Định lý điểm bất động trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Ngân MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN METRIC 1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.3 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 2.1 NĨN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 2.2 KHƠNG GIAN METRIC NĨN 2.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 2.4 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN ĐẦY ĐỦ 3 16 18 20 20 31 33 38 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực Tốn học đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Lý thuyết đạt số kết tiếng từ kỷ XX gắn liền với tên tuổi nhà Toán học lớn Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Một hướng nghiên cứu nhà toán học lĩnh vực xây dựng khơng gian mới, sau mở rộng kết kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1992) cho lớp ánh xạ Cùng với ý tưởng đó, năm 2007, L.-G Huang X Zhang đưa khái niệm khơng gian metric nón cách thay hàm metric nhận giá trị thực không gian metric hàm nhận giá trị không gian định chuẩn Sau L.-G Huang X Zhang, số tác giả khác phát triển lý thuyết đạt kết sâu sắc Bài toán điểm bất động khơng gian metric nón ln thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý điểm bất động không gian metric nón” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động mà trình bày khái niệm nón, số tính chất nón khơng gian Banach, khái niệm khơng gian metric nón, cuối trình bày chứng minh lại định lý điểm bất động có tài liệu [4] cách chi tiết có hệ thống Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, hệ thống hóa kiến thức Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian metric nón” Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học viên, sinh viên người quan tâm lý thuyết điểm bất động Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức liên quan đến không gian metric, không gian định chuẩn Chương : Định lý điểm bất động không gian metric nón Chương trình bày chi tiết có hệ thống khái niệm, tính chất nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón số định lý điểm bất động khơng gian metric nón CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất không gian metric, không gian định chuẩn nguyên lý ánh xạ co Banach Đây kiến thức sở nhằm phục vụ cho chương sau luận văn Hầu hết kết tham khảo tài liệu [1] 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Ta gọi ánh xạ d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) metric X d thỏa mãn ba tiên đề sau với x, y, z ∈ X (1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, tập X với metric d cho gọi khơng gian metric kí hiệu (X, d) Ví dụ 1.1.2 Cho X = R d ánh xạ xác định d : R × R −→ R (x, y) −→ d(x, y) = |x − y| Khi đó, d metric R (X, d) không gian metric Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn tiên đề metric R Thật vậy, với x, y, z ∈ X, ta có (1) d(x, y) = |x − y| ≥ 0, d(x, y) = ⇔ |x − y| = ⇔ x = y; (2) d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x) (3) d(x, z) = |x − z| = |(x − y) + (y − z)| ≤ |x − y| + |y − z| = d(x, y) + d(y, z) Như vậy, ánh xạ d xác định metric R (R, d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho X = Rk d ánh xạ xác định d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) = k |xi − yi |2 , i=1 x = (x1, x2, , xk ), y = (y1 , y2, , yk ) ∈ X Khi đó, d metric X (X, d) không gian metric Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn tiên đề metric X Thật vậy, với x, y, z ∈ X, ta có (1) d(x, y) = k |xi − yi |2 ≥ 0, i=1 d(x, y) = ⇐⇒ k |xi − yi |2 = i=1 ⇐⇒ |xi − yi | = với i = 1, 2, k ⇐⇒ xi = yi với i = 1, 2, k ⇐⇒ x = y (2) d(x, y) = k i=1 |xi − yi |2 = k i=1 |yi − xi|2 = d(y, x) (3) d2(x, z) = k k |xi − zi |2 = i=1 i=1 k k |xi − yi |2 + = |(xi − yi ) + (yi − zi )|2 i=1 k |yi − zi |2 + i=1 |xi − yi ||yi − zi | i=1 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hạng tử cuối đẳng thức trên, ta d2(x, z) ≤ k |xi − yi|2 + i=1 ≤ k |xi − yi |2 + i=1 |xi − yi |2 i=1 i=1 k k |yi − zi |2 + k k |yi − zi |2 i=1 |yi − zi |2 = [d(x, y) + d(y, z)]2 i=1 Từ suy d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Như vậy, ánh xạ d xác định metric X (X, d) không gian metric Ví dụ 1.1.4 Gọi C[a,b] tập hợp hàm số thực liên tục [a, b] Khi đó, C[a,b] không gian metric với metric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a≤t≤b Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, d) không gian metric {xn } dãy X Ta nói {xn } hội tụ đến phần tử x ∈ X lim d(xn, x0) = n→∞ Khi đó, x0 gọi điểm giới hạn dãy {xn} ta viết lim xn = x0 hay xn → x0 n→∞ Như vậy, lim xn = x0 với ε > 0, tồn n0 ∈ N∗ n→∞ cho d(xn, x0) < ε với n ≥ n0 Định lý 1.1.6 Cho {xn }, {yn } dãy khơng gian metric (X, d) Khi đó, (1) Giới hạn dãy hội tụ (2) Nếu dãy {xn } hội tụ đến x, dãy {xnk } hội tụ đến x (3) Nếu lim xn = x lim yn = y, n→∞ n→∞ lim d(xn, yn ) = d(x, y) n→∞ Chứng minh (1) Giả sử {xn} hội tụ đến hai phần tử x, x′ Khi đó, lim d(xn, x) = 0, n→∞ lim d(xn, x′) = n→∞ Mặt khác, ta có d(x, x′) ≤ d(xn, x) + d(xn, x′) Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức n → ∞, ta ≤ d(x, x′) ≤ lim d(xn, x) + lim d(xn, x′) = n→∞ n→∞ Do đó, d(x, x′) = 0, kéo theo x = x′ (2) Giả sử {xn} hội tụ đến x Khi đó, với ε > 0, tồn nε ∈ N∗ cho d(xn, x) < ε với n ≥ nε Nếu {xnk } dãy {xn}, nk ≥ k với k ∈ N∗ nên với k ≥ nε ta có nk ≥ nε Do đó, d(xnk , x) < ε với k ≥ nε Điều chứng tỏ {xnk } dãy hội tụ đến x (3) Giả sử lim xn = x, lim yn = y Khi đó, với ε > 0, tồn n→∞ n→∞ n0 ∈ N∗ cho với n ≥ n0, ta có ε ε d(xn, x) < , d(yn , y) < 2 38 Suy ≤ |d(xn, yn) − d(x, y)| ≤ d(xn, x) + d(yn , y) → 0, kéo theo d(xn, yn ) → d(x, y) 2.4 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN ĐẦY ĐỦ Định lý 2.4.1 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ X, k ∈ [0, 1) số Khi đó, T có điểm bất động X dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T với x ∈ X Chứng minh Ta lấy điểm x0 ∈ X đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , xn+1 = T xn = T n+1x0, Ta