Một dạng luật mạnh số lớn đối với dãy kép các phần tử ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Lời nói đầu Xác suất không gian Banach 1.1 Không gian xác suất 1.2 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach 1.3 Kì vọng phần tử ngẫu nhiên 1.4 Các dạng hội tụ 11 1.5 Không gian Rademacher dạng p 13 1.6 Một số bất đẳng thức bổ đề 14 1.7 Định nghĩa 15 Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên 16 2.1 Các bổ đề liên quan 16 2.2 Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên độc lập, không phân phối 2.3 22 Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất - thống kê ngành toán học đại, có phạm vi nghiên cứu rộng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác đời sống người Một ba định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất - thống kê Luật số lớn Đã có nhiều nhà tốn học nghiên cứu đề tài thu nhiều kết sâu sắc Nhiều luật số lớn thiết lập dãy đại lượng ngẫu nhiên hai trường hợp độc lập, phân phối độc lập, không phân phối Một hướng nghiên cứu Luật số lớn năm gần mở rộng kết Luật số lớn trường hợp dãy đại lượng ngẫu nhiên số cho trường hợp nhiều số Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund dãy nhiều số Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập Luật số lớn cho dãy kép biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực nghiên cứu Hong and Volodin (1999), L.V.Thanh (2005), N.V.Quang, N.N.Huy (2008) Luật số lớn cho dãy kép biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Rosalsky and L.V.Thanh (2006) N.V.Quang and N.V.Huan (2008) thiết lập Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu, chúng tơi nghiên cứu đề tài: "Một dạng luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên" Luận văn gồm chương Chương 1: Xác suất không gian Banach Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm không gian Banach, phần tử ngẫu nhiên, kì vọng phần tử ngẫu nhiên khơng gian Banach, đặc biệt khái niệm không gian Rademacher dạng p Đồng thời đưa số bổ đề bất đẳng thức làm sở cho kết luận văn Chương 2: Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên Nội dung luận văn trình bày chương Trước hết phát biểu chứng minh số bổ đề cần thiết, sau chứng minh số định lý Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên hai trường hợp độc lập phân phối độc lập không phân phối Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo dành nhiều thời gian, cơng sức hướng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê tốn ứng dụng, Khoa tốn, Phịng đào tạo sau đại học nhiệt tình giảng dạy suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa không gian Tơpơ • Giả sử X = ∅ Một họ τ tập X gọi Tôpô X có tính chất: (τ1 ) ∅ ∈ τ, X ∈ τ; (τ2 ) Ui ∈ τ , i ∈ I Ui ∈ τ ; i∈I (τ3 ) U,V ∈ τ U V ∈ τ Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô • Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Khi đó, tập U ∈ τ gọi tập mở Phần bù tập mở gọi tập đóng • Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, tập đóng bé X, chứa A gọi bao đóng A ký hiệu [A] Tập A ⊂ X gọi trù mật