Kỳ vọng có điều kiện của phần tử ngẫu nhiên đa trị

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.2 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên 1.3 Phần tử ngẫu nhiên đa trị Kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị 11 2.1 Lát cắt đo 11 2.2 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 14 2.3 Kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị 21 2.4 Tính chất kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị 23 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Như biết lý thuyết xác suất môn nghiên cứu mà từ lâu nhiều nhà khoa học quan tâm Xuất phát từ trò chơi may rủi lý thuyết xác suất hình thành phát triển cách nhanh chóng trở thành chuyên nghành độc lập, lĩnh vực tốn học Ngày lý thuyết xác suất có tầm quan trọng lý thuyết ứng dụng Trong thập niên gần đây, lý thuyết xác suất đa trị xuất phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác : tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, Xác suất đa trị thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Chúng ta kể đến số nhà toán học tiếng như: Charles Castaing, Fumio Hiai, Gerald Beer Những kết thu xác suất đa trị mở rộng kết xác suất đơn trị Khi nghiên cứu lý thuyết xác suất đơn trị đặc trưng kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng Do đó, nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên đa trị tìm tính chất có ý nghĩa quan trọng lý thuyết xác suất Từ lý chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị Luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên đa trị kiến thức cần dùng cho nội dung Chương Chương Kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị Trong chương này, chúng tơi hệ thống hóa trình bày cách chi tiết kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành tới Thầy, Cơ giáo tổ Xác suất thống kê toán ứng dụng Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế mặt lực, kiến thức thời gian nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương đưa kiến thức biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, số kiến thức phần tử ngẫu nhiên đa trị sử dụng chương 1.1 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 Ánh xạ f : Rn → R gọi hàm đo f − (B) ∈ B(Rn ) với B ∈ B(R) (Trong : B(Rn ) σ− đại số bé chứa tập mở Rn ) 1.1.2 Ví dụ Giả sử Ω1 = ∅, F1 = P(Ω1 ); Ω2 = ∅, F2 σ− đại số Ω2 Khi ánh xạ X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) ánh xạ F1 /F2 đo 1.1.3 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ− đại số σ− đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G− đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G ) Khi X biến ngẫu nhiên F− đo được, X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G− đo biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễ thấy X biến ngẫu nhiên họ σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R)) lập thành σ− đại số sinh X Đó σ− đại số bé mà X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên G− đo σ(X) ⊂ G 1.1.4 Định lý X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn : (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F, ∀ a ∈ R (ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F, ∀ a ∈ R (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F, ∀ a ∈ R (iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F, ∀ a ∈ R 1.2 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Ω Nếu tồn E|X|p < ∞ (p > 0), ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt E|X| < ∞, X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Ta có tính chất sau kỳ vọng : 1.2.2 Định lý Kỳ vọng có tính chất sau : (1) Nếu X ≥ EX ≥ (2) Nếu X = c EX = c (3) Nếu tồn EX với c ∈ R, ta có E(cX) = cEX (4) Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY 1.2.3 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên G σ− đại số F Khi biến ngẫu nhiên Y gọi kỳ vọng có điều kiện X σ− đại số G i) Y biến ngẫu nhiên G− đo ii) Với A ∈ G , ta có Y dP = A XdP A Ta ký hiệu Y = E(X|G) Sau tính chất kỳ vọng có điều kiện : 1.2.4 Định lý Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên có tính chất sau : Nếu E|X| < ∞ tồn Y = E(X|G) Nếu X = c (hằng số) E(X|G) = E(c|G) = c (h.c.c) Nếu X ≥ Y (h.c.c) E(X|G) ≥ E(Y |G) (h.c.c) Với số a, b, ta có E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) Nếu X G độc lập E(X|G) = EX E[E(X|G)] = EX (h.c.c) Nếu X biến ngẫu nhiên G− đo E(X|G) = X Nếu G1 ⊂ G2 E(X|G1 ) = E[E(X|G1 )|G2 ] = E[E(X|G2 )|G1 ] (h.c.c) Nếu E|XY | < ∞, E|X| < ∞, X ∈ G E(XY |G) = XE(Y |G) (h.c.c) 1.3 Phần tử ngẫu nhiên đa trị Trong mục ta giả thiết (Ω, A, µ) không gian đo hữu hạn F σ - đại số A 1.3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) không gian đo được, X không gian mêtric Ánh xạ F : Ω → 2X từ không gian Ω vào không gian họ tất tập X gọi ánh xạ đa trị Khi tập : D(F ) = {ω ∈ Ω : F (ω) = ∅} G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ F (ω)}, gọi miền xác định đồ thị F , tập : F −1 (X) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ X = ∅, X ⊂ X}, nghịch ảnh X *) Ta ký hiệu K(X) = {X ⊂ X, X đóng, X = ∅} 1.3.2 Định nghĩa Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) gọi đo mạnh với tập đóng C X, F −1 (C) ∈ A Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) gọi đo (hay đo yếu) với tập mở O X, F −1 (O) ∈ A Một ánh xạ đa trị đo được gọi phần tử ngẫu nhiên đa trị *) Ký hiệu M[Ω; X] họ tất hàm đa trị đo F : Ω → X cho F (ω) tập đóng khác rỗng với ω ∈ Ω *) Với ≤ p ≤ ∞ ký hiệu Lp (Ω, A, µ; X) = Lp (Ω; X) không gian Banach hàm đo khả tích bậc p, f : Ω → X với chuẩn 1/p p ||f ||p = ||f (ω)|| dµ , ≤ p < ∞, Ω ||f ||∞ = ess sup ||f (ω)|| ω∈Ω *) Ký hiệu Lp (Ω, A, µ) = Lp khơng gian Banach hàm đo nhận giá trị thực 1.3.3 Ví dụ Cho Ω = [−1, 2] ⊂ R, X = R  −1      F (x) =      [−1, 1] Và ánh xạ F : Ω → K(R) Với x < x > x = Khi F phần tử ngẫu nhiên đa trị 1.3.4 Định lý Ánh xạ đa trị đo mạnh phần tử ngẫu nhiên đa trị Chứng minh Giả sử F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị đo mạnh, O tập mở X Ta đặt x ∈ X : d(x, Oc ) ≥ Cn = n Với Oc = X\O Do Oc tập đóng Oc = ∅ nên Oc ∈ K(X) Và d(x, Oc ) liên tục x Từ cách đặt ta có Cn = f −1 ∞ n , +∞ tập đóng Cn Thật vậy, ta lấy x ∈ O Cn tập đóng Bây ta chứng minh O = n=1 c c c x∈ / O nên d(x, O ) > Từ tồn n0 cho : d(x, O ) ≥ ∞ ∞ Do O ⊂ Cn nên O = n=1 Cn Ta có n=1 F −1 (O) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ O = ∅} ∞ = ω ∈ Ω : F (ω) Cn =∅ n=1 ∞ = ω∈Ω: (F (ω) ∩ Cn ) = ∅ n=1 ∞ F −1 (Cn ) ∈ A = n=1 Khi O = X, ta có F −1 (O) = Ω ∈ A n0 , ∞ nên x ∈ Cn n=1 1.3.5 Định lý Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian Banach khả ly Ánh xạ F : Ω → K(X) phần tử ngẫu nhiên đa trị Khi F có lát cắt đo f : Ω → X 1.3.6 Định lý Giả sử (Ω, A) không gian đo , X không gian mêtric khả ly F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị Ta xét điều kiện sau: (1) Với tập Borel B ⊂ X cho: F −1 (B) ∈ A (2) Với tập đóng C ⊂ X cho: F −1 (C) ∈ A (3) Với tập mở O ⊂ X cho: F −1 (O) ∈ A (4) Ánh xạ từ ω → d(x, F (ω)) hàm đo ω ∈ D(F ) với x ∈ X (5) G(F ) A × BX − đo được, BX trường Borel X Khi ta có kết luận sau: (i) (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇔ (4) ⇒ (5) (ii) Nếu X không gian đầy đủ A đầy đủ tương ứng với độ đo σ− hữu hạn điều kiện từ (1)-(5) tương đương Chứng minh (1) (1) ⇒ (2) hiển nhiên (2) ⇒ (3) Định lý 1.3.5 Bây ta chứng minh (3) ⇔ (4) Thật vậy, ta có F ánh xạ đo F −1 (B(x, α)) ∈ A với hình cầu mở B(x, α) X Mặt khác, ánh xạ ω → d(x, F (ω)) hàm đo với x ∈ X {ω : d(x, F (ω)) < α} đo với < α < +∞ Mà ta lại có F −1 (B(x, α)) = {ω : F (ω) ∩ B(x, α) = ∅} = {ω : d(x, F (ω)) < α} Do (3) ⇔ (4) Tiếp theo ta chứng minh (4) ⇒ (5) Giả sử {xn } dãy trù mật X α ≥ cố định Ta xác định dα (ω, x) = d(xn , F (ω)), (ω, x) ∈ Ω × [B(xn , 1/α)\ B(xm , 1/α)] m số δ > cho inf ||f (ω) − gij (ω)|| ≥ δ, ω ∈ A i,j Ta cố định giá trị nguyên i cho tập B = A ∩ {ω ∈ Ω : ||f (ω) − fi (ω)|| < δ/3}, có độ đo µ(B) > đặt gj = 1B f + 1Ω\B gij , j ≥ Khi ta có gj ⊂ M ||fi (ω) − gij (ω)|| ≥ ||f (ω) − gij (ω)|| − ||f (ω) − fi (ω)|| > 2δ/3, ω ∈ B Từ ta suy ||fi − gij ||pp − αip ≥ ||fi − gij ||pp − ||fi − gj ||pp (||fi (ω) − gij(ω)||p − ||fi (ω) − f (ω)||p )dµ = B ≥ (2δ/3)p − (δ/3)p µ(B) > 0, j ≥ Cho j → ∞ gặp mâu