chứng tỏ {xn } dãy Cauchy (X, d) Thật vậy, T ánh xạ co nên tồn số k ∈ [0, 1) cho với n ≥ 1, ta có 39 d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ kd(xn, xn−1) = kd(T xn−1, T xn−2) ≤ k 2d(xn−1, xn−2) ≤ k n d(x1, x0) Do đó, với n ≥ m với k ∈ [0, 1), ta có d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + d(xm+1, xm) ≤ k n−1d(x1, x0) + k n−2d(x1, x0) + + k m d(x1, x0) ≤ (k n−1 + k n−2 + + k m )d(x1, x0) ≤ (k m + k m+1 + )d(x1, x0) km ≤ d(x1, x0) 1−k k m m→∞ −−−→ 0, kéo theo Bởi k ∈ [0, 1) nên 1−k km m→∞ d(x1, x0) −−−→ 1−k Hơn nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên km d(xn, xm) ≤ K d(x1, x0) → 1−k Suy d(xn, xm) → m, n → ∞ Bởi (X, d) khơng gian metric nón nên theo Bổ đề 2.3.8 ta suy {xn} dãy Cauchy (X, d) Ngồi ra, (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ (X, d) Sử dụng Định lý 2.3.2 ta suy d(xn, x∗) → E Mặt khác, ta có d(T x∗, x∗) ≤ d(T xn, T x∗) + d(T xn, x∗) ≤ kd(xn, x∗) + d(xn+1, x∗) 40 Do đó, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên d(T x∗, x∗) ≤ K kd(xn, x∗) + d(xn+1, x∗) ≤ K[k d(xn, x∗) + d(xn+1, x∗) ] → Suy d(T x∗, x∗) = 0, kéo theo T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta giả sử y ∗ điểm bất động T Khi đó, với k ∈ [0, 1) ta có d(x∗, y ∗) = d(T x∗, T y ∗) ≤ kd(x∗, y ∗ ) Suy (1 − k)d(x∗, y ∗ ) ≤ với k ∈ [0, 1) Do đó, d(x∗, y ∗) = 0, kéo theo x∗ = y ∗ Như vậy, điểm bất động T Hệ 2.4.2 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Với c ∈ E mà ≪ c x0 ∈ X, ta đặt B[x0, c] = {x ∈ X | d(x0, x) ≤ c} Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ B[x0, c], k ∈ [0, 1) số d(T x0, x0) ≤ (1 − k)c Khi đó, T có điểm bất động B[x0, c] Chứng minh Theo Định lý 2.4.1, để chứng minh T có điểm bất động B[x0, c] ta cần chứng minh B[x0, c] không gian đầy đủ T x ∈ B[x0, c] với x ∈ B[x0, c] 41 Thật vậy, giả sử {xn } dãy Cauchy B[x0, c] Khi đó, {xn} dãy Cauchy (X, d) Bởi (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x (X, d), kéo theo d(xn, x) → E Hơn nữa, {xn} ⊂ B[x0, c] nên d(xn, x0) ≤ c với n ∈ N∗ Do đó, ta có d(x0, x) ≤ d(x0, xn) + d(xn, x) ≤ c + d(xn, x) Lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức n → ∞, ta d(x0, x) ≤ c, kéo theo x ∈ B[x0, c] Như vậy, B[x0, c] đầy đủ Bây ta chứng minh T x ∈ B[x0, c] Thật vậy, với x ∈ B[x0, c] ta có d(x0, T x) ≤ d(T x0, x0) + d(T x0, T x) ≤ (1 − k)c + kd(x0, x) ≤ (1 − k)c + kc = c Điều chứng tỏ T x ∈ B[x0, c] Hệ 2.4.3 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ Khi đó, tồn n ∈ N∗ k ∈ [0, 1) cho d(T nx, T ny) ≤ kd(x, y) với x, y ∈ X, T có điểm bất động X Chứng minh Theo Định lý 2.4.1 ta suy T n có điểm bất động x∗ Khi đó, T n x∗ = x∗ Mặt khác, T n (T x∗) = T n−1(T 2x∗) = = T (T nx∗ ) = T x∗ nên T x∗ điểm bất động T n Nhưng điểm bất động T n nên T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta chứng minh x∗ điểm bất động T Thật vậy, giả sử y ∗ điểm bất động T Khi đó, 42 T n y ∗ = T n−1T y ∗ = T n−1y ∗ = = T y ∗ = y ∗ Điều chứng tỏ y ∗ điểm bất động T n Do T n có điểm bất động x∗ nên y ∗ = x∗ Như vậy, điểm bất động T Định lý 2.4.4 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ k[d(T x, x) + d(T y, y)] với x, y ∈ X, k ∈ 0, số Khi đó, T có điểm bất động X dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T với x ∈ X Chứng minh Ta lấy điểm x0 ∈ X đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , xn+1 = T xn = T n+1x0, Ta chứng tỏ {xn } dãy Cauchy X Thật vậy, với n ∈ N∗, theo cách đặt theo giả thiết, ta có d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ k [d(T xn, xn) + d(T xn−1, xn−1)] = k [d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)] Suy với n ∈ N∗, ta có k d(xn+1, xn) ≤ d(xn, xn−1) 1−k k k · d(xn−1, xn−2) ≤ 1−k 1−k n k ≤ d(x1, x0) = hn d(x1, x0), 1−k 43 h = k ∈ [0, 1) Do đó, với n ≥ m, ta có 1−k d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + d(xm+1, xm) ≤ hn−1d(x1, x0) + hn−2d(x1, x0) + + hm d(x1, x0) ≤ (hn−1 + hn−2 + + hm )d(x1, x0) ≤ (hm + hm+1 + )d(x1, x0) hm ≤ d(x1, x0) 1−h hm m→∞ −−−→ 0, kéo theo Bởi h ∈ [0, 1) nên 1−h hm m→∞ d(x1, x0) −−−→ 1−h Hơn nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên hm d(xn, xm) ≤ K d(x1, x0) → 1−h Suy d(xn, xm) → Do đó, (X, d) khơng gian metric nón nên theo Bổ đề 2.3.8 ta suy {xn} dãy Cauchy (X, d) Ngồi ra, (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ (X, d) Sử dụng Định lý 2.3.2 ta suy d(xn, x∗) → E Mặt khác, ta có d(T x∗, x∗) ≤ d(T x∗, T xn) + d(T xn, x∗) = d(T xn, T x∗) + d(T xn, x∗) ≤ k[d(T xn, xn) + d(T x∗, x∗)] + d(xn+1, x∗) Suy [kd(xn+1, xn) + d(xn+1, x∗)] 1−k ≤ [(k + 1)d(xn+1, x∗) + kd(xn, x∗)] 1−k d(T x∗, x∗) ≤ 44 Bởi P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên ta suy K [(k + 1)d(xn+1, x∗) + kd(xn, x∗)] 1−k K ≤ [(k + 1) d(xn+1, x∗) + k d(xn, x∗) ] → 1−k d(T x∗, x∗) ≤ Do đó, d(T x∗, x∗) = 0, kéo theo T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử x∗ y ∗ hai điểm bất động T Khi đó, với k ∈ 0, , ta có d(x∗, y ∗ ) = d(T x∗, T y ∗) ≤ k[d(T x∗, x∗) + d(T y ∗, y ∗)] ≤ k(0 + 0) = Suy d(x∗, y ∗) = 0, kéo theo x∗ = y ∗ Như vậy, điểm bất động T Định lý 2.4.5 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ k[d(T x, y) + d(T y, x)] với x, y ∈ X, số Khi đó, T có điểm bất động X dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động T với x ∈ X k ∈ 0, Chứng minh Ta lấy điểm x0 ∈ X đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , xn+1 = T xn = T n+1x0, 45 Ta chứng tỏ {xn} dãy Cauchy (X, d) Thật vậy, với n ∈ N∗ , theo cách đặt theo giả thiết, ta có d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1) ≤ k [d(T xn, xn−1) + d(T xn−1, xn)] ≤ k [d(xn+1, xn−1) + d(xn, xn)] = kd(xn+1, xn−1) ≤ k[d(xn+1, xn) + d(xn, xn−1)] Suy k d(xn, xn−1) 1−k k k d(xn−1, xn−2) ≤ − k1 − k k n ≤ d(x1, x0) = hn d(x1, x0), 1−k d(xn+1, xn) ≤ h = k ∈ [0, 1) Do đó, với n ≥ m, ta có 1−k d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + d(xm+1, xm) ≤ hn−1d(x1, x0) + hn−2d(x1, x0) + + hm d(x1, x0) ≤ (hn−1 + hn−2 + + hm )d(x1, x0) ≤ (hm + hm+1 + )d(x1, x0) hm ≤ d(x1, x0) 