Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m phụ thuộc âm đôi một

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Sự hội tụ hầu chắn 1.3 Sự bảo tồn tính m- phụ thuộc âm đôi 1.4 Bất đẳng thức phương sai 11 1.5 Bổ đề Borel- Cantelli 12 1.6 Bất đẳng thức Markov 12 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 13 2.1 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi không phân phối 13 2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi phân phối 22 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ 26 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học đời sống hàng ngày thường gặp tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất mơn tốn học nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính tốn xác suất tượng ngẫu nhiên Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Luật số lớn định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn mệnh đề khẳng định trung bình số học biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất hầu chắn đến số Vào năm 2006, Li, Rosalsky Volodin [[12]] công bố kết nghiên cứu đề tài "Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một" Và câu hỏi đặt ta thay điều kiện phụ thuộc âm đôi thành điều kiện m-phụ thuộc âm đơi định lý giới hạn nêu Li, Rosalsky Volodin [[12]] cịn hay khơng? Xuất phát từ câu hỏi này, nghiên cứu đề tài "Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một" Luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tính độc lập, độc lập đôi một, m-phụ thuộc, phụ thuộc âm đôi một, m-phụ thuộc âm đôi Đồng thời đưa số bất đẳng thức bổ đề để chứng minh Luật mạnh số lớn Chương Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đơi Đây nội dung luận văn, bao gồm mục Mục 2.1 thiết lập Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi không phân phối Mục 2.2 thiết lập Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi phân phối Mục 2.3 chúng tơi số ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn chu đáo nghiêm khắc thầy giáo TS Lê Văn Thành Nhân dịp cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lê Văn Thành, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng, thầy giáo PGS TS Trần Xuân Sinh, thầy giáo ThS Dương Xuân Giáp giúp đỡ trình học tập q trình hồn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy lớp Cao học 17 XSTK Đồng thời, tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhệm thầy giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Cuối tác giả cảm ơn gia đình tập thể lớp Cao học 17 XSTK ln động viên tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo, ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, tất biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ), m số tự nhiên Trong toàn luận văn, ta ký hiệu C số dương, số khơng thiết phải giống lần xuất 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó: σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} gọi σ - đại số sinh X Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} σ - đại số F gọi độc lập n P n Ai = i=1 P (Ai ) i=1 Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ - đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập σ - đại số sinh chúng {σ(Xi ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố {Ai , i ∈ I} gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.1.2 Định nghĩa Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập đôi Xi Xj độc lập với i = j, i, j ∈ I 1.1.3 Định nghĩa Một họ biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi m-phụ thuộc n ≤ m + n > m + họ {Xi , ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xi , l ≤ i ≤ n} l − k > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc họ {Xi , ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xn , n ≥ l} l − k > m 1.1.4 Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi phụ thuộc âm ∀x, y ∈ R ta có P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y) (1.1) Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm họ {Xi , ≤ i ≤ k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n ≥ l} l > k Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj phụ thuộc âm với i = j Nhận thấy dễ dàng chứng minh {Xn , n ≥ 1} phụ thuộc âm đôi với tất i, j ≥ (i = j) với x, y ∈ R, P (Xi > x, Xj > y) ≤ P (Xi > x).P (Xj > y) 1.1.5 Định nghĩa Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc âm họ {Xi , ≤ i ≤ k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n ≥ l} l − k > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj độc lập với j − i > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc âm đôi hai biến ngẫu nhiên Xi Xj phụ thuộc âm đôi với j − i > m Nhận xét Khi hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập đẳng thức (1.1) xảy Do tính phụ thuộc đơi suy tính phụ thuộc âm đơi 1.1.6 Bổ đề Cho X biến ngẫu nhiên {cn , n ≥ 1} dãy số dương cho ∞ ( max 1≤j≤n ∞ c−2 j cnj ) = O(n) n=1 P |X| > cn < ∞ n=1 Lúc ∞ c−2 n E(X I(|X|≤cn ) ) < ∞ (1.2) n=1 1.2 Sự hội tụ hầu chắn 1.2.1 Định nghĩa Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) P {ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Ký hiệu Xn → X (h.c.c), limn→∞ Xn = X h.c.c 1.2.2 Định nghĩa Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) gọi tuân theo Luật mạnh số lớn (LMSL) với số trung tâm {cn , n ≥ 1} số dương {Bn , n ≥ 1} n j=1 (Xj Bn 1.3 − cj ) → (h.c.c) (1.3) Sự bảo tồn tính m- phụ thuộc âm đôi Bổ đề sau chứng minh Lehmann[[11]] Matula [[13]] 1.3.1 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi với n ≥ 1, cho fn : R → R hàm số Nếu dãy hàm {fn , n ≥ 1} chứa hàm không tăng (hoặc khơng giảm), {fn (Xn ), n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Bổ đề sau chứng minh tương tự Bổ đề 1.3.1, nhiên ta xét cặp biến ngẫu nhiên Xi ,Xj thỏa mãn |j − i| > m 1.3.2 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi với n ≥ 1, cho fn : R → R hàm số Nếu dãy hàm {fn , n ≥ 1} chứa hàm khơng tăng (hoặc khơng giảm), {fn (Xn ), n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 1.3.3 Mệnh đề Cho {Fn , n ≥ 1} dãy hàm phân phối (liên tục phải) Lúc tồn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi {Xn , n ≥ 1} cho hàm phân phối {Xn , n ≥ 1} Fn , n ≥ Hơn nữa, tất {Fn , n ≥ 1} liên tục dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi {Xn , n ≥ 1} chọn cho với k ≥ 1, {Xn , n ≥ k} dãy biến ngẫu nhiên độc lập Chứng minh Xét {Zn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn