Một số dạng luật mạnh số lớn trong lí thuyết trò chơi xác suất

Bài viết cung cấp một số dạng luật mạnh số lớn trong khuôn khổ lí thuyết trò chơi xác suất của Shafer và Vovk (2001). Các dạng luật mạnh số lớn trong lí thuyết trò chơi được thiết lập với hàng rào bậc hai có sẵn.

TẠP CHÍ ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 20 - Tháng 4/2014 MỘT SỐ DẠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN TRONG LÍ THUYẾT TRÒ CHƠI XÁC SUẤT ĐỖ THẾ SƠN(*) LÊ HỒNG SƠN(**) TÓM TẮT Bài báo cung cấp số dạng luật mạnh số lớn khn khổ lí thuyết trị chơi xác suất Shafer Vovk (2001) Các dạng luật mạnh số lớn lí thuyết trị chơi thiết lập với hàng rào bậc hai có sẵn Từ khố: luật mạnh số lớn, lí thuyết, xác suất, trị chơi xác suất ABSTRACT The paper presents some versions of the strong law of large numbers in the framework of the game-theoretic probability of Shafer and Vovk (2001) Game-theoretic versions of the strong law of large numbers are established under the availability of the quadratic hedge Keywords: the strong law of large numbers, theory, probability, probability game GIỚI THIỆU* Trong khn khổ lí thuyết trị chơi xác suất, việc chứng minh nước Thực tế (Reality) tuân theo luật mạnh số lớn (LMSL) trường hợp nước b chặn dễ dàng Tuy nhiên, nước Thực tế không b chặn, việc chứng minh trở nên phức tạp Bên cạnh đó, tương ứng với số dạng phổ biến LMSL lí thuyết xác suất cần phải nghiên cứu lí thuyết trị chơi xác suất (nếu có) Bài báo cung cấp số dạng LMSL trị chơi dự báo khơng bị chặn (unbounded forecasting game) giới thiệu chương [1] Tiếp theo, hạn chế nước Thực tế trị chơi dự báo khơng b chặn số thực dương, đưa giao thức mới, gọi trị chơi dự báo khơng bị chặn phía (One-sided unbounded forecasting game) Sau đó, chứng minh số kết dạng LMSL giao thức MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ SƠ BỘ Trong mục này, chúng tơi tóm tắt số khái niệm trò chơi dự báo khơng b chặn Sau đó, chúng tơi đưa hai kết dạng LMSL trò chơi Xét trị chơi hồn hảo thơng tin ba người: Dự báo (Forecaster), Hoài nghi (Skeptic) Thực tế (Reality) Trước bắt đầu trị chơi, Hồi nghi cơng bố số vốn ban đầu K0  ( K0  D  mục [2]) Sau đó, vịng n  1, 2, trị chơi, người chơi cơng bố nước (move) theo thứ tự: Dự báo, Hồi nghi Thực tế Tại vịng, Dự báo công bố nước mn mình, (*) ThS, Trường ĐH Cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh, Cơ sở Thanh Hóa (**) TS, Khoa Giáo dục đại cương, Trường ĐH Sư phạm Kĩ thuật Vinh 61 chúng hiểu giá cho nước xn Thực tế giá cho bình phương độ Người chơi: Dự báo, Hoài nghi, Thực tế Giao thức: K0  lệch ( xn  mn )2 Căn vào Dự báo đưa ra, Hồi nghi sau cơng bố số lượng M n Vn mà đặt cược Dự báo công