Luật mạnh số lớn là một trong những định lí giới hạn quan trọng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thống kê, lí thuyết xác suất và các lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm. Bài viết sẽ thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập (không nhất thiết có cùng phân bố xác suất) có kì vọng vô hạn.
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP CĨ KÌ VỌNG VƠ HẠN Nhận bài: 18 – 03 – 2017 Chấp nhận đăng: 28 – 06 – 2017 Lê Văn Dũnga, Nguyễn Thị Hải Yếnb* http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Luật mạnh số lớn định lí giới hạn quan trọng sử dụng nhiều lĩnh vực thống kê, lí thuyết xác suất lĩnh vực kinh tế, bảo hiểm Chẳng hạn thống kê, luật mạnh số lớn sử dụng để ước lượng cỡ mẫu, giá trị trung bình phương sai biến ngẫu nhiên, Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng hữu hạn nhiều tác giả giới quan tâm nghiên cứu Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vô hạn, Nakata [2] đưa số kết nghiên cứu luật yếu số lớn, luận mạnh số lớn chưa nghiên cứu Trong báo thiết lập luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng vơ hạn Từ khóa: luật mạnh số lớn; biến ngẫu nhiên; độc lập; kì vọng vơ hạn; định lí giới hạn 2.1 Cơ sở lí thuyết Giới thiệu Đối với dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n 1) độc lập có phân bố xác suất, có kì vọng hữu hạn luật mạnh số lớn trung bình mẫu X= X1 + X + + X n n 2.1.1 Định nghĩa [1, tr.202] ( X n ; n 1) hội tụ hầu Dãy biến ngẫu nhiên chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên X n → nếu: P({ : lim X n ( ) = X ( )}) = n → (1) hội tụ hầu chắn trung bình tổng thể E ( X ) Để chứng minh kết hội tụ hầu chắn ta thường sử dụng định lí sau n → Trong trường hợp kì vọng vơ hạn, kết khơng cịn 2.1.2 Định lí [1, tr.206] Điều kiện cần đủ để dãy biến ngẫu nhiên Trong báo thiết lập luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập (khơng thiết có phân bố xác suất) có kì vọng vơ hạn ( X n ; n 1) hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X với Trong báo giả thiết biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (, F , P) với P độ đo đủ 0, lim P(sup | X k − X | )) = n→ 2.1.3 Định lí [1, tr.150] Cho Cơ sở lí thuyết số kí hiệu aTrường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Hải Yến Email: nthyen_kt@ued.udn.vn (2) k n ( X n ; n 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phương sai hữu hạn Khi tồn số dương C khơng phụ thuộc vào n cho: có kì vọng n E Xk k =1 n C E ( X k2 ) k =1 Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 1-4 | Lê Văn Dũng, Nguyễn Thị Hải Yến E ( X I{| X | x} ) © x 2− với (6) 2.1.4 Định nghĩa [3, tr.132-133] Cho dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n 1) Đặt n Sn = X k Ta nói dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật k =1 mạnh số lớn tồn dãy số thực (an ; n 1) dãy số dương (bn ; n 1) tăng ngặt vô hạn ( bn ) cho: Sn − an = h.c.c n → bn lim Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ta sử dụng số C không thiết giống lần xuất Kết Định lí 3.1 Cho (3) nhiên Với hai dãy số thực dương {an ; n 1} {bn ; n 1}, chúng tơi đưa kí hiệu an = o(bn ), an © bn theo thứ tự cho khái niệm: mãn thỏa P(| X k | x) © x với x → điều k lim sup sup x P(| X k | x) Giả kiện sử k 1 {an ; n 1} {bn ; n 1} hai dãy số dương thỏa bn n =1 bn n a Khi k =1 k ta có: a a liminf n limsup n bn n → bn n → n lim bn−1 ak ( X k − E ( X k I{| X k |bn / ak } )) = h.c.c n → k =1 Hơn nữa, tồn A ¡ cho: Hàm tiêu tập A định nghĩa: 1 x A I A ( x) = A 0 x n lim bn−1 ak E ( X k I{| X k |bn / ak } ) = A n → , xét biến ngẫu nhiên X thỏa mãn k =1 thì: n P(| X | x) © x − , x Với k =1 n 1, k đặt X nk = X k I{| X k |bn / ak } , n n =1 E (| X |) = Hơn nữa, ta cịn có bổ S n = bn−1 ak ( X k − E ( X k I{| X k |bn / ak } )), k =1 n Sn' = bn−1 ak ( X k − X nk ), đề sau Bổ đề [2] k =1 Cho biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (4) Khi ta có: x1− E (| X | I{| X | x} ) © log( x) n → Chứng minh: E (| X |) P(| X | n) ta dễ dàng suy lim bn−1 ak X k = A h.c.c (4) Khi đó, áp dụng bất đẳng thức: lập mãn điều kiện a lim n = , n → b n độc − 2.2 Một số kí hiệu Với điều kiện: , cho { X n ; n 1} dãy biến ngẫu 1 =1 (5) n Sn" = bn−1 ak ( X nk − E ( X nk )) k =1 Để chứng minh chứng minh n → Sn → (h.c.c.) n → ta Sn' → (h.c.c.) Sn" → (h.c.c.) ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 1-4 Với 0 { X n ; n 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập có bé tùy ý, ta có: P(sup| Sk' | ) P U(| Sk' | ) k n k =n phân bố xác suất: P( X n = 2i ) = k P(| Sk' | ) P(| X j | bk / a j ) k =n k = n j =1 k k =n j =1 P(| X n | x) © x−1 , x (xem [2]) C bk− aj → n → Suy Xét dãy số n 1 n =1 n ln( n) k =1 k Mặt khác, ta có: Áp dụng Định lí 3.1 ta có: P(sup | S k" | ) P U (| S k" | ) k n k =n k =n = E k = n bk 1 k =n n 1 ( X k − E ( X k I{| X |kn2 ln( n )} )) = k n → n ln( n) k =1 k h.c.c lim E (| S k" |2 ) a ( X − E ( X ) k kj kj j =1 k k bk a k = n bk2 j =1 j a j C Suy { X n ; n 1} dãy biến ngẫu {an ; n 1} {bn ; n 1} hai dãy số dương bn n =1 bn n a Khi k =1 k ta có: − n lim bn−1 ak X k = h.c.c n → k =1 Chứng minh: Do 1, áp dụng biểu thức (5) ta có: n bn−1 ak E ( X k I{| X k |bn / ak } ) Sn" → (h.c.c.) n → k =1 Định lí chứng minh n Ví dụ 3.2 Tung đồng xu cân đối đồng chất xuất mặt sấp dừng lại Nếu dừng lại lần tung i thứ i người chơi nhận số tiền (đồng) Người chơi tham gia trò chơi Cho 1, cho thỏa mãn điều kiện k a → n → k =n bk j =1 j C Hệ 3.3 k a 2j E ( X 2j I{| X j |bk / a j } )) k =n bk j =1 nhiên độc lập thỏa mãn điều kiện (4) Hơn nữa, giả sử k a 2j E ( X kj − E ( X kj ))2 k =n bk j =1 bn = n2 ln(n) an = 1/ n , ta có Sn' → (h.c.c.) n → P(| S k" | ) , i = 1, 2, 2i n lần, gọi X n số tiền người chơi nhận lần chơi thứ n Khi đó, bn−1 ak E (| X k | I{| X k |bn / ak } ) k =1 1− b Cb ak n k =1 ak −1 n n n = Cbn− ak → n → k =1 Lê Văn Dũng, Nguyễn Thị Hải Yến Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1, ta có điều phải chứng minh Kết luận Để thu luật mạnh số lớn đưa điều kiện mạnh dãy {an ; n 1} {bn ; n 1} Hiển nhiên với điều kiện thu luật yếu số lớn Kết mở rộng dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc khác m - phụ thuộc, liên kết âm Tài liệu tham khảo [1] Allan Gut (2005), Probability: A Graduate Course, Springer [2] Toshio Nakata (2016), Weak laws of large numbers for weighted independent random variabels with infinite mean, Statistics and Probability letters, 109, pp.124-129 [3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội STRONG LAWS OF LARGE NUMBERS FOR SEQUENCES OF INDEPENDENT RANDOM VARIABLES WITH INFINITE MEAN Abstract: The strong law of large numbers is one of the important limit theorems, which is used in a variety of fields including statistics, probability theories, and areas of economics and insurance For example, in statistics, the strong law of large numbers can be used to optimize sample sizes, mean and variance of random variables Strong laws of large numbers for sequences of independent random variables with finite mean have been studied by many authors in the world As regards sequences of independent random variables with infinite mean, Nakata [2] established some new results of weak laws of large numbers, while strong laws of large numbers have not been studied In this article, we establish strong laws of large numbers for sequences of independent random variables with infinite mean Key words: strong law of large numbers; random variable; independence; infinite mean; limit theorem ... 3.1, ta có điều phải chứng minh Kết luận Để thu luật mạnh số lớn đưa điều kiện mạnh dãy {an ; n 1} {bn ; n 1} Hiển nhiên với điều kiện thu luật yếu số lớn Kết mở rộng dãy biến ngẫu nhiên phụ... ) © x 2− với (6) 2.1.4 Định nghĩa [3, tr.132-133] Cho dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n 1) Đặt n Sn = X k Ta nói dãy biến ngẫu nhiên tuân theo luật k =1 mạnh số lớn tồn dãy số thực (an... - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 1-4 Với 0 { X n ; n 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập có bé tùy ý, ta có: P(sup| Sk' | ) P U(| Sk' | ) k n