N (0, 1) dãy {Zn − Zn+1 , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối N (0, 2) Xét H hàm phân phối N (0, 2) Với n ≥ 1, cho Fn−1 (t) = inf {x ∈ [−∞, ∞] : Fn (x) ≥ t}, ≤ t ≤ Thấy với n ≥ 1, t ∈ [0, 1], x ∈ [−∞, ∞], t ≤ Fn (x) Fn−1 (t) ≤ x Đặt Xn = Fn−1 (H(Zn − Zn+1 )), n ≥ Khi Cov(Zn − Zn+1 , Zn+1 − Zn+2 ) = −1, n ≥ (1.4) (Zn − Zn+1 , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi dựa vào bảo tồn tính phụ thuộc âm đơi ta có (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, dãy hàm hợp {Fn−1 H, n ≥ 1} dãy hàm không tăng Bây giờ, với n ≥ 1, hàm phân phối Xn P (Xn ≤ x) = P {Fn−1 (H(Zn − Zn+1 )) ≤ x} = P {H(Zn − Zn+1 ) ≤ Fn (x)} 10 = P {Zn − Zn+1 ≤ H −1 (Fn (x))} = H(H −1 (Fn (x))) = Fn (x), −∞ ≤ x ≤ ∞ Tức ta chứng minh hàm phân phối Xn Fn , n ≥ Tiếp theo, ta giả sử {Fn , n ≥ 1} hàm liên tục Lúc đó, với n ≥ 1, Fn (Fn−1 (t)) = t, t ∈ [0, 1] Bây giờ, Xn Xn+1 độc lập với n ≥ 1, ta có H −1 (Fn (Xn )) H −1 (Fn+1 (Xn+1 )) độc lập Ta để ý H −1 (Fn (Xn )) = H −1 (Fn (Fn−1 (H(Zn − Zn+1 )))) = H −1 (H(Zn − Zn+1 )) = Zn − Zn+1 −1 H −1 (Fn+1 (Xn+1 )) = H −1 (Fn+1 (Fn+1 (H(Zn+1 − Zn+2 )))) = H −1 (H(Zn+1 − Zn+2 )) = Zn+1 − Zn+2 Lúc đó, theo (1.4) Xn Xn+1 khơng độc lập Nghĩa là, với k ≥ 1, {Xn , n ≥ k} không dãy biến ngẫu nhiên độc lập 19 Ta ý rằng, với n ≥ ESn − Bn = n j=1 E(Xj I(|Xj | n j=1 Bj P {Xj Bn > Bj } Bn ≤ Bj )) − n j=1 Bj P {Xj < −Bj } Bn →0 (2.24) theo (2.7) bổ đề Kronecker Từ (2.22), (2.23) (2.24) ta thu (2.3) Tức ý i) chứng minh Ta lại có điều kiện sau (2.4) đảm bảo n j=1 E(Xj I(|Xj | Bn ≤ Bj )) →0 kết hợp với công thức (2.3) ta thu (2.5) Khi ý ii) chứng minh Vậy định lý chứng minh Nhận xét (i) Điều kiện (2.1) tương đương với điều kiện (1.3) tài liệu Heyde [[9]] Sự tương đương rút từ tài liệu Heyde [[9]] phát biểu (1.3) cặp điều kiện (2.6) (2.7) tương đương Như ý nêu phần chứng minh Định lý, (2.1) cặp điều kiện (2.6) (2.7) tương đương (ii) Điều kiện đủ (2.1) ∞ n=1 E|Xn |rn x}dx = Bn Bn−2 x2−rn xrn −1 P {|Xn | > x}dx Bn ≤ Bn−2 Bn2−rn ≤ −rn rn Bn E|Xn | xrn −1 P {|Xn | > x}dx Do đó, ta có (2.1) rút từ (2.25) (iii) Có thể nhắc lại (2.25) với rn ≡ điều kiện Kolmogorov với dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn , n ≥ 1} giá trị tuân theo Luật mạnh số lớn (1.3) với cn ≡ Bn ↑ ∞ Nhưng (2.1) với dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn , n ≥ 1} giá trị (2.25) sai với rn ≡ Để thấy điều này, đơn giản ta cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối giá trị với EX12 = ∞ cho Bn = n(log(n + 1))λ , n ≥ với λ > Lúc (2.25) với rn ≡ sai (2.25) với rn ≡ Do đó, (2.1) theo Nhận xét Định lý 2.1(ii) 2.1.2 Hệ Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi cho {Bn , n ≥ 1} dãy số dương Giả sử (2.1) (i) Nếu (2.2) E Xn I(|Xn |≤Bn ) = o(1), (2.26) lúc ta thu LMSL n j=1 Xj Bn → h.c.c (2.27) 21 (ii) Nếu Bn n ↑ ∞, Bn+1 = O(Bn ), E(|Xn |I(|Xn |≤Bn ) ) = o(1) n Bn (2.28) lúc ta thu LMSL (2.27) (iii) Nếu Bn ↑, n = O(Bn ), Bn+1 = O(Bn ), E(|Xn |I(|Xn |≤Bn ) ) = o(1) n (2.29) lúc LMSL (2.27) hội tụ Chứng minh (i) Theo Định lý 2.1(i), (2.3) Bây giờ, theo (2.26) Định lý tính khả tích trung bình Cesàro n j=1 EXj I(|Xj | n ≤ Bj ) → (2.30) Từ n = O(Bn ) theo điều kiện đầu (2.2), ta rút từ (2.30) n j=1 E(Xj I(|Xj | Bn ≤ Bj )) →0 (2.31) kết hợp (2.3) (2.31) ta thu LMSL (2.27) (ii) Từ điều kiện đầu điều kiện thứ (2.28) với n > m ≥ n j=1 E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) Bn n max1≤j≤n E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) Bn n max1≤j≤m E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) n maxm+1≤j≤n E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) ≤ + Bn Bn jE(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) n max1≤j≤m E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) ≤ + max m+1≤j≤n Bn Bj jE(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) → + sup (n → ∞) Bj j≥m+1 → (m → ∞) ≤ 22 Do ta có (2.4) (2.27) rút từ Định lý 2.1(ii) (iii) Theo điều kiện thứ điều kiện thứ (2.29) cách trực tiếp phần (i), n j=1 E(|Xj |I(|Xj | ≤ Bj )) Bn → Do ta có (2.4) (2.27) rút từ Định lý 2.1(ii) Hệ sau tổng quát Định lý Etemadi [9] trường hợp đặc biệt {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm độc lập đôi một, supn≥1 EXn < ∞, Bn ≡ n, m = 2.1.3 Hệ Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc đơi khả tích Giả sử cho (2.2), (2.6), (2.7), n j=1 E(Xj I(|Xj | ≤ Bj )) Bn → (2.32) Lúc ta thu LMSL n j=1 (Xj − EXj ) Bn → h.c.c (2.33) Chứng minh Từ (2.1) cặp điều kiện (2.6) (2.7) tương đương, Định lý 2.1(i) đảm bảo cho (2.3) Kết hợp với (2.32) ta thu kết (2.33) 2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi phân phối Như hệ Định lý 2.1, phần thảo luận kết phần tổng n j=1 aj Xj , n ≥ với {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi phân phối {an , n ≥ 1} dãy 23 số dương Hằng số an , n ≥ phần tổng n j=1 aj Xj , n ≥1 ví trọng số tổng trọng số Theo Bổ đề 1.2.2, {an Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 2.2.1 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi phân phối {an , n ≥ 1} {Bn , n ≥ 1} dãy số dương (i) Giả sử Bn ↑, Bn+1 ∼ Bn , n (2.34) Bn Bj Bn Bn ↑, → ∞, = O inf , j≥n jaj an nan nan (2.35) n |aj | = O(nan ), (2.36) P {|an X1 | > Bn } < ∞, (2.37) j=1 ∞ j=1 nan Bn E |X1 |I |X1 | ≤ Bn an = O(1) (2.38) Khi ta có Luật mạnh số lớn n j=1 aj Xj Bn → h.c.c (2.39) (ii) Giả sử cho (2.34), Bj max ( )2 1≤j≤n aj ∞ j=n aj Bj = O(n), (2.40) 24 nan = O(1), Bn n aj = O(Bn ), EX1 = (2.41) j=1 Khi ta có Luật mạnh số lớn (2.39) (iii) Giả sử cho (2.37), (2.40), Bn ↑ ∞, Bn+1 = O(Bn ), n j=1 E(|aj Xj |I(|Xj | ≤ Bj aj )) Bn (2.42) → (2.43) Khi ta có Luật mạnh số lớn (2.39) (iv) Giả sử cho (2.37), (2.40), Bn ↑, Bn+1 = O(Bn ), (2.44) aj = O(Bn ), E|X1 | < ∞ (2.45) n j=1 Khi ta có Luật mạnh số lớn (2.39) Chứng minh (i) Theo (2.35) điều kiện Bn /an ↑ ∞, ta có (2.40) (như chứng minh Định lý tài liệu Adler, Rosalsky, Taylor [5] Lúc theo (2.37), (2.40) Bổ đề 1.1.6 ta có ∞ n=1 an Bn E X12 I |X1 | ≤ Bn an < ∞ (2.46) Nhìn vào tương đương (2.1) cặp điều kiện (2.6), (2.7), từ (2.37), (2.46) ta suy ∞ Bn Bn−2 n=1 xP {|an Xn | > x}dx < ∞ (2.47) 25 Dựa vào (2.47), (2.34), (2.38) định lý 2.1(i), n j=1 (aj Xj − E(aj Xj I(aj Xj ≤ Bj ))) → h.c.c Bn (2.48) Ta lại có n j=1 E(aj Xj I(aj Xj Bn ≤ Bj )) → 0, (2.49) theo Định lý Adler, Rosalsky, Taylor [[5]] sử dụng (2.35), (2.36) (2.37) Kết luận (2.39) rút trực tiếp từ (2.48) (2.49) (ii) Chú ý (2.38) hệ trực tiếp (2.41) Bây từ (2.41) rút Bn /an ≥ δn với δ > n ≥ Từ E|X1 | < ∞, ∞ ∞ P {|an X1 | > Bn } ≤ n=1 P {|X1 | > δn} < ∞ n=1 Lúc đó, lý luận chứng minh phần (i), (2.48) tiếp tục sử dụng để suy kết (2.49) Chú ý Bn /an → ∞ E|X1 | < ∞, E(|X1 | I(|X1 | > Bn /an )) → từ với ε > 0, tồn số nguyên N ≥ cho E(|X1 | I(|X1 | > Bn /an )) ≤ ε với n ≥ N Lúc đó, với n ≥ N , n j=1 aj E ≤ (Xj I(|Xj | ≤ Bj /aj )) n j=1 aj |E Bn (X1 I(|X1 | ≤ Bj /aj ))| Bn 26 n j=1 aj | − E (X1 I(|X1 | > Bj /aj ))| (do EX1 = 0) Bn n j=1 aj E (|X1 | I(|X1 | > Bj /aj )) ≤ Bn n N −1 j=N aj ε j=1 aj E (|X1 | I(|X1 | > Bj /aj )) + ≤ Bn Bn ≤ o(1) + Cε = (theo điều kiện đầu (2.34) điều kiện thứ (2.43)) Vì ε > tùy ý nên ta thu (2.49) (iii) Tương tự chứng minh phần (i) ta thu (2.47) Lúc từ Định lý 2.2(ii) công thức (2.42) (2.43), ta thu (2.39) (iv) Theo (iii), ta cần kiểm tra Bn ↑ ∞ (2.43) Bây giờ, Bn ↑ ∞ suy trực tiếp từ điều kiện đầu (2.44) điều kiện đầu (2.45) Để kiểm tra điều kiện (2.43), từ (2.45), ta có n j=1 E(|aj Xj | I(|Xj | ≤ Bj /aj )) C nj=1 aj ≤ = o(1) Bn Bn Định lý chứng minh 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ Ví dụ 1: Cho λ ≥ cho {αn , n ≥ 1} {βn , n ≥ 1} dãy số dương cho αn βn = O(nλ−1 ) βn = (nλ /(log n)1+ε ) với ε > Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi với Xn có hàm phân phối xác suất |x|αn −1 e−|x|/βn fn (x) = , −∞ < x < ∞, n ≥ 2βnαn Γ(αn) 27 với ∞ tα−1 e−t dt, α > Γ(α) = Cho Bn = nλ , n ≥ Chú ý E|Xn | = αn βn , E|X|2n = αn2 βn2 + αn βn2 , n ≥ Do chuỗi ∞ n=1 E ∞ n=1 Xn2 /(Xn2 + Bn2 ) < ∞ đa số EXn2 ≤ Bn2 ∞ n=1 Cn2λ−2 + Cn2λ−1 βn n2λ ∞ ≤C+ n=2 C C + cho B1 = B2 /2 Bây P {|X1 | > x} = x−1 , x ≥ ∞ n=3 ∞ Bn Bn−2 xP {|Xn | > x}dx = Bn−2 n=3 ∞ Bn xdx + Bn−1 < ∞ = n=3 1dx 28 Do (2.1) thỏa mãn Bây ta có E |Xn |I(|Xn | ≤ Bn ) = E X1 I(X1 ≤ Bn ) ∼ log n ta có (2.28) Do Hệ 2.1.1(ii), n j=1 Xj n(log n)1+ε → h.c.c Ví dụ 3: Cho X biến ngẫu nhiên đối xứng với < E|X| < ∞ cho Bn = n, n ≥ Đặt Xn = X, n ≥ Lúc {Xn , n ≥ 1} khơng phải m-phụ thuộc âm đôi Bây chọn {Bn , n ≥ 1} E|X| < ∞ tương ứng ∞ max 1≤j≤n ∞ Bj−2 Bj2 P {|Xn | > Bn } < ∞ j=n n=1 nên theo Bổ đề 1.1.4 ∞ Bn−2 E{Xn2 I(|Xn | ≤ Bn )} < ∞ n=1 Do đó, (2.1) qua tương đương (2.6) (2.7) Tuy nhiên, (2.2) xóa Nhưng với n ≥ 1, ∞ n=1 (Xj − E(Xj I(|Xj | ≤ Bj ))) nX = =X Bn n nên (2.4) sai Ví dụ 4: Cho {Yn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối với P {Y1 > y} = e , y ≥ e y log y Cho n0 = 0, nk = 2k , k ≥ xác định Xj = Yk , nk−1 + ≤ j ≤ nk , k ≥ 29 Lúc {Xn , n ≥ 1} khơng dãy biến ngẫu nhiên phân phối Cho B1 ≡ Bn = n log n, n ≥ Chúng ta thử lại điều kiện đầu (2.1) Chú ý ∞ Bn Bn−2 xP {|Xn | > x}dx n=1 ∞ Bn−2 =C+ Bn e2 n=5 ∞ Bn−2 =C+ n=5 ∞ Bn n=5 ∞ 2eBn−2 =C+ n=5 ∞ ≤C +C n=5 ∞ ≤C +C n=5 e dx log x e2 2eBn−2 ≤C+ xP {|X1 | > x}dx C+ Bn e2 x log x log x − dx (log x)2 Bn e2 Bn log Bn x}dx Bn P {|X1 |I(|X1 |≤Bn ) > x}dx = Bn ≤ P {|X1 | > x}dx Bn e dx x log x ≤ C log log Bn =C+ ≤ C log log n 30 với n ≥ C nj=3 log log j E |Xn |I(|Xn |≤Bn ) ≤ o(1) + Bn Bn Cn log log n ≤ o(1) + Bn C log log n = o(1) + log n = o(1) thỏa mãn (2.4) Cuối cùng, theo Rosalsky [[15]] lim sup n→∞ (2.4) sai n j=1 Xj Bn = ∞ h.c.c 31 KẾT LUẬN Kết Luận văn thu kết