Luật yếu số lớn cho mảng các phân tử ngẫu nhiên với chỉ số ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian banach

1 MỤC LỤC Mở đầu KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.1.1 Đại số σ - đại số 1.1.2 σ - đại số sinh lớp σ - đại số Borel 1.1.3 Không gian đo độ đo xác suất 1.1.4 Các tính chất xác suất 1.2 ÁNH XẠ ĐO ĐƯỢC VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Ánh xạ đo 1.2.2 Biến ngẫu nhiên 1.3 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 1.4 CÁC DẠNG HỘI TỤ 11 1.5 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 13 1.6 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 14 1.7 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 15 1.7.1 Bất đẳng thức cr 15 1.7.2 Bất đẳng thức Jensen 15 1.7.3 Bất đẳng thức maximal 15 1.7.4 Bất đẳng thức Kolmogorov 16 1.7.5 Bổ đề Toeplitz 16 LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VỚI CHỈ SỐ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 17 2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ BỔ ĐỀ 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Bổ đề 17 2.1.3 Định nghĩa 18 2.1.4 Định nghĩa 18 2.1.5 Bổ đề 19 2.2 KẾT QUẢ CHÍNH 19 2.2.1 Định lí 19 2.2.2 Hệ 26 2.2.3 Hệ 28 2.2.4 Hệ 29 2.3 MỘT SỐ CHÚ Ý 30 2.3.1 Chú ý 30 2.3.2 Chú ý 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Ngày nay, ngành Xác suất thống kê phát triển mạnh mẽ Luật Số Lớn nghiên cứu có nhiều kết tốt cho biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên Luật số lớn cho phần tử ngẫu nhiên tiếp tục nghiên cứu mở rộng cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối độc lập theo hàng Đi theo hướng chúng tơi lựa chọn đề tài: "Luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên với số ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach" Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên, đặc trưng phần tử ngẫu nhiên, khái niệm hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên, khái niệm không gian Rademacher dạng p, luật yếu số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, định lí hội tụ chúng tơi trình bày số bất đẳng thức bất đẳng thức cr , bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal, bất đẳng thức Kolmogorov bổ đề Toeplitz phục vụ cho việc chứng minh kết luận văn Chương Luật yếu số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên với số ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach Trong chương chúng tơi trình bày tiết Tiết thứ chúng tơi trình bày khái niệm Tn = Op (αn ), khái niệm bị chặn ngẫu nhiên mảng phần tử ngẫu nhiên, hai bổ đề Tiết thứ hai chúng tơi trình bày