Luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối

Mục đích chính của bài báo này là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dạng hội tụ Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach, m-phụ thuộc theo khối, cùng phân phối.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số (27) - Thaùng 3/2015 LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ, M- PHỤ THUỘC THEO KHỐI LÊ THỊ HẢI YẾN (*) TÓM TẮT Mục đích báo thiết lập luật mạnh số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị không gian Banach, m-phụ thuộc theo khối, phân phối Từ khóa: Phần tử ngẫu nhiên đa trị, M-phụ thuộc theo khối, hội tụ Mosco, luật mạnh số lớn ABSTRACT The main aim of this paper is to establish the strong law of large numbers for sequence of blockwise m-dependent and identically multivalued random elements in Banach space with Mosco convergence Keywords: Multivalued random element, blockwise m-dependent, Mosco convergence, strong law of large numbers MỞ ĐẦU* Luật số lớn lý thuyết xác suất vừa vấn đề bản, lại vừa vấn đề có nhiều ứng dụng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Năm 1987, [5], Moricz giới thiệu khái niệm dãy m-phụ thuộc theo khối mở rộng luật số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên mphụ thuộc theo khối, không phân phối Trong báo này, trước hết thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, phân phối Sau đó, chúng tơi mở rộng kết cho dãy phần tử ngẫu nhiên mphụ thuộc theo khối, phân phối, nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly Cuối cùng, thiết lập luật (*) mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên m - phụ thuộc theo khối, phân phối nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach Trong suốt báo này, giả thiết (, , P) không gian xác F suất đầy đủ,  X,  không gian Banach  thực, khả ly, X không gian đối ngẫu X , (X)  - đại số tập Borel B X , L1 (; X) tập hợp hàm đo khả tích, nhận giá trị X Ký hiệu c  X  họ tập đóng khác rỗng X , tập tất số thực Trên c  X  ta xác định cấu trúc tuyến tính với phép tốn định nghĩa sau: ThS, Trường Cao đẳng Giao thông vận tải miền Trung 38 A  B  a  b : a  A , b  B  , ) Với S F1 ( F ) E [F ] xác định (, F , P) , ta định nghĩa:  A  a : a  A  S F1 ( A )  f  L1 (, A , P, X) : f ( )  F ( ) h.c.c ,  A , B  c  X  ,   F :   c  X  gọi Ánh xạ E [F , s (C ,.) C tương ứng định nghĩa F sau  Chúng    nghĩa  t  liC n  x  X : x = t  lim x n , x n C n , n  1 , F -đo  với (C n ( k ) )k 1 dãy  (C n )n 1 Các tập t  liC n t  lsC n tương ứng gọi giới hạn giới hạn (C n )n 1 , liên quan đến tôpô t Kỳ vọng E [F ] biến ngẫu nhiên đa trị F định nghĩa sau Chúng ta dễ dàng suy  E [F ] : Ef : f  S ( F ) với Ef tích t  liC n  t  lsC n Chúng ta ký hiệu s (tương ứng w ) tôpô mạnh (tôpô sinh chuẩn) (tương ứng, tôpô yếu) X Một tập C  gọi giới hạn phân Bochner thông thường Cho -đại số -đại số biến ngẫu nhiên đa trị đo (nghĩa F :   c X F 1 (G )  A với tập mở  định t  lsC n  x  X : x = t  lim x k , x k C n ( k ) , k  S Fp ( F )  f  L p (, X) : f ( )  F ( ) h.c.c F dãy nhận giá trị c  X  Đặt: (F A ta Cho t tôpô X (C n )n 1 F ,)-đo được, nghĩa với B  , có F 1 (B )  F   C  sup x : x C với G tập mở Khi đó, hàm đa trị F :   c  X  đo F  s (C , x  )  sup y , x  : y C ,(x   X) G : C  c  X  : C  G   Với biến ngẫu nhiên đa trị F , ta đặt  d (x ,C )  inf x  y : y C ,(x  X),  - đại số Effros  c  X   -   : f  S F1 ( A ) tôpô yếu), coC bao lồi, coC bao lồi đóng C Hàm khoảng cách d (.,C ) , hàm tựa ngẫu nhiên đa trị Phần tử ngẫu nhiên f :   X gọi lát cắt -đo (hay nói gọn lát cắt đo được) F f ()  F () với     Cho C  X , ký hiệu clC bao đóng (theo chuẩn), w  clC bao đóng (theo M [, c  X  ] họ phần tử đại số sinh tập A ]=  FdP  Ef  phần tử ngẫu nhiên đa trị (nhận giá trị tập đóng), với tập mở G tập F 1 (G) :   : F( )  G    F Ký hiệu (A ) A dạng Mosco dãy (C n )n 1 ký G hiệu M  limn C n 39 w  lsC n  s  liC n  C  f Điều Hội tụ Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị định nghĩa cách thay C n Fn ( ) C  phụ thuộc L1 (; X) Đối với dãy m-phụ thuộc theo khối, ta có định lý sau Định lý 1.1 ([5], Theorem 1) Giả sử X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên m-phụ F ( ) , phát biểu h.c.c thuộc theo khối w  lsC n  C   s  liC n Giả sử F  M [, c  X  ] , ta có định nghĩa  -đại số  F 1 U    : F ( )  U Đó  - đại số bé mà F đo Fi Một dãy biến ngẫu nhiên đa trị Fn , n  1 gọi m-phụ thuộc theo khối lập với  ( p 1 n F ) Fi F Fi ) độc -k >m , m, p Theo [5], dãy phần tử ngẫu nhiên X n , n  1 , nhận giá trị không gọi m-phụ thuộc theo khối với p đủ lớn họ  ,2 p 1  i  k n ,  n  p -k >m , m, độc lập với Định lý 1.2 Giả sử X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối, phân phối Khi đó, E X   họ  Sn  nEX1  h.c.c (1.2) n n Sn  X1  X2   Xn Chứng minh Đặt lim p số nguyên không âm Từ định nghĩa suy rằng, Fn , n  1 dãy biến ngẫu nhiên đa trị m- Y n  X nI X phụ thuộc theo khối f n  S F1 ( FF ) , n   DX  phối với E X   có (1.1) gian Banach X i DX n Tuy nhiên, định lý đây, kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 4.1.5 ([2]), ta chứng minh cần dãy X n , n  1 có phân số nguyên không âm X X   ,  n 1 n n 1 n Do đó, dãy tuân theo luật mạnh số lớn Cụ thể S  nEX1 (1.1) lim n  h.c.c., n  n Sn  X1  X2   Xn  i  p1 n2  k DX n E X    độc lập với p đủ lớn -đại số  (  thuộc theo khối, phân phối với Một họ biến ngẫu nhiên đa trị Fi , i  I  gọi độc lập họ ,i  I  n  (X  EX k )  h.c c n   n k 1 k Nhận xét rằng, Định lý 1.1, X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên m-phụ FF  F  U  : U  Bc X  với F dãy phần tử ngẫu nhiên m- n 1 1  -đại số , n  1 Khi đó, FF F sau:    n n 40 n n , Zn  X n Y n  X n I X n n Cịn với k     1 1         2 n n 1 n n 2  n  Do E X   , nên ta có  P (Z n   0)   P ( X  n)  P ( X  n)   n n 1 n Vì X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên Từ Bổ đề Borel – Cantelli suy với xác suất có hữu hạn Z n  Vậy m- phụ thuộc theo khối nên Y n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên m- phụ thuộc theo khối Do vậy, theo Định lý 1.1, tồn tập D với P (D )  cho với n (1.3) Z k  h.c.c  n n k 1 Tiếp theo ta chứng minh  DY n    n 1 n Gọi  phân phối X Khi lim DY n  E (Y n )2  E (Y n )  E (Y n2 )   Y n ( )  EY n hội tụ Do n n theo Bổ đề Kronecker, với   D ta có n (1.4) lim  Y k ( )  EY k   n n k 1   D chuỗi x 2d  (x )  x  n   E (Y n ) n2 n 1 x 2d  (x )  n n 1  x  n k 1 n  k n2     k 1 lim x 2d  (x ) n  k 1 x  k   (1.6) n (1.7) Y k  EX h.c.c  n n k 1 Từ (1.3) (1.7) suy n lim  X k  EX h.c.c n n k 1 Đó điều phải chứng minh  KẾT QUẢ CHÍNH Trước hết, cần ý rằng, X không gian Banach thực, khả ly với n  , xác định ánh