thuẫn Do ta có điều cần chứng minh 2.3.4 Định lý Giả sử F ∈ L1 [Ω; X] Khi tồn G ∈ L1 [Ω, F, µ; X] cho SG1 (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 } (2.3.4) 23 Chứng minh Đặt M = {E(f |F) : f ∈ SF1 } Từ dễ thấy M tập phân tích tương ứng với F Thật vậy, với f1 , f2 ∈ SF1 với A ∈ F Với ω ∈ A E(f1 (ω)|F), E(f2 (ω)|F) ∈ M , từ ta có 1A E(f1 |F) + 1Ω\A E(f2 |F) = E(f1 (ω)|F) ∈ M Tương tự với ω ∈ / A ta suy 1A E(f1 |F) + 1Ω\A E(f2 |F) = E(f2 (ω)|F) ∈ M Từ clM tập phân tích tương ứng với F Rõ ràng clM = ∅, bị chặn L1 (Ω, F, µ; X) Từ Bổ đề 2.1.3, 2.2.5, 2.3.3 suy tồn G ∈ L1 (Ω, F, µ; X) cho clM = SG1 (F) Do SG1 (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 } 2.3.5 Định nghĩa Cho F ∈ L1 [Ω; X], ta gọi G thỏa mãn (2.3.4) kỳ vọng có điều kiện hàm đa trị F F Ký hiệu G = E[F |F] 2.4 Tính chất kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.4.1 Định lý Kỳ vọng có điều kiện E[F |F] F ∈ L1 [Ω; X] có tính chất sau: (1) Ánh xạ F → E[F |F] không giãn từ L1 [Ω; X] vào L1 [Ω, F, µ; X], nghĩa ∆(E[F1 |F], E[F2 |F]) ≤ ∆(F1 , F2 ), với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X] 24 (2) E[F1 E[F2 |F], với F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X] F2 |F] = E[F1 |F] (3) E[ξF |F] = ξE[F |F] với F ∈ L1 [Ω; X], ξ ∈ L∞ (Ω, F, µ) (4) E[coF |F] = coE[F |F] với F ∈ L1 [Ω; X] Chứng minh Đặt G = E[F |F], G1 = E[F1 |F], G2 = E[F2 |F] với F, F1 , F2 ∈ L1 [Ω; X] 1) Ta xác định tập A = {ω ∈ Ω : sup d(x, G2 (ω)) ≥ sup d(x, G1 (ω))} x∈G1 (ω) x∈G2 (ω) Rõ ràng A tập đo Ta có ∆(E[F1 |F], E[F2 |F]) = ∆(G1 , G2 ) = ∆(G1 (ω), G2 (ω))dµ Ω = sup d(x, G2 (ω))dµ + sup d(x, G1 (ω))dµ A x∈G1 (ω) = sup d(g1 (ω), G2 (ω))dµ + (F) g1 ∈SG = Ω\A x∈G2 (ω) sup (F) g2 ∈SG + A sup = sup f1 ∈SF1 f2 ∈SF1 + sup sup f2 ∈SF1 + ||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ inf f2 ∈SF1 Ω\A ||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ inf f1 ∈SF1 Ω\A A f1 ∈SF1 ≤ (F) g1 ∈SG ||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ inf ||g1 (ω) − g2 (ω)||dµ inf (F) g2 ∈SG d(g2 (ω), G1 (ω))dµ Ω\A ||g1 (ω) − g2 (ω)||dµ inf (F) g1 ∈SG sup (F) g2 ∈SG A A sup ||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ inf f1 ∈SF1 f2 ∈SF1 Ω\A 25 Có bất đẳng thức ||E(f1 |F)(ω) − E(f2 |F)(ω)||dµ = A ||E(f1 − f2 |F)(ω)||dµ A ≤ E||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ A ≤ ||f1 (ω) − f2 (ω)||dµ A Từ ta có ∆(G1 , G2 ) = sup d(x, F2 (ω))dµ + A x∈F1 (ω) ≤ sup d(x, F1 (ω))dµ Ω\A x∈F2 (ω) δ(F1 (ω), F2 (ω))dµ = ∆(F1 , F2 ) Ω Do ∆(G1 , G2 ) ≤ ∆(F1 , F2 ) Đó điều phải chứng minh (2) Từ Định lý 2.3.4, ta có SE[F (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SF1 +F2 } +F2 |F] = cl{E(f |F) : f ∈ cl(SF1 + SF2 )} = cl{cl{E(f1 |F) + E(f2 |F) : f1 ∈ SF1 , f2 ∈ SF1 } 1 = cl{SE[F (F) + SE[F (F)} |F] |F] = SE[F (F) |F]+E[F2 |F] Từ Bổ đề 2.3.3, ta suy E[F1 + F2 |F] = E[F1 |F] + E[F2 |F] (3) Giả sử ξ ∈ L∞ (Ω, F, µ), từ SξF = ξSF1 , ta có SE[ξF |F](F) = cl{E(ξf |F) : f ∈ SF1 } = cl{ξE(f |F) : f ∈ SF1 } SξE[F |F](F) = ξcl{E(f |F) : f ∈ SF1 } 26 Ta cần chứng minh cl{E(ξf |F) : f ∈ SF1 } = ξcl{E(f |F) : f ∈ SF1 } (2.4.1) Rõ ràng VP(2.4.1) ⊂ VT(2.4.1) Giả sử dãy {fn } ⊂ SF1 với f ∈ L1 (Ω; X) ||ξE(fn |F) − f ||1 → n → ∞ Từ suy ||ξ(ω)E(fn |F)(ω) − f (ω)||1 → h.c.c n → ∞ Giả sử A = {ω : ξ(ω) = ∅} ∈ F Ta xác định gn = 1A fn + 1Ω\A f1 với n ≥ Và g = 1A ξ −1 f + 1Ω\A E(f1 |F) Khi dãy {gn } ∈ SF1 ||E(gn |F)(ω)|| ≤ |G(ω)| h.c.c Từ ta suy ||E(gn |F)(ω) − g(ω)|| → h.c.c Theo định lý hội tụ Lebesgue nên ta có ||E(gn |F) − g||1 → n → ∞ Do f = ξg ∈ VP(2.4.1), ta chứng minh đẳng thức (2.4.1) Nên ta có 1 SE[ξF |F] (F) = ξSG (F) = SξG (F) Do E[ξF |F] = ξE[F |F] 27 (4) Theo Định lý 2.2.4 ta có 1 SE[coF |F] (F) = cl{E(f |F) : f ∈ coSF } = co{E(f |F) : f ∈ SF1 } = coSG1 (F) = ScoG (F) Suy E[coF |F] = coE[F |F] 2.4.2 Định lý (1) Nếu F ∈ L1c [Ω, F, µ; X] ξ hàm thực khơng âm, E[ξF |F] = E(ξ|F)F Đặc biệt E[F |F] = F (2) Nếu F1 ⊂ F ⊂ A F ∈ L1c [Ω, F, µ; X] E[F |F1 ] lấy khơng gian (Ω, A, µ) kỳ vọng có điều kiện F F1 lấy khơng gian (Ω, F, µ) (3) E[E[F |F]|F1 ] = E[F |F1 ], với F1 ⊂ F ⊂ A F ∈ L1c [Ω; X] Chứng minh (1) Giả sử F ∈ L1c [Ω, F, µ; X] ξ hàm thực khơng âm, E(ξ|F)F ∈ L1c [Ω, F, µ; X] Ta có 1 SE[ξF |F] (F) = cl{E(f |F) : f ∈ SξF } = {E(f |F) : f ∈ SξF }, (do E[ξF |F] ∈ L1c [Ω, F, µ; X]) Do cần chứng minh 1 SE(ξ|F) (F) = {E(f |F) : f ∈ SξF } Theo Bổ đề 2.1.2, tồn dãy {fi } ⊂ SF1 (F) cho F (ω) = cl{fi (ω)}, ∀ ω ∈ Ω (2.4.2) 28 Giả sử g ∈ SE(ξ|F)F (F) ta xác định f (ω) = g(ω)/E(ξ|F)(ω) E(ξ|F)(ω) = f1 (ω) E(ξ|F)(ω) = g = E(ξ|F)f = E(ξf |F), Từ ta có f ∈ SF1 (F), nên ξf ∈ SξF f ∈ SF1 Do g ∈ VP(2.4.2) Khi g = E(ξf |F), f ∈ SF1 Theo Bổ đề 2.1.4, tồn > phân hoạch hữu hạn {A1 , A2 , , An } Ω cho n f− i=1 Do < Ai f i n ξf − ξ < ||ξ||∞ 1Ai fi i=1 Suy n E(ξf |F) − E(ξ 1Ai fi F) i=1 < ||ξ||∞ Mặt khác ta có n E n 1Ai fi F ξ i=1 = E(ξ|F) i=1 E(1Ai ξ|F) fi ∈ SE(ξ|F)F (F) E(ξ|F) Do g = E(ξf |F) ∈ SE(ξ|F)F ∈ VT(2.4.2) Trong trường hợp đặc biệt, lấy ξ ≡ ta có kết E[F |F] = F (2) Giả sử F ∈ L1c [Ω, F, µ; X], lấy ξ ≡ (2.4.2) ta có SF1 (F) = {E(f |F) : f ∈ SF1 } Do 1 SE[F |F1 ] (F1 ) = cl{E(f |F1 ) : f ∈ SF } = cl{E(E(f |F)|F1 ) : f ∈ SF1 } = cl{E(g|F1 ) : g ∈ SF1 (F)} (2.4.2’) 29 Đó điều phải chứng minh (3) Giả sử F ∈ L1c [Ω; X] G = E[F |F] Thay F G (2.4.2’) ta có SE[G|F (F1 ) = cl{E(g|F1 ) : g ∈ SG1 (F)} 1] = cl{E(E(f |F)|F1 ) : f ∈ SF1 } = cl{E(f |F1 ) : f ∈ SF1 } Từ suy E[G|F1 ] = E[F |F1 ] 2.4.3 Định lý (1) Nếu F ∈ L1 [Ω; X] (F) E[F |F]dµ = cl cl A F dµ, A ∈ F A (2) Nếu F ∈ L1c [Ω; X] E[F |F]dµ = cl cl A F dµ, A ∈ F A Chứng minh (1) Giả sử F ∈ L1 [Ω; X] A ∈ F Nếu g ∈ SE[F |F] (F) tồn dãy {fn } cho ||g − E(fn |F)||1 → n → ∞ Vậy ta có E(fn |F)dµ = lim gdµ = lim A n→∞ Do A n→∞ fn dµ ∈ cl A F dµ A (F) E[F |F]dµ ⊂ cl cl A F dµ, A ∈ F A Chứng minh điều ngược lại hồn tồn tương tự Từ ta có điều phải chứng minh 30 (2) Giả sử F ∈ L1c [Ω; X] A ∈ F Khi đó, thay F E[F |F] chọn ξ ≡ đẳng thức 1 SE(ξ|F)F (F) = {E(f |F) : f ∈ SξF } Từ suy 1 SE[F |F] (F) = E(f |F) : f ∈ SE[F |F] Vậy nên ta có (F) E(f |F)dµ : f ∈ SE[F |F] = E[F |F]dµ = A A A Kết hợp với (1) ta suy E[F |F]dµ = cl cl A E[F |F]dµ F dµ, A ∈ F A 31 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên đa trị chương định nghĩa, tính chất kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị trình bày chương 2 Chỉ số nhận xét, số ví dụ trường hợp đặc biệt Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu chứng minh cịn vắn tắt Nghiên cứu kỹ tính chất kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị thể hiên Định lý 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 Hướng phát triển luận văn nghiên cứu martingale phần tử ngẫu nhiên đa trị tính chất 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Phân phối xác suất không gian Banach, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến- Vũ Việt Yên (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Tiếng Anh [4] Aumann (1965), Integrals of set-valued function, J.Math.Anal.Appl, 1-12 [5] Ilya Molchanov (2005), Theory of Random sets, Springer, London [6] Hiai and Umegaki (1977), Integrals, Conditional Expectation, and Martingales of Multivalued Function, Journal of Multivariete Analysis 7, 149-182 [7] C Castaing, N V Quang and N T Thuan (2012), A new family of convex weakly compact valued random variables in Banach space and applications to laws of large numbers, Statistics & Probability Letters, 82 (1), 84-95 [8] W Herer (1992), Mathematical expectation and strong law of large numbers for random variables with values in a metric space of negative curvature, Probability and Mathematical Statistics, 13, 59-70 ... tính chất biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên đa trị chương định nghĩa, tính chất kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị trình bày... thức biến ngẫu nhiên, kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên đa trị kiến thức cần dùng cho nội dung Chương 3 Chương Kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị Trong... (2.3.4) kỳ vọng có điều kiện hàm đa trị F F Ký hiệu G = E[F |F] 2.4 Tính chất kỳ vọng có điều kiện phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.4.1 Định lý Kỳ vọng có điều kiện E[F |F] F ∈ L1 [Ω; X] có tính