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|f (x)|, x ♥➯♥ |f (x)| ✈ỵ✐ x E ỵ sỷ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ✈➔ F f x ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ E✳ ❑❤✐ ✤â✱ ợ ộ f F tỗ t f ∈ E∗ s❛♦ ❝❤♦ f |F = f ✈➔ f = f ✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✹✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ E, x = tỗ t f E s ❝❤♦ f (x) = x ✈➔ f = 1✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✺✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ E, x = y tỗ t f E s f (x) = f (y)✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✻✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ổ tỹ õ tỗ t ❞➣② {f , n n s❛♦ ❝❤♦ x = supn |fn (x)| ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E✳ ✷ 1} ⊂ E∗ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ●✐↔ sû E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ✈➔ E∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ E✳ ∗ ❚➟♣ A ⊂ E ữủ t trử tỗ t n N ; f1, f2, , fn ∈ E∗; A ∈ B(Rn) s❛♦ ❝❤♦ A = {x ∈ E : f1 (x), , fn (x) A} ỵ t t trử F(E) ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✽✳ ✶✳ ▲➜② f ∈ E∗ ✈➔ a ∈ R t❤➻ A = {x ∈ E : f (x) = a} ❧➔ t➟♣ trö✳ ✷✳ ▲➜② f1, f2 ∈ E∗ ✈➔ a, b ∈ R t❤➻ A = {x ∈ E : f1(x) = a, f2(x) = b} t trử ỵ F(E) sè✳ ✭✐✐✮ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧② t❤➻ σ F(E) = B(E)✱ ✈ỵ✐ B(E) ❧➔ σ ✲✤↕✐ sè ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ❝õ❛ E✳ ✶✳✷✳ P❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝ị♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳❈❤ó♥❣ t❛ ❧✉ỉ♥ ❣✐↔ sû (Ω, F, P) ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t ✤➛② ✤õ✱ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧②✱ G ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ F ✈➔ B(E) ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ❝õ❛ E✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❚❛ ♥â✐ →♥❤ ①↕ X : Ω −→ E ❧➔ ♣❤➛♥ tû−1 ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✱ ♥➳✉ X ❧➔ →♥❤ ①↕ G/B(E) ✤♦ ✤÷đ❝ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ B ∈ B(E) t❤➻ X (B) ∈ G ✮✳ P❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ F ✲✤♦ ✤÷đ❝ s➩ ✤÷đ❝ ❣å✐ ♠ët ❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✱ ♥➳✉ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ t❤➻ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤➻ ❤å σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(E)} ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè F ✳ σ✲✤↕✐ sè ♥➔② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ σ✲✤↕✐ sè s✐♥❤ ❜ð✐ X ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ σ(X) ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❜➨ ♥❤➜t ♠➔ X ✤♦ ✤÷đ❝✳ ❉♦ ✤â X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ σ(X) ⊂ G ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ P❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ X : Ω −→ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝ ♥➳✉ |X(Ω)| ❦❤ỉ♥❣ q✉→ ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ |X(Ω)| ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✭tr♦♥❣ ✤â |X(Ω)| ❧➔ ❧ü❝ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ X(Ω)✮✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû A ∈ F ✱ a ∈ E✱ a = 0✳ ✣➦t a ♥➳✉ ω ∈ A; X(ω) = ♥➳✉ ω ∈ / A ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ B ∈ B(E)✱ ∅, ♥➳✉ ∈ / B, a ∈ / B; A, ♥➳✉ ∈ / B, a ∈ B; X −1 (B) = A, ♥➳✉ ∈ B, a ∈ / B; Ω, ♥➳✉ ∈ B, a ∈ B ♥➯♥ X −1(B) ∈ F ✳ ❉♦ ✤â X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ |X(Ω)| ♥➯♥ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ✸ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤✉②➸♥ ✤➳♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t t tỷ ỵ ✶✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû E1 , E2 ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧②✱ T : E1 → E2 ❧➔ →♥❤ ①↕ B(E1 )/B(E2 ) ✤♦ ✤÷đ❝ ✈➔ X : Ω → E1 ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❑❤✐ ✤â →♥❤ ①↕ T ◦X : Ω → E2 ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✺✳ ●✐↔ sû →♥❤ ①↕ X : Ω → E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❑❤✐ ✤â✱ →♥❤ ①↕ X : Ω → R ❧➔ ❜✐➳♥ G ữủ ỵ s r ♠ët ✤➦❝ tr÷♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ỵ X : E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ E∗ t❤➻ f (X) ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✼✳ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✱ a, b ∈ R ✈➔ ξ : Ω → R ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❑❤✐ ✤â aX + bY ✈➔ ξX ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✽✳ ◆➳✉ {X , n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ ✈➔ Xn → X ❦❤✐ n → ∞ t❤➻ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ n ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝➜✉ tró❝ t tỷ ỵ ⑩♥❤ ①↕ X : Ω → E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ X ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✤➲✉ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ rớ r G ữủ tỗ t ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ {Xn , n 1}✱ s❛♦ ❝❤♦ lim sup Xn (ω) X() = n ỵ ①↕✿ X : Ω → E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ X ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✭t❤❡♦ ❝❤✉➞♥ ✮ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ {Xn , n 1}✱ s❛♦ ❝❤♦ Xn (ω) X(ω) ✈ỵ✐ ♠å✐ n tỗ t↕✐ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ {Xn , n 1} t❤♦↔ ♠➣♥ lim Xn (ω) − X(ω) = ✈➔ Xn (ω) X(ω) ✈ỵ✐ ♠å✐ n n→∞ ✈➔ ♠å✐ ω ∈ Ω✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❦➳t t❤ó❝ ♠ư❝ ♥➔② ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✶✳ ●✐↔ sû {Xt, t ∈ ∆} ❧➔ ❤å ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ (Ω, F, P)✱ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥ (E, B(E))✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤å {Xt , t ∈ ∆} ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✤ỉ✐ ♠ët ✭✤ë❝ ❧➟♣ ✮ ♥➳✉ ❤å σ ✲✤↕✐ sè {σ(Xt ), t ∈ ∆} ✤ë❝ ❧➟♣ ✤æ✐ ♠ët ✭✤ë❝ ❧➟♣✮✳ ❚ø tr t s r ỵ s ỵ sỷ E1 , E2 ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧② ✈➔ {Xt , t ∈ ∆} ❧➔ ❤å ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ E1 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ t ∈ ∆, Tt : E1 → E2 ❧➔ →♥❤ ①↕ B(E1 )/B(E2 ) ✤♦ ✤÷đ❝ t❤➻ ❤å {Tt (Xt ), t ∈ ∆} ❧➔ ❤å ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ E2 ✳ ỵ sỷ X , X , , X ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ (Ω, F, P)✱ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥ (E, B(E))✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ X1 , X2 , , Xn ✤ë❝ ❧➟♣ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ f1 , f2 , , fn ∈ E∗ ✱ ❝→❝ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ f (X1 ), f (X2 ), , f (Xn ) ✤ë❝ ❧➟♣✳ n ✹ ✶✳✸✳ ❑ý ✈å♥❣ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû X : Ω → E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ P❤➛♥ tû m ∈ E ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦ý ✈å♥❣ ❝õ❛ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ E t õ f (m) = E(f (X)) ỵ m = EX ✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✷✳ ●✐↔ sû a ∈ E✱ A ∈ F ✈➔ X = aI ✱ tù❝ ❧➔ A X(ω) = ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻ ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ E∗✱ ✈➔ ♥➯♥ EX = P(A)a✳ ♥➳✉ ω ∈ A; ♥➳✉ ω ∈/ A✳ a f (P(A)a) = P(A)f (a) E(f (X)) = E(f (a)IA ) = f (a)EIA = f (a)P(A), ỵ sỷ X ✱ Y ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ξ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ (Ω, F, P), a ∈ R✱ α ∈ E✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ tỗ t EX, EY, E t ỗ t E(X + Y ) ✈➔ E(X + Y ) = EX + EY ỗ t E(aX) E(aX) = aEX ỗ t E() E() = E ❀ ✹✳ ◆➳✉ P(X = α) = t❤➻ EX = α❀ ✺✳ ◆➳✉ ξ ✈➔ f (X) ✤ë❝ ❧➟♣ ợ f E t tỗ t E(X) E(ξX) = EξEX ❀ ✻✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ T : E → E ✭E ❧➔ ổ tỹ t tỗ t E(T (X)) E(T (X)) = T (E(X)) ỵ E X < t tỗ t EX ✈➔ E X EX ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✺✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ p > 0✳ ◆➳✉ E X ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p✳ ◆➳✉ X ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ 1✱ t❤➻ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ♥â✐ X ❦❤↔ t➼❝❤✳ p < ∞✱ t❤➻ t❛ ♥â✐ X ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✻✳ ❚❛ ♥â✐ →♥❤ ①↕ ϕ : E → R ỗ (ax + (1 a)y) aϕ(x) + (1 − a)ϕ(y) ✈ỵ✐ ♠å✐ a ∈ [0, 1], x, y E ỵ t t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥✮ ◆➳✉ ϕ : E → R ❧➔ ❤➔♠ ỗ tử X (X) t t (EX) E ϕ(X) ✺ ✶✳✹✳ ❑ý ✈å♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳ ●✐↔ sû ✭Ω, F, P✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t✱ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧②✱ B(E) ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❇♦r❡❧✳ X : Ω → E ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ G ❧➔ σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè ❑❤✐ ✤â ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❨✿ Ω → E ❣å✐ ❧➔ ❦ý ✈å♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❳ ✤è✐ ✈ỵ✐ G ♥➳✉ ✭✐✮ Y ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝❀ ✭✐✐✮ E(Y IA) = E(XIA)✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ G ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ Y = E(X|G ✮✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✷✳ ◆➳✉ G = {, } tỗ t EX E t❤➻ F✳ E(X|G) = EX ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t Y = EX ✱ ❦❤✐ ✤â ✭✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ B ∈ B(E) t❛ ❝â Y −1 (B) = ♥➳✉ EX ∈/ B; ♥➳✉ EX ∈ B, ∅ Ω ♥➯♥ Y −1(B) ∈ G ✳ ❱➟② Y ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ữủ ợ A G t A = ∅ ❤♦➦❝ A = Ω✳ ◆➳✉ A = ∅ t❤➻ Y IA = XIA ♥➯♥ E(Y IA) = E(XIA)✳ ◆➳✉ A = Ω t❤➻ Y IA = Y ✱ XIA = X ♥➯♥ E(Y IA ) = EY = E(EX) = EX = E(XIA ) ❱➟② E(Y IA) = E(XIA) ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ G ✳ ❉♦ ✤â Y = E(X|G) ❤❛② E(X|G) = EX ✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✸✳ ●✐↔ sû A ∈ F, a ∈ E, X = aIA✳ ❑❤✐ ✤â E(X|G) = aE(IA |G) ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t Y = aE(IA|G)✳ ✭✐✮ E(IA|G) ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ữủ Y ữủ ợ B ∈ G t❛ ❝â = aE(IA |G) ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ E(Y IB ) = E(aE(IA |G)IB ) = aE(E(IAB |G)) = aE(IAB ) = aP(AB), ✭✷✳✶✮ E(XIB ) = E(aIAB ) = aP(AB) ✭✷✳✷✮ ❚ø (2.1) ✈➔ (2.2) s✉② r❛✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ B ∈ G ✱ t❛ ❝â E(Y IB ) = E(XIB )✳ ❱➟② Y = E(X|G) ỵ s t ởt ữỡ ♣❤→♣ ❦❤→❝ ✤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦ý ✈å♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ tữỡ tỹ ữ ý ỵ ●✐↔ sû X, Y ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❑❤✐ ✤â Y = E(X|G) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f (Y ) = E(f (X)|G) ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ E∗ ỵ tr t t ❦ý ✈å♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ t❛ ự ữủ ỵ s ỵ ●✐↔ sû X, Y f ∈ E∗ ✳ ❑❤✐ ✤â ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ξ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ α ∈ E✱ a ∈ R✱ ✶✳ ◆➳✉ ξ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ E|ξ| < ∞ ✈➔ E ξX < ∞✱ t❤➻ E(ξX|G) = ξE(X|G) ✷✳ ◆➳✉ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ G ✲✤♦ ✤÷đ❝ t❤➻ E(X|G) = X ✸✳ E(X + Y |G) = E(X|G) + E(Y |G)✳ ✹✳ E(aX|G) = aE(X|G)✳ ✺✳ E(αξ|G) = αE(ξ|G)✳ ✻✳ ◆➳✉ G1 ⊂ G2 t❤➻ E E(X|G1 )|G2 = E(X|G1 ) = E E(X|G2 )|G1 ✳ ✼✳ ◆➳✉ σ(X) ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ G t❤➻ E(X|G) = EX ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ✈➔ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉ ✤➙② s➩ t✐➳♣ tư❝ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✻✳ ●✐↔ sû {Xn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ {Fn, n 1} ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè F ✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {Xn, Fn, n 1} ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ♣❤ị ❤đ♣ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ n 1✱ Xn ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ Fn ✲✤♦ ✤÷đ❝✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ♥➳✉ {Xn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❜➜t ❦ý ✈➔ Fn = σ(X1, · · · , Xn) ✭❧➔ σ ✲✤↕✐ sè s✐♥❤ ❜ð✐ X1 , · · · , Xn ✮ t❤➻ ❞➣② {Xn , Fn , n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤ị ❤đ♣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✼✳ ●✐↔ sû {Xn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ {Fn, n 1} ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè F ✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {Xn, Fn, n 1} ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♥➳✉ ✭✐✮ {Xn, Fn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤ị ❤đ♣ ✈➔ Xn ❦❤↔ t➼❝❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ n 1✱ ✭✐✐✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ m > n t❤➻ E(Xm|Fn) = Xn✳ ❉➣② {Xn, Fn, n 1} ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮ ✈➔ ✭✐✐✮✬ ✈ỵ✐ ♠å✐ m > n t❤➻ E(Xm|F n) = 0✳ ❱➼ ❞ö ✶✳✹✳✽✳ ●✐↔ sû {Xn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣✱ ❦❤↔ t➼❝❤✱ EXn = ✈ỵ✐n ♠å✐ n ✈➔ Fn = σ(X1, · · · , Xn)✳ ❑❤✐ ✤â {Xn, Fn, n 1} ❧➔ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ✈➔ {Sn = 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ k=1 Xk , Fn , n ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞♦ {Xn, , n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ë❝ ❧➟♣✱ ♥➯♥ ❝→❝ σ✲✤↕✐ sè σ(X1, · · · , Xn) ✈➔ σ(Xn+1, Xn+2, · · · ) ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n 1✳ ❉♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ m > n✱ E(Xm|Fn) = EXm = ✈➔ E(Sm |Fn ) = E(Sn |Fn ) + E(Xn+1 |Fn ) + · · · + E(Xm |Fn ) = Sn + EXn+1 + · · · + EXm = Sn ❚ø ✤â s✉② r❛ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳✾✳ ◆➳✉ {X , F , n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤ị ❤đ♣✱ Xn ❦❤↔ t➼❝❤ ✈➔ E(Xn+1 |Fn ) = Xn ✈ỵ✐ n n ♠å✐ n ∈ N✱ t❤➻ {Xn, Fn, n 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ m n✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ❤ót ❝õ❛ ❦ý ✈å♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❛ ❝â Xn = E(Xn+1 |Fn ) = E(E(Xn+2 |Fn+1 )|Fn ) = E(Xm+2 |Fn ) t✐➳♣ tư❝ ♥❤÷ ✈➟②✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ Xn = E(Xm|Fn) ❉♦ ✤â {Xn, Fn, n ◆❤➟♥ ①➨t tữỡ tỹ ụ ú ố ợ rt 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ✈➔ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✱ ❝â t❤➸ s✉② r❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙②✳ ✶✳ ◆➳✉ {Fn, n 1} ❧➔ ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ σ✲✤↕✐ sè ❝♦♥ ❝õ❛ σ✲✤↕✐ sè F ✱ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❦❤↔ t➼❝❤✱ Xn = E(X|F n )✱ t❤➻ {Xn , Fn , n 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ✷✳ ◆➳✉ {fn, Fn, n n 1} ❧➔ ❞➣② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤ü❝ ❧➟♣ t❤➔♥❤ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ✈➔ {xn, n 1} ⊂ E✱ t❤➻ {Xn = k=1 xk fk , Fn , n 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ✸✳ ◆➳✉ {Xn, Fn, n 1} ✈➔ {Yn, Fn, n 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ t❤➻ {aXn ± bYn, Fn, n 1} (a, b ∈ R) ❝ô♥❣ ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡✳ ✹✳ ◆➳✉ {Xn, Fn, n 1} ❧➔ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ t❤➻ {EXn, n 1} ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✳ ✺✳ ◆➳✉ {Xn, Fn, n 1} ❧➔ ❤✐➺✉ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ t❤➻ EXm = ✈ỵ✐ ♠å✐ m > 1✳ ✽ ❈❍×❒◆● ✷ ▲❯❾❚ ▼❸◆❍ ❙➮ ▲❰◆ ❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❧✉ỉ♥ ❣✐↔ sû r➡♥❣ (Ω, F, P) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ s✉➜t ✤➛② ✤õ✱ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ❦❤↔ ❧②✱ B(E) ❧➔ σ số t r tr E ỵ C s➩ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ✤➸ ❝❤➾ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♥â ❝â t❤➸ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❧➛♥ ①✉➜t ❤✐➺♥✳ ✷✳✶✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ ❤ë✐ tö ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû {X, X , n 1} ❧➔ ❤å ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝ò♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ Ω ✈➔ n ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ E✳ ❚❛ ♥â✐✿ ❉➣② {Xn, n 1} ❤ë✐ tö ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✤➳♥ X ✭❦❤✐ n tỗ t t N F s❛♦ ❝❤♦ P(N ) = ✈➔ Xn (ω) → X(ω) ✭t❤❡♦ ❝❤✉➞♥✱ ❦❤✐ n → ∞✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ ω \N ỵ Xn X Xn −h.c.c −−→ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❉➣② {Xn, n 1} ❤ë✐ tö ✤➛② ✤õ ✤➳♥ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > t❤➻ ∞ P( Xn X > ) < n=1 ỵ ❤✐➺✉ Xn → − X ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❉➣② {Xn, n 1} ❤ë✐ tö t❤❡♦ ①→❝ s✉➜t ✤➳♥ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✱ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > t❤➻ c lim P( Xn − X > ε) = n P ỵ Xn X n → ∞✮✳ ❉➣② {Xn, n 1} ❤ë✐ tö t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➜♣ p > ✤➳♥ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✱ ♥➳✉ X, Xn (n 1) ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p ✈➔ n→∞ lim E Xn − X p = ỵ Xn L X n w ❉➣② {Xn, n 1} ❤ë✐ tö ②➳✉ ✭t❤❡♦ ♣❤➙♥ ♣❤è✐✮ ✤➳♥ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✱ ♥➳✉ PX −→ PX ✱ tr♦♥❣ ✤â p n PX : B(E) → R B P X (B) w ỵ ❤✐➺✉ Xn −→ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✷✳ ❈❤♦ Xn → X ❤✳❝✳❝✳ ✈➔ Yn n → ∞✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✤➦t → Y ❤✳❝✳❝✳ ❑❤✐ ✤â Xn + Yn Ω1 = ω : lim Xn (ω) − X(ω) = , n→∞ Ω2 = ω : lim Yn (ω) − Y (ω) = n→∞ ✾ → X+Y ❤✳❝✳❝✳ ✭❦❤✐ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t Xn → X ❤✳❝✳❝✳ ✈➔ Yn → Y ❤✳❝✳❝✳ ♥➯♥ P(Ω1) = P(Ω2) = 1✱ s✉② r❛ P(Ω1 ∩ Ω2) = 1✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ω ∈ Ω1 ∩ Ω2 t❤➻ lim Xn (ω) − X(ω) = 0, lim Yn (ω) − Y (ω) = n→∞ ❤❛② n→∞ · · Xn (ω) → X(ω), Yn (ω) → Y (ω) ❱➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♥➯♥ · Xn (ω) + Yn (ω) → X(ω) + Y (ω) ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ω ∈ ω : lim Xn + Yn − X − Y (ω) = n→∞ ❉♦ ✤â Ω1 ∩ Ω2 ⊂ {ω : lim Xn + Yn − X − Y (ω) = 0}, n→∞ ♥➯♥ P lim Xn + Yn − X − Y (ω) = = n→∞ −−→ X + Y ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❱➟② Xn + Yn −h.c.c ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✸✳ ❈❤♦ a ∈ E ✈➔ X ❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✈➔ a ợ n L st tữỡ ự − 1/n ✈➔ 1/n✳ ❑❤✐ ✤â Xn →P ✈➔ Xn → ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â Xn : Ω → R+ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ Xn (ω) = ♥➳✉ Xn(ω) = 0, ♥➳✉ Xn(ω) = a a ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0✱ P Xn − > ε = P Xn > ε P Xn = a = P(Xn = a) = → ❦❤✐ n → ∞ n ✣✐➲✉ ♥➔② ✤↔♠ ❜↔♦ r➡♥❣ Xn →P ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ L ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ E Xn − = a · 1/n → ❦❤✐ n → ∞ ♥➯♥ Xn → ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✹✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ s✉② r❛ r➡♥❣ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ {X , n n 1} ❤ë✐ tö ♥❤✐➯♥ X ✭❦❤✐ ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✭✤➛② ✤õ✱ t❤❡♦ ①→❝ s✉➜t✱ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➜♣ p✮ ✤➳♥ ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ n → ∞✮ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❞➣② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✭t❤ü❝✮ { Xn − X , n 1} ❤ë✐ tö ❤➛✉ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ✭✤➛② ✤õ✱ t❤❡♦ ①→❝ s✉➜t✱ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➜♣ p✮ ✤➳♥ ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❞➣② ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤ü❝ ✭①❡♠ ❬❄❪✮✱ t❛ ❝â ♥❣❛② ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ❞➣② ♣❤➛♥ tû ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ✶✳ Xn → X ❤✳❝✳❝✳ (❦❤✐ n → ∞) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0✱ lim P sup Xm − X > ε = n→∞ m n ✶✵ c h.c.c ✷✳ ◆➳✉ Xn → − X t❤➻ Xn −−−→ X ✭❦❤✐ n → ∞✮✳ c ✸✳ ◆➳✉ {Xn, n 1} ❧➔ ❞➣② ♣❤➛♥ 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