X [A] = X Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian khả ly (tách được) có tập đếm trù mật 1.1.2 Định nghĩa khơng gian mêtric • Giả sử X = ∅ Một ánh xạ d: X × X −→ R gọi mêtric (khoảng cách) X (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) d(x, y) = ⇔ x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian mêtric 1.1.3 Định nghĩa khơng gian định chuẩn • Không gian vectơ E gọi không gian định chuẩn tồn ánh xạ · (i) (ii) : E −→ R thỏa mãn x ≥ 0, ∀x ∈ E; x = ⇔ x = 0; (iii) kx =| k | x , ∀k ∈ R, ∀x ∈ E; (iv) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E Nếu đặt d(x, y) = x − y ; (x, y ∈ E) (E, d) khơng gian mêtric Khi d gọi mêtric sinh chuẩn · Nếu E khơng gian vectơ thực khơng gian định chuẩn (E, · ) gọi không gian định chuẩn thực • Không gian định chuẩn (E, · ) gọi không gian Banach (E, d) không gian đầy đủ, d mêtric sinh chuẩn · Nếu E không gian vectơ thực (E, · ) khơng gian Banach, (E, · ) gọi khơng gian Banach thực Ví dụ (Rn , · ) không gian Banach thực với chuẩn n x =( i=1 x2i )1/2 với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Nếu ≤ p ≤ (Lp (Ω, F, P), · ) không gian Banach thực với chuẩn X = (E|X|p )1/p • Giả sử E không gian Banach thực Ký hiệu E∗ = {f : E → R\ f phiến hàm tuyến tính, liên tục } Ta gọi E∗ khơng gian liên hợp E Với f ∈ E∗ , chuẩn f xác định công thức f = sup |f (x)| |x|≤1 nên |f (x)| f x với x∈ E 1.1.4 Định nghĩa đại số Giả sử Ω = ∅ P(Ω) = {∀A, A ⊂ Ω} Họ tập F ⊂ P(Ω) gọi đại số (i) Ω ∈ F; (ii) F đóng kín phép lấy phần bù, tức A ∈ F A¯ = Ω\A ∈ F; (iii) F đóng kín phép lấy hợp hữu hạn, tức Ak ∈ F n Ak ∈ F (k = 1, 2, , n) k=1 1.1.5 Định nghĩa σ−đại số Họ tập F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số (i) Ω ∈ F; (ii) F đóng kín phép lấy phần bù, tức A ∈ F A¯ = Ω\A ∈ F; (iii) F đóng kín phép lấy hợp đếm được, tức An ∈ F với n ∞ n=1 An ∈ F Ví dụ F0 = {∅, Ω} σ-đại số bé F1 = P(Ω) σ-đại số lớn 1.1.6 Định nghĩa độ đo xác suất • Giả sử Ω tập tùy ý = ∅, F σ-đại số tập Ω Khi cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo • Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P: F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) 0, ∀A ∈ F; (tính khơng âm) (ii) P(Ω) = 1; (tính chuẩn hóa) (iii) Nếu An ∈ F(n = 1, 2, , ), Ai ∞ ∞ An = P n=1 Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) P(An ) (tính cộng đếm được) n=1 1.1.7 Không gian xác suất, không gian xác suất đầy đủ • Giả sử Ω tập tùy ý = ∅, F σ-đại số tập Ω P độ đo xác suất F Khi ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ-đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có Biến cố A¯ = Ω\A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu A B = AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc • Khơng gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất biến cố Để đơn giản từ sau, nói đến khơng gian xác suất (Ω, F, P) ta ln xem khơng gian xác suất đầy đủ 1.1.8 Định nghĩa tập Borel không gian Tôpô Giả sử X không gian Tơpơ Khi σ-đại số bé chứa tập mở X gọi σ-đại số Borel kí hiệu B(X) Mỗi tập A∈ B(X) gọi tập