Luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngãu nhiên đa trị theo tôpô hausdorff và tôpô mosco

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRẦN THUẬN LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TỔ HỢP LỒI Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VĂN QUẢNG Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Khơng gian tổ hợp lồi 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric 1.2 Không gian tổ hợp lồi 1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 4 Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 10 2.1 Một số kết bổ trợ 2.2 Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi 2.3 Mảng cực p ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo 10 16 26 35 36 LỜI NÓI ĐẦU Đối với phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric, cách xây dựng khái niệm kỳ vọng khác nhau, nhiều định lý giới hạn thiết lập Đặc biệt, luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric nghiên cứu nhiều tác giả Chẳng hạn, vào năm 1992, Herer ([9]) đưa khái niệm kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric đầy đủ, khả ly có tính chất độ cong âm, sau Herer thu luật mạnh số lớn tổng quát cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối nhận giá trị lớp không gian mêtric Năm 2002, Sturm ([16]) xem xét kỳ vọng cực tiểu hóa cho “phương sai”, thu số luật số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối Năm 2006, Terán Molchanov ([18]) giới thiệu khái niệm không gian tổ hợp lồi, khơng gian mêtric mà trang bị tốn tử tổ hợp lồi Lớp không gian rộng lớp không gian Banach đảm bảo cho luật mạnh số lớn thực Sau thu số tính chất khơng gian tổ hợp lồi, tác giả thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối, kết mở rộng luật mạnh số lớn Etemadi (1981, [6]) sang không gian tổ hợp lồi Tuy nhiên, nhiều kết trước chủ yếu xem xét định lý giới hạn trường hợp dãy (một số) phần tử ngẫu nhiên độc lập (hoặc độc lập đôi một) phân phối Nhằm làm phong phú mở rộng kết có, chúng tơi chọn đề tài: Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Với đề tài này, thiết lập số luật mạnh số lớn cho mảng kép (hai số) phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Luật mạnh số lớn xem xét cho hai trường hợp phần tử ngẫu nhiên phân phối phần tử ngẫu nhiên không phân phối Bố cục luận văn gồm chương Chương Không gian tổ hợp lồi Trong chương hệ thống lại số khái niệm sử dụng khái niệm phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric, định nghĩa không gian tổ hợp lồi kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Chương Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương Chương gồm ba mục, Mục 2.1 đưa số kết bổ trợ nhằm thiết lập kết luận văn Mục 2.2 đề cập đến luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Mục 2.3 trình bày khái niệm mảng cực p ứng dụng cho việc thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov dạng Marcinkiewicz-Zygmund Một phần nội dung luận văn công bố báo [14] Một số vấn đề liên