Định lí hội tụ theo trung bình đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Bài viết trình bày việc đã thu được các kết quả mới về hội tụ theo trung bình đối với mảng các biến ngẫu nhiên E -giá trị với chỉ ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên.

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) ĐỊNH LÍ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Lê Văn Dũng, Tơn Thất Tú* TĨM TẮT Cho Banach {X ij ; i  1, j  1} mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian E với chuẩn ||  || , {amnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  } mảng số thực, báo thiết lập điều kiện đủ để thu định lí hội tụ theo trung bình dạng max 1k u  a dạng  a k m 1l vn l i =1 j =1 Tm n i =1 j =1 Lp mnij X ij → n  m →  định lí hội tụ theo trung bình với số ngẫu nhiên mnij X ij → n  m → , {Tm ; m  1} { n , n  1} dãy đại lượng Lp ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, {um ; m  1},{vn ; n  1} dãy số nguyên dương thỏa mãn lim um = lim =  Các kết chúng tơi mở rộng Định lí Định lí m → n → Rosalsky tác giả khác [3] Hơn nữa, từ kết hội tụ theo trung bình, áp dụng bất đẳng thức Markov ta dễ dàng suy kết luật yếu số lớn mảng nhiều chiều đại lượng ngẫu nhiên Từ khóa: Hội tụ trung bình; Mảng hai chiều; Biến ngẫu nhiên Banach-giá trị; Đại lượng ngẫu nhiên; Luật yếu số lớn Đặt vấn đề Cho không gian xác suất đầy đủ (, F , P) E không gian Banach khả ly, thực với chuẩn ||  || Trong báo mở rộng kết Rosalsky tác giả khác [3] cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p-trơn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach p – trơn Kết nghiên cứu Với a, b  ¡ , kí hiệu max{a, b}, min{a, b} a  b, a  b Trong báo chúng tơi kí hiệu C số dương tổng quát không thiết phải giống lần xuất Cho không gian xác suất đầy đủ (, F , P) E không gian Banach khả ly, thực với chuẩn ||  || , biến ngẫu nhiên X :  → E gọi biến ngẫu nhiên E -giá trị Trong trường hợp E = ¡ , ta gọi X đại lượng ngẫu nhiên Scalora [4] đưa khái niệm kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên E -giá trị Với X biến ngẫu nhiên E -giá trị G  -đại số F , kì vọng có điều kiện E ( X / G ) định nghĩa tương tự kì vọng có điều kiện đại lượng ngẫu nhiên ta có tính chất tương tự TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) Một không gian Banach khả ly, thực E gọi không gian p-trơn (  p  ) tồn số dương C cho với dãy biến ngẫu nhiên E -giá trị {X k ;1  k  n} ta có k n i =1 i =1 E max ||  X i || p  C  E || X i || p 1 k  n Dễ dàng thấy không gian Banach khả ly, thực không gian 1-trơn đều, tập số thực với chuẩn giá trị tuyệt đối không gian 2-trơn Nếu E không gian ptrơn với  p  E khơng gian r-trơn với  r  p Các tính chất khơng gian p-trơn tìm đọc tài liệu tham khảo [2] Bổ đề sau cung cấp Dung [1]  p  E không gian Banach p-trơn Cho 1.1.1 Bổ đề Cho {X kl ;1  k  m,1  l  n} mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị thỏa mãn điều kiện E ( X kl | F kl ) = với  k  m,1  l  n với F kl  - đại số sinh đại lượng ngẫu nhiên {X ij : i  k j  l} , F1,1 = {, } Khi đó, m n E max || Skl || p  C  E || X kl || p k  m ,l  n k k =1 l =1 l Skl =  X ij i =1 j =1 Trong kết sau xét (, F , P) không gian xác suất đầy đủ, E không gian p-trơn với  p  ; {X ij ; i  1, j  1} mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị, {um ; m  1},{vn ; n  1} dãy số nguyên dương thỏa mãn lim um = lim =  {amnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  } mảng số thực m → n → 1.1.2 