω, ζ) ∈ TC˜ (0, ω) (2.30) Ta tính TD˜ (u, x) = Rd × TD (x) TC˜ (0, ω) = {0} × TC F (u, x) , ∇F˜ (u, x) = I, ∇F (u, x) Do (θ, ξ) ∈ TD˜ (u, x)|∇F˜ (u, x)(θ, ζ) − (ω, ζ) ∈ TC˜ (0, ω) (ω, ξ) ∈ Rd × TD (x)| ∇u F (u, x)ω + ∇x F (u, x)ξ − ζ ∈ TC F (u, x) Chúng ta biểu diễn H (2.28) dạng sau ˜ (v, x) ∈ D ˜ , H(u, z) = (v, x)| Φ(u, z, v, x) ∈ C, Φ(u, z, v, x) = F˜ (v, x) − (u, z) = v − u, F (v, x) − z 32 Theo Bổ đề 2.2.8, điều kiện đủ để H giả Lipschitz (u, 0) tương ứng với (u, x) chuẩn hóa ràng buộc sau : Khơng có phần tử y˜ khác thỏa mãn y˜ ∈ NC˜ Φ (u, 0, u, x) , −˜ y ∇v,x Φ (u, 0, u, x) ∈ ND˜ (u, x) (2.31) Ta có Φ (u, 0, u, x) = 0, F (u, x) , I ∇(v,x) Φ (u, 0, u, x) = ∇ F (u, x) ∇ F (u, x) u x ND˜ (u, x) = {0} × ND (x) , NC˜ Φ (u, 0, u, x) = Rd × NC F (x, u) Véctơ y˜ thỏa mãn (2.31) cặp (y , y) cho y ∈ Rd , y ∈ NC F (u, x) , −y − y∇u F (u, x) = 0, −y∇x F (u, x) ∈ ND (x) Theo giả thiết (2.25), có (y , y) = (0, 0) Ta có điều phải chứng minh 2.2.10 Ví dụ ([9]) Trong trường hợp hệ ràng buộc phụ thuộc tham số u, Định lý 2.2.9 phát biểu sau: Cho G (u) tập tất x ∈ Rn thỏa mãn fi (u, x) ≤ với i = 1, , s = với i = s + 1, , m, (2.32) fi : Rd × Rn → R khả vi liên tục với i = 1, 2, , m Điều tương đương với trường hợp (2.24) với D = Rn , C = Rs− × Rm−s F (u, x) = f1 (u, x), , fm (u, x) Với u cho trước, vectơ x thỏa mãn điều kiện (2.25) thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian- Fromovitz Với u x vậy, theo Định lý 2.2.9 G(u + tω ) − x lim = D(ω), với ω ∈ Rd , ω →ω t t↓0 D (ω) tập tất ξ ∈ Rn thỏa mãn hệ tuyến tính ∇u fi (u, x)ω + ∇x fi (u, x)ξ ≤ với i ∈ I(u, x), = với i = s + 1, , m, I (u, x) tập số hoạt x ràng buộc bất đẳng thức (2.32), nghĩa tập i ∈ {1, , s} để fi (u, x) = 33 Tiếp theo, xét toán bất đẳng thức biến phân x ∈ D, −F (x) ∈ ND (x), (2.33) D ⊂ Rn tập lồi đóng F : Rn → Rn Bài tốn (2.33) tương đương với phương trình suy rộng ∈ F (x) + ND (x) 2.2.11 Định lý ([9]) Cho G : Rd × Rn ⇒ Rn có dạng G(u, z) = x ∈ D| − F (u, x) + z ∈ ND (x) D ⊂ Rn tập lồi đa diện F : Rd × Rn → Rn ánh xạ khả vi Xét (u, z) ∈ domG x ∈ G(u, z) Khi G sơ khả vi (u, z) tương ứng với x G (u,z),x (ω, ζ) = ξ ∈ D (u, z, x)| − ∇u F (x, u) ω − ∇x F (u, x) ξ + ζ ∈ ND (u,z,x) (ξ) , (2.34) D (u, z, x) = ξ ∈ TD (x)|ξ z − F (u, x) = (2.35) Chứng minh Đặt ˜ (u, z) − F˜ (v, x) ∈ N ˜ (v, x) , H (u, z) := (v, x) ∈ D| D (2.36) ˜ cho (2.27) (2.29) Đặt F˜ D A (u, z) := H (u, z) + g (u, z) , với g (u, z) = (−u, 0) (2.37) ta có A (u, z) = {(0, x)|x ∈ G (u, z)} Để chứng minh F sơ khả vi có sơ đạo hàm (2.34), ta chứng minh A sơ khả vi với công thức sơ đạo hàm tương ứng Áp dụng Mệnh 34 đề 2.2.2 cho (2.37), ta cần H sơ khả vi với H(u,z),(u,x) (ω, ζ) = (ω, ζ) ∈ Rd × D (u, z, x)| − ∇u F (u, x) ω − ∇x F (u, x) ξ + ζ ∈ ND (u,z,x) (ξ) (2.38) Ánh xạ đa trị S : Rd × Rn ⇒ Rd × Rn xác định S(v, x) = ˜ ND˜ (v, x) (v, x) ∈ D ˜ ∅ (v, x) ∈ / D (2.39) Công thức (2.36) tương đương với H −1 = F˜ + S (2.40) Ta áp dụng Mệnh đề 2.2.2 cho F˜ + S, sau sử dụng Mệnh đề 2.2.1 cho H Như vậy, nhiệm vụ xác minh tính sơ khả vi S Để chứng tỏ điều đó, ta dùng phương pháp tiếp cận đồ thị Mệnh đề 1.1.11 ˜ = Rd × D, nên Do D gphS = (v, x, w, p)|v ∈ Rd , x ∈ D, w = 0, p ∈ ND (x) (2.41) Ta phải chứng minh gphS tập khả vi, nghĩa tồn giới hạn lim t↓0 gphS − (v, x, w, p) t với (v, x, w, p) ∈ gphS Đặt M := (x, p) ∈ Rn × Rn |x ∈ D, p ∈ ND (x) , (2.42) ta có gph∂δD = M Suy ra, M hợp hữu hạn tập lồi đa diện Rn × Rn , giả sử M hợp tập đa diện lồi Mj , j = 1, , q Với (x, p) ∈ M, ký hiệu J (x, p) := j ∈ {1, , q}|(x, p) ∈ Mj 35 Khi lim t↓0 M − (x, p) = t lim j∈J(x,p) t↓0 Mj − (x, p) t TMj (x, p) = j∈J(x,p) Ta có (ξ, π) ∈ lim t↓0 M − (x, p) tồn τ > 0, t (x, p) + t (ξ, π) ∈ M, ∀t ∈ [0, τ ) Suy M có tính khả vi (x, p) với x ∈ D, p ∈ ND (x) b TM (x, p) = TM (x, p) (2.43) = {(ξ, π)|∃τ > 0, x + tξ ∈ D, p + tπ ∈ ND (x + tξ)∀t ∈ [0, τ )} Do D đa diện, nên với x ∈ D ξ ∈ Rn , nón ND (x + tξ) không đổi t t thuộc khoảng đủ nhỏ (0, τ ) Ta có ND (x + tξ) = K (x, ξ) với t > đủ nhỏ, K (x, ξ) := {q ∈ ND (x)|q.ξ = 0} với ξ ∈ TD (x) Tập nón đa diện lồi Nếu có p + tπ ∈ K (x, ξ) với t > đủ nhỏ (2.43), có nghĩa p ∈ K (x, ξ) π ∈ TK(x,ξ) (p) = TND (x) (p) ∩ ξ ⊥ , (2.44) ξ ⊥ tập tất vectơ trực giao với ξ Vì ND (x) nón đa diện lồi chứa p, ta có TND (x) (p) = {q + λp| q ∈ ND (x) , λ ∈ R} (2.45) Do ND (x) = TD∗ (x) , nón đa diện lồi (2.45)là đối ngẫu C (x, p) := {ξ ∈ TD (x)| p.ξ = 0} Như vậy, điều kiện (2.44) tương đương với ξ ∈ C (x, p) , π.ξ = π.ξ ≤ 0, ∀ξ ∈ C (x, p) (2.46) 36 hay ξ ∈ C (x, p) π ∈ NC(x,p) (ξ) Điều cho thấy nón (2.43) tập (ξ, π)| ξ ∈ C (x, p) , π ∈ NC(x,p) (ξ) Đây nón lim t↓0 M − (x, p) , t với M cho (2.42) Ánh xạ S (2.39) (2.41) cho S(v, x) = {0} × ND (v, x) x ∈ D ∅ x ∈ / D, sơ khả vi điểm (v, u) ∈ domS S(v,x),(0,p) (θ, ξ) = {(0, π)|π ∈ NC(x,p) (ξ)} ξ ∈ C(x, p) ∅ ξ ∈ / C(x, p) (2.47) Bây ta tính sơ đạo hàm H −1 (2.40) Để (u, z) (v, x) thỏa (u, z) ∈ H −1 (v, x) , theo (2.40), (v, x) ∈ domS (u, z) − F˜ (v, x) ∈ S (v, x) Theo (2.27) (2.47), điều kiện trở thành u ∈ D, v = u, (u, z) − F˜ (v, x) = (0, p) , p = z − F (u, x) ∈ ND (x) (2.48) Như vậy, theo Mệnh đề 2.2.2, H −1 sơ khả vi (u, x) tương ứng với (u, z) −1 H(u,x),(u,z) (θ, ξ) = ∇F˜ (u, x) (θ, ξ) + S(u,x),(0,p) (θ, ξ) Ở ∇F˜ (u, x) (θ, ξ) = θ, ∇u F (u, x) θ + ∇F (u, x) ξ , (2.49) 37 tính sơ đạo hàm S xác định (2.47) Khi p cho (2.48), tập C (x, p) (2.47) định nghĩa (2.46) trở thành tập D (u, z, x) (2.35) Vì từ (2.49) ta có −1 (ω, ζ) ∈ H(u,x),(u,z) (θ, ξ) ⇔ ω = θ, ξ ∈ D (u, z, x) , ζ − ∇u F (u, x) θ − ∇x