quan (xét cho phần tử ngẫu nhiên đa trị) xem xét công bố báo [2], [13] Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, với nhiều học trải nghiệm quý báu sống Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Phan Đức Thành TS Lê Văn Thành góp ý để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy Cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN TỔ HỢP LỒI Trong tồn luận văn, ta ln giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ cố định Với a, b ∈ R, min{a, b} max{a, b} ký hiệu a ∧ b a ∨ b Ký hiệu C số dương, số khơng thiết phải giống lần xuất 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm liên quan phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric Cho X không gian mêtric đầy đủ khả ly Một ánh xạ X : Ω → X gọi phần tử ngẫu nhiên X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(X), B(X) σ -đại số Borel X Để ngắn gọn, sử dụng thuật ngữ “phần tử ngẫu nhiên X-giá trị X ” thay cho “ X phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian X” Trong trường hợp đặc biệt, phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị tập số thực R X cịn gọi biến ngẫu nhiên Khi phần tử ngẫu nhiên X-giá trị X nhận hữu hạn giá trị gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản Phân phối PX phần tử ngẫu nhiên X-giá trị X định nghĩa PX (B) = P(X −1 (B)), ∀B ∈ B(X) Hai phần tử ngẫu nhiên X-giá trị X, Y gọi phân phối PX = PY Họ phần tử ngẫu nhiên X-giá trị {Xi : i ∈ I} gọi độc lập (độc lập đôi một) họ σ -đại số {σ(Xi ) : i ∈ I} độc lập (độc lập đơi một), σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(X)} Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → X gọi khả tích bậc p (p > 0) d(a, X) biến ngẫu nhiên khả tích bậc p với a ∈ X Chú ý định nghĩa khả tích phần tử ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc lựa chọn phần tử a Không gian tất phần tử ngẫu nhiên X-giá trị khả tích mêtric LpX định nghĩa bậc p ký hiệu LpX , p ∆p (X, Y ) = (Edp (X, Y ))1/p Vì X khơng gian mêtric khả ly nên tồn tập đếm trù mật D = {un : n 0} X Với k 1, ta xác định ánh xạ ϕk : X → X x → umk (x) mk (x) = i ∈ {0, , k} : d(ui , x) = d(uj , x) j k (nghĩa là, mk (x) số nguyên i ∈ {0, , k} nhỏ cho d(ui , x) = d(uj , x)) j k 1.1.1 Mệnh đề Cho X ∈ L1X Với k 1, phát biểu sau đúng: (a) ϕk (X) : Ω → X phần tử ngẫu nhiên đơn giản; (b) d(u0 , ϕk (X)) 2d(u0 , X); (c) d(ϕk (X), X) ↓ k → ∞; (d) ∆(ϕk (X), X) → k → ∞ Chứng minh (a) Rõ ràng ánh xạ ϕk (X) nhận hữu hạn giá trị Để chứng minh ϕk (X) phần tử ngẫu nhiên đơn giản, ta cần ϕk ánh xạ B(X)/B(X) đo đủ Thật vậy, với B ∈ B(X) ta có ϕ−1 k (B) = ϕ−1 k (ui ) = ui ∈B i k {x ∈ X : ϕk (x) = ui } ui ∈B i k {x : d(x, uj ) > d(x, ui )} = ui ∈B i k j i−1 {x : d(x, uj ) d(x, ui )} i+1 j k Vì mêtric d(., ) ánh xạ liên tục nên {x : d(x, uj ) > d(x, ui )} ∈ B(X) {x : d(x, uj ) điều kéo theo ϕ−1 k (B) ∈ B(X) (b) Với x ∈ X d(u0 , ϕk (x)) d(x, ui )} ∈ B(X), d(u0 , x) + d(ϕk (x), x) 2d(u0 , x) Do d(u0 , ϕk (X)) 2d(u0 , X) (c) Với x ∈ X dãy {d(ϕk (x), x) : k 