Một số định lý ergodic đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng

HOÀNG THỊ THÀNH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ERGODIC ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG HOÀNG THỊ THÀNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ERGODIC ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC KHĨA 23 VINH, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ THÀNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ERGODIC ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Dương Xuân Giáp Vinh, 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, nghiêm túc Thầy giáo TS Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Viện Sư phạm tự nhiên, đặc biệt thầy mơn Xác suất-Thống kê Tốn ứng dụng giảng dạy bảo tận tình cho tác giả trình học tập Trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành chương trình học cao học Thạc sĩ Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời góp ý quý báu từ thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2017 Tác giả MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu thường dùng luận văn Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến cố xác suất 1.2 Tính đầy đủ mở rộng đầy đủ không gian xác suất 11 1.3 Biến ngẫu nhiên khái niệm, tính chất liên quan 12 1.4 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên 13 1.5 Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên 14 1.6 Một số khái niệm lý thuyết ergodic 16 Chương Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng 2.1 Định lý ergodic phép biến đổi bảo toàn độ đo 18 18 2.2 Định lý ergodic phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận 22 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R R B(R) (Ω, A, P) EX T IT ITP a+ a− IA h.c.c tr i ✷ tập hợp số nguyên dương tập hợp số thực := R ∪ {±∞}, tập hợp số thực mở rộng σ -đại số tập Borel R không gian xác suất kỳ vọng biến ngẫu nhiên X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất (Ω, A, P) σ -đại số tập T -bất biến P-đầy đủ IT giá trị a+ := max{a, 0}, a ∈ R giá trị a− := max{−a, 0}, a ∈ R hàm tiêu A hầu chắn trang thứ i tài liệu trích dẫn kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý ergodic bắt nguồn từ ngành học thống kê Nghiên cứu định lý ergodic bắt đầu vào năm 1931-1932 G D Birkhoff [4] J v Neumann [8] Trong lý thuyết xác suất, định lý ergodic đóng vai trị quan trọng Các định lý ergodic nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng hệ động lực, tối ưu ngẫu nhiên, học thống kê, toán kinh tế, y học số lĩnh vực khác Định lý ergodic Birkhoff kết quan trọng đẹp lý thuyết xác suất Trong thập kỷ gần đây, định lý ergodic Birkhoff nghiên cứu, mở rộng theo nhiều hướng khác Năm 2010, C Hess, R Seri C Choirat [6] mở rộng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên khơng khả tích nhận giá trị thực mở rộng Điều hữu ích nghiên cứu biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số, chẳng hạn ước lượng thống kê, lý thuyết biến ngẫu nhiên đa