kết luận văn định lí (2.2.1) hệ Tiết thứ ba chúng tơi trình bày số ý Luận văn hoàn thành Đại Học Vinh hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Thống Kê Tốn Học, trường Đại Học Vinh, nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả trình học tập thực Luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban chủ nhiệm thầy cô, Khoa sau đại học - Đại Học Vinh, Sở GD - ĐT Nghệ An, thầy cô, người thân bạn bè đồng nghiệp trường THPT Diễn Châu tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ quý báu đó! Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Đại số σ - đại số Giả sử Ω = ∅ P(Ω) họ tất tập Ω Mỗi họ C ⊂ P(Ω) gọi lớp Định nghĩa Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số Ω ∈ A A ∈ A ⇒ Ω\A ∈ A A, B ∈ A ⇒ A B ∈ A Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ - đại số Ω ∈ F A ∈ F ⇒ AC = Ω\A ∈ F ∞ An ∈ F An ∈ F(∀n = 1, 2, ) ⇒ n=1 Chẳng hạn, dễ thấy lớp A = {∅, Ω}, F = P(Ω) σ - đại số Tính chất Từ định nghĩa trên, suy tính chất sau Trong điều kiện định nghĩa thay điều kiện A ∞ A B ∈ A An ∈ F n=1 B∈A ∞ An ∈ F n=1 Nếu A đại số A, B ∈ A, A ⊂ B B\A ∈ A Nếu F σ - đại số F đại số Giao họ đại số (σ - đại số) đại số (σ - đại số) 1.1.2 σ - đại số sinh lớp σ - đại số Borel Định nghĩa Giả sử C ∈ P(Ω) Khi đại số(σ - đại số) bé chứa C gọi đại số (σ - đại số) sinh C , kí hiệu A(C) (hay σ(C)) Định lí Với C ∈ P(Ω), A(C) (σ(C)) tồn Định nghĩa Giả sử (X , T ) không gian tơpơ, σ - đại số sinh T gọi σ - đại số Borel kí hiệu B(X ) Vậy B(X ) = σ(T ) Nhận xét Nếu U sở T B(X ) = σ(T ) = σ(U) 1.1.3 Không gian đo độ đo xác suất Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng, F σ - đại số tập Ω Khi đó, cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) ≤ với ∀A ∈ F (tính khơng âm) (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa) (iii) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, ), Ai P( ∞ n=1 An ) = ∞ n=1 P(An ) Aj = Ai Aj = ∅(i = j) (tính cộng tính đếm được) Các điều kiện (i)-(iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp (không gian BCSC) σ - đại số F gọi σ - đại số biến cố Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố khơng thể có Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu A B = AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất khơng biến cố Các tính chất xác suất 1.1.4 Giả sử A, B, C, biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: P(∅) = Nếu AB = ∅ P(A B) = P(A) + P(B) P(A) = − P(A) Nếu A ⊂ B P(A \ B) = P(A) − P(B) P(A) ≤ P(B) B) = P(A) + P(B) − P(AB) P(A n P( n P(Ak ) − (Ak )) = k=1 k=1 P(Ak Al Am ) − P(Ai Aj ) + 1≤k C số không