1} dãy đơn điệu giảm Vì D = {un : n 0} trù mật X nên với ε > 0, tồn un0 ∈ D cho d(un0 , x) < ε Điều dẫn đến d(ϕk (x), x) d(un0 , x) < ε với k n0 Do ta có d(ϕk (X), X) ↓ k → ∞ (d) Vì d(ϕk (X), X) ↓ E(d(ϕk (X), X)) Ed(u0 , X) < ∞ nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có ∆(ϕk (X), X) = E(d(ϕk (X), X)) → k → ∞ Để biết thêm thơng tin liên quan, ta tham khảo tài liệu [20] 1.2 Không gian tổ hợp lồi Khái niệm không gian tổ hợp lồi đưa P Terán I Molchanov [18] Trong mục nhắc lại khái niệm tính chất khơng gian tổ hợp lồi Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ khả ly Ta ký hiệu n H= (λ1 , u1 , λ2 , u2 , , λn , un ) : λi λi = 1, n ∈ N∗ 0, ui ∈ X, i = 1, , n, i=1 Toán tử tổ hợp lồi X ánh xạ [., ] : H → X (λ1 , u1 , λ2 , u2 , , λn , un ) → [λ1 , u1 ; λ2 , u2 ; ; λn , un ] = [λi , ui ]ni=1 thỏa mãn [1, u] = u điều kiện sau: (i) (tính giao hốn) [λi , ui ]ni=1 = [λσ(i) , uσ(i) ]ni=1 với hoán vị σ {1, , n}; λn+j (ii) (tính kết hợp) [λi , ui ]n+2 i=1 = [λ1 , u1 ; ; λn , un ; λn+1 +λn+2 , [ λn+1 +λn+2 , un+j ]j=1 ] (ta quy ước 0/0 = 0); (iii) (tính liên tục) Nếu u, v ∈ X, {λ(k) , λ} ⊂ (0, 1) λ(k) → λ k → ∞, [λ(k) , u; − λ(k) , v] → [λ, u; − λ, v] k → ∞; (iv) Nếu u1 , u2 , v1 , v2 ∈ X λ ∈ (0, 1), d([λ, u1 ; − λ, u2 ], [λ, v1 ; − λ, v2 ]) λd(u1 , v1 ) + (1 − λ)d(u2 , v2 ); (v) Với u ∈ X, tồn lim [n−1 , u]ni=1 , ta ký hiệu giới hạn KX u (hay n→∞ Ku không sợ nhầm lẫn), K gọi tốn tử lồi hóa Một cách tự nhiên, giả sử toán tử tổ hợp lồi thỏa mãn [λi , ui ]i∈I = [λi , ui ]i∈J với J = {i ∈ I : λi > 0}, λi ∈ [0, 1], ui ∈ X i∈J λi = i∈I λi = với tập số I hữu hạn Không gian mêtric X với toán tử tổ hợp lồi gọi không gian tổ hợp lồi Các điều kiện (i)-(iv) kéo theo tính chất sau: (1.2.1) Với u11 , , umn ∈ X α1 , , αm , β1 , , βn > thỏa mãn m n i=1 αi = j=1 βj = 1, ta có i=m, j=n [αi , [βj , uij ]nj=1 ]m i=1 = [αi βj , uij ]i=1, j=1 (1.2.2) Toán tử tổ hợp lồi liên tục theo đối số (có 2n đối số) Các tính chất sau đưa Mục tài liệu [18] (1.2.3) Toán tử tổ hợp lồi K tuyến tính, nghĩa K([λj , uj ]nj=1 ) = [λj , Kuj ]nj=1 (1.2.4) Nếu u ∈ X λ1 , , λn > với nj=1 λj = 1, K([λj , u]nj=1 ) = Ku = [λj , Ku]nj=1 Vì vậy, K tốn tử lũy đẳng X (nghĩa K = K ) (1.2.5) Với λ1 , λ2 , λ3 > thỏa mãn λ1 + λ2 + λ3 = u, v ∈ X, [λ1 , u; λ2 , Kv; λ3 , Kv] = [λ1 , u; (λ2 + λ3 ), Kv] (1.2.6) Ánh xạ K không giãn mêtric d, nghĩa d(Ku, Kv) 1.3 d(u, v) Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Đầu tiên định nghĩa kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đơn giản 1.3.1 Định nghĩa Cho phần tử ngẫu nhiên đơn giản X nhận giá trị xi tập có xác suất dương Ωi , i = 1, , n Khi đó, kỳ vọng X xác định EX = [P(Ωi ), Kxi ]ni=1 1.3.2 Mệnh đề Nếu X, Y phần tử ngẫu nhiên đơn giản d(EX, EY ) Ed(X, Y ) Chứng minh Giả sử X, Y nhận giá trị xi , yj tương ứng tập có xác suất dương Ai , Bj , i = 1, , m, j = 1, , n Ta có n m n X = [IAi , xi ]m i=1 , Y = [IBj , yj ]j=1 EX = [P(Ai ), Kxi ]i=1 , Y = [P(Bj ), Kyj ]j=1 i=m i=m, j=n Khi đó, EX = [P(Ai Bj ), Kxi ]j=n, j=1, i=1 EY = [P(Ai Bj ), Kyj ]i=1, j=1 Từ (iv) (1.2.6) ta suy m n d(EX, EY ) m n P(Ai Bj )d(Kxi , Kyj ) i=1 j=1 P(Ai Bj )d(xi , yj ) = Ed(X, Y ) i=1 j=1 Mệnh đề chứng minh Cho phần tử ngẫu nhiên X ∈ L1X , ta xét dãy {Eϕk (X) : k đề 1.1.1(d) Mệnh đề 1.3.2, ta có d(Eϕk (X), Eϕl (X)) 1} Từ Mệnh Ed(ϕk (X), ϕl (X)) Ed(ϕk (X), X) + Ed(ϕl (X), X) → k ∧ l → ∞ Do {Eϕk (X) : k 1} dãy Cauchy không gian mêtric X đầy đủ, ta suy tồn a ∈ X để a = lim Eϕk (X) Điều cho phép ta định nghĩa kỳ k→∞ vọng phần tử ngẫu nhiên khả tích X sau: 1.3.3 Định nghĩa Với phần tử ngẫu nhiên X ∈ L1X , kỳ vọng X xác định EX = lim Eϕk (X) k→∞ Từ Mệnh đề 1.3.2, có mệnh đề sau: 1.3.4 Mệnh đề Nếu X, Y ∈ L1X d(EX, EY ) Ed(X, Y ) Khơng tính tổng qt, ta giả sử u0 ∈ K(X) ∩ D (theo điều kiện (v), K(X) = ∅) u0 xem phần tử đặc biệt X Terán Molchanov [18] đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm khơng gian tổ hợp lồi Một ví dụ điển hình cho khơng gian tổ hợp lồi siêu không gian không gian Banach Cho (E, ) không gian Banach đầy đủ, khả ly Ta ký hiệu k(E) (tương ứng, ck(E)) họ tất tập compact (tương ứng, compact lồi) khác rỗng E Khoảng cách Hausdorff k(E) cho dH (A, B) = max{sup inf a − b , sup inf b − a }, với A, B ∈ k(E) a∈A b∈B b∈B a∈A Khi đó, (k(E), dH ) khơng gian mêtric đầy đủ, khả ly ck(E) tập đóng (k(E), dH ) Phép cộng nhân vô hướng k(E) định nghĩa A+B := {a+b : a ∈ A, b ∈ B}, λA := {λa : a ∈ A} với A, B ∈ k(E), λ ∈ R Với phép cộng phép nhân vô hướng k(E) khơng khơng gian tuyến tính, nhiên k(E) không gian tổ hợp lồi với toán tử tổ hợp lồi xác định sau: [λ, A; − λ, B] := λA + (1 − λ)B Ta có Kk(E) A = coA với A ∈ k(E), coA bao lồi tập A Cho X phần tử ngẫu nhiên k(E)-giá trị khả tích, kỳ vọng theo nghĩa Aumann X định nghĩa EA [X] = {Ef : f ∈ SX }, SX = {f : Ω → E : f đo được, khả tích f (ω) ∈ X(ω) h.c.c.} tập tất lát cắt đo khả tích X Khi kỳ vọng EX X khơng gian tổ hợp lồi k(E) trùng với kỳ vọng theo nghĩa Aumann coX , điều có nghĩa EX = EA [coX] = {Ef : f ∈ ScoX } Các thông tin chi tiết lý thuyết phần tử ngẫu nhiên đa trị vấn đề liên quan, tham khảo tài liệu [10] Sau số khái niệm liên quan đến kết Đầu tiên, chúng tơi giới thiệu khái niệm compact khả tích cho họ phần tử ngẫu nhiên X-giá trị, khái niệm mở rộng tự nhiên từ không gian Banach sang không gian tổ hợp lồi Họ {Xi : i ∈ I} phần tử ngẫu nhiên X-giá trị gọi compact khả tích với ε > 0, tồn tập compact Kε X để sup E d(u0 , Xi )I(Xi ∈K / ε) ε i∈I Họ biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} gọi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số C < ∞ cho với t 0, i ∈ I ta có P(|Xi | t) C P(|X| t) 24 Hệ sau suy trực tiếp từ Định lý 2.2.2 2.2.3 Nó phát biểu siêu không gian không gian Banach, số khái niệm ký hiệu liên quan đề cập Mục 1.3 Chương Hơn hệ mở rộng cho Định lý 2.1 Taylor Inoue [17] sang trường hợp hai số, mở rộng Hệ Cuesta Matrán [4] cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact không gian Banach 2.2.4 Hệ Giả sử E không