sau: 1.1 Nghiên cứu khái niệm phụ thuộc âm đôi một, m-phụ thuộc âm đôi một, bảo tồn tính m-phụ thuộc âm đơi một, nghiên cứu bất đẳng thức phương sai dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi 1.2 Nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên mphụ thuộc âm đôi cho hai trường hợp phân phối không phân phối Hướng phát triển Nghiên cứu phát triển kết luận văn lên thành kết tổng quát 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội tiếng anh [4] A Adler and A Rosalsky (1987), Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables, stochastic Anal Appl, 5, 1-16 [5] A.Adler, A.Rosalsky and R.L.Taylor (1992), Some strong laws of large numbers for sum of random elements, Bull Inst Math Acad Sinica, 20, 267-292 [6] M.Amini, H.A.Azarnoosh and A.Bozorgnia (1999), The almost sure convergence of weighted sums of negatively dependent randoms variables, J.Sci Islam Repub Iran, 10, 112-116 [7] M.Amini and A.Bozorgnia (2000), Negatively dependent bounded randoms variables probability inequalities and the strong laws of large numbers, J.Appl Math Stochastic Anal, 13, 261-267 [8] N Etemadi (1983), On the laws of large numbers for nonnegative random variables, J Multavariate Anal, 13, 187-193 33 [9] C C Heyde (1968), On almost sure convergence for sums of independent random variables, Sankhya Ser A, 30, 353-358 [10] T -S Kim and H -C Kim (2001), On the laws of large numbers for weighted sum of negatively quadrant dependent random variables, Bull Korean Math Soc, 38, 55-63 [11] E L Lehmann (1966), Some concepts of dependence, Ann Math Statist, 37, 1137-1153 [12] D Li, A Rosalsky and A Volodin (2006), On the strong laws of large numbers for sequences of pairwise negative quadrant dependent random variables, Bull Inst Math Acad Sin, 1, 281-305 [13] P.Matula (1992), A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett, 43, 209213 [14] Nguyen Van Quang and Le Van Thanh (2006), Marcinkiewicz- Zugmund law of large numbers for blockwise adapted sequence, Bulletin of the korean Mathematic Society, 43, 213 - 223 [15] A Rosalsky (1993), On the almost certain limiting behavior of normed sums of identically distributed positive random variables, Statish Problab Lett, 16, 65-70 [16] Le Van Thanh (2005), Strong laws of large numbers for sequence of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bulletin of the institute of Mathematic Academia Sinica, 4, 397 - 405 ... CHƯƠNG LUẬT M? ??NH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN M -PHỤ THUỘC ? ?M ĐÔI M? ??T 2.1 Luật m? ??nh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc ? ?m đôi không phân phối 2.1.1 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu. .. tồn tính m- phụ thuộc ? ?m đôi m? ??t, nghiên cứu bất đẳng thức phương sai dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc ? ?m đôi 1.2 Nghiên cứu luật m? ??nh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên mphụ thuộc ? ?m đôi cho hai trường... ni? ?m tính chất tính độc lập, độc lập đôi m? ??t, m- phụ thuộc, phụ thuộc ? ?m đôi m? ??t, m- phụ thuộc ? ?m đôi Đồng thời đưa số bất đẳng thức bổ đề để chứng minh Luật m? ??nh số lớn Chương Luật m? ??nh số lớn cho