Borel 1.1.9 Ví dụ Nếu lấy X = R B(R) = σ{(−∞, a) : a ∈ R} = σ{(a, +∞) : a ∈ R} = σ{[a, b) : −∞ < a < b < +∞} = σ{(a, b] : −∞ < a < b < +∞} 1.2 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa Giả sử (Ω1 ; F1 ), (Ω2 ; F2 ) không gian đo Khi ánh xạ X: Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 -đo ∀B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 1.2.2 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ-đại số σ-đại số F E không gian Banach thực, khả ly Ta nói ánh xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên G đo X ánh xạ G/B(E) đo Phần tử ngẫu nhiên F-đo gọi cách đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G-đo X phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy X phần tử ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(E)} lập thành σ-đại số σ-đại số F, σ-đại số gọi σ-đại số sinh X Hơn nữa, σ(X) σ-đại số bé mà X đo Do X phần tử ngẫu nhiên G-đo σ(X) ⊂ G 1.2.3 Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω → E xác định X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω Khi X phần tử ngẫu nhiên G đo với G = {∅, Ω} Thật vậy, với B ∈ B(E) X −1 (B) = ∅ ∈ / B, Ω ∈ B (1.1) nên X −1 (B) ∈ G 1.2.4 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → E gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạn X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong |X(Ω)| lực lượng tập hợp X(Ω)) 1.2.5 Ví dụ Lấy A ∈ F, a ∈ E, a = Đặt X(ω) = ω ∈ / A, a ω ∈ A (1.2) Khi đó, với B ∈ B(E),  ∅,    A, X −1 (B) = A,    Ω, nếu nếu 0∈ / B, a ∈ / B, 0∈ / B, a ∈ B, ∈ B, a ∈ / B, ∈ B, a ∈ B (1.3) nên X −1 (B) ∈ F Do X phần tử ngẫu nhiên Hơn nữa, |X(Ω)| ≤ nên X phần tử ngẫu nhiên đơn giản ∞ An Ai ∈ F Ai 1.2.6 Ví dụ: Giả sử Ω = Aj = ∅, với n=1 i = j, {xn , n 1} ⊂ E thỏa mãn xi = xj với i = j Đặt X(ω) = xi ω ∈ Ai , tức ∞ xn IAn X= n=1 Khi X phần tử ngẫu nhiên rời rạc X nhận khơng q đếm giá trị X −1 (B) = Ai ∈ F với B ∈ B(E) xi ∈B 1.2.7 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi hội tụ đến ánh xạ X : Ω → E Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn) với ω ∈ Ω Kí hiệu Xn → X 1.3 Kì vọng phần tử ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên Phần tử EX ∈ E gọi kì vọng X với f ∈ E∗ ta có f (EX) = E(f (X)) 10 1.3.2 Ví dụ Giả sử a ∈ E, A ∈ F X = aIA tức ω ∈ / A, a ω ∈ A X(ω) = (1.4) Khi EX = P(A)a, với f ∈ E∗ ,f (P(A)a) = P(A)f (a) E(f (X)) = E[f (a)IA ] = f (a)EIA = f (a)P(A) 1.3.3 Định lý Giả sử X,Y phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi đó, tồn EX, EY, Eξ Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY ; Tồn E(aX) E(aX) = aEX; Tồn E(αξ) E(αξ) = αE(ξ); Nếu P(X = a) = EX = a; Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ E∗ tồn E(ξX) E(ξX) = Eξ EX; Với ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E (E khơng gian Banach thực khả ly) tồn E[T (X)] E[T (X)] = T [E(X)] 1.3.4 Định lý Nếu E X < ∞ tồn EX E X EX Đối với biến ngẫu nhiên (thực) ta có kết sau 1.3.5 Định lý Giả sử X biến ngẫu nhiên không âm, α Khi EX α < ∞ ∞ EX α = αxα−1 P(X > x) dx 1.3.6 Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn Giả sử Y, X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên cho |Xn | Y, n EY < ∞ Khi Xn → X n → ∞ X khả tích E|Xn − X| → n → ∞ 18 m−1 Lại có lim m→∞ i=1 (bi+1,n −bin ) bmn cm −c1 m→∞ cm = lim = Do áp dụng Bổ đề Toeplit ta có m−1 lim m→∞ bmn Sin (bi+1,n − bin ) = S i=0 Hoặc m−1 bmn Sin (bi+1,n − bin ) → S m → ∞ (2.3) i=0 Tương tự ta chứng minh n−1 bmn Xét bmn Smj (bm,j+1 − bmj ) → S n → ∞ (2.4) j=0 m−1 n−1 Sij (bi+1,j+1 − bi+1,j − bi,j+1 + bij ) i=0 j=0 Ta có bi+1,j+1 − bi+1,j − bi,j+1 + bij = ci+1 dj+1 − ci+1 dj − ci dj+1 + ci dj = (ci+1 − ci )(dj+1 − dj ) Suy bmn m−1 n−1 m−1 n−1 Sij (bi+1,j+1 −bi+1,j −bi,j+1 +bij ) = i=0 j=0 Sij i=0 j=0 ci+1 − ci dj+1 − dj cm dn (2.5) Ta chứng minh chuỗi (2.5) hội tụ đến S m, n → ∞ Ta có m−1 n−1 Sij ci+1cm−ci i=0 j=0 m−1 n−1 i=0 j=0 dj+1 −dj dn −S d −d Sij ci+1cm−ci j+1dn j m−1 n−1 + S− i=0 j=0 m−1 n−1 − i=0 j=0 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn S ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn S 19 m−1 n−1 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn i=0 j=0 m0 n0 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn i=0 j=0 m0 n−1 + Sij − S + − − m−1 n0 Sij − S + i=m0 +1 j=0 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn i=0 j=n0 +1 m−1 n−1 + i=m0 +1 j=n0 +1 + − − ccm0 d0 dn 1− d0 dn ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn S Sij − S Sij − S ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn 1− c0 cm Sij − S S := (I1 ) + (I2 ) + (I3 ) + (I4 ) + (I5 ) • Xét (I5 ) ta có cm , dn ↑ ∞ m, n → ∞ nên − − ccm0 − ddn0 → Do (I5 ) → m, n → ∞ • Xét (I4 ) ta có ∀ > 0, tồn i0 , j0 để Sij − S m−1 n−1 (I4 ) i=m0 +1 j=n0 +1 ; ∀i i0 , j ci+1 − ci dj+1 − dj cm dn cm − cm0 dn − dn0 < cm dn Do (I4 ) → m, n → ∞ • Xét (I1 ) ta có ∀ > 0, ∃i0 , j0 để Sij − S ; ∀i i0 , j Lại có {ci }i=0,m0 ; {dj }j=0,n0 dãy tăng bị chặn Suy tồn M cho m0 n0 (ci+1 − ci )(dj+1 − dj ) M i=0 j=0 (I1 ) cm dn M → m, n → ∞ Do (I1 ) → m, n → ∞ • Xét (I2 ) với j cố định ta có Smj → S m → ∞ Suy tồn m0 (j) : Smj − S < ; ∀m > m0 (j) Chọn m1 cho m1 > max{m0 (1), m0 (2), , m0 (n0 )} Suy Smj − S < ; ∀m > m1 ; j = 0, , n0 j0 j0 20 m1 −1 n0 (I2 ) i=m0 +1 j=0 m−1 n0 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn Sij − S + i=m1 j=0 ci+1 −ci dj+1 −dj cm dn Sij − S := (I2 ) + (I2 ) Vì {ci }i=m0 +1,m1 −1 ;{dj }j=0,n0 dãy tăng, bị chặn nên chứng minh tương tự (I1 ) ta có (I2 ) → m, n → ∞ Ta có m−1 n0 (I2 ) = ci+1 − ci dj+1 − dj Sij − S cm dn i=m1 j=0 m−1 n0 ε i=m1 j=0 ci+1 − ci dj+1 − dj cm dn dn0 − d0 cm − cm1 dn cm d n0 → n → ∞ dn Do (I2 ) → m, n → ∞ Tương tự (I2 ) ta chứng minh (I3 ) → m, n → ∞ Suy m−1 n−1 Sij i=0 j=0 ci+1 − ci dj+1 − dj → m, n → ∞ cm dn Từ (2.2); (2.3); (2.5); (2.6) suy Vmn → m, n → ∞ Điều phải chứng minh (2.6) 21 2.1.2 Bổ đề Cho X biến ngẫu nhiên giá trị thực, ta có ∞ E|X|I(|X|>x) = P(|X| > t) dt + xP(|X| > x); x x Chứng minh Áp dụng Định lý 1.3.5 ta có ∞ E|X|I(|X|>x) = P(|X|I(|X|>x) > t) dt ∞ x = P(|X|I(|X|>x) > t) dt + x ∞ x = P(|X|I(|X|>x) > t) dt P(|X| > x) dt + P(|X| > t) dt x ∞ P(|X| > t) dt = xP(|X| > x) + x Đó điều phải chứng minh 2.1.3 Bổ đề Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên thực cho X bị chặn ngẫu nhiên Y Khi tồn số D > cho E|X|I(|X|>x) DE|Y |I(|Y |>x) , x Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2 ta có ∞ E|X|I(|X|>x) = xP(|X| > x) + P(|X| > t) dt x ∞ D(xP(|Y | > x) + P(|Y | > t) dt) x = DE|Y |I(|Y |>x) Vậy E|X|I(|X|>x) DE|Y |I(|Y |>x) , Đó điều phải chứng minh x 22 2.2 Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên độc lập, không phân phối 2.2.1 Định lý Giả sử E không gian Rademacher dạng p 2) {Xmn , m (1 < p 1, n 1} dãy kép phần tử ngẫu nhiên E bị chặn ngẫu nhiên theo hàng dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực {Am , m Nếu ∞ (i) m=1 1} E|Am |q mq {amn , m < ∞; < q < p, 1}, {bmn , m 1, n 1, n 1} dãy kép số thực dương cho bmn = em dn ; < em ↑ ∞, < dn ↑ ∞, ∀m, n thỏa mãn m n (ii) aij = O(bmn ), i=1 j=1 mn (iii) abmn = O(m−1 n−1 ), bmn m n aij (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh Đặt Ymn = Xmn I( cmn ) , Xmn cmn = Từ giả thiết (iii) suy tồn C > cho cmn bmn amn ; C mn Đầu tiên ta chứng minh bmn m n aij (Xij − EYij ) → h.c.c i=1 j=1 Ta có ∞ ∞ ∞ P(Xmn = Ymn ) = m=1 n=1 ∞ P( Xmn > cmn ) m=1 n=1 ∞ ∞ P(|Am | > cmn ) D m=1 n=1 ∞ ∞ D m=1 n=1 E|Am |q ( Bất đẳng thức Markov) cqmn 23 ∞ C m=1 E|Am |q mq Do đó, theo bổ đề 1.4.10 để chứng minh h.c.c ta cần chứng minh m n Đặt Smn = i=1 j=1 bmn m ∞ n=1 bmn < ∞ nq m n aij (Xij − EYij ) → i=1 j=1 n aij (Yij − EYij ) → h.c.c i=1 j=1 Yij −EYij cij Ta chứng minh {Smn , m 1} dãy Lp 1, n (Xmn ) nhận giá trị khơng gian Rademacher dạng p nên ta có m p E Smn − Sm0 n0 n =E i=m0 +1 j=n0 +1 m n C i=m0 +1 j=n0 +1 m n Yij − EYij cij E Yij − EYij cpij 2p C i=m0 +1 j=n0 +1 ∞ ∞ Xét m=1 n=1 E Ymn cpmn p p E Yij cpij p p (Bất đẳng thức Cr ) Ta có E Yij p Xij p dP = Xij cij cij = cpij P( Xij tp−1 P( Xij cij ) − p t)dt cij = cpij (1 − P( Xij > cij )) − p tp−1 (1 − P( Xij > t))dt cij = −cpij P( Xij > cij ) + p tp−1 P( Xij > t)dt 24 cij tp−1 P( Xij > t)dt p cij tp−1 P(|Ai | > t)dt pC cpij dz ptp−1 Đặt t = cij z 1/p Suy dt = Do E Yij p cpij P(|Ai | > cij z 1/p )dz C q p E|Ai | cij q q/p dz( cij z C Bất đẳng thức Markov) Suy ∞ ∞ m=1 n=1 ∞ p E Ymn cpmn ∞ C m=1 n=1 =C z −q/p Suy lim E Smn − Sm0 n0 p n→∞ q −q/p E|Am | z dz cqmn ∞ ∞ dz m=1 n=1 E|Am |q < ∞ cqmn = Do {Smn , m 1, n 1} hội tụ theo trung bình cấp p Suy {Smn , m 1, n 1} hội tụ theo xác suất E Ta lại có hội tụ theo xác suất hội tụ h.c.c tương đương tổng phần tử ngẫu nhiên độc lập (Xem [4]; [6]) ∞ ∞ Do m=1 n=1 Ymn −EYmn cmn hội tụ h.c.c Áp dụng bổ đề 2.1.1 ta có bmn m n aij (Yij − EYij ) → h.c.c i=1 j=1 25 Suy bmn m n aij (Xij − EYij ) → h.c.c (2.7) i=1 j=1 Bây ta chứng minh bmn Trong Zij = Xij I( n m aij EZij → h.c.c i=1 j=1 Xij >cij ) Ta có ∞ ∞ m=1 n=1 EZmn cmn ∞ ∞ C m=1 n=1 E|Am |I(|Am |>cmn ) cmn ∞ ∞ P(|Am | > t)dt + cmn P(|Am | > cmn ) ∞ cmn C cmn m=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ P(|Am | > cmn ) + =C m=1 n=1 m=1 n=1 C cmn P(|Am | > t)dt cmn Đặt