trị, tối ưu ngẫu nhiên Trên sở nghiên cứu tài liệu này, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn : “Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng” Mục đích nghiên cứu Nắm số định lý ergodic Birkhoff biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống khái niệm lý thuyết xác suất lý thuyết ergodic - Thiết lập mối liên hệ phép biến đổi bảo toàn độ đo phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận - Phát biểu trình bày chứng minh chi tiết số định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff Phạm vi nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích; phép biến đổi bảo toàn độ đo; phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc chuyên ngành lý thuyết xác suất, lý thuyết ergodic giải tích Những đóng góp đề tài - Thiết lập mối liên hệ phép biến đổi bảo toàn độ đo phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận - Thiết lập mối liên hệ tính T -bất biến biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực thực mở rộng với tính đo - Trình bày chi tiết kết C Hess, R Seri C Choirat công bố báo [6] Cấu trúc luận văn Ngoài phần Lời cảm ơn, Mục lục, Một số ký hiệu thường dùng luận văn, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể không gian xác suất, biến cố xác suất biến cố, biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phép biến đổi bảo toàn độ đo, tập bất biến biến ngẫu nhiên bất biến, định lý ergodic Birkhoff dạng cổ điển, Chương Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng Chương nội dung luận văn Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu định lý ergodic biến ngẫu nhiên tựa khả tích nhận giá trị thực mở rộng CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, phép biến đổi bảo toàn độ đo, tập bất biến, biến ngẫu nhiên bất biến số kiến thức liên quan Trong tồn luận văn khơng nói thêm, chúng tơi ln giả sử (Ω, A, P) không gian xác suất B(R) ký hiệu σ -đại số tập Borel R Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu tham khảo [2, 7] Các nội dung chương phát biểu cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Chúng ta có phát biểu tính chất tương tự cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng 1.1 Biến cố xác suất 1.1.1 Định nghĩa Cho Ω tập tùy ý khác rỗng Một họ A gồm tập Ω gọi σ -đại số thỏa mãn ba điều kiện sau (i) Ω ∈ A; (ii) Nếu A ∈ A, A = Ω \ A ∈ A; ∞ (iii) Nếu An ∈ A với n = 1, 2, , An ∈ A n=1 Khi cặp (Ω, A) gọi không gian đo 10 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian đo (Ω, A) Ánh xạ P : A → R gọi độ đo xác suất A thỏa mãn ba điều kiện sau (i) P(A) ≥ với A ∈ A (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) Nếu An ∈ A với n = 1, 2, , Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j), ∞ P( ∞ P(An ) (tính cộng tính đếm được) An ) = n=1 n=1 1.1.3 Định nghĩa Cho Ω tập tùy ý khác rỗng A σ -đại số tập Ω P độ đo xác suất A Khi ba (Ω, A, P) gọi không gian xác suất, tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp, σ -đại số A gọi σ -đại số biến