gian Banach khả ly {Fij : i 1, j 1} mảng phần tử ngẫu nhiên k(E)-giá trị thỏa mãn điều kiện compact khả tích Khi ta có luật mạnh số lớn dH mn m i=1 n Fij , mn j=1 m n → h.c.c m ∨ n → ∞ EA [coFij ] i=1 j=1 hai điều kiện sau thỏa mãn: ∞ (i) họ {Fij : i 1, j ∞ 1} độc lập i=1 j=1 EdpH ({0}, Fij ) (có thể chọn a = b = 2) đặt mk = [ak ], nl = [bl ] Với ε > 0, ta có ∞ ∞ k=1 l=1 Smk nl − ESmk nl >ε P mk nl ∞ ε ∞ −2 k=1 l=1 ∞ ∞ C k=1 l=1 ∞ ∞ C i=1 j=1 DSmk nl (mk nl )2 mk i=1 nl j=1 Ed (Xij , EXij ) m2k n2l Ed2 (Xij , EXij ) < ∞ (ij)2 Từ Mệnh đề 2.1.1 ta suy Smk nl − ESmk nl → h.c.c k ∨ l → ∞ mk nl (2.2.5) Với số nguyên dương m, n, tồn k, l ∈ N cho mk m < mk+1 nl n < nl+1 , m ∨ n → ∞ k ∨ l → ∞ Ta có ước lượng sau: Smk+1 nl+1 |Smk+1 nl+1 − ESmk+1 nl+1 | ESmk+1 nl+1 Smn + mn mn mn mn |Smk+1 nl+1 − ESmk+1 nl+1 | mk+1 nl+1 ESmk+1 nl+1 mk+1 nl+1 + (2.2.6) mk+1 nl+1 mk nl mk+1 nl+1 mk nl Cho m ∨ n → ∞ (2.2.6) áp dụng (2.2.5) ta thu lim sup m∨n→∞ Smn mn h.c.c., vậy, (mn)−1 Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ Do đó, khẳng định (2.2.4) chứng minh 26 2.3 Mảng cực p ứng dụng 2.3.1 Định nghĩa Cho số thực p > Mảng {Xij : i 1, j 1} phần tử ngẫu nhiên X-giá trị khả tích bậc p gọi mảng cực p tồn số C < ∞ cho với m 1, n 1, ta có E max kl d [k −1 , [l−1 , Xij ]lj=1 ]ki=1 , [k −1 , [l−1 , EXij ]lj=1 ]ki=1 p k m l n m n C E Xij p u0 (2.3.1) i=1 j=1 2.3.2 Nhận xét Khi p ∈ (0, 1], bất đẳng thức (2.3.1) luôn mảng phần tử ngẫu nhiên khả tích X-giá trị Thật vậy, với < p ta có E max kl d [k −1 , [l−1 , Xij ]lj=1 ]ki=1 , [k −1 , [l−1 , EXij ]lj=1 ]ki=1 p k m l n k E p max k m l n i=1 j=1 m n =E m l d(Xij , EXij ) p d(Xij , EXij ) i=1 j=1 n E Xij p u0 i=1 j=1 Vì vậy, tập trung xem xét trường hợp p > 2.3.3 Nhận xét Khi X không gian Banach với chuẩn toán tử tổ hợp lồi trùng với phép cộng phép nhân vô hướng thông thường (nghĩa [λ, u; − λ, v] = λu + (1 − λ)v ), phần tử u0 = 0, lớp phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa 2.3.1 rộng lớp phần tử ngẫu nhiên định nghĩa Dung tác giả [5] Thật vậy, {Xij : i 1, j 1} thỏa mãn bất đẳng thức cực đại Marcinkiewicz-Zygmund với số mũ p (khái niệm đưa Dung cộng [5]), điều có nghĩa k E l max k m l n Xij i=1 j=1 m p n E Xij p , C i=1 j=1 27 đó, E max kl d [k −1 , [l−1 , Xij ]lj=1 ]ki=1 , [k −1 , [l−1 , EXij ]lj=1 ]ki=1 p k m l n k =E l (Xij − EXij ) max k m l n i=1 j=1 k E k i=1 j=1 2E k i=1 j=1 l max k m l n m n 2p C i=1 j=1 Xij + E k p p Xij l max k m l n l Xij + E k E l max k m l n p l max k m l n p Xij i=1 j=1 p Xij i=1 j=1 E Xij p i=1 j=1 Tuy nhiên, ta cho p > 1, = a ∈ X Xij = a với i 1, j 1, {Xij : i 1, j 1} mảng cực p, khơng thỏa mãn bất đẳng thức cực đại Marcinkiewicz-Zygmund với số mũ p mn đủ lớn Sau minh họa cho khái niệm mảng cực p thơng qua số ví dụ Ví dụ đưa khơng gian Banach 2.3.4 Ví dụ Giả sử khơng gian tổ hợp lồi X không gian Rademacher dạng p ổn định dạng p (1 p 2) (về chi tiết xem tài liệu [15]) tốn tử tổ hợp lồi trùng với phép cộng nhân vô hướng thông thường