t = cmn z ∞ ∞ Suy m=1 n=1 ∞ EZmn cmn ∞ ∞ ∞ ∞ P(|Am | > cmn ) + C C m=1 n=1 ∞ P(|Am | > cmn z)dz m=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ P(|Am | > cmn ) + C C m=1 n=1 ∞ ∞ P(|Am | > C m=1 n=1 ∞ ∞ m=1 n=1 ∞ ∞ ∞ −q cmn ) + C1 z dz m=1 n=1 ∞ ∞ P(|Am | > cmn ) + C1 C m=1 n=1 E|Am |q dz cqmn z q z −q dz m=1 E|Am |q mq nq E|Am |q mq ∞ n=1 < ∞ nq 26 Do ∞ ∞ EZmn < ∞ cmn m=1 n=1 Suy ∞ ∞ m=1 n=1 EZmn < ∞ cmn Áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta có m bmn n aij EZij → h.c.c (2.8) i=1 j=1 Từ (2.7), (2.8) ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Hệ Giả sử E không gian Rademacher dạng p (1 < p Nếu {Xmn , m 1, n 2) 1} dãy kép phần tử ngẫu nhiên bị chặn ngẫu nhiên theo hàng dãy {Am , m cho ∞ m=1 Thì mn m 1} biến ngẫu nhiên giá trị thực E|Am |q < ∞, < q < p, mq n (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.1 với bmn = mn amn = với m,n Khi bmn m n aij = thỏa mãn điều kiện (ii) định lý, i=1 j=1 amn = thỏa mãn điều kiện (iii) định lý m−1 n−1 bmn Vậy mn m n (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 27 Đó điều phải chứng minh 2.2.3 Hệ Giả sử {Xmn , m 1, n 1} dãy kép biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực bị chặn ngẫu nhiên theo hàng dãy {Am , m 1} biến ngẫu nhiên giá trị thực Nếu ∞ (i) m=1 E|Am |q mq {amn , m < ∞ < q < p, 1}, {bmn , m 1, n 1, n 1} dãy kép số thực dương cho bmn = em dn ; < em ↑ ∞, < dn ↑ ∞, ∀m, n thỏa mãn m n (ii) aij = O(bmn ), i=1 j=1 mn = (iii) abmn O(m−1 n−1 ), bmn m n aij (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh Ta dễ dàng thấy R khơng gian Rademacher dạng Do áp dụng Định lý 2.2.1 với E = R ta có điều phải chứng minh 2.3 Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối 2.3.1 Định lý Giả sử E không gian Rademacher dạng p 2) {Xmn , m (1 < p 1, n 1} dãy kép phần tử ngẫu nhiên E bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên giá trị thực X cho E|X|q < ∞, q < ∞ Nếu {amn , m 1, n 1}, {bmn , m 1, n 1} dãy kép số thực dương với bmn = em dn ; < em ↑ ∞, < dn ↑ ∞, ∀m, n cho m n (i) aij = O(bmn ), i=1 j=1 mn = (ii) abmn O(m−1/t n−1/t ), < t, s < min(p, q), 28 n m bmn aij (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh Đặt Ymn = Xmn I( Xmn cmn ) cmn = bmn amn ; Từ giả thiết (ii) suy tồn K1 > cho cmn > K1 m1/t n1/s > K1 (mn)1/q ; < t, s < min{p, q} Đầu tiên ta chứng minh n m bmn aij (Xij − EYij ) → h.c.c i=1 j=1 Ta có ∞ ∞ ∞ ∞ P(Xmn = Ymn ) = m=1 n=1 P( Xmn > cmn ) m=1 n=1 ∞ ∞ D P(|X| > cmn ) m=1 n=1 ∞ ∞ D E|X|q cqmn m=1 n=1 ∞ q C E|X| ∞ nq/s mq/t m=1 n=1 ∞ ∞ C E|X| mq/t m=1 q Do theo Bổ đề 1.4.10 để chứng minh h.c.c ta cần chứng minh m n Đặt Smn = i=1 j=1 bmn m bmn m nq/s n=1 aij (Xij − EYij ) → i=1 j=1 n aij (Yij − EYij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh tương tự Định lí 2.2.1 ta có ∞ m=1 n=1 < ∞ n Yij −EYij cij ∞ Ymn − EYmn hội tụ h.c.c cmn 29 Áp dụng Bổ đề 2.1.1 ta có n m bmn aij (Yij − EYij ) → h.c.c (2.9) i=1 j=1 Tiếp theo ta chứng minh m aij EZij → h.c.c bmn Trong Zij = Xij I( n i=1 j=1 Xij >cij ) Ta có bmn m n aij EZij D i=1 j=1 D