Định lý ba chuỗi và thuật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Kiến thức sở 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.2 Phần tử ngẫu nhiên độc lập 1.3 Các dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên 1.4 Các đặc trưng phần tử ngẫu nhiên 1.5 Một số bất đẳng thức 10 1.6 Không gian Rademacher loại p 12 Chương Định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn 14 2.1 Định lí ba chuỗi 14 2.2 Luật mạnh số lớn 27 2.3 Một số đặc trưng không gian Rademacher loại p 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI NÓI ĐẦU Định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn vấn đề quan trọng lí thuyết xác suất Đối với dãy biến ngẫu nhiên ta đạt nhiều kết sâu sắc định lí ba chuỗi Kolmogorov, luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập, Ngày lí thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ, khái niệm biến ngẫu nhiên mở rộng thành khái niệm tổng quát khái niệm phần tử ngẫu nhiên Khái niệm đề xuất Maurice Fréchet năm 1948 Việc nghiên cứu định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên lại đặt Đi theo hướng chọn đề tài "Định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên" Mục tiêu luận văn thiết lập định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach với điều kiện thích hợp Bên cạnh số đặc trưng không gian Rademacher loại p Cấu trúc luận văn gồm hai chương Trong chương 1, trình bày khái niệm phần tử ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên độc lập, dạng hội tụ, đặc trưng phần tử ngẫu nhiên, số bất đẳng thức khái niệm không gian Rademacher loại p Trong chương 2, trình bày định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach với điều kiện thích hợp số đặc trưng không gian Rademacher loại p Luận văn hoàn thành quan tâm hướng dẫn nhiệt tình, sâu sát thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng giúp đỡ, động viên bạn lớp Cao học ngành Lí thuyết xác suất thống kê Toán học khóa 16 Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tất thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Vinh, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng trang bị cho tác giả kiến thức cần thiết, bổ ích để hoàn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Vinh, ngày 19 tháng 11 năm 2010 Tác giả Huỳnh Lâm Đan Thanh Chương Kiến thức sở Trong suốt luận văn ta giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, E không gian Banach khả li, B(E) σ -đại số Borel, G σ -đại số F 1.1 Phần tử ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ X : Ω −→ E gọi phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị E X G/B(E) đo được, tức với B ∈ B(E) X −1 (B) ∈ G Phần tử ngẫu nhiên F -đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, X phần tử ngẫu nhiên 1.1.2 Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω −→ E xác định X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω Khi X phần tử ngẫu nhiên G - đo được, với G = {∅, Ω} Thật vậy, X −1 (B) = ∅ ∈ /B Ω ∈ B nên X −1 (B) ∈ G với B ∈ B(E) 1.2 Phần tử ngẫu nhiên độc lập Một tập hữu hạn phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn nhận giá trị E gọi độc lập với B1 , B2 , , Bn ∈ B(E) ta có P(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , , Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ) P(Xn ∈ Bn ) Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn } E gọi độc lập tập hữu hạn độc lập 1.3 Các dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Cho {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (E, B(E)) Ta nói {Xn } hội tụ đến X : h.c.c Hầu chắn, kí hiệu Xn −−→ X , P( lim Xn − X = 0) = n→∞ P Theo xác suất, kí hiệu Xn − → X , với ε > lim P( Xn − X > ε) = n→∞ Lp Theo trung bình cấp p, kí hiệu Xn −→ X lim E( Xn − X p ) = n→∞ D Yếu (theo phân phối), kí hiệu Xn − → X w PXn − →P PX : B(E) −→ R B −→ P(X −1 (B)) 1.3.2 Định nghĩa Cho {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn } dãy hầu chắn (h.c.c) P( lim m,n→∞ Xn − Xm = 0) = 1.3.3 Bổ đề Dãy {Xn } h.c.c hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) lim P( sup Xk − Xl > ε) = 0, ∀ε > 0, n→∞ k,l n (ii) lim P(sup Xk − Xn > ε) = 0, ∀ε > n→∞ k n Chứng minh Ta có Xk − Xl X k − Xn + Xl − Xn Suy (sup Xk − Xn > ε) ⊂ ( sup k n Xk − Xl > ε) ⊂ (sup Xk − Xn > k,l n k n ε ) Do (i) (ii) tương đương Ta chứng minh {Xn } h.c.c thỏa mãn (i) Đặt ∞ Xk − Xl > ε = sup ∆n (ε) = X k − Xl > ε k,l n k,l=n Khi ∆n (ε) dãy giảm ta chứng minh ∞ lim k,l→∞ Xk − Xl = = lim k,l→∞ ∆n ( m=1 n=1 Thật vậy, ω ∈ ∞ Xk − Xl = ) m ⇔ lim k,l→∞ Xk (ω) − Xl (ω) = ⇔ ∀ε > 0, ∃n : Xk (ω) − Xl (ω) ε, ∀k, l , ∀k, l m Xk − X l m ⇔ ∀m, ∃n : Xk (ω) − Xl (ω) ∞ ⇔ ∀m, ∃n : ω ∈ k,l=n ∞ ∞ ⇔ω∈ ∆n m=1 n=1 n n m Suy ∞ ∞ (Xn ) h.c.c ⇔ P ∆n m =1 ∆n m =0 m =0 m=1 n=1 ∞ ∞ ⇔P m=1 n=1 ∞ ⇔P ∆n n=1 = 0, ∀m n→∞ m ⇔ lim P ∆n (ε) = 0, ∀ε > ⇔ lim P ∆n n→∞ 1.3.4 Bổ đề Dãy {Xn } h.c.c dãy {Xn } hội tụ h.c.c Chứng minh Đặt Ω1 = {ω : Xn (ω) hội tụ}, Ω2 = {ω : Xn (ω) bản} Khi E không gian Banach nên Ω1 = Ω2 Do (Xn ) hội tụ h.c.c ⇔ P(Ω1 ) = ⇔ P(Ω2 ) = ⇔ (Xn ) h.c.c 1.3.5 Mệnh đề Cho {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E Khi {Xn } hội tụ h.c.c đến phần tử ngẫu nhiên X E P sup Xm − Xn − → m n Chứng minh (Xn ) hội tụ h.c.c ⇔ (Xn ) h.c.c P ⇔ sup Xm − Xn − → m n 1.4 Các đặc trưng phần tử ngẫu nhiên 1.4.1 Kỳ vọng 1.4.1.1 Định nghĩa Một phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị E gọi có giá trị kỳ vọng EX ∈ E E(f (X)) = f (EX), ∀f ∈ E∗ , E∗ = {f : E −→ R, f phiếm hàm tuyến tính, liên tục} * Nếu E X < ∞ ta nói X khả tích Chú ý Giá trị kỳ vọng định nghĩa Chứng minh Thật vậy, Giả sử tồn E X cho ∀f ∈ E∗ ta có f (E X) = E(f (X)) ⇒ ∀f ∈ E∗ , f (E X) − f (EX) = ⇒ ∀f ∈ E∗ , f (E X − EX) = ⇒ E X − EX = ⇒ E X = EX 1.4.1.2 Ví dụ Cho a ∈ E, A ∈ F, X = aIA X(ω) = a ω ∈ A ω ∈ /A Khi EX = P(A)a ∈ E Thật vậy, với f ∈ E∗ f (EX) = f (P(A) a) = P(A) f (a) E(f (X)) = E[f (a) IA ] = f (a) E IA = f (a)P(A) Vậy EX = P(A) 1.4.1.3 Tính chất Định lí Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi tồn EX, EY, Eξ Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY , Tồn E(aX) E(aX) = aEX , Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ , Nếu P(X = α) = EX = α, Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ E ∗ tồn E(ξX) E(ξX) = EξEX , 10 Với ánh xạ tuyến tính T : E −→ E (E không gian Banach khả li) tồn E[T (X)] E[T (X)] = T [E(X)] Định lí Nếu E X < ∞ tồn EX E X EX 1.4.2 Phương sai 1.4.2.1 Định nghĩa Cho X phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E với giá trị kỳ vọng EX Phương sai X , kí hiệu DX , cho công thức DX = E X − EX 1.4.2.1 Tính chất Giả sử X phần tử ngẫu nhiên, ξ đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E Khi D(a X) = a2 DX , D(α ξ) = α Dξ , DX = X = EX (h.c.c) 1.5 Một số bất đẳng thức 1.5.1 Bất đẳng thức Cr Giả sử X, Y ∈ Lr , r > Khi E X +Y r Cr (E X r +E Y r ), Cr = max(1, 2r−1 ) phụ thuộc vào r Chứng minh Ta có bất đẳng thức sơ cấp (a + b)r (ar + br ) max(1, 2r−1 ), a > 0, b > 0, r > 0, 23 Đặt ∞ Xn hội tụ B= lim inf An n=1 Suy P(B) = Lấy   ω∈B⇒ ∞ Xn (ω) hội tụ n=1  ω ∈ lim inf An ⇒   ∞ Xn (ω) hội tụ n=1 ∃ nω : ω ∈ An , ∀n nω ∞  Xn (ω) hội tụ ⇒ n=1  Xn (ω) = Yn (ω), ∀n nω ∞ ⇒ Yn (ω) hội tụ n=1 ∞ ⇒ω∈ Yn (ω) hội tụ n=1 ∞ ⇒B⊂ Yn (ω) hội tụ n=1 ∞ ⇒P Yn (ω) hội tụ = n=1 Vậy ∞ Yn (ω) hội tụ h.c.c n=1 24 2.1.7 Bổ đề Giả sử {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach E thuộc loại p Khi đó, ∞ n=1 E Xn − EXn p ∞ n=1 (Xn < ∞ − EXn ) hội tụ h.c.c Chứng minh Đặt Yn = Xn − EXn Khi (Yn , n 1) dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, khả tích bậc p EYn = 0, ∀n Đặt Sn = (X1 − EX1 ) + (X2 − EX2 ) + · · · + (Xn − EXn ) = Y1 + Y2 + · · · + Yn Ta cần chứng minh (Sn , n (Sn , n 1) hội tụ h.c.c Để làm điều ta chứng minh 1) dãy h.c.c Ta có, lim P( sup Sm − Sn > ε) = lim P( sup Yn+1 + Yn+2 + · · · + Ym > ε) n→∞ n→∞ m≥n m≥n ∞ E Ym p (theo bổ đề 2.1.3) lim c n→∞ m=n+1 ∞ E Xm − EXm = lim c n→∞ p m=n+1 ∞ E Xn − EXn = 0.(vì p < ∞) n=1 Vậy (Sn , n 1) dãy h.c.c, (Sn , n 1) hội tụ h.c.c 2.1.8 Định lý Cho {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Banach E thuộc loại p (1 p 2) số K > cố định Đặt Yn (ω) = Xn (ω) nếu Xn (ω) K Xn (ω) > K 25 (a) Sự hội tụ ba chuỗi ∞ (1) P( Xn > K), n=1 ∞ (2) EYn n=1 ∞ (3) E Yn − EYn p , n=1 ∞ n=1 Xn kéo theo hội tụ hầu chắn chuỗi (b) Nếu E không gian Hilbert hội tụ hầu chắn chuỗi ∞ n=1 Xn kéo theo hội tụ ba chuỗi với p = Chứng minh (a) Giả sử ba chuỗi (1), (2), (3) hội tụ Ta có dãy {Yn − EYn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xn } độc lập f (x) = x − a liên tục Hơn nữa, E(Yn − EYn ) = E Yn − EYn Áp dụng mệnh đề 2.1.2 ta có ∀m k P (Yi − EYi ) max n k n i=n p < ∞ (vì (3) hội tụ) 1: n m p − cm E Yi − EYi i=n Suy k lim P n →∞ (Yi − EYi ) max n k n i=n = 1(vì (3) hội tụ) m Kéo theo k lim lim P n→∞ n →∞ Do (Yi − EYi ) max n k n i=n ∞ (Yn − EYn ) hội tụ h.c.c n=1 = m p 26 Từ giả thiết (2) hội tụ suy ∞ Yn hội tụ h.c.c n=1 Ta lại có ∞ P( Xn > K) < ∞ n=1 Tức ∞ P(Xn = Yn ) < ∞ n=1 Mặt khác ∞ Yn hội tụ h.c.c n=1 Theo bổ đề 2.1.6 ta suy ∞ Xn hội tụ h.c.c n=1 (b) Giả sử E không gian Hilbert Do ∞ n=1 Xn ∞ n=1 Xn hội tụ h.c.c hội tụ h.c.c, nên Xn → h.c.c, kéo theo Xn → h.c.c liên tục c Mà {Xn } độc lập nên Xn → − 0, tức với K > ta có Suy Mà Suy ∞ n=1 P(Xn ∞ n=1 P( Xn > K) < ∞ = Yn ) < ∞ ∞ n=1 Xn hội tụ ∞ n=1 Yn hội h.c.c tụ h.c.c (theo bổ đề 2.1.6) Mặt khác, Yn − EYn Yn + EYn K + K = 2K 27 Theo mệnh đề 2.1.5, ta có k P ∞ n=1 DYn Nếu max Yi n k n (4K + 4)2 n i=n DYi i=n ∞ n=1 E phân kỳ, tức Khi Yn − EYn phân kỳ k P max n k n −→ n → ∞ Yi i=n Suy ∞ ∞ Yi h.c.c(mâu thuẫn với n=1 i=n Do ∞ n=1 E Yn − EYn Theo bổ đề 2.1.7 ta có mà Suy 2.2 Yn hội tụ h.c.c) hội tụ ∞ n=1 (Yn − EYn ) hội tụ h.c.c ∞ n=1 Yn hội tụ h.c.c ∞ n=1 EYn hội tụ h.c.c Luật mạnh số lớn Định lí sau mở rộng luật mạnh số lớn K L Chung cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach 2.2.1 Định lý Cho {ϕn (x)} dãy hàm số dương, liên tục (0, ∞) cho với p (1 p 2) ϕn (x) ϕn (x) p ↑, ↓ x ↑ với n x x Giả sử {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach E thuộc loại p với EXn = 0, ∀n cho {an } dãy 28 số thực dương Nếu ∞ n=1 Eϕn Xn ϕn (an ) ∞ n=1 y Nếu ϕn (x) xp ϕn (x) ϕn (y) ϕn (y) yp xp với x, y > yp Do ϕn (x) ↑ x ↑ với n x nên với x > y ta có ϕn (x) x ϕn (y), ∀x > y Suy ϕn (x) ϕn (y) y Ta chứng minh định lí 2.2.1 Đặt Yn = Xn I( Ta có ∞ E Yn − EYn apn n=1 an ) Xn p ∞ n=1 E Yn + EYn apn p 29 2p−1 E Yn ∞ +E EYn ∞ p n=1 ∞ 2p n=1 E Yn apn p (bất đẳng thức Cr ) apn n=1 p p Eϕn ( Xn ) (do nhận xét 2) ϕn (an ) < ∞ Vậy ∞ n=1 E Yn − EYn apn Mặt khác, EXn = 0, ∀n nên EXn I( p < ∞ Xn >K) = EXn I( (2.4) Xn K) Do ∞ n=1 EYn = an ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 EXn I( Xn an >an ) E Xn I( Xn an >an ) Eϕn ( Xn ) (do nhận xét 1) ϕn (an ) < ∞ Vậy ∞ n=1 EYn < ∞ an Hơn nữa, ∞ ∞ P(ϕn ( Xn ) > ϕn (an )) (do nhận xét 3) P( Xn > an ) n=1 n=1 ∞ n=1 Eϕn ( Xn ) (bất đẳng thức Markov) ϕn (an ) (2.5) 30 < ∞ Vậy ∞ P( Xn > an ) < ∞ (2.6) n=1 Từ (2.4), (2.5), (2.6) định lí 2.1.8 với k = suy ∞ n=1 Xn hội tụ h.c.c an 2.2.2 Định lý Cho E thuộc loại p (1 p 2) ϕ hàm số dương, liên tục (0; ∞) cho ϕ(x) ϕ(x) p ↑, ↓ x ↑ x x Nếu {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập E cho EXn = 0, ∀n ∞ n=1 Eϕ( Xn ) 0, r < p, δ > cho sup E Xn n Khi r (log Xn )1+δ < M n Xi −→ h.c.c n → ∞ nr i=1 Chứng minh Lấy ϕ(x) = xr (log + (x))1+δ an = n r Ta có, ∞ n=1 Eϕ( Xn ) = ϕ(an ) ∞ r (log + ( E Xn Xn ))1+δ (n r )r (log + n r )1+δ n=1 ∞ M n ( 1r )1+δ (log + n)1+δ n=1 ∞ n=1 M n (log n)1+δ < ∞ Theo định lí 2.2.2 ta có n Xi −→ h.c.c n → ∞ nr i=1 2.2.4 Hệ Cho E thuộc loại p Giả sử {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập E với EXn = 0, ∀n, tồn M > 0, cho sup E Xn n r < M r < p 32 Khi đó, với δ > ta có n Xi (n(logn)1+δ ) r −→ h.c.c n → ∞ i=1 Chứng minh Lấy ϕ(x) = xr an = (n (log n)1+δ ) r Ta có ∞ n=1 Eϕ( Xn ) = ϕ(an ) ∞ n=1 E Xn r n (log n)1+δ ∞ n=1 M < ∞ n (log n)1+δ Theo định lí 2.2.2 ta có n Xi −→ h.c.c n → ∞ (n (log n)1+δ ) r i=1 Một số đặc trưng không gian Rademacher loại p 2.3 2.3.1 Định lý Các khẳng định sau tương đương: (a) E thuộc loại p, (b) tồn số c > cho với dãy phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn E với kỳ vọng khả tích bậc p ta có với λ n P( max X1 + X2 + · · · + Xj > λ) j n −p cλ E Xj p ) ( j=1 Chứng minh (a) ⇒ (b) : Mệnh đề 2.1.2 Ta chứng minh (b) ⇒ (a) Giả sử {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng E cho ∞ E Xn n=1 p < ∞ 33 Khi với ε > 0, tồn số nguyên dương M cho ∞ E Xi p < ε i=M Ta có j P n max n j M −p Xi > λ cλ i=M E Xi p ) < ( i=M c ε, λp với n > M λ > Do j Xi > λ < P sup j M i=M c ε với λ > λp Vì j P Xi − → n → ∞ sup j n i=n Theo mệnh đề 1.3.5 ta có ∞ Xn hội tụ h.c.c n=1 Suy E thuộc loại p (mệnh đề 1.6.2) Với dãy {Xn } phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Banach E, với số K Yn (ω) = cố định, ta đặt Xn (ω) nếu Xn (ω) K Xn (ω) > K 2.3.2 Định lý E thuộc loại p với dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xn } E, hội tụ ba chuỗi ∞ (1) P( Xn > K), n=1 ∞ (2) EYn n=1 34 ∞ (3) E Yn − EYn p , n=1 ∞ n=1 Xn kéo theo hội tụ h.c.c chuỗi Chứng minh Điều kiện cần : Định lí 2.1.8a Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập E với kỳ vọng cho ∞ E Xn p < ∞ n=1 Ta có P( Xn > K) Suy E Xn , ∀n (bất đẳng thức Markov) K ∞ K P( Xn > K) n=1 Vì EXn = 0, ∀n nên EXn I( Xn >K) ∞ E Xn < ∞ (2.7) n=1 = EXn I( Xn K) Do ∞ ∞ EXn I( Xn K) = n=1 EXn I( Xn >K) n=1 ∞ EXn I( Xn >K) n=1 ∞ E Xn p < ∞ n=1 Suy ∞ EYn hội tụ n=1 Hơn nữa, ∞ E Xn I( n=1 Xn K) − EXn I( p Xn K) (2.8) 35 ∞ p E X n I( Xn K) + E Xn I( Xn K) n=1 ∞ 2p−1 E Xn n=1 ∞ p E Xn p E Xn p I( p I( Xn K) + E Xn p I( Xn (bất đẳng thức Cr ) K) Xn >K) n=1 ∞ 2p n=1 < ∞ Vậy ∞ E Xn I( Xn K) − EXn I( p Xn n=1 Từ (2.7), (2.8) (2.9) suy ∞ Xn hội tụ h.c.c n=1 Theo mệnh đề 1.6.2 ta có E thuộc loại p K) < ∞ (2.9) 36 KẾT LUẬN • Luận văn đạt kết sau: Thiết lập định lí ba chuỗi cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Trình bày số đặc trưng không gian Rademacher loại p • Hướng mở rộng luận văn: Mở rộng kết cho dãy hiệu martingale không gian p-trơn Mở rộng kết cho dãy chuỗi nhiều số Mở rộng kết cho phần tử ngẫu nhiên đa trị 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Nguyễn Văn Quảng, Phân phối xác suất không gian Banach, Bài giảng dành cho học viên cao học ngành Xác suất thống kê, Đại học Vinh, 2007 [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục, 2000 [4] Tien-Chung Hu - Chunnan Wang, On convergence for series of random elements, Nonlinear Analysis,1297-1308, 2007 [...]... kì {Xi }ni=1 nhận giá trị trong E với kỳ vọng 0 và khả tích bậc p ta có n E Xi i=1 n p c E Xi i=1 p 14 Chương 2 Định lí ba chuỗi và Luật mạnh số lớn 2.1 Định lí ba chuỗi Trong mục này chúng tôi sẽ mở rộng định lí ba chuỗi của Kolmogorov cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach 2.1.1 Bổ đề Cho X1 , X2 , , Xn là dãy các phần tử ngẫu nhiên khả tích, Sk = X1 + X2 + · ·... 1.6.2) Với mỗi dãy {Xn } các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach E, với mỗi hằng số K Yn (ω) = 1 cố định, ta đặt Xn (ω) nếu 0 nếu Xn (ω) K Xn (ω) > K 2.3.2 Định lý E thuộc loại p nếu và chỉ nếu với mỗi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xn } bất kì trong E, sự hội tụ của ba chuỗi ∞ (1) P( Xn > K), n=1 ∞ (2) EYn và n=1 34 ∞ (3) E Yn − EYn p , n=1 ∞ n=1 Xn kéo theo sự hội tụ h.c.c của chuỗi. .. (2.7), (2.8) và (2.9) suy ra ∞ Xn hội tụ h.c.c n=1 Theo mệnh đề 1.6.2 ta có E thuộc loại p K) < ∞ (2.9) 36 KẾT LUẬN • Luận văn đã đạt được các kết quả sau: 1 Thiết lập được định lí ba chuỗi cho dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach 2 Thiết lập được luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach 3 Trình bày được một số đặc trưng... thuẫn với n=1 i=n Do đó ∞ n=1 E Yn − EYn Theo bổ đề 2.1.7 ta có mà Suy 2.2 Yn hội tụ h.c.c) 2 hội tụ ∞ n=1 (Yn − EYn ) hội tụ h.c.c ∞ n=1 Yn hội tụ h.c.c ra ∞ n=1 EYn hội tụ h.c.c Luật mạnh số lớn Định lí sau mở rộng luật mạnh số lớn K L Chung cho dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach 2.2.1 Định lý Cho {ϕn (x)} là dãy các hàm số dương, liên tục đều trên (0, ∞) sao cho với. .. tồn tại một hằng số c > 0 sao cho n + inf b ∈ R : ∀n và x1 , x2 , , xn ∈ E, E p ri xi i=1 1 p n b xi i=1 p 1 p c, 13 trong đó {ri } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với P(ri = −1) = P(ri = 1) = 12 1.6.2 Mệnh đề (Woyczyn ´ ski (1980)) Những khẳng định sau là tương đương: (a) E thuộc loại p, (b) tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∀n ∈ N và với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập bất... (2.6) và định lí 2.1.8 với k = 1 suy ra ∞ n=1 Xn hội tụ h.c.c an 2.2.2 Định lý Cho E thuộc loại p (1 p 2) và ϕ là hàm số dương, liên tục đều trên (0; ∞) sao cho ϕ(x) ϕ(x) p ↑, ↓ khi x ↑ x x Nếu {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong E sao cho EXn = 0, ∀n và ∞ n=1 Eϕ( Xn ) 0 ta có P( X ε) E X ε Chứng minh Ta có X : Ω −→ E và : E −→ R là ánh xạ liên tục nên X : Ω −→ R là biến ngẫu nhiên không âm Từ đó ta áp dụng bất đẳng thức Markov đối với biến ngẫu nhiên không âm ta có điều phải chứng minh 1.6 Không gian Rademacher loại p 1.6.1 Định nghĩa Không gian Banach... định lí 2.2.2 ta có n 1 Xi −→ 0 h.c.c khi n → ∞ 1 (n (log n)1+δ ) r i=1 Một số đặc trưng của không gian Rademacher loại p 2.3 2.3.1 Định lý Các khẳng định sau là tương đương: (a) E thuộc loại p, (b) tồn tại hằng số c > 0 sao cho với mỗi dãy phần tử ngẫu nhiên bất kì X1 , X2 , , Xn trong E với kỳ vọng 0 và khả tích bậc p ta có với mọi λ 0 n P( max X1 + X2 + · · · + Xj > λ) 1 j n −p cλ E Xj p ) ( j=1... tụ = 1 n=1 Vậy ∞ Yn (ω) hội tụ h.c.c n=1 24 2.1.7 Bổ đề Giả sử {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach E thuộc loại p Khi đó, nếu ∞ n=1 E Xn − EXn p ∞ n=1 (Xn < ∞ thì − EXn ) hội tụ h.c.c Chứng minh Đặt Yn = Xn − EXn Khi đó (Yn , n 1) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, khả tích bậc p và EYn = 0, ∀n Đặt Sn = (X1 − EX1 ) + (X2 − EX2 ) + · · · + (Xn − EXn ) ... định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên lại đặt Đi theo hướng chọn đề tài "Định lí ba chuỗi luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên" Mục tiêu luận văn thiết lập định lí ba. .. ngẫu nhiên F -đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, X phần tử ngẫu nhiên 1.1.2 Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω −→ E xác định X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω Khi X phần tử ngẫu nhiên. .. lập định lí ba chuỗi cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Trình bày số