Bằng kỹ thuật tương tự Bổ đề 1.1 Quang Huan [12], dễ dàng thấy {Xij : i 1, j 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập mảng cực p Ví dụ thứ hai lấy siêu không gian không gian Banach, khái niệm ký hiệu liên quan giới thiệu Mục 1.3 Chương 2.3.5 Ví dụ Cho {ξij : i 1, j 1} {ηij : i 1, j 1} mảng biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn Eξij2 < ∞, Eηij < ∞, ξij < ηij h.c.c với i 1, j Nếu ta đặt Xij (ω) = [ξij (ω), ηij (ω)] ∈ ck(R), EA [Xij ] = 28 [Eξij , Eηij ] ∈ ck(R) với i 1, j Sử dụng tính chất mêtric Hausdorff đường thẳng thực R: dH [a, b], [c, d] = max{|a − c|, |b − d|}, ta thu k l k dH l Xij , EA [Xij ] i=1 j=1 i=1 j=1 k l k = dH l ξij , i=1 j=1 k k l k i=1 j=1 l k i=1 j=1 l k i=1 j=1 E max dH k m l n i=1 j=1 E 1, n l l Eηij i=1 j=1 q EA [Xij ] i=1 j=1 k k m l n i=1 j=1 l (ξij − Eξij ) max k m l n i=1 j=1 m n m n q−1 q C E|ξij | + i=1 j=1 i=1 j=1 m n 2q C E|Xij |q i=1 j=1 Vì vậy, họ {Xij : i i=1 j=1 k l (ξij − Eξij ) + max k q−1 Eηij ηij − l max k m l n l i=1 j=1 Xij , k E k l ηij − Eξij + l k i=1 j=1 Do đó, với q ∈ [1, 2] với m k l Eξij , ξij − Eηij i=1 j=1 k i=1 j=1 l l Eξij , i=1 j=1 ξij − k k ηij , i=1 j=1 = max l 1, j (ηij − Eηij ) i=1 j=1 k q +2 E|ηij |q q q−1 E l (ηij − Eηij ) max k m l n q i=1 j=1 (theo Bổ đề 2.4 Thanh [19]) 1} mảng cực q , u0 phần tử Sự tồn mảng cực p không gian tổ hợp lồi tổng quát ví dụ thứ ba sau 2.3.6 Ví dụ Cho X khơng gian tổ hợp lồi số thực p > Giả sử {Xij : i 1, j 1} mảng phần tử ngẫu nhiên X-giá trị cho Xij u0 (ij)−λ h.c.c với i 1, j với λ > Khi đó, với m 1, n 29 E max kl d [k −1 , [l−1 , [Xij ]lj=1 ]ki=1 , [k −1 , [l−1 , EXij ]lj=1 ]ki=1 p k m l n k E l max k m l n i=1 j=1 m n p−1 d(Xij , EXij ) p d(u0 , Xij ) E m p n p =E d(Xij , EXij ) i=1 j=1 m n + 2p−1 E p d(Eu0 , EXij ) i=1 j=1 i=1 j=1 (vì u0 = Ku0 = Eu0 ) m n p 2E p d(u0 , Xij ) i=1 j=1 ∞ ∞ −λ p (ij) (theo Mệnh đề 1.3.4, d(Eu0 , EXij ) m p := C n Cλ i=1 j=1 Ed(u0 , Xij )) E Xij p u0 , i=1 j=1 Cλ phụ thuộc vào λ Vì vậy, họ {Xij : i p 1, j 1} mảng cực 2.3.7 Bổ đề Cho {xmn : m 1, n 1} họ số thực không âm Nếu tồn mảng {(mk , nl ) : k, l ∈ N} mảng {(m, n) : m, n ∈ N} cho lim max k∨l→∞ mk N0 Xmn < h.c.c bmn Vì p > nên p Xmn bpmn Do p EXmn bpmn Xmn h.c.c với m ∨ n > N0 bmn EXmn với m ∨ n > N0 bmn p Từ lập luận giả thiết EXmn < ∞ với m ∞ ∞ m=1 n=1 p EXmn = bpmn m∨n N0 m∨n N0 1, n ta có p p EXmn EXmn + bpmn bpmn m∨n>N p EXmn bpmn + m∨n>N0 EXmn < ∞ bmn Khẳng định (2.3.7) chứng minh 2.3.12 Định lý Cho p > cho {Xij : i 1, j 1} mảng cực p không gian tổ hợp lồi X Giả sử mảng { Xij u0 : i 1, j 1} bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X E(|X|r log+ |X|) < ∞ với r ∈ (1 , p) Khi ta có luật mạnh số lớn −1 −1 n m (mn)1−1/r d [m−1 , [n−1 , Xij ]nj=1 ]m i=1 , [m , [n , EXij ]j=1 ]i=1 → h.c.c m ∨ n → ∞ (2.3.8) Chứng minh Gọi F hàm phân phối |X|, d(k) số ước số dương số nguyên dương k Với m 1, n 1, đặt Xmn = Xmn u0 Xmn Xmn u0 u0 (mn)1/r > (mn)1/r 33 Xmn u0 Xmn = Khi với m Xmn 1, n Từ Bổ đề 2.1.6 > (mn)1/r (mn)1/r u0 u0 ta có Xmn u0 Xmn Xmn u0 ∞ k=i + d(Xmn , Xmn ) = Xmn u0 + Xmn u0 d(k) = O i1−p/r log i , p/r k ta có đánh giá ∞ ∞ i=1 j=1 p u0 p/r (ij) E Xij ∞ ∞ C i=1 j=1 ∞ =C k=1 ∞ =C k=1 ∞ d(k) k p/r C i=1 ∞ xp dF (x) k i1/r xp dF (x) (i−1)1/r i=1 ∞ k=i d(k) k p/r log i ip/r−1 i1/r C i=1 ∞ xp dF (x) k 1/r d(k) k p/r =C i=1 ∞ (ij)1/r (ij)p/r (i−1)1/r i1/r xp dF (x) (i−1)1/r i1/r xp dF (x) (i−1)1/r xp (xp/r−1 )r log+ x dF (x) xr log+ x dF (x) C C E(|X|r log+ |X|) < ∞ Theo Bổ đề 2.1.6 n k=1 d(k) = O n1−1/r log n , 1/r k (2.3.9) 34 ta có ∞ ∞ ∞ E Xij i=1 j=1 u0 (ij)1/r ∞ (ij)1/r C i=1 j=1 ∞ C k=1 ∞ C i=1 ∞ C k=1 x dF (x) (ij)1/r ∞ d(k) k 1/r i ∞ x dF (x) k 1/r (i+1)1/r d(k) k 1/r x dF (x) i1/r (i+1)1/r i 1−1/r log i x dF (x) i1/r i=1 ∞ xr log+ x dF (x) C C E(|X|r log+ |X|) < ∞ Vì {Xij : i 1, j 1} mảng cực p nên E Xij i, j Khi đó, áp dụng Bổ đề 2.3.11 ta ∞ ∞ p u0 p/r (ij) E Xij i=1 j=1 p u0 < ∞ với < ∞ (2.3.10) Kết hợp (2.3.9) (2.3.10) ta có ∞ ∞ i=1 j=1 E Xij pu0 (ij)p/r ∞ ∞ p−1 i=1 j=1 p u0 p/r (ij) E Xij ∞ ∞ + i=1 j=1 p u0 p/r (ij) E Xij Từ Định lý 2.3.8 với α = β = 1/r, ta có luật mạnh số lớn (2.3.8) < ∞ 35 KẾT LUẬN Kết Luận văn thu dược kết sau: - Thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên không âm, Mệnh đề 2.1.3 mở rộng Định lý Etemadi [7] sang trường hợp hai số - Thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên X-giá trị độc lập đơi phân phối, Định lý 2.2.1 mở rộng Định lý Etemadi [6] sang không gian tổ hợp lồi X - Đưa điều kiện đủ để thu luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên X-giá trị độc lập đôi (hoặc độc lập) trường hợp khơng phân phối, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3, Hệ 2.2.4 Định lý 2.2.5 - Đưa khái niệm mảng cực p (p > 0) không gian tổ hợp lồi X số ví dụ để minh họa khái niệm Thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov dạng Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng cực p này, Định lý 2.3.8 Định lý 2.3.12 Hướng phát triển luận văn - Thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập hợp không gian tổ hợp lồi - Xây dựng khái niệm kỳ vọng có điều kiện khơng gian tổ hợp lồi tính chất Từ đưa định lý giới hạn kỳ vọng có điều kiện không gian tổ hợp lồi 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] C Castaing, N V Quang and N T Thuan (2012), A new family of convex weakly compact valued random variables in Banach space and applications to laws of large numbers, Statistics & Probability Letters, 82 (1), 84-95 [3] S Csăorgo, K Tandori and V Totik (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Mathematica Hungarica, 42, 319-330 [4] J A Cuesta and C Matrán (1988), Strong convergence of weighted sums of random elements through the equivalence of sequences of distributions, Journal of Multivariate Analysis, 25, 311-322 [5] L V Dung, T Ngamkham, N D Tien and A I Volodin (2009), Marcinkiewicz-Zygmund type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces, Lobachevskii Journal of