F (u, x) ξ ∈ ND (u,z,x) (ξ) Nhờ vào Mệnh đề 2.2.1, ta kết luận H (u,z),(u,x) tồn xác định (2.38) Như ta hoàn thành chứng minh Định lý 38 Kết luận Dựa vào việc nghiên cứu, tìm hiểu từ tài liệu tham khảo, luận văn trình bày lại cách có hệ thống vấn đề sau: Tổng hợp trình bày chi tiết tính chất sơ khả vi ánh xạ đa trị Làm rõ mối liên hệ tính sơ khả vi với tính nửa khả vi (Định lý 1.2.2), tính khả vi tính liên tục (Định lý 1.2.7) Trình bày điều kiện cần để sơ đạo hàm liên tục (Định lý 1.2.5) Dùng sơ đạo hàm để đặc trưng tính chất tăng trưởng Lipschitz (Định lý 2.1.3) Trình bày mối liên hệ tính chất giả Lipschitz tính sơ khả vi ánh xạ đa trị (Định lý 2.1.6 Định lý 2.1.7) Trình bày chi tiết kết tính sơ khả vi tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu (Định lý 2.2.9, Định lý 2.2.11) Theo hướng nghiên cứu luận văn, khảo sát tính sơ khả vi ánh xạ vi phân ứng dụng vào khảo sát ánh xạ nghiệm toán quy hoạch toán học 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ [2] S Adly, L Bourdin (2017), "Sensitivity analysis of variational inequalities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of proximity operator”, Preprint [3] J.-P Aubin, H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston, Massachusetts [4] N Q Huy, G M Lee (2006), "On proto-differentiability of generalized perturbation maps”, J Math Anal Appl., 324, 127-1390 [5] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, Berlin [6] R A Poliquin and R T Rockafellar (1994), "Proto-Derivative for basic subgradient mappings in mathematical programming”, Set-Valued Analysis, 2, 275-290 [7] R A Poliquin and R T Rockafellar (1997),"Proto-Derivative of partial subgradient mappings", Journal of Convex Analysis, 2, 221-234 [8] R T Rockafellar (1985), "Lipschitzian properties of multifunctions”, Nonlin Anal Th Math Appl., 9, 867–885 Gauthier-Villars, Paris S6, 449-482 40 [9] R T Rockafellar (1989), "Proto-differentiability of set-valued mapping and its applications in optimization”, Analyse Non Linéaire, GauthierVillars, Paris S6, 449-482 [10] R T Rockafellar, R J-B Wets (1998), Variational Analysis, SpringerVerlag, Berlin ... người ta cần đến vi phân suy rộng Trong năm qua, nhiều khái niệm vi phân suy rộng cho ánh xạ đa trị giới thiệu nghiên cứu Năm 1980, Mordukhovich đưa khái niệm đối đạo hàm ánh xạ đa trị sử dụng để... sát tính ổn định số lớp toán tối ưu toán cân Đạo hàm ánh xạ đa trị điểm thuộc đồ thị ánh xạ đa trị có đồ thị nón tiếp tuyến đồ thị ánh xạ cho điểm xét Tùy theo loại nón tiếp tuyến sử dụng có loại... Lipschitz ánh xạ đa trị 2.2 Đặc trưng tính Lipschitz ánh xạ nghiệm tốn tối ưu Trong mục này, trình bày ứng dụng kết thu vào nghiên cứu tính chất sơ khả vi tính chất giả Lipschitz ánh xạ nghiệm