Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm tuần hoàn của các ánh xạ f co và e co

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ f - co 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co 1.3 Sự tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ f - co yếu 14 Chương Sự tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ ε - co 22 2.1 Ánh xạ ε - co 22 2.2 Sự tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ đa trị ε - co 26 2.3 Sự tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ đơn trị ε - dãn 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích số ngành tốn học khác Do nhà tốn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Nguyên lý ánh xạ co khơng gian mêtric đầy đủ nhà tốn học Banach Dựa vào kết người ta mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại khơng gian Một hướng mở rộng nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị f - co; tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ ε - co không gian mêtric Những người đạt kết quan trọng hướng Edelstein, S Nadler, JS Bae, Al - Thagafi, Hussain, G Jungck Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu lý thuyết điểm bất động, tồn điểm bất động điểm tuần hoàn ánh xạ f - co ε - co không gian mêtric Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ f - co Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co; tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ f - co không giao hốn Chương Sự tồn điểm tuần hồn điểm bất động ánh xạ ε - co ε - dãn Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm ánh xạ ε - co; tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ đa trị ε - co ánh xạ đơn trị ε - dãn không gian mêtric Ngoài việc hệ thống, chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh đưa chứng minh số kết Định lý 1.2.4, Ví dụ 1.2.11, Mệnh đề 2.1.3 Bổ đề 2.2.1 Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán - Trường Đại học Vinh Tác giả xin cảm ơn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt anh chị lớp Cao học 17 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ f - CO Chương trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co; tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ f - co khơng giao hốn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Mục trình bày số khái niệm tính chất có cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X hàm d : X × X −→ R Hàm d gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: (i) d(x, y) ≥ d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x); (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi khơng gian mêtric ký hiệu (X, d) hay đơn giản X 1.1.2 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (T1 ) ∅, X ∈ τ ; (T2 ) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I ∪ Gi ∈ τ ; i∈I (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với tơpơ τ gọi khơng gian tơpơ ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các không gian mêtric khơng gian tơpơ, tơpơ gọi tôpô sinh mêtric 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, A ⊂ X Tập U ⊂ X gọi lân cận A có tập mở V X cho A ⊂ V ⊂ U 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T1 -không gian hai điểm x, y ∈ X, x ̸= y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y ∈ / Ux x ∈ / Uy 1.1.5 Định nghĩa Dãy xn không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi ta viết xn → x 1.1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T2 -không gian hay không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X, x ̸= y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X khơng gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X −→ Y Ánh xạ f gọi liên tục điểm x ∈ X với lân cận V f (x) tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.8 Định lý Cho (X, d) (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X −→ Y Khi điều kiện sau tương đương (1) f liên tục x ∈ X; (2) Mọi ε > 0, tồn δ > cho y ∈ X, d(x, y) < δ ρ(f (x), f (y)) < ε; (3) Mọi dãy {xn } ⊂ X cho xn → x f (xn ) → f (x) 1.1.9 Định nghĩa Giả sử V ⊂ X, V gọi lân cận dãy x ∈ X dãy {xn } hội tụ x tồn n0 ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ n0 } ⊂ V 1.1.10 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô, hàm f : X −→ R gọi nửa liên tục x0 ∈ X lim sup f (x) ≤ f (x0 ) x→ x0 Hàm f gọi nửa liên tục trên X liên tục x ∈ X Hàm f gọi nửa liên tục hàm (−f ) nửa liên tục trên, (−f )(x) = −f (x) với x ∈ X Nói cách khác, hàm f gọi nửa liên tục x0 ∈ X lim inf f (x) ≥ f (x0 ) x→ x0 Đôi khi, ta viết lim inf f (x), lim f (x) thay cho lim sup f (x) x→x0 x→x0 x→x0 lim inf f (x) x→x0 1.1.11 Định lý Giả sử X không gian tôpô f : X −→ R Khi đó, f nửa liên tục (nửa liên tục dưới, tương ứng) với r ∈ R, tập {x ∈ X : f (x) < r} ({x ∈ X : f (x) > r} tương ứng) mở X 1.1.12 Định lý Giả sử X không gian tôpô f : X −→ R Khi đó, f liên tục x ∈ X f liên tục liên tục x 1.1.13 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn n0 ∈ N: với n m ≥ n0 d(xn , xm ) < ε Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi tập đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh Mọi tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng, tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.14 Định nghĩa Giả sử X, Y hai tập khác rỗng Ký hiệu P (Y ) họ tất tập Y Ta gọi ánh xạ từ X vào Y ánh xạ đơn trị hay hàm đơn trị gọi ánh xạ từ X vào họ P (Y ) ánh xạ đa trị hay hàm đa trị 1.1.14 Định nghĩa Giả sử f : X−→X T : X−→U với U ⊂ P (X) Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f (x) = x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động T x ∈ T (x) Điểm x ∈ X gọi điểm trùng f T f (x) ∈ T (x) Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f T x = f (x) ∈ T (x) Sau ta thường viết f x thay f (x) T x thay T (x) 1.1.16 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Với x ∈ X A ⊆ X, d(x, A) := inf {d(x, y) : y ∈ A} Tập A X gọi gần cho x ∈ X, tồn phần tử a ∈ A mà d(x, a) = d(x, A) Trong không gian mêtric tập compact tập gần 1.1.17 Định nghĩa Cho X, Y không gian mêtric, Y ⊂ X, ánh xạ f : Y −→X liên tục Ánh xạ f gọi ánh xạ mở từ không gian Y lên không gian X với tập A mở Y f (A) mở X 1.2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ f - CO Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co không gian mêtric Cho (X, d) không gian mêtric f ánh xạ liên tục X Ký hiệu P (X) lớp tập khác rỗng, gần X; F (X) lớp tập khác rỗng, đóng X; K(X) lớp tất tập khác rỗng, compact X Cho H khoảng cách Hausdorff F (X), nghĩa H(A, B) = max{sup d(x, B), sup d(A, y)}, với A B ∈ F (X), x∈A y∈B d(x, B) = inf {(x, y) : y ∈ B} khoảng cách từ điểm x đến tập hợp B 1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho T : X −→ F (X) ánh xạ Dãy {xn } ⊂ X gọi f - quỹ đạo x theo T nếu, f (xn ) ∈ T xn−1 , x = x0 Giả sử T X ⊆ f X Một f - quỹ đạo x theo T gọi i) Chính quy cho n, d(f xn , f xn+1 ) ≤ H(T xn−1 , T xn ) d(f xn , f xn+1 ) ≤ d(f xn−1 , f xn ); ii) Chính quy mạnh nếu, T x tập gần n, d(f xn , f xn+1 ) = d(f xn , T xn ) 1.2.2 Định nghĩa ([4]) Ánh xạ T : X−→ F (X) gọi f co (trong f : X−→X liên tục) H(T x, T y) ≤ d(f x, f y) với x, y ∈ X mà f x ̸= f y 1.2.3 Định nghĩa ([4]) Các ánh xạ f : X−→ X T : X−→ F (X) gọi R - giao hoán yếu với x ∈ X, f T x ∈ F (X), tồn số thực dương R mà H(f T x, T f x) ≤ Rd(f x, T x) 1.2.4 Định lý Giả sử T : X−→ F (X) ánh xạ f - co cho T f R - giao hốn yếu Khi đó, tồn dãy {xn } f - quỹ đạo x theo T cho f xn −→ t t điểm trùng f T Chứng minh Từ f xn −→ t tính liên tục f suy f f xn −→ f t Do f f xn+1 −→ f t, tức d(f f xn+1 , f t)−→ (*) Vì {xn } f - quỹ đạo x theo T nên f xn+1 ∈ T xn Do đó, từ định nghĩa mêtric Hausdorff suy d(T t, f f xn+1 ) ≤ H(T t, f T xn ) Từ bất đẳng thức tam giác, tính f - co T với giả thiết T f R - giao hoán yếu suy d(T t, f f xn+1 ) ≤ H(T t, f T xn ) ≤ H(T t, T f xn ) + H(T f xn , f T xn ) ≤ d(f t, f f xn ) + Rd(f xn , T xn ) ≤ d(f t, f f xn ) + Rd(f xn , f xn+1 )−→ n → ∞ Kết hợp với (*) bất đẳng thức d(T t, f t) ≤ d(T t, f f xn+1 ) + d(f f xn+1 , f t) suy d(T t, f t) = Vì T t tập đóng X nên f t ∈ T t Vậy t điểm trùng f T 1.2.5 Định lý ([4]) Cho X không gian mêtric liên thông, T : X−→ F (X), f : X−→ X ánh xạ R - giao hoán yếu, T ánh xạ f - co, T (X) ⊆ f (X) Nếu tồn x ∈ X, {xn } f quỹ đạo quy x theo T chứa dãy {xnk } mà f xnk −→ t0 f xk+1 −→ t1 , t0 = t1 f t0 ∈ T t0 Chứng minh Giả sử t0 ̸= t1 Theo Hệ Bổ đề Daffer Kaneko [3] tồn số dương h < lân cận U f −1 t0 × f −1 t1 cho với (x, y) ∈ U , ta có H(T x, T y) ≤ hd(f x, f y) d(f x, f y) > d(t0 , t1 ) Vì f liên tục nên (xnk , xnk +1 ) ∈ U với k đủ lớn Do tồn N cho với k ≥ N ta có d(f xnk , f xnk +1 ) > d(t0 , t1 ) > 10 (1.1) mà x ̸= y(d(x, y) < ε, tương ứng) ta có H(F x, F y) < d(x, y) 2.1.