Định lí Nếu tồn {cmnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  } cho um  c i =1 j =1 um p mnij  | a i =1 j =1 mnij mảng số dương | amnij | p → n  m →  (2.1) | p E || X ij I (|| X ij || cmnij ) || p → n  m →  (2.2) Khi đó, k max 1 k um 1l  l Lp  amnij X ij → n  m →  i =1 j =1 Và đó, ta thu luật yếu số lớn UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION um VOL.2, NO.2 (2012) P  amnij X ij → n  m →  i =1 j =1 Chứng minh k p l  amnij X ij E max 1 k um 1l  i =1 j =1 um um  C  E‖ amnij X ij‖ p (do Bổ đề 2.1.1) i =1 j =1 = C  | amnij | p E‖ X ij‖ p i =1 j =1 um um = C  | amnij | E‖ X ij I ‖( Xij‖  cmnij )‖ +C  | amnij | p E‖ Xij I (‖ Xij‖  cmnij )‖ p p i =1 j =1 um p i =1 j =1 um p  C  cmnij | amnij | p +C  | amnij | p E‖ Xij I (‖ Xij‖  cmnij )‖ p → n  m →  i =1 j =1 i =1 j =1 Bây với   0, áp dụng bất đẳng thức Markov ta có  P   um  a i =1 j =1 mnij X ij    p E     p um p  a i =1 j =1 k mnij X ij p l  a E max 1 k um 1l  mnij i =1 j =1 X ij → n  m →  Định lí chứng minh □ 1.1.3 Định lí Cho {Tn ; n  1} { n , n  1} hai dãy đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với {X ij ; i  m, j  n}, thỏa mãn điều kiện lim P{Tn  un } = lim P{ n  } = n → n → (2.3) Nếu tồn mảng số dương {cmnij ; m  1, n  1,  i  um ,  j  } cho (2.1) (2.2) thỏa mãn tồn số nguyên dương m0 , n0 cho M = sup    c m m0 , n  n0 i =1 j =1 N = sup  p mnij  | a m m0 , n n0 i =1 j =1 mnij | anmij | p   | p E || X ij I (|| X ij || cmnij ) || p   Khi đó, Tm n Lp  amnij X ij → n  m →  (2.4) i =1 j =1 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) Và thu luật yếu số lớn n Tm P  amnij X ij → n  m →  i =1 j =1 Chứng minh Đặt Bmnkl = {Tm = k , n = l}, pmnkl = P( Bmnkl ) , ta có Tm n   k l  amnij X ij =  ( amnij X ij ) I ( Bmnkl ) Vì i =1 j =1 Tm E k =1 l =1 p n  amnij X ij i =1 j =1    i =1 j =1  k k  I ( Bmnkl )    p l  amnij X ij i =1 j =1 p l  amnij X ij k =1 l =1   =  E   k =1 l =1   k =  pmnkl E i =1 j =1   k k =1 l =1  p (do Bổ đề 2.1.1) i =1 j =1 l = C  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =1 l =1 l  C  pmnkl  E amnij X ij p i =1 j =1  k l + C  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =1 l =1 p i =1 j =1 = C.K mn + C.Lmn Để chứng minh kết luận (2.4) ta chứng minh K mn → Lmn → m  n →  Trước hết ta có   k l K mn =  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =1 l =1  p i =1 j =1  k l p   pmnkl  cmnij | amnij | p k =1 l =1 um i =1 j =1 k l p =  pmnkl  cmnij | amnij | p + k =1 l =1 um + i =1 j =1   k k =1 l = +1 um     k k =um +1 l = +1 l p pmnkl  cmnij | amnij | p + i =1 j =1   l p pmnkl  cmnnij | amnij | p i =1 j =1 k l p | amnij | p  pmnkl  cmnij k =um +1 l =1 i =1 j =1 p =  cmnij | amnij | p P{i  Tm  um , j   n  } i =1 j =1 +M     k =um +1 l =vn +1 10 um pmnkl + M    k =1 l =vn +1 pmnkl + M   p k =um +1 l =1 mnkl UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION um  p   cmnij | amnij | p + M  i =1 j =1 um   k =1 l =vn +1 pmnkl + M  VOL.2, NO.2 (2012)  p mnkl k =um +1 l =1 p   cmnij | amnij | p + MP{ n  } + MP{Tm  um } → n  m →  i =1 j =1 (do (2.1) (2.3)) Biến đổi tương tự ta có   k l Lmn =  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =1 l =1 i =1 j =1 um k l =  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =1 l =1    k =um +1 l = +1  um +  k =1 l = +1 +  l pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) p i =1 j =1 k l p i =1 j =1 k l  pmnkl  E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) k =um +1 l =1 um