xạ đo n : X  X , cho với phần tử ngẫu lim    x d  (x )     n k n   2 n Y ( )  EX n k 1 k Vậy    x d  (x )     n k n  k 1 k 1 x  k  k  D k 1 x  k   xd  (x )  EX , n (1.5) EY k  EX  n n k 1 Do từ (1.4) (1.5) ta có với n x 2d  (x )  2 n 1 n k 1 k 1 x  k     x n lim   n nên      Vì lim EY n  lim n  x d  (x ) k 1 k 1 x  k  2E X Có bất đẳng thức dịng cuối với k     1 1 k k   k     n  k 1 n k n n k  n  nhiên khả tích X :   X , tồn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản 41 X n  n (X ), n  1 để Xn X k   P (At )x t  EX h.c.c n   n   E X n  X  n   t 1 Xét trường hợp X phần tử ngẫu nhiên khả tích Với   , từ E n (X )  X  n   , tồn m Dựa vào ý trên, Định lý 1.2 kỹ thuật tương tự chứng minh định lý 4.2.1 ([1]) ta thu định lý sau Định lý 2.1 Cho X , X n , n  1 họ cho E n (X )  X   với n  m phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly X Giả sử X n , n  1 dãy m - phụ thuộc theo khối, Ta có n n ( X  EX )    ( X  m ( X i ) n i 1 i n i 1 i phân phối với X E X   Khi  n  X  E X h.c.c n   n i 1 i Chứng minh Đầu tiên, giả sử X phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị lượt tập x , x , , x k lần  n Do : n  1 phân phối nên X i k t 1 i xt ) Do I i 1 ( X i xt )  :i 1 i x t ) X n   m ( X n ) : n  Theo định lý 1.2 ta có n (I)   X i  m (X i )  E X  m (X )   h.c.c n   n i 1 Theo chứng minh (II)  h.c.c n   dãy biến Với (III) , ta có ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối, phân phối E (I ( X x ) )  P (At ) nên theo i , n  1 dãy phần tử ngẫu dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo khối, phân phối với X  m (X ) xt n n phối với X , nên Với t  1, 2, ,k, đặt Z nt   I ( X X nhiên m – phụ thuộc theo khối, phân phần tử ngẫu nhiên đơn giản nhận giá trị x , x , , x k với P( Xi  xt )  P( At ) Do X i   I (X n  (E m (X )  E (X ) n i 1 :=(I)+(II)+(III) A1 , A , , A k với P (A i )  0, i=1, 2, ,k Vì X , X n  ( (X )  E m (X ) n i 1 m i (III)  E m (X )  X   Kết hợp lập luận ta điều phải chứng minh  Để thiết lập kết chính, ta cần them số bổ đề Bổ đề 2.1.([4], Lemma 3.1) (1) Với F  M [, c  X  ] S F1   , ta có t định lý 1.2 ta có Z nt  P (At ) h.c.c n   n Do t k Z n n k k n k X i   I (X x )x t   I (X x )x t   Z nt x t   n x t  i t i t n i 1 n i 1 t 1 n t 1 i 1 n t 1 t 1 n coE [F ]=coE [F , FF ] 42 (2) Giả sử F ,G  M [, c  X  ] , F Tiếp tục, đặt x j  E (f j ),  j  t Với n  (k  1)t  ,   t , ta có G phân phối Khi đó, với f  S (FF ) , tồn g  S (FG ) cho G F n t f i ( )   x j  n i 1 t j 1 f g phân phối (3) Nếu F ,G  M [, c  X  ] , phân phối S F1   ,  t k t 1t f (  )  f (  )    x n j 1 i 1 ( i 1)t  j n j  1 (k 1)t  j t j 1 j  k t k k t f (  )  x     f () j n j 1 k i 1 ( i 1)t  j n j 1 k (k 1)t  j E [F , FF ]  E [G , FG ] Bổ đề 2.2 ([3], Lemma 3.6) Giả sử X không gian Banach C  X Khi đó, với x  coC   , tồn  k 1 t    x j  n t  j 1 Vì Fn , n  1 dãy phần tử ngẫu m x , , x m C cho  x  x   m i 1 i Định lý sau kết báo Kết mở rộng Định lý 3.2 [4] Định lý 2.2 Nếu Fn , n  1 nhiên m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả ly X , nên f n , n  1 dãy phần tử ngẫu dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc, phân phối, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach khả ly X S F1  , nhiên m-phụ thuộc theo khối L (; X) , với p đủ lớn họ f ,2  i  k  độc lập f ,  n   -k >m minh với  