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử f ánh xạ từ X vào X Điểm p ∈ X gọi điểm tuần hoàn ánh xạ f tồn số nguyên n ≥ cho f n (p) = p; Điểm p ∈ X gọi điểm tuần hoàn ánh xạ đa trị F : X−→ K(X) tồn số nguyên n ≥ cho p ∈ F n ({p}) Chú ý: Điểm p điểm tuần hoàn F : X−→ CB(X) tồn số hữu hạn điểm p0 = p, p1 , , pn mà pi ∈ F (pi−1 ) với i = 1, , n p ∈ F (pn ) 2.1.3 Mệnh đề Giả sử f ánh xạ từ X vào X Khi đó, i) Nếu f ánh xạ ε - co f n ánh xạ ε - co với n = 1,2, ii) Nếu p ∈ X điểm tuần hoàn f f n (p) = p với j=1,2, , n-1, f j (p) điểm tuần hoàn f với m=1, 2, , f n.m (p) = p Chứng minh i) Vì f ánh xạ ε- co nên với x, y ∈ X mà d(x, y) < ε ta có d(f x, f y) < d(x, y) < ε Do d(f x, f y) < d(f x, f y) < d(x, y) Như f ánh xạ ε - co Bằng phương pháp qui nạp ta có điều phải chứng minh 23 ii) Từ f n (p) = p suy f n+1 (p) = f (p) Do f n (f (p)) = f n+1 (p) = f (p), tức f (p) điểm tuần hoàn f Tương tự ta có f j (p) điểm tuần hoàn f với j = 2, 3, , n − Ta có f 2n (p) = f n (f n (p)) = f n (p) = p, f 3n (p) = f n (f 2n (p)) = f n (p) = p Bằng phương pháp qui nạp ta có điều phải chứng minh 2.1.4 Mệnh đề ([5]) Nếu Z không gian mêtric compact, K(Z) compact 2.1.5 Mệnh đề ([5]) Nếu F : X−→ K(X) ánh xạ liên tục, ánh xạ F : K(X)−→ K(X) liên tục Chứng minh Từ F liên tục ánh xạ F từ K(X) vào K(X) hợp tập compact K(X) compact Từ hợp F ánh xạ U : 2K(X) −→ K(X) liên tục, nhận thấy F liên tục 2.1.6 Mệnh đề ([5]) Cho Y ∈ K(X) Nếu F : X−→ K(X) ánh xạ liên tục cho F m (Y ) ⊂ Y với số nguyên m ≥ 1, F m |K(Y ) ánh xạ từ K(Y ) vào K(Y ) Chứng minh Trước tiên ta chứng minh cho trường hợp m = Khi đó, theo giả thiết F (Y ) ⊂ Y Với A ∈ K(Y ) ta có F (A) = ∪ a∈A F (a) ⊂ ∪ y∈Y 24 F (y) = F (Y ) ⊂ Y ; F (A) ⊂ Y ∈ K(X) Theo Mệnh đề 2.1.5 ta suy F (A) ∈ K(Y ) Trong trường hợp m = 2, cách sử dụng Mệnh đề 2.1.5 (với X = Y ) ta điều cần chứng minh 2.1.7 Mệnh đề ([5]) Nếu F : X−→ K(X) ánh xạ đa trị ε - co, F m : K(X)−→ K(X) ánh xạ ε - co với số nguyên m ≥ Chứng minh.Theo Mệnh đề 2.1.5 ta có ánh xạ F m ánh xạ từ K(X) vào K(X) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Trước tiên ta chứng minh F m ánh xạ ε - co m = Lấy A, B ∈ K(X) mà A ̸= B H(A, B) < ε Ta cần chứng minh H(F (A), F (B)) < H(A, B) ⇔ max{ sup d(x, F (B)), sup d(F (A), y)} < H(A, B) x∈F (A) y∈F (B) Từ tính đối xứng H ta cần chứng minh sup d(x, F (B)) < H(A, B) Lấy x ∈ F (A) = ∪ (**) x∈F (A) F (a) Khi tồn a0 ∈ A cho x ∈ F (a0 ) Ta a∈A có H(F (a0 ), F (b0 )) = max{ sup d(x, F (b0 )), sup d(F (a0 ), y)} x∈F (a0 ) y∈F (b0 ) Do đó, d(x, F (b0 )) ≤ H(F (a0 ), F (b0 )) (2.1) Từ a0 ∈ A, d(a0 , B) ≤ H(A, B) Lấy b0 ∈ B mà d(a0 , b0 ) = d(a0 , B) Suy d(a0 , b0 ) ≤ H(A, B) Do d(a0 , b0 ) < ε Như vậy, trường hợp 25 riêng biệt a0 ̸= b0 a0 = b0 ta có H(F (a0 ), F (b0 )) < H(A, B) (2.2) Từ b0 ∈ B, F (b0 ) ⊂ F (B); Do đó, d(x, F (B)) ≤ d(x, F (b0 )) Vì vậy, từ (2.1) (2.2) ta có d(x, F (B)) < Hd (A, B) (2.3) Theo Mệnh đề 2.1.5, F liên tục nên F (A) compact Do từ (2.3) với x ∈ F (A) suy sup d(x, F (B)) < H(A, B), tức ta có (**) x∈F (A) Giả sử F k : K(X)−→ K(X) ánh xạ ε - co với số nguyên k ≥ 1, tức : Với A, B ∈ K(X) mà A ̸= B H(A, B) < ε ta có H(F k (A), F k (B)) < H(A, B) Ta cần chứng minh điều với n = k + 1, tức H(F k+1 (A), F k+1 (B)) < H(A, B) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có d(x, F k (B)) < H(A, B) với x ∈ F k (A) Với b0 ∈ B ta có F k (b0 ) ⊂ F k (B) ⊂ F k+1 (B) Do đó, d(x, F k+1 (B)) < d(x, F k (B)) với x ∈ F k+1 (A) Suy d(x, F k+1 (B)) < H(A, B) với x ∈ F k+1 (A), tức sup d(x, F k+1 (B)) < H(A, B) x∈F k+1 (A) Vậy ta có điều cần phải chứng minh 2.2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TUẦN HOÀN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ε- CO 2.2.1 Bổ đề Giả sử (X, d) không gian mêtric H mêtric Hausdorff K(X) Khi đó, F : X−→ K(X) ánh xạ ε - co F liên tục 26 Chứng minh Ta cần chứng minh F liên tục điểm x0 ∈ X Với δ > đặt δ1 = min(δ, ε) Khi đó, với x ∈ X mà d(x0 , x) < δ1 ta có H(F x0 , F x) < d(x0 , x) < δ Do đó, F liên tục x0 2.2.2 Bổ đề ([5]) Nếu X compact f : X−→ X ánh xạ ε- co, f có hữu hạn điểm tuần hồn Chứng minh Giả sử p q hai điểm tuần hoàn f với p ̸= q mà d(p, q) < ε Cho k, l ≥ số nguyên mà f k (p) = p f l (q) = q Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f kl (p) = (f k )l (p) = p, f kl (q) = (f l )k (q) = q Vì f ε - co nên f kl ε - co Do d(f kl (p), f kl (q)) < d(p, q) Mặt khác d(p, q) = d(f kl (p), f kl (q)) < d(p, q) Điều không xảy Do d(p, q) ≥ ε Như ta chứng minh khoảng cách hai điểm tuần hoàn f phải lớn ε Từ tính compact X suy f có hữu hạn điểm tuần hồn 2.2.3 Định lý ([5]) Cho F : X−→ K(X) ánh xạ đa trị ε n ∞ co Giả sử tồn A ∈ K(X), dãy {F ni (A)}∞ i=1 {F (A)}n=1 27 hội tụ đến điểm B ∈ K(X) Khi tồn điểm b0 ∈ B mà b0 điểm tuần hoàn F Chứng minh Từ Mệnh đề 2.1.5 suy F : K(X)−→ K(X) ánh xạ ε- co Do đó, B điểm tuần hoàn F , tức F k (B) = B với k số nguyên dương Từ B ∈ K(X) F k (B) = B nên theo Mệnh đề 2.1.6, F k |K(B) ánh xạ từ K(B) vào K(B) Do từ Mệnh đề 2.1.7 suy F k |K(B) : K(B)−→ K(B) ε - co Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có K(B) compact Mặt khác, theo Bổ đề 2.2.1 ta thấy F k |K(B) có hữu hạn điểm tuần hồn, kí hiệu B1 = B, B2 , , Bn Tồn tập B1 , , Bn khơng chứa tập cịn lại Khơng tính tổng qt, giả sử B tập hợp có tính chất đó, có nghĩa khơng có tập compact B điểm tuần hoàn F k Cho p ∈ B Vì F kn (B) = B, với số nguyên n ≥ nên theo Mệnh đề 2.1.6, F kn ({p}) ∈ K(B), với số nguyên n ≥ Từ K(B) compact, kni ({p})}∞ , tức suy dãy {F kn ({p})}∞ n=1 có dãy hội tụ {F n=1 {F kni ({p})}∞ n=1 −→ C ∈ K(B) Mặt khác, F k |K(B) : K(B)−→ K(B) ε - co nên theo Định lý [2] C điểm tuần hồn F k Vì C tập compact B nên C = B, theo tính cực tiểu B Do {F kni ({p})}∞ n=1 −→ B Vì p ∈ B nên tồn số nguyên ℓ ≥ cho d(p, F knl ({p})) < ε Ta kí hiệu F knl |K(B) G Khi (a) G : K(B)−→ K(B), 28 (b) G ε- co, (c) d(p, G({p})) < ε Bây giờ, lấy r = inf b∈B d(b, G({b})) Từ (c) suy (d) r < ε Từ B compact G liên tục, ta có (e) r = d(b0 , G({b0 })), với điểm b0 ∈ B Bây ta chứng minh b0 điểm tuần hoàn F Thật vậy, ta chứng minh r = Từ G({b0 }) khác rỗng compact (theo (a)) Mặt khác, từ (e) ta thấy (f) r = d(b0 , y) với điểm y thuộc G({b0 }) Ta chứng minh r = phản chứng Giả sử r > 0, từ (f) suy b0 ̸= y Mà d(b0 , y) < ε (theo (d) (e)).Từ (b) (f) suy (g) H(G{b0 }, G({y})) < d(b0 , y) = r Từ (f) y ∈ G({b0 }) định nghĩa H ta có d(y, G({y})) ≤ Hd (G({b0 })), G({y})), từ (g) có (h) d(y, G({y}))) < r Từ (f) (a) có y ∈ G({b0 }) ⊂ B nên suy y ∈ B Mặt khác r = inf b∈B d(b, G({b})), điều mâu thuẫn với (h) Do đó, điều giả sử sai, tức r = Theo (e) d(b0 , G({b0 })) = Suy b0 ∈ G({b0 }) = F knℓ ({b0 }) Vậy b0 điểm tuần hoàn F 2.2.4 Hệ ([5]) Nếu X compact F : X−→ K(X) ánh xạ đa trị ε- co, F có điểm tuần hồn Chứng minh Vì X compact nên theo Mệnh đề 2.1.4, K(X) compact 29 Mặt khác, F ε- co nên theo Bổ đề 2.2.1, F liên tục Do theo Mệnh đề 2.1.5, F : K(X)−→ K(X) ánh xạ liên tục Lấy A ∈ K(X) Từ tính compact K(X) suy {F n (A)} có dãy hội tụ Theo Định lý 2.2.3, F có điểm tuần hồn 2.2.5 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric; x, y ∈ X δ số thực dương Tập hữu hạn điểm x0 = x, x1 , , xn = y X mà d(xi , xi+1 ) ≤ δ, với i = 0, , n − gọi δ - xích X từ x đến y Kí hiệu tập hợp tất δ - xích X từ x đến y Cδ (x, y) Cho (X, d) không gian mêtric compact liên thông, δ > Xác định dδ : X × X−→ R1 sau dδ (x, y) = inf{ n−1 ∑ d(xi , xi+1 ) : {x0 , , xn } ∈ Cδ (x, y)} i=0 Bổ đề cho ta số tính chất dδ mối quan hệ dδ với d 2.2.6 Bổ đề ([5]) Giả sử (X, d) không gian mêtric compact liên thông, δ số thực dương Khi 1) dδ mêtric X dδ sinh tôpô trùng với tôpô X; 2) d ≤ dδ d(x, y) = dδ (x, y) với x, y ∈ X mà d(x, y) < δ; 3) Hdδ (A, B) = Hd (A, B) với A, B ∈ K(X) mà Hd (A, B) < δ, Hd , Hdδ mêtric Hausdorff K(X) cảm sinh d, dδ ; 4) Với x, y ∈ X, tồn {x0 , , xn } ∈ Cδ (x, y) cho dδ (x, y) = n−1 ∑ i=0 30 d(xi , xi+1 ) 2.2.7 Định lý ([5]) Cho (X, d) không gian mêtric compact liên thông, F : X−→ K(X) ánh xạ ε - co Hd d Khi đó, với δ mà < δ < ε, F ánh xạ co mêtric Hdδ dδ Chứng minh Lấy δ cho < δ < ε Cho x, y ∈ X mà x ̸= y Ta cần chứng minh Hdδ (F (x), F (y)) < dδ (x, y) Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.6 tồn {x0 , , xn } ∈ Cδ (x, y) với xi ̸= xi+1 , ≤ i ≤ n − mà dδ (x, y) = n−1 ∑ d(xi , xi+1 ) (2.4) i=0 Từ d(xi , xi+1 ) ≤ δ < ε, xi ̸= xi+1 từ F : X−→ K(X) ánh xạ đa trị ε - co Hd d ta có Hd (F (xi ), F (xi+1 )) < d(xi , xi+1 ), (2.5) với ≤ i ≤ n − Mặt khác, d(xi , xi+1 ) ≤ δ với i nên từ (2.4) suy Hd (F (xi ), F (xi+1 )) < δ, với i Do đó, theo Bổ đề 2.2.6 với i = 0, , n − ta có Hdδ (F (xi ), F (xi+1 )) = Hd (F (xi ), F (xi+1 )), 31 (2.6) Áp dụng bất đẳng thức tam giác sử dụng (2.6), (2.5) (2.4) ta Hdδ (F (x), F (y)) ≤ = < n−1 ∑ i=0 n−1 ∑ i=0 n−1 ∑ Hdδ (F (xi ), F (xi+1 )) Hd (F (xi ), F (xi+1 )) d(xi , xi+1 ) = dδ (x, y) i=0 Suy Hdδ (F (x), F (y)) < dδ (x, y) Vậy F ánh xạ co mêtric Hdδ dδ 2.2.8 Định lý Nếu X không gian mêtric compact liên thông, F : X−→ K(X) ánh xạ đa trị ε - co, F có điểm bất động Chứng minh Cố định δ mà < δ < ε Vì X với mêtric ban đầu d compact nên theo Bổ đề 2.2.6 (X, dδ ) compact Do theo Mệnh đề 2.1.4 (P (X), Hdδ ) compact Theo Định lý 2.2.7 Định lý [2] ta có điều phải chứng minh 2.3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TUẦN HOÀN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ ε- DÃN Mục trình bày số định lý tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ đơn trị ε- dãn 2.3.1 Định nghĩa ([5]) Cho Y ⊂ X, cho ε > Một ánh xạ f : Y −→ X gọi ε- dãn với y1 , y2 ∈ Y mà y1 ̸= y2 d(y1 , y2 ) < ε ta có d(f (y1 ), f (y2 )) > d(y1 , y2 ) Sử dụng Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.7, chứng minh định lý 32 tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ mở εdãn 2.3.2 Bổ đề ([5]) Giả sử X compact, Y tập compact khác rỗng n X, p ∈ X Nếu f : Y −→ X tồn ánh f n [f −1 ({p})]= p với số nguyên n ≥ Chứng minh Chứng minh quy nạp Với n = ta có f −1 ({p}) = ∪ f −1 (a) = f −1 (p); a∈{p} đó, f [f −1 ({p})] = p n Giả sử Bổ đề với n, tức f n [f −1 ({p})] = p với n ≥ Ta cần chứng minh Bổ đề với n + Thật vậy, ta có f −1 n+1 ({p}) = f −1 [f −1 n ({p})] = ∪ f −1 (a) n a∈f −1 ({p}) Nếu x ∈ f −1 n+1 n ({p}), x ∈ f −1 (a0 ) với a0 ∈ f −1 ({p}) Do đó, f (x) = a0 Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có f n (a0 ) = p; vậy, f n (f (x)) = p, tức f n+1 (x) = p Điều chứng tỏ f n+1 [f −1 n+1 ({p})] = p 2.3.3 Định lý ([5]) Giả sử X compact Y tập khác rỗng, compact X Nếu f : Y −→ X ánh xạ mở ε - dãn từ Y vào X, f có điểm tuần hoàn Chứng minh Từ f : Y −→ X ánh xạ mở suy f −1 : X−→ K(Y ) liên tục Mặt khác, từ X compact nên f −1 liên tục Do đó, với x1 , x2 ∈ X, tồn δ > cho d(x1 , x2 ) < δ ta có Hd (f −1 (x1 ), f −1 (x2 )) < ε 33 (2.7) Bây ta chứng minh f −1 : X−→ P (Y ) ánh xạ đa trị δ - co Thật vậy, cố định điểm x1 , x2 ∈ X mà x1 ̸= x2 d(x1 , x2 ) < δ Từ định nghĩa mêtric Hausdorff tính compact f −1 (x1 ), f −1 (x2 ) suy tồn y1 ∈ f −1 (x1 ), y2 ∈ f −1 (x2 ) cho Hd (f −1 (x1 ), f −1 (x2 )) = d(y1 , y2 ) (2.8) Từ (2.7) (2.8) ta có d(y1 , y2 ) < ε Vì x1 = f (y1 ), x2 = f (y2 ) x1 ̸= x2 nên y1 ̸= y2 Mặt khác, từ f