bố mn  cho xn ( xn  mn )2 Cuối cùng, Thực tế Thực tế công bố xn   Hồi nghi cơng bố M n  Vn  công bố nước xn Số phải trả Kn : Kn1  M n ( xn  mn )  Vn [( xn  mn )2  ] (payoff) cho Hồi nghi vịng thứ n M n ( xn  mn )  Vn [( xn  mn )2  ] số vốn Nhiệm vụ ràng buộc: Hồi nghi phải giữ K n khơng âm (capital) Hồi nghi kết thúc vịng thứ n cập nhật là: Thực tế phải giữ K n không tiến đến vô Một chiến lược (strategy) P  {Pn }n1 Kn : Kn1  M n ( xn  mn )  Vn [( xn  mn )2  ] Hoài nghi xác đ nh M n Vn dựa vào Giao thức trò chơi dự báo không b chặn viết sau TRỊ CHƠI DỰ BÁO KHƠNG BỊ CHẶN (UNBOUNDED FORECASTING GAME) nước trước Dự báo Thực tế, nước Dự báo M n  M nP (m1 , v1 , x1 , m2 , v2 , x2 , , mn1 , vn1 , xn1 , mn , ) Vn  VnP (m1 , v1 , x1 , m2 , v2 , x2 , , mn1, vn1, xn1, mn , ) K nP số vốn tích lũy (cumulative) (event) Chúng ta nói Hồi nghi buộc (force) biến cố E tồn chiến lược P Hoài nghi cho Hoài nghi với chiến lược P sau vòng n, với K 0P =0 KnP ( )  1,  ,n  Chúng ta gọi dãy hàm giá tr thực Sn (m1 , v1 , x1, , mn , v n , xn ) nước m1 , v1 , x1 , , mn , , xn , n     limsup KnP ( )   n trình vốn (capital process) Sn  K đối P n với chiến lược P Một dãy vơ hạn   (m1 , v1 , x1 , m2 , v2 , x2 , ) (1) Chú ý Hồi nghi buộc biến cố E , tức E xảy hầu chắn (xem [1]) Một chiến lược P Hoài nghi thỏa mãn (1) gọi thận trọng (prudent) Chúng ta gọi hàm thực h( xn  mn ) nước Dự báo Thực tế gọi đường (path) Tập tất đường hiệu nước xn mn hàng rào   {  (m1 , v1, x1, m2 , v2 , x2 , ), n  1} (hedge)  h(x n  mn )   gọi không gian mẫu (sample space), tập E   gọi biến cố Cho hai biến cố E, F   biến cố 62 E  F xác đ nh E  F  E c  F Chúng ta nói q trình A dự báo (predictable) với số nguyên n  , thay hàng rào bậc hai hàng rào tổng quát h giá hàng rào số dương cố đ nh (xem [3]) Đ nh lí 3.1 [3] cho thấy trị chơi dự báo khơng b chặn với hàng rào đơn h( x)  x1 ,   Hồi An (m1, v1, x1,m , v2 , x2 , ,m n, vn, x n) không phụ thuộc vào xn nghi Một supermartingale T trình có dạng T  S  B , với S trình vốn B trình tăng ( Bn ( )  Bn1 ( ), n, ) Một q trình xn  buộc xn  , với x1  x2   xn Mặt khác, Mệnh n đề 2.1 [3] khẳng đ nh trò chơi dự báo không b chặn với hàng rào đơn h( x)  x r , r  Hồi nghi khơng B  xem tăng nên thân trình vốn S supermartingale Một semimartingale q trình viết dạng U  T  A , với T supermartingale A trình tăng dự báo được; trình A gọi compensator U Bây chứng minh đ nh lí đây: Định lí 2.1 Trong trị chơi dự báo khơng b chặn, Hồi nghi buộc thể buộc x1  x2   xn 0 n1/ r Tuy nhiên, đ nh lí mệnh đề phát biểu trò chơi dự báo không b chặn với hàng rào đơn h , giá hàng rào đơn h số dương (tức là:  v  0, n  ) Do vậy, xem xét trị chơi dự báo khơng b chặn