1−h hm m→∞ −−−→ 0, kéo theo Bởi h ∈ [0, 1) nên 1−h hm m→∞ d(x1, x0) −−−→ 1−h Hơn nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên ta suy d(xn, xm) ≤ K Suy hm d(x1, x0) → 1−h 46 d(xn, xm) → m, n → ∞ Do đó, (X, d) khơng gian metric nón nên theo Bổ đề 2.3.8 ta suy {xn} dãy Cauchy (X, d) Ngồi ra, (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ (X, d) Do đó, từ Định lý 2.3.2 ta suy d(xn, x∗) → E Mặt khác, ta có d(T x∗, x∗) ≤ d(T xn, T x∗) + d(T xn, x∗) ≤ k[d(T xn, x∗) + d(T x∗, xn)] + d(T xn, x∗) ≤ k[d(xn+1, x∗) + d(T x∗, x∗) + d(xn, x∗)] + d(xn+1, x∗) Suy [k[d(xn+1, x∗) + d(xn, x∗)] + d(xn+1, x∗)] 1−k ≤ [(k + 1)d(xn+1, x∗) + kd(xn, x∗)] 1−k d(T x∗, x∗) ≤ Bởi P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên với k ∈ 0, ta có , K (k + 1)d(xn+1, x∗) + kd(xn, x∗) 1−k K ≤ [(k + 1) d(xn+1, x∗) + k d(xn, x∗) ] → 1−k d(T x∗, x∗) ≤ Do đó, d(T x∗, x∗) = 0, kéo theo T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử x∗ y ∗ hai điểm bất động T Khi đó, ta có d(x∗, y ∗ ) = d(T x∗, T y ∗ ) ≤ k[d(T x∗, y ∗ ) + d(T y ∗, x∗)] ≤ k[d(T x∗, x∗) + d(x∗, y ∗ ) + d(T y ∗, y ∗) + d(y ∗, x∗)] ≤ 2kd(x∗, y ∗) Suy (1 − 2k)d(x∗, y ∗) ≤ 47 Từ đó, áp dụng định nghĩa nón chuẩn tắc ta suy (1 − 2k)d(x∗, y ∗) ≤ nên d(x∗, y ∗) = 0, kéo theo x∗ = y ∗ Bởi vậy, T có điểm bất động Nhưng k ∈ 0, Ví dụ 2.4.6 Cho E = R2 P = {(x, y) ∈ E | x, y ≥ 0} nón chuẩn tắc Đặt X = {(x, 0) ∈ E | ≤ x ≤ 1} ∪ {(0, x) ∈ E | ≤ x ≤ 1} xét ánh xạ d : X × X → E xác định |x − y|, |x − y| ; d((0, x), (0, y)) = |x − y|, |x − y| ; d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = x + y, |x + y| 3 d((x, 0), (y, 0)) = Khi đó, (X, d) khơng gian metric đầy đủ Ngoài ra, ánh xạ T : X → X xác định T (x, 0) = (0, x) T (0, x) = x, , T thỏa mãn điều kiện ánh xạ co với (x1, x2), (y1, y2) ∈ X d(T (x1, x2), T (y1, y2)) ≤ kd((x1, x2), (y1, y2)), k = (0, 0) ∈ X ∈ [0, 1) Lúc này, T có điểm bất động Định lý 2.4.7 Cho (X, d) khơng gian metric nón đầy đủ, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) + ld(y, T x) với x, y ∈ X, 48 k, l ∈ [0, 1) số Khi đó, T có điểm bất động X điểm bất động T k + l < Chứng minh Ta lấy điểm x0 ∈ X đặt x1 = T x0 , x2 = T x1 = T x0 , xn+1 = T xn = T n+1x0, Ta chứng tỏ {xn} dãy Cauchy (X, d) Thật vậy, với n ∈ N∗ , theo cách đặt theo giả thiết, ta có d(xn+1, xn) = d(xn, xn+1) = d(T xn−1, T xn) ≤ kd(xn−1, xn) + ld(xn, T xn−1) = kd(xn−1, xn) + ld(xn, xn) = kd(xn−1, xn) = kd(T xn−2, T xn−1) ≤ k[kd(xn−2, xn−1) + ld(xn−1, T xn−2)] = k[kd(xn−2, xn−1) + ld(xn−1, xn−1)] = kkd(xn−2, xn−1) = kkd(xn−1, xn−2) ≤ k n d(x1, x0) Do đó, với n ≥ m, ta có d(xn, xm) ≤ d(xn, xn−1) + d(xn−1, xn−2) + d(xm+1, xm) ≤ k n−1d(x1, x0) + k n−2d(x1, x0) + + k m d(x1, x0) ≤ (k n−1 + k n−2 + + k m )d(x1, x0) ≤ (k m + k m+1 + )d(x1, x0) km d(x1, x0) ≤ 1−k 49 k m m→∞ −−−→ 0, kéo theo Bởi k ∈ [0, 1) nên 1−k km m→∞ d(x1, x0) −−−→ 1−k Hơn nữa, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên ta suy d(xn, xm) ≤ K km d(x1, x0) → 0, 1−k kéo theo d(xn, xm) → E m, n → ∞ Do đó, (X, d) khơng gian metric nón nên theo Bổ đề 2.3.8 ta suy {xn} dãy Cauchy (X, d) Ngồi ra, (X, d) khơng gian metric đầy đủ nên tồn x∗ ∈ X cho xn → x∗ (X, d) Sử dụng Định lý 2.3.2 ta suy d(xn, x∗) → E Mặt khác, ta có d(T x∗, x∗) ≤ d(xn, T x∗) + d(xn, x∗) ≤ d(T xn−1, T x∗) + d(xn, x∗) ≤ kd(xn−1, x∗) + ld(x∗, T xn−1) + d(xn, x∗) ≤ kd(xn−1, x∗) + (1 + l)d(x∗, xn) Do đó, áp dụng định nghĩa nón chuẩn tắc ta suy d(T x∗, x∗) ≤ K kd(xn−1, x∗) + (1 + l)d(x∗, xn) ≤ K[k d(xn−1, x∗) + (1 + l) d(x∗, xn) ] → Suy d(T x∗, x∗) = 0, kéo theo T x∗ = x∗ Điều chứng tỏ x∗ điểm bất động T Bây giờ, ta chứng minh T có điểm bất động k + l < Thật vậy, giả sử x∗ y ∗ hai điểm bất động T Khi đó, ta có d(x∗, y ∗) = d(T x∗, T y ∗ ) ≤ kd(x∗, y ∗ ) + ld(y ∗, T x∗) ≤ kd(x∗, y ∗ ) + ld(x∗, y ∗) + ld(T x∗, x∗) = (k + l)d(x∗, y ∗ ) Suy [1 − (k + l)]d(x∗, y ∗) ≤ 50 Sử dụng định nghĩa nón chuẩn tắc ta thu [1 − (k + l)]d(x∗, y ∗) ≤ Nhưng k + l ∈ [0, 1) nên ta suy d(x∗, y ∗) = 0, kéo theo x∗ = y ∗ Bởi vậy, T có điểm bất động k + l < 51 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy Lương Quốc Tuyển cung cấp, tơi hồn thành đề tài Đề tài đề cập đến định lý điểm bất động khơng gian metric nón Những kết trình bày khóa luận bao gồm (1) Nhắc lại số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach nguyên lý ánh xạ co Banach (2) Trình bày khái niệm nón khơng gian metric nón (3) Trình bày chứng minh chi tiết định lý, mệnh đề, bổ đề, nhận xét, có tài liệu [4] mà tác giả đưa chưa chứng minh chứng minh chưa chi tiết Mặc dù, tơi cố gắng nhiều q trình học tập nghiên cứu, song nhiều hạn chế thời gian trình độ hiểu biết nên q trình thực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận bảo, dạy dỗ quý thầy cô góp ý bạn bè để luận văn tơi hồn thiện 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, (1997), Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [2] M Abbas, G Jungck, (2008), Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spases, J Math Anal Appl., 341, 416-420 [3] A Azam, M Arshad (2009), Common fixed points of generalized on tractive maps in cone metric spaces, Bulletin of the Iranian Math Society, 35, 255-264 [4] L.-G Huang, X Zhang, (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl., 322, 14681476 [5] S Rezapour, R Hamlbarani, (2008), Some notes on on the paper: “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”, J Math Anal Appl., 345, 719-724 ... Định lý điểm bất động khơng gian metric nón Chương trình bày chi tiết có hệ thống khái niệm, tính chất nón khơng gian Banach, khơng gian metric nón số định lý điểm bất động khơng gian metric nón. .. TRONG KHƠNG GIAN BANACH 2.2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 2.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 2.4 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN ĐẦY ĐỦ... thống định lý điểm bất động khơng gian metric nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động mà trình bày khái niệm nón, số tính chất nón khơng gian