j=1 phụ thuộc n Chứng minh Đặt Fn = σ(V1 , V2 , V3 , , Vn ), n ≥ Khi n Vj , F n , n ≥ martingale dãy j=1 p n Vj , Fn , n ≥ , martingale j=1 p n Áp dụng bất đẳng thức Kolmogorov cho dãy Vj , Fn , n ≥ , j=1 với n ≥ 1, t > P ≤ max 1≤k≤n j=1 E 2.2 2.2.1 p k k Vj > t p n Vj j=1 ≤ C =P n max 1≤k≤n j=1 Vj > E Vj p j=1 KẾT QUẢ CHÍNH Định lí Giả sử {Vnj , j ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng không gian Rademacher loại p với p ∈ [1; 2] 20 {Vnj , j ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên V {an , n ≥ 1} {bn , n ≥ 1} dãy số với an = 0, bn > 0, n ≥ thỏa mãn bn |an | dãy tăng n n |aj | = p o(bpn ), j=1 bpj n p |aj | = O(n |an | ), j=1 j=1 j |aj |p bpn =O n p |aj | j=1 (2.4) {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương ≤ αn → ∞ số cho Tn = Op (αn ) (2.5) Giả thiết với số < λ < ∞, tồn dãy số nguyên {Kn , n ≥ 1} cho λαn Kn ≥ αn , n ≥ 1, b−p αn Kn b−p Kn p |aj | = O j = |aj |p (2.6) j=1 Khi đó, nP ||DV | | > bn |an | (2.7) = o(1) D thỏa mãn (2.3), ta có luật yếu số lớn: Tn aj (Vnj − E(Vnj I(||Vnj | | ≤ b j=1 αn / a αn P b − → 0, n → ∞ αn λαn Nhận xét: Với < λ < ∞, λαn = O(b αn p αn |aj | = O j=1 b ))) |aj |p j=1 ) (2.6) thỏa mãn với Kn = αn , n ≥ Kn = λαn , n ≥ tương ứng (2.8) 21 bn , Unj |an | Chứng minh Đặt c0 = 0, cn = = Vnj I(||Vnj | | ≤ cαn ), j ≥ 1, n ≥ Trước hết, ta chứng minh Tn aj (Vnj − Unj ) j=1 P b − → 0, n → ∞ (2.9) αn Giả sử ε1 > ε2 > tùy ý Từ giả thiết(2.5) ta chọn λ0 > cho: Tk > λ0 αk supP k≥1 ≤ ε2 Vì với n ≥ 1, Tn aj (Vnj − Unj ) P j=1 b > ε1 αn Tn ≤P Tn aj Vnj = j=1 aj Unj j=1 Tn Tn =P aj Vnj = aj Unj j=1 j=1 Tn Tn =P aj Vnj = j=1 j=1 Tn Tn +P aj Vnj = j=1 Ω aj Unj Tn ≤ λ0 αn aj Unj Tn > λ0 αn j=1 λ αn ≤P ||Vnj | | > c αn + ε2 (Do(2.10)) j=1 Tn Tn P aj Vnj = j=1 aj Unj Tn ≤ λ0 αn j=1 Tn +P Tn aj Vnj = j=1 aj Unj j=1 Tn > λ0 αn (2.10) 22 λ αn ≤P ||Vnj || | > c αn + ε2 j=1 λ0 αn ≤ P {||Vnj | | > c αn } + ε2 (Do(2.4)) j=1 Ta có: λ αn − λ0 αn λ0 αn −1< −1≤ −1 λ0 αn λ0 αn λ0 αn αn − αn λ0 αn αn − αn ⇔ − < −1≤ , αn λ0 αn λ αn αn ≤ αn → ∞, n → ∞, nên αn − αn → 0, n → ∞; → 0, n → ∞ αn λ αn λ0 αn ⇒ − → 0, n → ∞ λ0 αn ⇒ λ0 αn = (1 + o(1))λ0 αn , n → ∞ Do đó: D λ0 αn P {||DV | | > cαn } + ε2 = (1 + o(1))Dλ0 αn P {||DV | | > c Theo (2.7), nP ||DV | | > bn |an | αn } + ε2 = nP {||DV | | > cn } = o(1) ⇒ (1+o(1))Dλ0 αn P {||DV | | > c αn } + ε2 =o(1)+ε2 Vậy (2.9) chứng minh Ta chứng minh Tn aj (Unj − EUnj ) j=1 P b − → 0, n → ∞ (2.11) αn Lấy ε1 > 0, ε2 > tùy ý λ0 thỏa mãn (2.10) Giả sử {Kn , n ≥ 1} 23 dãy số nguyên tương ứng với λ0 thỏa mãn (2.6) Với n ≥ ta có Tn aj (Unj − EUnj ) j=1 P b > ε1 αn Tn aj (Unj − EUnj ) j=1 ≤P b λ αn > ε1 Tn ≤ λ0 αn k ≤P aj (Unj − EUnj ) > ε1 b k=1 + P {Tn > λ0 αn } αn αn + ε2 j=1 (Do (2.10)) Ta có: λ αn k aj (Unj − EUnj ) > ε1 b P αn j=1 k=1 k =P aj (Unj − EUnj ) > ε1 b max 1≤k≤ λ0 αn j=1 p k =P aj (Unj − EUnj ) max 1≤k≤ λ0 αn αn > εp1 bpα n j=1 (do bổ đề 2.1.5) C ≤ p p ε1 b α λ αn |aj |p E Unj − EUnj n p j=1 Áp dụng Bất đẳng thức cr ta có: λ αn E Unj − EUnj j=1 ≤ 2p p λ0 αn ≤ cp (E Unj p + EUnj p ) j=1 λ0 αn j=1 (E Unj p , (vì cp = max{1, 2p−1 } = 2p−1 , với ≤ p ≤ 2) (2.12) 24 Ta có: C p p ε1 b α λ0 αn |aj |p E Unj − EUnj p j=1 n C2p ≤ p p ε1 b α λ0 αn C2p = p p ε1 b α λ αn C2p ≤ p p ε1 b α λ0 αn |aj |p E Unj p j=1 n |aj |p E Vnj I(||Vnj | | ≤ c p ) αn j=1 n |aj |p (E Vnj I(||Vnj | | ≤ c αn ) p + cpα P { Vnj > c n αn }) j=1 n Ta có: c c αn αn ptp−1 P {||Vnj | | > t} dt = pP { Vnj > t} dtp 0 c = cpα P { Vnj > c n αn αn d(1 − P { Vnj ≤ t}) }− c αn = cpα P { Vnj > c n αn dF }+ = cpα n P { Vnj > c αn } + E Vnj p I(||Vnj | | ≤ c αn ) Vậy C2p εp1 bpα λ αn n = ≤ |aj |p (E Vnj j=1 c C2p p I(||Vnj | | ≤ c αn ) + cpα P { Vnj > c n αn ptp−1 P { Vnj > t} dt εp1 bpα n CD2p εp1 bpα n λ αn ck αn |aj |p j=1 ptp−1 P { DV > t} dt j=1 c k−1 αn }) 25 ( (2.3) nên P { Vnj > t} ≤ DP { DV > t}) CD2p λ αn |aj |p εp1 bpα n ≤ ≤ C bpKn C bpKn ck αn ptp−1 P { DV > t} dt (do(2.6)) j=1 j=1 c k−1 Kn ck Kn p ptp−1 P { DV > t} dt |aj | j=1 k=1ck−1 Kn Kn p |aj | j=1 k=1 ck p − ck−1 p kP { DV > ck−1 } k Với n ≥ 2, bpn = ≤ = = n n p |aj | j=1 bpn bpn bpn bpn k=1 n p |aj | j=1 n p |aj | j=1 n p |aj | j=1 n p |aj | j=1 cpk − cpk−1 k cpn + n cpn + n n−1 k=1 n k=1 bpn + n |an |p cpk k(k + 1) cpk k2 n k=1 bpn +O n |an |p bpk |ak |p k bpn n j=1 n = |aj |p j=1 n |aj |p + p O( bn bpn n |aj | j=1 = O(1) + O(1) = O(1), (do (2.4)), mà bpn n j=1 ) p |aj |p → 0, n → ∞ |aj |p 26 bpn ⇒ n cpk −cpk−1 k |aj |p j=1 → 0, n → ∞, với k ≥ Với n ≥ 2, nP { DV > cn−1 } = n−1 1+ (n − 1)P { DV ≥ cn−1 } = (1 + o(1))(n − 1)P { DV > cn−1 } = o(1) (do (2.7)) Vì Kn ≥ αn → ∞ n → ∞ nên bpn bpn Kn Kn p |aj | j=1 k=1 cpk Kn p |aj | j=1 cpk − cpk−1 = O(1), k − cpk−1 k → 0, n → ∞, kP { DV > ck−1 } → 0, k → ∞ Áp dụng bổ đề Toeplitz, ta có: bpn Kn p Kn |aj | j=1 Vậy C bpn k=1 Kn cpk −cpk−1 kP { k |aj |p j=1 Kn k=1 DV > ck−1 } = o(1), n → ∞ cpk −cpk−1 kP { k DV > ck−1 } + o(1) = o(1) + o(1) = o(1) Vậy (2.11) chứng minh 2.2.2 Hệ Giả sử {Vnj , j ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập theo hàng, phân phối nhận giá trị không gian Rademacher loại p với ≤ p ≤ 2, {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn: Tn = Op (n) (2.13) nP { V11 | > n} = o(1) (2.14) Khi đó, 27 ta có luật yếu số lớn Tn j=1 n − Tn P E(V11 I(||V11 | | ≤ n)) − → 0, n → ∞ n (2.15) Chứng minh Đặt an = 1, bn = αn = n, n ≥ n p ⇒ |aj | = n = n o(bpn ), j=1 n j2 j=1 |aj |p = n = O(n |an |p ), j=1 bpj p j |aj | n = j=1 bpj = O n bpn p (tức dãy số thỏa mãn (2.4)) |aj | j Với < λ < ∞ tồn Kn = n λn b−p n |aj |p = b−p λn , n j=1 n b−p n |aj |p = nb−p n điều kiện (2.5) thỏa mãn j=1 Tn Áp dụng định lí (2.2.1) ta có, aj (Vnj −E(Vnj I(||Vnj ||≤b αn /|a αn j=1 b αn |))) P − → 0, Tn V11 n → ∞ hay j=1 n Tn − P E(V11 I(||V11 | | ≤ n) − → 0,khi n → ∞ j=1 Tn Vnj hay j=1 n − Tn n E(V11 I(||V11 | | P ≤ n)) − → 0, n → ∞ Chú ý Nếu E ||V11 | | < ∞ EV11 = điều kiện hệ (2.2.2) V11 I(||V11 | | ≥ n) bị chặn, E(V11 I(||V11 | | ≥ n)) < ∞, V11 I(||V11 | | < n) → V11 Áp dụng định lí Lebesgue hội tụ bị chặn ta có: lim E(V11 I(||V11 | | ≥ n)) = EV11 = n→∞ Mặt khác: Tn = Op (n) ⇔ lim supP λ→∞ n ⇒ Tn n E(V11 I(||V11 | | P Tn n ≥ n)) − → 0, n → ∞ >λ =0 28 Khi đó, ta có: Tn Vnj j=1 P n 2.2.3 − → 0, n → ∞ (2.16) Hệ Với giả thiết hệ (2.2.2), EV11 = (2.15) thỏa mãn Chứng minh Nếu lim E(V11 I(||V11 | | ≤ n)) = n→∞ từ (2.12) Tn n E(V11 I(||V11 | | (2.17) P ≥ n)) − → 0, n → ∞ Khi ta có (2.15) Ta chứng minh (2.16) Theo định lí Orlicz - Petis ( xem, e.g, Pettis, 1938; Hille and Phillips 1957, p.78; hoặc, Brooks 1969) phần tử ngẫu nhiên V11 cho EV11 tồn tại, hàm tập ν cho bởi: ν(A) = E(V11 I(A)), A ∈ F (nhận giá trị không gian Banach) hàm tập σ - cộng tính Từ giả thiết EV11 = ta có: lim E(V11 I(||V11 | | ≤ n)) n→∞ n = lim ν(||V11 | | ≤ n) = lim [ν(||V11 | | = 0) + n→∞ n→∞ ν(j − < ||V11 | | ≤ j)] j=1 ∞ = ν(||V11 | | = 0) + ν(j − < ||V11 | | ≤ j) j=1 ∞ = ν [||V11 | | = 0] [j − < ||V11 | | ≤ j] = ν(Ω) = EV11 = j=1 Vậy (2.16) chứng minh Chú ý: Từ chứng minh (2.16) ta thấy (2.15) thỏa mãn mà không cần quan tâm E ||V11 | | hữu hạn hay không hữu hạn 29 2.2.4 Hệ Giả sử {V, Vnj , j ≥ 1, n ≥ 1}, {an , n ≥ 1}, {bn , n ≥ 1}, {αn , n ≥ 1} {Tn , n ≥ 1} thỏa mãn giả thiết định lí 2.2.1, giả thiết thêm {bn } dãy tăng, αn = Op (1) Tn (2.18) Và b αn = O(b λαn (2.19) ), < λ < Ta có luật yếu số lớn Tn aj (Vnj − E(Vnj I(||Vnj | | ≤ b j=1 αn / a ))) αn P − → 0, n → ∞ (2.20) bTn Chứng minh Từ chứng minh định lí 2.2.1 ta cần chứng minh: b αn = Op (1) bTn (2.21) Lấy ε > tùy ý Bởi (2.17), tồn số < λ1 < cho: supP {Tn < λ1 αn } ≥ ε n≥1 Bởi (2.18), tồn số C cho: b ≥ Cb αn Khi với λ ≥ C n ≥ 1, [b [b αn > λb λ αn lim sup P [b λ→∞ n≥1 thỏa mãn αn λ αn , n ≥ > λbTn ] [Tn ≥ λ1 αn ] ⊆ ] = ∅ (vì bn dãy tăng) Vì vậy, lim supP αn λ→∞ n≥1 > λbTn ] [Tn ≥ λ1 αn ] b αn bTn