với hàng rào bậc hai, có hai câu hỏi mà cần quan tâm thay n  n    lim   (x k  mk )  x  n k 1 n 1 n Đ nh lí 3.1 [3] n hay khơng có thể, cần phải thêm điều kiện gì? Đ nh lí 2.1 đưa câu trả lời cho hai câu hỏi Việc đưa chứng minh cho Đ nh lí 2.1 Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử mn  0, n Đặt Trước chứng minh đ nh lí này, thảo luận ý nghĩa đ nh lí đặc trưng giao thức trị chơi dự báo khơng b chặn Trong giao thức trò chơi dự báo không b chặn, xét hàng rào phương sai (còn gọi hàng rào bậc hai h(x n  mn )  (x n  mn )2 ) Do đó, giao thức n Sn   gọi xác trị chơi dự báo khơng b chặn với hàng rào bậc hai Trong trò chơi này, hàng rào bậc hai cố đ nh sẵn Hồi nghi cịn giá hàng rào Dự báo cơng bố vịng, k 1 n xk , S0  ; k  vk vk , A   k 1 k k 1 k An   trước Thực tế công bố nước Vì vậy, hữu ích 63 Chú ý Sn2  U n  An , An Xét xk2  vk  k k 1 k n n xk U n  S  An  2 Sk 1 n k 1 = U n 1  2Sn 1 compensator semimartingale S n2 Khi từ Bổ đề 4.7 [1], A   S n hội tụ h.c.c, tức xn2   n n xn  n x     k hội tụ h.c.c,  k n 1 n k 1 = U n1  M n xn  Vn ( xn  ) n   2 n 1 xk Trong đó, M n  Sn1   n n k 1 k Vn  Suy ra, U n q trình vốn, n U n supermartingale Kết hợp với bổ đề Kronecker, ta được:  n    lim xk    x  n n n 1 k 1 Trong giáo trình lí thuyết xác suất, tốc độ hội tụ LMSL đánh giá dãy số (bn ) tăng dương Từ n Sn   k 1 xk k  Sn 1  xn (  bn   ) Tuy nhiên, lí thuyết trị chơi xác suất, dãy số dương tăng trở nên đặc biệt hơn, Đ nh lí 2.2 n Chúng ta có S n q trình vốn, với Vn  nên S n Mn  n supermartingale     n 1 n Định lí 2.2 Gọi Bn2   vk , trò chơi k 1 dự báo khơng b chặn, Hồi nghi buộc     lim  x  B n 1 Bn n n xk Compensator k 1 Bk trình vốn Sn   vk S n2 An   Từ hai bổ đề 4.6 k 1 Bk 4.7 [1] kết hợp với bổ đề Kronecker, ta dễ dàng suy x k 1 k k 1 k  mk )  Thực tế số thực Trong mục này, hạn chế nước Thực tế số thực dương đưa giao thức trò chơi dự báo khơng bị chặn phía với hàng rào bậc hai (One-sided unbounded forecasting game with quadric hedge) Sau đó, chứng minh số kết dạng LMSL giao thức Giao thức trò chơi dự báo khơng b n n  (x TRỊ CHƠI DỰ BÁO KHƠNG BỊ CHẶN MỘT PHÍA Với trị chơi dự báo không b chặn mục trước, thấy nước xn Chứng minh Chú ý rằng, không tính tổng quát, giả sử mn  0, n Xét lim x  B n n 0 64 chặn phía với hàng rào bậc hai viết sau: Kn : Kn1  M n ( xn  mn )  Vn [( xn  mn )2  ] Nhiệm vụ ràng buộc: Hồi nghi phải giữ K n khơng âm ONE-SIDED UNBOUNDED FORECASTING (OUF) Thực tế phải giữ K n không tiến đến Người chơi: Dự báo, Hoài nghi, Thực tế vơ Đ nh lí phát triển dựa vào Đ nh lí 4.4 [2] phát biểu cho trị chơi dự báo khơng b chặn Giao thức: K0  Với n  1, 2, : n Định lí 3.1 Đặt Bn   mk , giả sử Dự báo công bố mn   