cố Mỗi A ∈ A gọi biến cố, biến cố A = Ω \ A ∈ A gọi biến cố đối biến cố A Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ gọi xung khắc 1.1.4 Tính chất Giả sử A, B, An , n ≥ biến cố Khi đó, P(∅) = Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A) = − P(A) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) ∞ P( n=1 ∞ P(An ) An ) n=1 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ERGODIC ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý ergodic biến ngẫu nhiên tựa khả tích nhận giá trị thực mở rộng 2.1 Định lý ergodic phép biến đổi bảo toàn độ đo Để chứng minh kết chính, cần bổ đề sau 2.1.1 Bổ đề (Định lý ergodic Birkhoff cổ điển, xem [7]) Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo T : Ω → Ω cho biến ngẫu nhiên khả tích f : Ω → R Khi đó, lim n→∞ n n−1 f (T i (ω)) = E(f |IT )(ω) h.c.c i=0 2.1.2 Bổ đề (Định lý hồi qui Poincaré (Poincaré Recurrence Theorem)) Giả sử (Ω, A, µ) không gian đo hữu hạn T : Ω → Ω phép biến đổi bảo tồn độ đo Khi đó, với A ∈ A, µ(ω ∈ A : tồn N ∈ N cho T n (ω) ∈ / A với n > N ) = Với phép biến đổi T : Ω → Ω biến ngẫu nhiên X nhận giá trị thực (hoặc, nhận giá trị thực mở rộng), trung bình Cesaro ký hiệu un (ω) = n n−1 X(T i (ω)), n ≥ 1, ω ∈ Ω i=0 19 Để chứng minh cho kết Chúng tơi đưa mệnh đề sau 2.1.3 Mệnh đề Giả sử T : Ω → Ω phép biến đổi bảo toàn độ đo f biến ngẫu nhiên (nhận giá thực thực mở rộng) thỏa mãn f ◦ T = f h.c.c Khi đó, f ITP -đo được, ITP ký hiệu P-đầy đủ IT Chứng minh Theo Nhận xét 1.6.2(6), tồn biến ngẫu nhiên T -bất biến f ∗ thỏa mãn f ∗ = f h.c.c Với B ∈ B(R) (hoặc B ∈ B(R) f biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng), ta cần chứng tỏ f −1 (B) ∈ ITP Thật vậy, tồn M ∈ A cho P(M ) = f ∗ (ω) = f (ω) với ω ∈ M Ta có f −1 (B) = f −1 (B) ∩ M ∪ f −1 (B) ∩ M Do tính đầy đủ ITP P(M ) = nên M ∈ ITP , f −1 (B) ∩ M ∈ ITP Mặt khác, f ∗ T -bất biến nên (f ∗ )−1 (B) ∈ IT , mà kéo theo (f ∗ )−1 (B) ∈ ITP Hơn nữa, ta có M ∈ ITP Từ đó, f −1 (B) ∩ M = (f ∗ )−1 (B) ∩ M ∈ ITP Vì vậy, f −1 (B) ∈ ITP Liên quan đến tính đo lim inf un lim sup un , ta có kết n→∞ n→∞ sau 2.1.4 Định lý Giả sử T : Ω → Ω phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng gian xác suất (Ω, A, P) X : Ω → [0, +∞] biến ngẫu nhiên Khi đó, (i) Nếu X nhận giá trị hữu hạn lim inf un lim sup un IT -đo n→∞ n→∞ (ii) Nếu X nhận giá trị +∞ lim inf un lim sup un n→∞ ITP -đo được, ITP n→∞ ký hiệu P-đầy đủ IT Chứng minh (i) Đầu tiên, ta xem xét hàm A-đo u = lim sup un n→∞ Để chứng minh u IT -đo được, ta cần chứng tỏ u bất biến, nghĩa 20 u(T (ω)) = u(ω) với ω ∈ Ω Với n ≥ ω ∈ Ω, ta có un+1 (ω) = n X(ω) + un (T (ω)) n+1 n+1 Lấy lim sup hai vế n → ∞, ta có điều phải chứng minh (ii) Ta xét biến cố sau A∞ = {ω ∈ Ω : X(ω) = +∞} Nếu P(A∞ ) = ta thu điều phải chứng minh Trong trường hợp P(A∞ ) > 0, áp dụng Định lý hồi qui Poincaré (Poincaré Recurrence Theorem) cho biến cố A∞ , ta suy với hầu khắp ω ∈ A∞ (trừ điểm thuộc tập có xác suất 0), tồn k ≥ cho T k (ω) ∈ A∞ , nghĩa X(T k (ω)) = +∞ Từ đó, với n > k , ta có un+1 (ω) = un (ω) = +∞ Điều kéo theo u(ω) = u(T (ω)) với hầu khắp ω ∈ Ω (trừ điểm thuộc tập có xác suất 0) Kết hợp điều với Mệnh đề 2.1.3, ta thu tính ITP -đo u Đối với tính đo lim inf un , ta chứng minh hoàn toàn tương n→∞ tự 2.1.5 Định lý Giả sử T : Ω → Ω phép biến đổi bảo toàn độ đo khơng gian xác suất (Ω, A, P) Khi đó, với biến ngẫu nhiên tựa khả tích nhận giá trị thực mở rộng, có lim n→∞ n n−1 X(T i (ω)) = E(X|IT )(ω) h.c.c i=0 (trong đó, hai vế nhận giá trị +∞ −∞) Chứng minh Do biến ngẫu nhiên X tựa khả tích nên ta cần chứng minh cho phần khơng khả tích X Từ đó, khơng tính tổng qt, ta giả sử X biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương Ta cần chứng minh 21 hai bất đẳng thức sau đây: lim inf un (ω) ≥ E(X|IT )(ω) h.c.c (2.1.1) lim sup un (ω) ≤ E(X|IT )(ω) h.c.c (2.1.2) n→∞ n→∞ theo Định lý 2.1.4, biến cố tương ứng nêu bất biến Đầu tiên, ta chứng minh (2.1.1) Với số nguyên m ≥ 1, ta xem xét biến ngẫu nhiên Xm xác định Xm (ω) = X(ω) X(ω) ≤ m, trái lại Do Xm khả tích nên áp dụng Định lý ergodic Birkhoff (Bổ đề 2.1.1) ta thu lim inf un (ω) ≥ lim inf n→∞ n→∞ n n−1 Xm (T i (ω)) = E(Xm |IT )(ω) i=0 Cho m → ∞ sử dụng định lý hội tụ đơn điệu cho kỳ vọng có điều kiện (Tính chất 1.5.2(9)), thu (2.1.1) Tiếp theo, chứng minh (2.1.2) Theo Định lý 2.1.4, hai vế (2.1.2) IT -đo được, bất đẳng thức tương đương với B với B ∈ IT Nếu B n−1 lim sup n→∞ n X(T i (ω)) dP ≤ (2.1.3) B i=0 B X(ω)dP X(ω)dP = +∞ (2.1.3) hiển nhiên Nếu X(ω)dP < +∞ biến ngẫu nhiên X.IB khả tích Do IB IT -đo nên bất biến Điều dẫn tới B lim sup n→∞ n n−1 i X(T (ω)) dP = Ω i=0 = lim sup n→∞ n lim inf Ω n→∞ n n−1 (X.IB )(T i (ω)) dP i=0 n−1 (X.IB )(T i (ω)) dP i=0 22 Đẳng thức thứ hai suy từ đẳng thức lim sup lim inf Thật vậy, giới hạn dãy n n−1 (X.IB )(T i (ω)) tồn với ω ∈ Ω i=0 E(X.IB |IT )(ω) (theo Bổ đề 2.1.1) Từ đó, theo bổ đề Fatou (Tính chất 1.5.2(10)) ta có lim sup n→∞ n B n−1 i X(T (ω)) dP ≤ lim inf n→∞ i=0 Ω n n−1 (X.IB )(T i (ω)) dP i=0 (2.1.4) Tiếp theo, áp dụng định lý ergodic Birkhoff hội tụ theo trung bình cho biến ngẫu nhiên X.IB , ta suy dãy n n−1 i=0 (X.IB ) :n≥1 hội tụ theo trung bình tới E(X.IB |IT ), nghĩa lim n→∞ Ω n n−1 (X.IB )(T i (ω)) − E(X.IB |IT )(ω) dP = i=0 Do B ∈ IT nên đẳng thức kéo theo lim n→∞ Ωn n−1 (X.IB )(T i (ω))dP = E(X.IB |IT )(ω)dP = Ω i=0 X(ω)dP B Kết hợp điều với (2.1.4), ta thu (2.1.2) 2.2 Định lý ergodic phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận Đầu tiên, giới thiệu số khái niệm tính chất liên quan đến phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận 2.2.1 Định nghĩa ([6]) Phép biến đổi T : Ω → Ω gọi dừng trung bình tiệm cận (asymptotically mean stationary) khơng gian xác suất (Ω, A, P) dãy n n−1 j=0 P(T −j (A)) hội tụ, với A ∈ A 23 2.2.2 Tính chất (i) Nếu T : Ω → Ω dừng trung bình tiệm cận n−1 P(T −j ) n→∞ n j=0 theo Định lý Vitali-Hahn-Saks, lim độ đo xác suất (ii) Theo [7, Định lý 4.10], phép biến đổi T dừng trung bình tiệm cận (Ω, A, P) với biến ngẫu nhiên