Về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ cyclic tựa co và co suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————————————– TRẦN THỊ LIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC TỰA CO VÀ CO SUY RỘNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS: ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An - 10/2014 Mục lục Mở đầu 2 1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric 13 2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T-cyclic tựa co trong không gian mêtric . . . . . . . . . . 13 2.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T - cyclic co kiểu Hardy - Rogers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Kết luận 29 1 Lời mở đầu Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kĩ thuật. Kết quả đầu tiên là phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach. Người ta đã tìm cách mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau. Một trong những mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic tựa co, co suy rộng và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó. Năm 2003, Kirk và các cộng sự [6] đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp các ánh xạ thỏa mãn điều kiện co cyclic. Sau đó, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co. . . trong không gian mêtric. Năm 2012, P. Chaipunya và các cộng sự [4] đã giới thiệu khái niệm ánh xạ cyclic tựa co và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của loại ánh xạ này trong không gian mêtric. Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động chúng tôi tiếp cận hướng này để nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co trong không gian mêtric. Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian mêtric Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric mà chúng có liên quan đến nội dung của luận văn. 2 3 Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric đã có trong tài liệu tham khảo. Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric Trong mục thứ nhất của chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạ cyclic tựa co và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ này, đó là Định lý 2.1.2 và các hệ quả 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, trong đó Hệ quả 2.1.3 chính là Định lý 2.4 trong tài liệu [4]. Trong mục thứ hai, chúng tôi đưa ra khái niệm cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu Hardy - Rogers và đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu Hardy - Rogers, đó là Định lý 2.2.2 và các Hệ quả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8, trong đó Hệ quả 2.2.6 là kết quả chính trong [7]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Tác giả xin được cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán- Trường Đại học Vinh. Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học khóa 20 - Chuyên ngành Giải Tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Chương 1 Sự tồn t ại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric Chương này tr ình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric và ánh xạ mà chúng cần dùng trong luận văn. 1.1.1 Định nghĩa. ([1]). Cho tập hợp X và hàm d : X × X → R. Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x=y ; (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và kí hiệu là (X,d) hoặc X. 4 5 1.1.2 Định nghĩa. ([1]). Cho X là không gian mêtric, dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho với mọi m, n ≥ n 0 thì d(x n , x m ) < ε . Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy . Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ. Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh . Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ. 1.1.3 Định lí. ([1]). Giả sử Y là tập con của không gian mêtric(X, d). Khi đó, Y đóng trong X khi và chỉ khi mọi dãy {y n } trong Y mà {y n } hội tụ tới x ∈ X thì x ∈ Y. 1.1.4 Định nghĩa. ([1]). Cho (X,d) là một không gian mêtric. Ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho d( f x, f y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ X. 1.1.5 Định nghĩa. ([1]). Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a. 1.1.6 Định lí. ([1]). (Nguyên lý co Bannach). Mọi ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ đều có duy nhất một điểm bất động. 1.1.7 Định nghĩa. ([4]). Giả sử f , g là hai ánh xạ từ X vào X. Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau hay điểm chung của f và g nếu f (x) = g(x). Nếu x là điểm chung của f và g thì điểm y = f x = gx được gọi là giá trị chung của f và g. Tương tự như trên ta định nghĩa điểm chung và giá trị chung cho ba, bốn, ánh xạ. Hai ánh xạ f , g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán với nhau tại các điểm chung, tức là nếu x ∈ X là điểm chung của f và g thì f gx = g f x. 6 1.1.8 Bổ đề. ([5]). Giả sử X là tập khác rỗng và T là ánh xạ từ X vào X. Khi đó, tồn tại tập con Y ⊂ X sao cho T (Y ) = T (X ) và T : Y → X là đơn ánh. 1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn các điều kiện co trong không gian mêtric. 1.2.1 Định nghĩa. ([6]). Cho A 1 , A 2 , , A p , A p+1 = A 1 là các tập hợp khác rỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T : p  i=1 A i → p  i=1 A i . Ánh xạ T được gọi là p −cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (A i ) ⊂ A i+1 với mọi i = 1, 2, , p. Chú ý. Từ định nghĩa này suy ra nếu T là ánh xạ p − cyclic và T có điểm bất động x thì x ∈ p  i=1 A i . 1.2.2 Bổ đề. Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, F : X → X là ánh xạ liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d(Fx, F 2 x) ≤ kd(x, Fx) ∀x ∈ X thì F có điểm bất động trong X. Hơn nữa, với mỗi x 0 ∈ X, dãy {F n (x 0 )} hội tụ tới điểm bất động của F. Chứng minh. Lấy x 0 ∈ X và đặt x n = Fx n−1 với mọi n = 1, 2, Khi đó, với mỗi n = 1, 2, ta có d(x n , x n+1 ) = d(Fx n−1 , F 2 x n−1 ) ≤ kd(x n−1 , Fx n−1 ) = kd(Fx n−2 , F 2 x n−2 ) ≤ k 2 d(x n−2 , Fx n−2 ) ≤ ≤ k n d(x 0 , Fx 0 ) = k n d(x 0 , x 1 ). 7 Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có d(x n , x n+m ) ≤ d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+2 ) + + d(x n+m−1 , x n+m ) ≤ (k n + k n+1 + + k n+m−1 )d(x 0 , x 1 ) = k n 1 −k m 1 −k d(x 0 , x 1 ) ≤ k n 1 −k d(x 0 , x 1 ). với mọi n = 1, 2, , với mọi m = 0, 1, Vì k ∈ [0, 1) nên k n 1 −k d(x 0 , x 1 ) → 0 khi n → ∞, với mọi m = 0, 1 Từ đó suy ra {x n } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên x n → x ∈ X . Vì F liên tục nên x n+1 = Fx n → Fx. Do đó, x = Fx. 1.2.3 Định lí. ([6)] . Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ X, và giả sử F : X → X thoả mãn các điều kiện sau (1) F(A) ⊆ B và F(B) ⊆ A; (2) d(Fx, Fy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y ∈ B, trong đó k ∈ (0, 1). Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B. Chứng minh. Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra d(Fx, F 2 x) ≤ kd(x, Fx) Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A ∪B và A∩B đóng trong X. Do X đầy đủ nên A ∪ B và A ∩B đầy đủ. Theo cách chứng minh của Bổ đề 1.2.2 thì { f n x } là dãy Cauchy trong A ∪ B. Do đó, f n x → z ∈ A ∪ B. Từ cách xây dựng dãy { f n x } thì có một dãy con nằm trong A và một dãy con nằm trong B. Vì A và B đóng và hai dãy con này hội tụ tới z nên z ∈ A ∩ B. Như vậy , A ∩ B = /0 và đầy đủ . Từ điều kiện (2) suy ra F | (A∩B) là ánh xạ co trên A ∩ B. Do đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach thì F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B. 1.2.4 Hệ quả. ([6]). Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ X. Cho f : A → B và g : B → A là hai hàm số sao cho d( f x, gy) ≤ kd(x, y) ∀x ∈ A và y ∈ B 8 trong đó k ∈ (0, 1). Khi đó, tồn tại duy nhất x 0 ∈ A ∩ B sao cho f x 0 = gx 0 = x 0 . Chứng minh. Ta xác định ánh xạ F : A ∪ B → A ∪ B bởi Fx =      f x nếu x ∈ A; gx nếu x ∈ B. Khi đó, F thoả mãn điều kiện của Định lý 1.2.3. Do đó F có duy nhất điểm bất động x 0 ∈ A∩B. Mặt khác, ta có f x = gx nếu x ∈ A∩B. Do đó, Fx 0 = f x 0 = gx 0 = x 0 . 1.2.5 Định lí. ([7]). Cho A 1 , A 2 , , A p , A p+1 là các tập con đóng khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ X, T : p  i=1 A i → p  i=1 A i là ánh xạ cyclic, và tồn tại a ∈ [0, 1), b ∈ [0, 1 2 ), c ∈ [0, 1 2 ) sao cho với mỗi cặp (x, y) ∈ A i × A i+1 với 1 ≤ i ≤ p, ít nhất một trong các điều sau đây là đúng: (1) d(T x, Ty) ≤ ad(x, y); (2) d(T x, Ty) ≤ b[d(x, T x) + d(y, Ty)]; (3) d(T x, Ty) ≤ c[d(x, Ty) + d(y, T x)]. Khi đó (i) T có duy nhất điểm bất động x ∗ trong p  i=1 A i ; (ii) Dãy lặp Picard {x n } cho bởi x n+1 = T x n , n ≥ 0 9 hội tụ đến x ∗ với bất kì điểm x 0 ∈ p  i=1 A i ; (iii) Các đẳng thức sau là đúng d(x n , x ∗ ) ≤ λ n 1 −λ d(x 0 , x 1 ), n ≥ 0, d (x n+1 , x ∗ ) ≤ λ 1 −λ d (x n , x n+1 ), n ≥ 0; (iv) Tốc độ của sự hội tụ của dãy lặp Picard được cho bởi d(x n , x ∗ ) ≤ λ d (x n−1 , x ∗ ), n = 1, 2, trong đó λ = max{a, b 1 −b , c 1 −c }. Chứng minh. Lấy i ∈ {1, 2, , p} và hai điểm x ∈ A i , y ∈ A i+1 . Dùng tiên đề mêtric ta dễ dàng chứng minh mỗi một trong ba hệ thức (1), (2), (3) có thể được viết tương đương như sau d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x , T x), (1.1) và d(T x, Ty) ≤ λ d(x, y) + 2λ d(x , Ty), (1.2) trong đó λ = max  a, b 1 −b , c 1 −c  . (i) Lấy x 0 ∈ p  i=1 A i và lấy x n = T n x 0 , n = 1, 2, , là dãy Picard. Do vậy, tồn tại i ∈ {1, 2, , p} sao cho x 0 ∈ A i và x 1 = T x 0 ∈ A i+1 , doT (A i ) ⊂ A i+1 với mọi i = 1, 2, , p,. Ngoài ra, từ (1.2) ta được d(x 1 , x 2 ) ≤ λ d(x 0 , x 1 ). Từ bất đẳng thức này có thể tổng quát hoá bằng phép quy nạp cho d(x n , x n+1 ) ≤ λ n d(x 0 , x 1 ), n ≥ 0. Do đó, với bất kì số n, m ∈ N, m > 0 ta có d(x n , x n+m ) ≤ m+n−1 ∑ k=n d(x k , x k+1 ) ≤ λ n (1 −λ m ) 1 −λ d(x 1 , x 0 ). (1.3) Vì λ ∈ [0, 1) nên λ n → 0 khi n → ∞. Do đó, {x n } là dãy Cauchy trong p  i=1 A i . Hơn nữa, dãy {x n } hội tụ tới x ∗ ∈ p  i=1 A i . Do T là ánh xạ cyclic nên dãy{x n } [...]... α ∈ [0, ) suy ra d(x∗ , y∗ ) = 0 hay x∗ = y∗ Vậy, điểm bất động của T là duy 2 nhất Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại của điểm bất động chung của các ánh xạ T -cyclic tựa co và T -cyclic co kiểu Hardy - Rogers 2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T -cyclic tựa co trong... f , g và T có điểm bất động chung duy nhất là 4 20 2.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T - cyclic co kiểu Hardy - Rogers Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm cặp ánh xạ T − cyclic co kiểu Hardy − Rogers và chứng minh một vài kết quả về sự tồn tại điểm chung và điểm bất động chung của cặp ánh xạ này 2.2.1 Định nghĩa Giả sử A1 , A2 , , A p là các tập con khác rỗng của không... α4 = α5 = 0 2 Kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: - Trình bày lại một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cylic thỏa mãn các điều kiện co trong không gian mêtric đã có trong tài liệu tham khảo - Đưa ra và chứng minh một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T- cylic tựa co và cặp ánh xạ T -cyclic co kiểu Hardy- Rogers, đó là Định lý 2.1.2,... này, chúng ta sẽ đưa ra một định lý và một số hệ quả của nó về sự tồn tại điểm bất động của cặp ánh xạ T -cyclic tựa co trong không gian mêtric đầy đủ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử A1 , A2 , , A p là các tập hợp con khác rỗng trong không gian mêtric (X, d) ; f , g và T là ba ánh xạ từ p i=1 Ai và chính nó 1 1) Ánh xạ f được gọi là cylic tựa co nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại α ∈ [0, ) 2 13 14 sao cho d( f... thì f là ánh xạ cyclic tựa co 2.1.2 Định lí Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , A p là các p tập con khác rỗng trong X; f , g, T là các ánh xạ từ Ai vào chính nó, thỏa mãn i=1 điều kiện sau (1) T đơn ánh và T (Ai ) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p; (2) f và g là cặp T -cyclic tựa co Khi đó, f , g và T có điểm trùng (tức là điểm chung) và có duy nhất một giá trị chung Hơn... một giá trị chung của f , g và T Vì giá trị chung của f , g và T là duy nhất nên f y = gy = Ty = y Vậy y là điểm bất động chung duy nhất của f , g và T Sau đây là một số hệ quả của Định lý 1.1.2 2.1.3 Hệ quả ([4] Therorem 2.4) Giả sử A1 , A2 , , A p là các tập con đóng p khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ (X, d) Khi đó, nếu f : p là ánh xạ cyclic tựa co thì f có duy nhất điểm bất động z ∈ i=1... suy ra d(y, v) = 0 , tức y = v Do đó giá trị chung của f , g và T là duy nhất Cuối cùng, giả sử ( f , T ) và (g, T ) là cặp tương thích yếu Khi đó, vì x là điểm chung của f , g và T nên T f x = f T x; T gx = gT x Từ đó suy ra Ty = f y = gy Do đó z = Ty = f y = gy cũng là giá trị chung của f , g và T Vì giá trị chung của f , g và T là duy nhất nên f y = gy = Ty = y Vậy y là điểm bất động duy nhất của. .. là các tập con khác rỗng của không gian p mêtric đầy đủ (X, d); f , g và T là các ánh xạ từ Ai vào chính nó thoả mãn i=1 các điều kiện sau (i) T đơn ánh và T (Ai ) là tập con đóng trong X với mọi i = 1, 2, , p; (ii) f và g là cặp T - cyclic co kiểu Hardy - Rogers với α1 , α2 , , α5 thoả mãn thêm điều kiện (α2 − α5 )(α3 − α4 ) ≥ 0 (2.9) Khi đó f , g và T có điểm trùng nhau và có duy nhất một giá trị chung. .. đó, f và T có điểm trùng nhau và có duy nhất một giá trị chung Hơn nữa nếu thêm giả thiết ( f , T ) và cặp tương thích yếu thì f và T có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Đầu tiên, giả sử T đơn ánh Khi đó, điều cần chứng minh được suy ra từ Hệ quả 2.2.8 với việc lấy p = 1 và A1 = X Bây giờ, giả sử T không đơn ánh Khi đó, theo Bổ đề 1.1.8 tồn tại tập con Y trong X sao cho T (Y ) = T (X) và T... điểm bất động duy nhất của f , g và T Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.2.2 2.2.3 Hệ quả Giả sử A1 , A2 , , A p là các tập con đóng khác rỗng của không p gian mêtric đầy đủ (X, d); f và g là ánh xạ từ Ai vào chính nó thỏa mãn điều i=1 kiện sau (i) f và g là hai ánh xạ cyclic; (ii) Tồn tại các số không âm α1 , α2 , , α5 với α1 + α2 + + α5 < 1, (α2 − α5 )(α3 − α4 ) ≥ 0 và d( f x, gy) ≤ α1 d(x, y) + α2 . quả về sự tồn tại của điểm bất động chung của các ánh xạ T -cyclic tựa co và T -cyclic co kiểu Hardy - Rogers. 2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T -cyclic tựa co. quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp ánh xạ T -cyclic tựa co trong không gian mêtric . . . . . . . . . . 13 2.2 Về sự tồn tại điểm bất động chung của các cặp ánh xạ T - cyclic co kiểu Hardy. khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động chúng tôi tiếp cận hướng này để nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động và bất động chung các ánh xạ cyclic co suy rộng và tựa co trong không gian