Hồi nghi cơng bố M n  k 1 g hàm số dương tăng [0; ) với g ()   Trong OUF, Hồi nghi buộc Vn  Thực tế công bố xn    m n n 1  g ( B )    lim   n 1 x  n Chứng minh Đặt n x  mk , U0  ; Un   k g ( Bk ) k 1 n An   k 1 Xét n ( xk  mk )   g ( Bn ) k 1  vk v , A   k g ( Bk ) k 1 g (Bk ) với n Tn  U n2  An  2 ( k 1 xk  mk ( x  mk )  vk )U k 1   k g (Bk ) g ( Bk ) k 1 n Mn  xn  mn ( xn  mn )2  = Tn 1  2U n 1 ( ) g ( Bn ) g ( Bn ) = Tn1  M n ( xn  mn )  Vn [( xn  mn )  ] Tn supermartingale Mặt khác Un   k 1 xk  mk g ( Bk )  U n 1  xn  mn g ( Bn )  g ( Bn ) compensator U n2 Khi đó, theo Bổ đề 4.7 [1], ta có , n x  mk  k  g ( Bk ) n 1 g ( Bn ) k 1  suy U n trình vốn với Mn  Vn  g ( Bn ) n 1 xk  mk  g ( Bn ) k 1 g ( Bk ) Lưu ý U n2  Tn  An nên An Do Tn trình vốn, suy n 2U n 1 Vn  g ( Bn ) hội tụ h.c.c, n   65 Kết hợp với bổ đề Kronecker, ta Khi đó, Hồi nghi buộc Sn  x  n n lim ( xk  mk )   x  g ( Bn ) k 1 lim Chứng minh Trong Đ nh lí 3.1, lấy hàm g ( x)  x Khi Đ nh lí chứng minh Như biết lí thuyết xác suất, luật mạnh số lớn Kolmogorov nghiên cứu với biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Trong trường hợp đó, kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên số khơng phụ thuộc vào n Tương ứng với điều đó, lí thuyết trị chơi xác suất, ta xét luật mạnh số lớn với nước Thực tế số thu hệ Hệ 3.2 Trong OUF, giả sử  2 2        2  n1 n n 1 g ( Bn ) n 1 n   , n 1 n (x  m )  (x k  mk )  k k n  g ( Bn ) k 1 k 1 Do n ( xk   )   x  n k 1 lim hay n mn   ,   với n, đặt Sn   xk Sn  x  n lim k 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO G Shafer, V Vovk, Probability and Finance: It's Only a Game! Wiley, 2001 Kenshi Miyabe, Akimichi Takemura, Convergence of random series and the rate of convergence of the strong law of large numbers in game-theoretic probability, Stochastic Process Appl 122 (2012) 1-30 M Kumon, A Takemura, K Takeuchi, Game-theoretic versions of strong law of large numbers for unbounded variables, Stochastic 79 (5) (2007) 449-468 * Ngày nhận bài: 6/3/2014 Biên tập xong: 16/5/2014 Duyệt đăng: 22/5/2014 66 ... Chứng minh Trong Đ nh lí 3.1, lấy hàm g ( x)  x Khi Đ nh lí chứng minh Như biết lí thuyết xác suất, luật mạnh số lớn Kolmogorov nghiên cứu với biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Trong trường... vọng phương sai biến ngẫu nhiên số khơng phụ thuộc vào n Tương ứng với điều đó, lí thuyết trị chơi xác suất, ta xét luật mạnh số lớn với nước Thực tế số thu hệ Hệ 3.2 Trong OUF, giả sử  2 2 ... giáo trình lí thuyết xác suất, tốc độ hội tụ LMSL đánh giá dãy số (bn ) tăng dương Từ n Sn   k 1 xk k  Sn 1  xn (  bn   ) Tuy nhiên, lí thuyết trị chơi xác suất, dãy số dương tăng trở nên