ε - dãn nên d(f (y1 ), f (y2 )) > d(y1 , y2 ) Từ (2.8) ta có Hd (f −1 (x1 ), f −1 (x2 )) = d(y1 , y2 ) < d(f (y1 ), f (y2 )) = d(x1 , x2 ) Như với x1 , x2 ∈ X, x1 ̸= x2 d(x1 , x2 ) < δ ta có Hd (f −1 (x1 ), f −1 (x2 )) < d(x1 , x2 ) Điều chứng minh f −1 ánh xạ đa trị δ - co Khi đó, áp dụng Hệ 2.2.4 ta thấy f −1 có điểm tuần hồn p Điều có nghĩa là, tồn số nguyên n ≥ cho n p ∈ f −1 ({p}) 2.3.4 Định lý ([5]) Giả sử X không gian mêtric compact liên thông, Y tập khác rỗng, compact X Nếu f : Y −→ X ánh xạ mở ε - dãn, f có điểm bất động Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.3.3, tồn δ > mà f −1 : X−→ K(Y ) ánh xạ đa trị δ - co Do đó, theo Định lý 2.2.8, 34 f −1 có điểm bất động p Điều có nghĩa tồn số nguyên n ≥ cho n p ∈ f −1 ({p}) Do p điểm bất động f 35 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Trình bày cách có hệ thống số kết tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị đa trị f - co; tồn điểm bất động chung điểm trùng ánh xạ R - giao hoán yếu ánh xạ f - co yếu khơng giao hốn; tồn điểm tuần hoàn điểm bất động ánh xạ đa trị ε - co ánh xạ đơn trị ε - dãn Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt không chứng minh Đưa chứng minh số kết mà tài liệu khơng trình bày, Định lý 1.2.4, Ví dụ 1.2.11, Mệnh đề 2.1.3 Bổ đề 2.2.1 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Thị Thu (2010), Một số định lý tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian mêtric vào 0-mêtric, Luận văn Thạc sĩ Toán học, trường Đại học Vinh [2] R B Fraser JR and Sam B Nadler JR (1969), Sequences of contractive maps and fixed points, Pacific J Math 31, 659- 667 [3] P Daffer and H Kaneko (1994), Multivalued f - contractive mappings, Boll U M I (7) 8A, 233- 241 [4] Tayyab Kamran (2004), Noncommuting f - Contraction Mappings, Novi Sad J Math Vol.34, No.1, pp.33-37 [5] Sam B Nadler JR (2003), Periodic Points of Multi - valued ε - Contractive Maps, Topological Methods in Nonlinear Analysis Journal of the Juliusz Schauder Center Volume 22, pp.399-409 [6] Yisheng Song (2007), Coincidence Points for Noncommuting f - Weakly Contractive Mappings, International Journal of Computational and Applied Mathematics ISSN 1819-4966 Volume Number 1, pp.5157 37 ... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ f - CO Chương trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co; tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ f - co khơng giao hốn 1.1 MỘT SỐ KHÁI... tồn điểm bất động ánh xạ f - co Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co; tồn điểm trùng điểm bất động chung ánh xạ f - co khơng giao hốn Chương Sự tồn. .. mở Y f (A) mở X 1.2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ f - CO Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị f - co không gian mêtric Cho (X, d) không gian mêtric f ánh xạ liên