giá trị thực, bị chặn X , lim n→∞ n n−1 X(T i (ω)) tồn h.c.c (2.2.1) i=0 2.2.3 Chú ý Khi kết luận (2.2.1) mà không cần giả thiết tính bảo tồn độ đo phép biến đổi T ta nói ta thu định lý ergodic Birkhoff dạng tổng quát biến ngẫu nhiên X 2.2.4 Định nghĩa ([6]) Độ đo xác suất xác định Tính chất 2.2.2(i) gọi trung bình tiệm cận (asymptotic mean) P ký hiệu P 2.2.5 Mệnh đề Nếu T : Ω → Ω phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận khơng gian xác suất (Ω, A, P) T bảo tồn độ đo (Ω, A, P ) Chứng minh Với A ∈ A, ta có P (T −1 (A)) = lim n→∞ n n→∞ n n−1 P(T −j (T −1 (A))) j=0 n−1 P(T −j−1 (A)) = lim j=0 n P(T −j (A)) n→∞ n j=1   n−1 P(T −n (A)) − P(A)  = lim  P(T −j (A)) + n→∞ n n = lim j=0 (2.2.2) 24 Do ≤ P(T −n (A))−P(A) n ≤ n → n → ∞, nên P(T −n (A)) − P(A) lim = n→∞ n Kết hợp điều với (2.2.2), ta thu   n−1 P(T −n (A)) − P(A) −1 −j   P (T (A)) = lim P(T (A)) + lim n→∞ n→∞ n n j=0 = P (A) + = P (A) Mệnh đề chứng minh Sau định lý ergodic Birkhoff dạng tổng quát ứng với lớp biến ngẫu nhiên P -tựa-khả tích 2.2.6 Định lý Giả sử T : Ω → Ω phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận không gian xác suất (Ω, A, P) Giả sử X biến ngẫu nhiên giá trị thực mở rộng P -tựa-khả tích Khi đó, lim n→∞ n n−1 X(T i (ω)) = E (X|IT )(ω) h.c.c.(ứng với độ đo P P ), i=0 vế +∞ −∞, E (X|IT ) ký hiệu kỳ vọng có điều kiện xác định không gian (Ω, A, P ) Chứng minh Chúng ta sử dụng ký hiệu chứng minh Định lý 2.1.5 Do T phép biến đổi dừng trung bình tiệm cận (Ω, A, P) với trung bình dừng P nên T phép biến đổi bảo toàn độ đo ứng với độ đo P (theo Mệnh đề 2.2.5) Vì vậy, theo Định lý 2.1.4(ii) ta suy tính ITP -đo lim inf un lim sup un Điều cho phép n→∞ n→∞ áp dụng kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 2.1.5, thay P P 25 Tiếp theo, giới thiệu số điều kiện cần đủ để thu định lý ergodic dạng tổng quát 2.2.7 Định lý Giả sử T : Ω → Ω phép biến đổi đo Khi đó, phát biểu sau tương đương (i) T dừng trung bình tiệm cận (Ω, A, P) (ii) Với biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng, khơng âm X , ta có lim n→∞ n n−1 X(T i (ω)) tồn h.c.c (2.2.3) i=0 (iii) Với biến ngẫu nhiên giá trị thực, không âm, P-khả tích P -khả tích, ta thu kết luận (2.2.3) (iv) Với biến ngẫu nhiên giá trị thực, bị chặn X , ta thu kết luận (2.2.3) (v) Với A ∈ A, ta thu (2.2.3) thay X IA Chứng minh Phép kéo theo (i) ⇒ (ii) suy từ Định lý 2.2.6 Thật vậy, biến ngẫu nhiên không âm tựa khả tích ứng với độ đo xác suất Phép kéo theo (ii) ⇒ (iii) suy từ giả thiết (iii) trường hợp đặc biệt (ii) Để chứng minh phép kéo theo (iii) ⇒ (iv), ta quan sát thấy biến ngẫu nhiên bị chặn viết dạng X = X + − X − áp dụng phát biểu (iii) cho X + X − Do IA biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết (iv) nên ta thu phép kéo theo (iv) ⇒ (v) Cuối cùng, phép kéo theo (v) ⇒ (i) suy từ Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue (xem chứng minh [7, Định lý 4.10]) Kết sau hệ Định lý 2.2.7 xem xét Ω không gian Polish với σ -đại số Borel Chúng ta