Mathematics, 30 (4), 337-346 [6] N Etemadi (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete, 55, 119-122 [7] N Etemadi (1983), On the laws of large numbers for nonnegative random variables, Journal of Multivariate Analysis, 13, 187-193 [8] A Gut and A Spˇataru (2003), Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables, Journal of Multivariate Analysis, 86, 398-422 37 [9] W Herer (1992), Mathematical expectation and strong law of large numbers for random variables with values in a metric space of negative curvature, Probability and Mathematical Statistics, 13, 59-70 [10] I Molchanov (2005), Theory of random sets, Springer, London [11] P Raynaud de Fitte (1997), Théorème ergodique ponctuel et lois fortes des grands nombres pour des points aléatoires d’un espace métrique courbure négative, The Annals of Probability, 25, 738-766 [12] N V Quang and N V Huan (2009), On the strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth Banach spaces, Statistics & Probability Letters, 79, 1891-1899 [13] N V Quang and N T Thuan (2012), Strong laws of large numbers for double arrays of independent set-valued random variables in Banach spaces, Journal of Convex Analysis, 19 (1) http://www.heldermann.de/JCA/JCA19/JCA191/jca19008.htm [14] N V Quang and N T Thuan (2011), On the strong laws of large numbers for double arrays of random variables in convex combination spaces, Acta Mathematica Hungarica, to appear DOI: 10.1007/s10474-011-0168-1 [15] A Rosalsky and L V Thanh (2009), Weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p and stable type p Banach spaces, Nonlinear Analysis, 71, 1065-1074 [16] K T Sturm (2002), Nonlinear martingale theory for processes with values in metric spaces of nonpositive curvature, The Annals of Probability, 30, 1195-1222 [17] R L Taylor and H Inoue (1985), A strong law of large numbers for random sets in Banach space, Bull Inst Math Acad Sinica, 13, 403-409 [18] P Terán and I Molchanov (2006), The law of large numbers in a metric space with a convex combination operation, Journal of Theoretical Probability, 19, 875-898 38 [19] L V Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of independent random variables, Acta Mathematica Vietnamica, 30, 225-232 [20] N N Vakhania, V I Tarieladze and S A Chobanyan (1987), Probability distributions on Banach spaces, Mathematics and its Applications, D Reidel Publishing Co., Dordrecht ... đề tài: Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi Với đề tài này, thiết lập số luật mạnh số lớn cho mảng kép (hai số) phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không... 4 Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tổ hợp lồi 10 2.1 Một số kết bổ trợ 2.2 Luật mạnh số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc... tử tổ hợp lồi Lớp khơng gian rộng lớp không gian Banach đảm bảo cho luật mạnh số lớn thực Sau thu số tính chất khơng gian tổ hợp lồi, tác giả thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên