Luật mạnh số lớn đối với mảng kép các biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm năng

Bài viết trình bày việc xây dựng khái niệm giới hạn riêng của mảng kép các số thực và chứng minh giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng kép các số thực định nghĩa trong bài viết tương ứng là giới hạn riêng bé nhất và lớn nhất.

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 1A (2019), tr 33-39 LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG KÉP CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ỨNG VỚI HÀM TIỀM NĂNG Dương Xuân Giáp (1) , Ngô Hà Châu Loan (2) Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh Khoa Cơ sở, Trường Đại học kinh tế Nghệ An Ngày nhận 3/4/2019, ngày nhận đăng 6/5/2019 Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi xây dựng khái niệm giới hạn riêng mảng kép số thực chứng minh giới hạn giới hạn mảng kép số thực định nghĩa báo [3] tương ứng giới hạn riêng bé lớn Từ đó, chúng tơi ứng dụng để thiết lập luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Kết mở rộng kết F Maccheroni M Marinacci đăng tạp chí The Annals of Probability năm 2005 từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng kép Mở đầu Ta bắt gặp thực tiễn không gian đo với độ đo tính cộng tính (xem tài liệu [2], [5], [8]) Từ đó, khái niệm khơng gian đo với hàm tiềm (capacity) giới thiệu nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Một hướng nghiên cứu lớp không gian định lý giới hạn ứng dụng chúng Năm 1999, M Marinacci [7] thiết lập luật số lớn cho hàm tiềm (capacity) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối mơ hình hóa cho lý thuyết định kinh tế (bài báo đăng tạp chí Journal of Economic Theory) Sau đó, năm 2005, F Maccheroni M Marinacci [6] mở rộng kết cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối số giả thiết khác hàm tiềm (bài báo đăng tạp chí The Annals of Probability) Đến năm 2014, P Terán thiết lập luật số lớn cho hàm tiềm dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối với số giả thiết yếu [10] Dưới tên gọi khác nhau, hàm tiềm nghiên cứu rộng rãi toán học túy ứng dụng Trong báo này, xây dựng khái niệm mảng giới hạn riêng mảng kép số thực nghiên cứu tính chất chúng Các khái niệm khác với khái niệm tương tự nêu báo [3], có nhiều tính chất tốt đặc biệt áp dụng để mở rộng luật mạnh số lớn đưa F Maccheroni M Marinacci [6] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng kép Kiến thức chuẩn bị Trong suốt báo này, khơng nói thêm, chúng tơi ln giả thiết Ω không gian Polish ứng với metric d (không gian metric đầy đủ, khả ly) B σ-đại số 1) Email:dxgiap@gmail.com (D X Giáp) 33 D X Giáp, N H C Loan / Luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên Borel Ký hiệu R (tương ứng, N) tập tất số thực (tương ứng, tập tất số tự nhiên) ký hiệu KR họ tất tập compact khác rỗng R Trong phạm vi báo này, xem xét hội tụ mảng kép ứng với max số tiến tới vô Ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên hàm đo (Borel) Một hàm tập ν : B → [0, 1] gọi hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu (totally monotone capacity) thỏa mãn điều kiện sau: (1) ν(∅) = ν(Ω) = 1; (2) ν(A) ≤ ν(B) với tập Borel A ⊂ B; (3) ν(Bn ) ↓ ν(B) với dãy tập Borel Bn ↓ B; (4) ν(Gn ) ↑ ν(G) với dãy tập mở Gn ↑ G; (5) ν(∪nj=1 Bj ) ≥ ∅=J⊆{1,2, ,n} (−1)|J|+1 ν(∩j∈J Bj ) với họ B1 , , Bn tập Borel Một hàm tập ν : B → [0, 1] gọi liên tục thỏa mãn điều kiện: (6) ν(Bn ) ↑ ν(Ω) với dãy tập Borel Bn ↑ Ω Một hàm tập liên tục ν : B → [0, 1] hàm tiềm hồn tồn đơn điệu thỏa mãn điều kiện (1), (2) (5) Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu B Như trường hợp xác suất cộng tính (khơng gian xác suất thơng thường), ta nói mảng kép biến ngẫu nhiên {Xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập đôi (ứng với ν) với m1 , n1 , m2 , n2 ∈ N tập mở G1 , G2 R, ta có ν(Xm1 n1 ∈ G1 , Xm2 n2 ∈ G2 ) = ν(Xm1 n1 ∈ G1 ).ν(Xm2 n2 ∈ G2 ), ta nói mảng phân phối với m1 , n1 , m2 , n2 ∈ N tập mở G R, ta có ν(Xm1 n1 ∈ G) = ν(Xm2 n2 ∈ G) Tích phân Choquet biến ngẫu nhiên bị chặn X (ứng với hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu ν) định nghĩa +∞ Xdν := [ν(X > t) − 1]dt, ν(X > t)dt + −∞ tích phân vế phải tích phân Riemann chúng hoàn toàn xác định hàm ν(X > t) đơn điệu theo biến t Ký hiệu KΩ (tương ứng, GΩ ) họ tất tập compact khác rỗng (tương ứng, tập mở) Ω Khi đó, KΩ khơng gian Polish ứng với khoảng cách Hausdorff dH (A, B) := max{max d(a, b), max d(b, a)} a∈A b∈B b∈B a∈A σ-đại số Borel không gian metric (KΩ , dH ) sinh lớp {K ∈ KΩ : K ⊆ G}G∈GΩ Giả sử (I, C, λ) khơng gian xác suất đầy đủ khơng có ngun tử giả sử F : I → KΩ ánh xạ đa trị Với A ⊂ Ω, ký hiệu F−1 (A) := {s ∈ I : F (s) ⊂ A} Khi F biến ngẫu nhiên đa trị (ánh xạ đa trị đo được) F−1 (G) ∈ C với 34 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 1A (2019), tr 33-39 G ∈ GΩ Phân phối νF : B → [0, 1] xác định νF (B) = λ(F−1 (B)) với B ∈ B Ký hiệu m ∨ n giá trị lớn (tương ứng, giá trị nhỏ nhất) hai số nguyên m n Kết Đầu tiên, giới thiệu số định nghĩa bổ đề cần thiết Hai định nghĩa sau trích phát biểu dạng hai số ứng với trường hợp max số tiến tới vô [3; Đinh nghĩa 3.1] [3; Định nghĩa 3.2(a)] Giới hạn lim inf xmn giới hạn lim sup xmn mảng kép số thực {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} m∨n→∞ m∨n→∞ max số tiến tới vô cùng, định nghĩa lim inf xmn := sup inf xmn , m∨n→∞ k≥1 m∨n≥k lim sup xmn := inf sup xmn m∨n→∞ k≥1 m∨n≥k Ta nói mảng kép {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} ⊂ R hội tụ tới x ∈ R (hay, x giới hạn mảng kép {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1}) m ∨ n → ∞, ký hiệu lim xmn = x xmn → x m∨n→∞ m ∨ n → ∞, lim inf xmn = lim sup xmn = x m∨n→∞ m∨n→∞ Tiếp theo, phát biểu định nghĩa mảng con, từ chúng tơi xây dựng khái niệm giới hạn riêng mảng kép số thực Một tập vô hạn phần tử mảng kép số thực gọi mảng mảng kép số thực Giới hạn (nếu có) mảng mảng kép số thực gọi giới hạn riêng mảng kép số thực Bổ đề sau kết quan trọng để chứng minh kết Đối với định nghĩa giới hạn riêng nêu [3; Định nghĩa 3.3], ta không thu kết luận tốt bổ đề Đối với mảng kép số thực ứng với hội tụ max số tiến tới vô cùng, giới hạn giới hạn tương ứng giới hạn riêng bé lớn mảng kép số thực Chứng minh Xét mảng kép số thực {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} Đầu tiên chứng minh “giới hạn ≤ giới hạn riêng ≤ giới hạn trên” Ta chứng minh “giới hạn ≤ giới hạn riêng”, ý lại chứng minh tương tự Đặt lim inf xmn = m∨n→∞ sup inf xmn := a đặt k≥1 m∨n≥k inf xmn := ak Khi ak ↑ a k → ∞ Ta chứng minh m∨n≥k a−b > 0, ak ↑ a k → ∞ nên tồn k0 cho |ak − a| < ε với k ≥ k0 Khi đó, phản chứng, giả sử b giới hạn riêng b < a Với ε = ak − b = (ak − a) + (a − b) = 2ε + (ak − a) > 2ε − ε = ε 35 D X Giáp, N H C Loan / Luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên với k ≥ k0 , ak > b + ε với k ≥ k0 Từ ta suy xmn > b + ε với m ∨ n ≥ k0 Điều mâu thuẫn với b giới hạn riêng Như ta thu kết luận “giới hạn ≤ giới hạn riêng” Tiếp theo chứng minh lim inf xmn lim sup xmn giới hạn riêng mảng m∨n→∞ m∨n→∞ {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} Không tính tổng qt, ta trình bày chứng minh cho lim inf xmn m∨n→∞ giới hạn riêng, trường hợp lim sup xmn giới hạn riêng ta chứng minh tương tự m∨n→∞ Từ ak ↑ a k → ∞ ta suy ra: Với s = 1, tồn k1 cho |ak1 − a| < Do ak1 = 2×1 inf m∨n≥k1 xmn nên tồn m1 , n1 cho m1 ∨ n1 ≥ k1 thỏa mãn |xm1 n1 − ak1 | < 2×1 Từ ta có |xm1 n1 − a| ≤ |xm1 n1 − ak1 | + |ak1 − a| < 1 Do ak2 = inf xmn Tiếp theo, với s = 2, tồn k2 > m1 ∨ n1 cho |ak2 − a| < m∨n≥k2 2×2 nên tồn m2 , n2 cho m2 ∨ n2 ≥ k2 thỏa mãn |xm2 n2 − ak2 | < Từ ta có 2×2 |xm2 n2 − a| ≤ |xm2 n2 − ak2 | + |ak2 − a| < Tiếp tục trình trên, với s ≥ bất kỳ, tồn ks > ms−1 ∨ns−1 cho |aks − a| < Do aks = inf m∨n≥ks xmn nên tồn ms , ns cho ms ∨ ns ≥ ks thỏa mãn |xms ns − aks | < Từ ta có 2×s 2×s |xms ns − a| ≤ |xms ns − aks | + |aks − a| < s Với cách thiết lập trên, ta có ms ∨ ns ≥ ks > ms−1 ∨ ns−1 với s ≥ Do đó, {xms ns : s ≥ 1} tập vô hạn phần tử mảng kép {xmn : m ≥ 1, n ≥ 1} nên mảng Đồng thời, a giới hạn mảng nên a giới hạn riêng Từ đó, ta thu điều phải chứng minh Bổ đề mở rộng [6; Claim 1] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng kép Để thiết lập kết này, cần Bổ đề Giả sử {Kmn : m ≥ 1, n ≥ 1} mảng 36 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 1A (2019), tr 33-39 kép tập compact R thỏa mãn Kmn → [α, β] theo khoảng cách Haussdorff m ∨ n → ∞ Khi đó, α ≤ lim inf kmn ≤ lim sup kmn ≤ β m∨n→∞ m∨n→∞ với mảng kép số thực {kmn : m ≥ 1, n ≥ 1} cho kmn ∈ Kmn với m ≥ 1, n ≥ Chứng minh Theo định nghĩa hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, Kmn → [α, β] m ∨ n → ∞ max max |tmn − r|, max tmn ∈Kmn r∈[α,β] r∈[α,β] tmn ∈Kmn |r − tmn | → m ∨ n → ∞ Đặc biệt, max |tmn − r| → m ∨ n → ∞ (1) tmn ∈Kmn r∈[α,β] Giả sử {kms nl : s ≥ 1, l ≥ 1} mảng mảng kép {kmn : m ≥ 1, n ≥ 1} (hoặc mảng có dạng {kms n : s ≥ 1, n ∈ J}, có dạng {kmnl : l ≥ 1, m ∈ J} với J ⊂ N có hữu hạn phần tử) cho kms nl → a ∈ [−∞, +∞] s ∨ l → ∞ (hoặc kms n → a s → ∞, kmnl → a l → ∞ với m, n ∈ J) Nếu a ∈ / [α, β] tồn ε > cho |kms nl − r| > ε với r ∈ [α, β] với s ∨ l đủ lớn, điều dẫn tới |kms nl − r| > ε với s ∨ l đủ lớn r∈[α,β] Điều mâu thuẫn với (1) Vì vậy, a giới hạn riêng a ∈ [α, β] Theo Bổ đề 3, lim inf kmn lim sup kmn giới hạn riêng nên ta có điều phải chứng minh m∨n→∞ m∨n→∞ Sau luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Kết mở rộng [6; Định lý 1] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng kép Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu B {Xij : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng kép biến ngẫu nhiên bị chặn, độc lập đôi một, phân phối Khi đó, hai điều kiện sau thỏa mãn (i) ν liên tục, (ii) biến ngẫu nhiên Xij liên tục hàm đơn giản, ta thu ν ω∈Ω: X11 dν ≤ lim inf m∨n→∞ mn mn m∨n→∞ Xij (ω) 1≤i≤m;1≤j≤n ≤ lim sup Xij (ω) ≤ − −X11 dν = 1≤i≤m;1≤j≤n 37 D X Giáp, N H C Loan / Luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên Chứng minh Phần chứng minh định lý trên, tiến hành tương tự chứng minh F Maccheroni M Marinacci (2005), kết hợp với bổ đề thiết lập sử dụng luật số lớn đa trị mà thu [9] Sau ta chứng minh kết luận định lý giả thiết (ii) thỏa mãn Trường hợp giả thiết (i) ta lập luận chứng minh F Maccheroni M Marinacci [6] Theo [6; Bổ đề 3], tồn ánh xạ đa trị đo F : I → KΩ cho ν = νF , (I, C, λ) khơng gian xác suất đầy đủ Theo lập luận chứng minh [6], {Xij ◦ F : i ≥ 1, j ≥ 1} mảng kép biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một, phân phối, Xij ◦ F : I → KR Đồng thời, theo [6; Bổ đề 4], ta suy Xij ◦ F dλ ∈ KR Áp dụng [9; Định lý 3.7] cho trường hợp mảng kép biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact không gian R, ta thu   m n   λ s ∈ I : Xij (F (s)) → X11 ◦ F dλ  =   mn i=1 j=1 Theo [6; Bổ đề 4], ta có X11 ◦ F dλ = Đặt amn (ω) = mn   S1 = s ∈ I :  mn S2 = s∈I: Ω2 = ω∈Ω: m m i=1 n j=1 Xij (ω) X11 dν, − −X11 dν đặt n Xij (F (s)) → X11 dν, − −X11 dν   X11 dν ≤ lim inf amn (ω) ≤ lim sup amn (ω) ≤ − m∨n→∞ m∨n→∞ X11 dν ≤ lim inf amn (ω) ≤ lim sup amn (ω) ≤ − m∨n→∞ mn ω ∈ F (s), amn (ω) ∈ mn Nếu s ∈ S1 ,  i=1 j=1 m∨n→∞ m i=1 n j=1 Xij (F (s)) m i=1 n j=1 Xij (F (s)) → −X11 dν X11 dν, − −X11 dν Vì vậy, với Áp dụng Bổ đề ta có X11 dν ≤ lim inf amn (ω) ≤ lim sup amn (ω) ≤ − m∨n→∞ −X11 dν, ∀ω ∈ F (s) , m∨n→∞ −X11 dν Từ đó, S1 ⊂ S2 Điều suy ν(Ω2 ) = λ({s ∈ I : F (s) ⊂ Ω2 }) = λ(S2 ) ≥ λ(S1 ) = Vì vậy, ta thu điều phải chứng minh 38 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 1A (2019), tr 33-39 Kết luận Bài báo thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng kép biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Kết mở rộng dạng hai số kết F Maccheroni M Marinacci (năm 2005) đăng tạp chí The Annals of Probability Để chứng minh luật mạnh số lớn, xây dựng khái niệm giới hạn dưới, giới hạn trên, giới hạn riêng mảng kép số thực thiết lập số tính chất cần thiết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Choquet, Theory of capacities, Annales de l’institut Fourier (Grenoble), 5, 1954, 131-292 [2] A Dempster, Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping, The Annals of Mathematical Statistics, 38, 1967, 325-339 [3] Dương Xuân Giáp, Ngô Hà Châu Loan, Bùi Đình Thắng Tơn Nữ Minh Ngọc, Giới hạn dưới, giới hạn mảng biến ngẫu nhiên ứng dụng, Tạp chí khoa học Đại học Sài Gòn, 22, 2016, 73-88 [4] N Etemadi, An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrscheinlichkeitstheorieverw.Gebiete, 55, 1981, 119-122 [5] P J Huber and V Strassen, Minimax tests and the Neyman-Pearson lemma for capacities, The Annals of Statistics, 1, 1973, 251-263 [6] F Maccheroni and M Marinacci, A strong law of large numbers for capacities, The Annals of Probability, 33, 2005, 1171-1178 [7] M Marinacci, Limit laws for non-additive probabilities and their frequentist interpretation, Journal of Economic Theory, 84, 1999, 145-195 [8] H T Nguyen, On random sets and belief functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 65, 1978, 531-542 [9] C Castaing, N V Quang and D X Giap, Mosco convergence of strong law of large numbers for double arrays of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13, 2012, 615-636 [10] P Terán, Laws of large numbers without additivity, Transactions of the American Mathematical Society, 366, 2014, 5431-5451 SUMMARY STRONG LAW OF LARGE NUMBERS FOR DOUBLE ARRAYS OF RANDOM VARIABLES WITH RESPECT TO CAPACITIES In this paper, we introduce the concept of partially limit of double arrays of real numbers and prove that the lower limit and upper limit defined in [3], are minimum and maximum of partially limits, respectively Therefore, we apply to establish strong law of large numbers for double arrays of random variables with respect to capacities This result extends [6, Theorem 1] to the case of double arrays of random variables 39 ... điều phải chứng minh m∨n→∞ m∨n→∞ Sau luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Kết mở rộng [6; Định lý 1] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng kép Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn... nghĩa mảng con, từ xây dựng khái niệm giới hạn riêng mảng kép số thực Một tập vô hạn phần tử mảng kép số thực gọi mảng mảng kép số thực Giới hạn (nếu có) mảng mảng kép số thực gọi giới hạn riêng mảng. .. / Luật mạnh số lớn mảng kép biến ngẫu nhiên Chứng minh Phần chứng minh định lý trên, tiến hành tương tự chứng minh F Maccheroni M Marinacci (2005), kết hợp với bổ đề thiết lập sử dụng luật số