nhắc lại 26 không gian tôpô Ω đươc gọi Polish tồn metric tương đương d cho không gian (Ω, d) đầy đủ khả ly 2.2.8 Định lý Giả sử Ω không gian Polish A = B(Ω) σ -đại số Borel Ω Khi đó, phát biểu sau tương đương (i) T dừng trung bình tiệm cận (Ω, A, P) (ii) Với tập mở G Ω, ta thu (2.2.3) thay X IG (iii) Với hàm X : Ω → R không âm nửa liên tục dưới, ta thu (2.2.3) Chứng minh Do tương đương (i) ⇔ (ii) Định lý 2.2.7 hàm nửa liên tục đo Borel nên ta suy phép kéo theo (i) ⇒ (iii) Phép kéo theo (iii) ⇒ (ii) rõ ràng, hàm tiêu tập mở hàm nửa liên tục Cuối cùng, ta chứng minh phép kéo theo (ii) ⇒ (i) Ta cần chứng minh (ii) Định lý 2.2.8 kéo theo (v) Định lý 2.2.7 Ta xét A ∈ A = B(Ω) and α > Do độ đo xác suất không gian metric qui (xem [3, Định lý 1.1]) nên tồn tập đóng F tập mở G cho F ⊆ A ⊆ G P (G \ F ) ≤ α Tiếp theo, đặt un (ω, A) = n n−1 IA (T i (ω)), n ≥ 1, ω ∈ Ω, A ∈ A, i=0 v(ω, A) = lim inf un (ω, A) n→∞ w(ω, A) = lim sup un (ω, A) n→∞ Từ Định lý 2.1.4, có v(·, A) w(·, A) ITP -đo Hơn nữa, theo giả thiết ta suy hai đẳng thức sau thỏa mãn P -hầu 27 chắn: E (IF |IT )(ω) = lim un (ω, F ) n→∞ E (IG |IT )(ω) = lim un (ω, G) n→∞ Từ đó, E (IF |IT )(ω) ≤ v(ω, A) ≤ w(ω, A) ≤ E (IG |IT )(ω) Do đó, (w(ω, A) − v(ω, A)) dP ≤ Ω E (IG − IF |IT )(ω)dP Ω (IG − IF )(ω)dP = Ω = P (G \ F ) ≤ α Do điều với α > nên ta suy v(ω, A) = w(ω, A) với P -hầu chắn (và P-hầu chắn) 2.2.9 Chú ý Ta thấy phép biến đổi T dừng trung bình tiệm cận (Ω, A, P) T khơng bảo tồn theo độ đo P giới hạn Cesaro xuất Định lý 2.2.6 khơng E(X|IT ), với kỳ vọng có điều kiện xác định (Ω, A, P) Chính xác hơn, X P -tựa-khả tích, giới hạn Cesaro E (X|IT ), với kỳ vọng có điều kiện xác định (Ω, A, P ) khơng E(X|IT ) Ví dụ sau chứng tỏ điều Ta xem xét tập Ω = {0, 1}; σ -đại số tương ứng xác định A = {∅, {0}, {1}, Ω}; ánh xạ đồng X : Ω → Ω phép biến đổi T : Ω → Ω xác định T (0) = 0, T (1) = Khi đó, σ -đại số tập bất biến IT = {∅, Ω} Hơn nữa, xét độ đo xác suất P (Ω, A) cho P({0}) = p0 P({1}) = p1 với p0 > 0, p1 > có tổng Rõ 28 ràng, T khơng bảo toàn theo độ đo P Ngoài ra, với số nguyên n ≥ A ∈ A, có n n−1 P(ω ∈ T −i i=0 (A)) = n n−1 P(T i (ω) ∈ A) i=0 dãy hội tụ tới P(0 ∈ A) Hệ tồn P (A) thỏa mãn ∈ A, trái lại P (A) = Từ đó, thấy T dừng trung bình tiệm cận khơng gian (Ω, A, P) trung bình dừng tương ứng P độ đo Dirac 0, ký hiệu δ0 Mặt khác, với n ≥ 1, trung bình Cesaro n n−1 X(T (ω)) = n n−1 i i=0 T i (ω) = i=0 ω = 0, n ω = Vì vậy, giới hạn trung bình Cesaro tồn với ω ∈ Ω Ta kiểm tra E(X|IT ) = EX = p1 E (X|IT ) = E (X) = 2.2.10 Chú ý Như thấy, phát biểu (iii) Định lý 2.2.8 suy với hàm liên tục, dương X : Ω → R, ta thu định lý ergodic Birkhoff Tuy nhiên, ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại không Theo Định lý 2.2.8, ta cần chứng tỏ định lý ergodic Birkhoff cho hàm liên tục, khẳng định sai cho hàm nửa liên tục Xét dãy số thực {ωn : n ≥ 1} cho dãy hội tụ tới điểm ω∞ Chúng ta đặt Ω = {ωn : n ≥ 1} ∪ {ω∞ } giả sử chúng đôi khác Ta định nghĩa phép biến đổi đo T sau T (ωn ) = ωn+1 với n ∈ N T (ω∞ ) = ω∞ 29 Độ đo xác suất P Ω yêu cầu thỏa mãn P({ωn }) > với n ∈ N Rõ ràng, với ω ∈ Ω, T n (ω) hội tụ tới ω∞ n → ∞ Do đó, với hàm liên tục f xác định Ω, ta có f (ω∞ ) = lim f (T n (ω)), n→∞ mà biết, điều kéo theo f (ω∞ ) = lim n→∞ n n−1 f (T i (ω)) i=0 Tiếp theo, ta xét hàm g xác định Ω định nghĩa g(ω∞ ) = với n ∈ N, g(ωn ) = 2k n = 2k , trái lại Rõ ràng g hàm nửa liên tục Ω Tuy nhiên, g(ω∞ ) = = lim inf g(ωn ) < lim sup g(ωn ) = +∞, n→∞ n→∞ nên g không liên tục ω∞ Mặt khác, ta kiểm tra rằng, với ω ∈ Ω \ {ω∞ }, ta có 1 = lim inf n→∞ n n−1 g(T (ω)) < lim sup n→∞ n n−1 i i=0 g(T i (ω)) = i=0 Điều chứng tỏ định lý ergodic Birkhoff không thỏa mãn với g xác định 30 KẾT LUẬN I Kết đạt Luận văn thu số kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm lý thuyết xác suất ergodic biến cố xác suất, biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phép biến đổi bảo toàn độ đo, tập bất biến hàm bất biến, định lý ergodic Birkhoff cổ điển khái niệm, tính chất liên quan 2) Trình bày chứng minh chi tiết số định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích Phép biến đổi T giả thiết bảo toàn độ đo dừng trung bình tiệm cận Đây kết công bố báo C Hess, R Seri C Choirat ([6]) đăng tạp chí Stochastic Processes and their Applications II Hướng phát triển luận văn - Tiếp tục nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích cấu trúc nhiều phép biến đổi - Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng kết trình bày luận văn vào biến đổi thống kê 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Tiếng nước [3] P Billingsley (1968), Convergence of probability measures, John Wiley & Sons Inc., New York [4] G D Birkhoff (1931), “Proof of the ergodic theorem”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 17 (12), 656-660 [5] L Breiman (1992), Probability, in: Classics in Applied Mathematics, 7, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, corrected reprint of the 1968 original [6] C Hess, R Seri and C Choirat (2010), “Ergodic theorems for extended real-valued random variables”, Stochastic Processes and their Applications, 120, 1908-1919 [7] U Krengel (1985), Ergodic theorems, Walter de Gruyter Studies in Mathematics, 6, Berlin-New York 32 [8] J v Neumann (1932), “Proof of the quasi-ergodic hypothesis”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 18 (1), 70-82 ... cứu cho luận văn : ? ?Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng? ?? Mục đích nghiên cứu Nắm số định lý ergodic Birkhoff biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng tựa khả tích... điều kiện biến ngẫu nhiên 14 1.6 Một số khái niệm lý thuyết ergodic 16 Chương Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng 2.1 Định lý ergodic phép biến đổi... Một số định lý ergodic biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng Chương nội dung luận văn Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu định lý ergodic biến ngẫu nhiên tựa khả tích nhận giá trị thực mở