j  t , f p 1 p cl  F ( )  coE  F1  h.c.c n i 1 i n n n g   f k i 1 Với x  X   , theo Bổ đề 2.1(1), (3) Bổ đề 2.2, ta chọn j j t 1  E (f j )  x   Theo Bổ đề 2.1(2) , Do đó, -k >m  k t  mt  m nên độc lập với 2q1  k ,  2q , q số nguyên không âm đủ lớn Nghĩa với q đủ lớn họ f n  với f n  S F1 ( FF )  1)t  j  1t  j   k 1t  j    g k g j 1 n  , k  , phần tử thứ k dãy g  f ( cho n ( k 1)t  j dãy g k  f ( k 1)t  j ; phần tử thứ t tồn dãy  ,k 1 dãy phần tử ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối Thật vậy, đặt G n ( )  n 1cl  Fi ( ),   , n  1 j t, họ Ta chứng ( k 1)t  j Chứng minh Đặt X  coE F1  f j  S F1 ( FF ) , với i g ,2  q 1 cho, với j  1, , t , f ( k 1)t  j , k  i dãy phần tử ngẫu nhiên phân phối 43 i k  độc lập với họ g ,     khả ly nên tồn dãy x j X với  n  2q -k >m Do đó, Theo n nghĩa, f , k  dãy phần tử ngẫu nhiên ( k 1)t  j với 1 j t, định x j  cho  x j , x j  d (x j , X )  s (X , x j ), j  m-phụ thuộc theo khối Áp dụng Định lý   x ,x ( )  x j  h.c.c k   f k i 1 ( i 1)t  j k k 1 f (k 1)t  j ( )   j s (X , x j ) từ c  X  vào (, ) Bc  X  -đo E(s(F1 (.), x j ))  s( X , x j )  , j  1, 1 f (i 1)t  j ( )   f (i 1)t  j ( )  k i 1 k i 1 k 1 với nên s (F (.), x n   s (X , x ), với j  Vì hàm  j X k x X Khi đó, 2.1 cho dãy f ( k 1)t  j , k  , ta  j j  1,  ) : n  dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối phân k k  1 k 1 f (  )   f (i 1)t  j ()  h.c.c k    ( i 1)t  j k i 1 k k  i 1 phối L Vì vậy, tồn N  với P (N )  cho với   \ N Vì j  ta có n t n f i ( )   x j  h.c.c n     s ( G (  ), x )   s (Fi (), x j ) s (X , x j ) n   n i 1 t j 1 n j F n Vì G n ( ) tập đóng c  X  nên i 1   \ N , w x  w-lim supG n ( ) x k   x k  , Với n n 1  f i ( ) G n ( ) h.c.c Vì vậy, chúng x k G n ( ) i 1 k t ta có t 1  x j  s  lim inf G n ( ) h.c.c Từ Từ đó, suy x , x j  lim x k , x j  lim s (G n (), x j )  s (X , x j ), j  j 1 k đó, X  s  lim inf G n () h.c.c Tiếp theo chứng minh k k Điều kéo theo x  X Vì vậy, w-lim supG n ( )  X h.c.c    w  lim supG n ( )  X h.c.c Giả sử x j dãy trù mật X \ X Do X TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Nguyễn Văn Quảng, Xác suất không gian Banach, NXB ĐHQG Hà Nội, 2012 44 Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013 Tiếng Anh: C Castaing, N V Quang and D X Giap, Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13 (2012), 4, 615-636 F Hiai, Convergence of conditional expectations and strong laws of large numbers for multivalued random variables, Trans A M S 291 (1985), 613–627 F Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables, Proc Amer Math Soc 101 (1987), no 4, 709-715 * Ngày nhận bài: 07/10/2014 Biên tập xong: 01/3/2015 45 Duyệt đăng: 20/3/2015 ... theo i , n  1 dãy phần tử ngẫu dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc theo khối, phân phối với X  m (X ) xt n n phối với X , nên Với t  1, 2, ,k, đặt Z nt   I ( X X nhiên m – phụ thuộc theo. .. U Đó  - đại số bé mà F đo Fi Một dãy biến ngẫu nhiên đa trị Fn , n  1 gọi m-phụ thuộc theo khối lập với  ( p 1 n F ) Fi F Fi ) độc -k >m , m, p Theo [5], dãy phần tử ngẫu nhiên X n ,... Hội tụ Mosco cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị định nghĩa cách thay C n Fn ( ) C  phụ thuộc L1 (; X) Đối với dãy m-phụ thuộc theo khối, ta có định lý sau Định lý 1.1 ([5], Theorem 1) Giả sử