k pmnkl  E amnij X ij I (‖ Xij‖  cmnij )  p i =1 j =1  + p p i =1 j =1   E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) P{i  Tm  um , j   n  } p i =1 j =1     +N k =um +1 l = +1 um um pmnkl + N    k =1 l = +1 pmnkl + N   p k =um +1 l =1     E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) + N  p i =1 j =1 um  k =1 l = +1 mnkl pmnkl + N   p k =um +1 l =1 mnkl   E amnij X ij I ‖( Xij‖  cmnij ) + NP{ n  } + NP{Tm  um } p i =1 j =1 → n  m →  (do (2.2) (2.3)) Bây với   0, áp dụng bất đẳng thức Markov ta có  P   Tm n  a i =1 j =1 mnij X ij    p E    Tm p n  a i =1 j =1 mnij X ij → n  m →  Định lí chứng minh □ Kết luận Trong báo thu kết hội tụ theo trung bình mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị với ngẫu nhiên không ngẫu nhiên Các kết thể Định lí 2.1.2 Định lí 2.1.3 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dung V Le, “Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces”, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (3), , 2010, 387-398 [2] Pisier, G., “Martingales with values in uniformly convex spaces”, Israel J Math., 20 (3-4) , 1975, 326-350 [3] Rosalsky, A., Sreehari, M., Volodin, A I., “Mean convergence theorems with or without random indices for randomly weighted sums of random elements in Rademacher type p Banach spaces”, Stochastic Analysis and Application, 21, 2003, 1169-1187 [4] Scalora, F S., “Abstract martingale convergence theorems”, Pacific J Math., 11, 1961, 347-374 MEAN CONVERGENCE THEOREMS FOR ARRAYS OF BANACH-VALUED RANDOM VARIABLES Le Van Dung, Ton That Tu Faculty of Mathematics, The University of Danang, University of Science and Education ABSTRACT Given a double array of E -valued random variables {X ij ; i  m, j  n}, {amnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  } which is an array of real constants, in this paper we establish sufficient k max 1 k um 1l  Tm mean  amnij X ij → as n  m →  and convergence without random indices mean convergence with random indices i =1 j =1  a integer for Lp l n i =1 j =1 conditions Lp mnij X ij → as n  m → , where {Tm , m  1} and { n , n  1} are sequences of positive valued random variables, {un ; n  1},{vn ; n  1} are sequences of positive integers satisfying lim um = lim =  These results are based on the extension of theorems and m → n → by Rosalsky and other theorems by other authors [3] Moreover, from the results of mean convergence, by using Markov inequality, we easily obtain weak laws of large numbers for arrays of E-valued random variables Keywords: Mean convergence; two-dimensional arrays; E-valued random variables; Random Variables; Weak laws of large numbers *Lê Văn Dũng, Email: lvdunght@gmail.com, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm, ĐHĐN Tơn Thất Tú, Email: tthattu@gmail.comKhoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, ĐHĐN, 12 ... báo thu kết hội tụ theo trung bình mảng biến ngẫu nhiên E -giá trị với ngẫu nhiên không ngẫu nhiên Các kết thể Định lí 2.1.2 Định lí 2.1.3 11 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP... dàng thấy không gian Banach khả ly, thực không gian 1-trơn đều, tập số thực với chuẩn giá trị tuyệt đối không gian 2-trơn Nếu E không gian ptrơn với  p  E không gian r-trơn với  r  p Các tính... CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ (2012) Một không gian Banach khả ly, thực E gọi không gian p-trơn (  p  ) tồn số dương C cho với dãy biến ngẫu nhiên E -giá trị {X k ;1  k