m bmn bmn n aij E X I( X >cij ) aij E X I( X >K1 (ij)1/q ) i=1 j=1 m n i=1 j=1 Vì cmn > K1 m1/t n1/s > K1 (mn)1/q theo chứng minh Ta lại có ∀ > cho trước tồn m0 , n0 để E X I( X >K1 (ij)1/q ) < với i > m0 , j > n0 Từ giả thiết (i) ta có tồn M > cho bmn m n aij M i=1 j=1 Áp dụng Bổ đề Toeplitz ta chứng minh bmn m n aij EZij < , với m, n đủ lớn i=1 j=1 Suy bmn m n aij EZij → h.c.c i=1 j=1 Từ (2.9), (2.10) suy điều phải chứng minh (2.10) 30 2.3.2 Hệ Giả sử {X, Xmn , m nhiên nhận giá trị thực {Xmn , m X với E|X|q < ∞, 1, n 1, n 1} dãy kép biến ngẫu 1} bị chặn ngẫu nhiên q < ∞ Nếu {amn , m 1, n 1}, {bmn , m 1} dãy kép số thực dương cho bmn = em dn , < em ↑ ∞, 1, n < dn ↑ ∞, ∀m, n thỏa mãn m n (i) aij = O(bmn ), i=1 j=1 mn = (ii) abmn O(m−1/t n−1/t ), < t, s < min(p, q), bmn m n aij (Xij − EXij ) → h.c.c i=1 j=1 Chứng minh Tương tự Hệ 2.2.3 Áp dụng Định lý 2.3.1 với E = R ta có điều phải chứng minh 31 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau: Trình bày số kiến thức sở lý thuyết xác suất không gian Banach Phát biểu chứng minh số bổ đề định lý luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach trong hai trường hợp phân phối không phân phối Nêu số hệ định lý luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Hướng phát triển luận văn Mở rộng kết cho dãy kép phần tử ngẫu nhiên đa trị 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Quảng (2012), Xác suất không gian Banach, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội tiếng anh [4] Gabriel, J P.(1997), An inequality for sums of independent random variables indexed by finite dimensional filtering sets and its applications to the convergence of the series, Ann Probab ,779-786 [5] Hoffmann-Jorgensen, J.Pisier.G (1976), The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces, Ann Probab 4, 587-599 [6] Ito, K - Nisto, M (1968), On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables, Osaka J Math 5, 35-48 [7] Rohatgi, V K (1971), Convergence of weighted sums of independent random variables, Proc Cambridge Philos Soc 69, 305-307 [8] Woyczynski, W A (1980), On Marcinkiewicz- Zygmund laws of large numbers in Banach spaces and related of convergence, Probab Math Statist 117-131 [9] Rastislav Potocký-Marta Urbaníková (1999), Strong laws of large numbers for double sequences of random elements, Math Slovaca, 49, 85-93 ... DP(|Am | > t); với t 0, với số dương m,n 16 CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY KÉP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 2.1 Các bổ đề liên quan 2.1.1 Bổ đề Cho {xmn , m 1, n 1} dãy kép phần tử không gian Banach... Luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên độc lập, không phân phối 2.2.1 Định lý Giả sử E không gian Rademacher dạng p 2) {Xmn , m (1 < p 1, n 1} dãy kép phần tử ngẫu nhiên E bị chặn ngẫu nhiên. .. mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên không gian Banach trong hai trường hợp phân phối không phân phối Nêu số hệ định lý luật mạnh số lớn dãy kép phần tử ngẫu nhiên trường hợp biến ngẫu nhiên nhận