Sự hội tụ của dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung của hai ánh xạ α - Không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều

Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung của hai ánh xạ  -không giãn suy rộng trong không gian Banach lồi đều. Các kết quả này là những mở rộng của kết quả chính trong. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP KIỂU AGARWAL ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ  - KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU  Nguyễn Kim Ngoan(*), Nguyễn Trung Hiếu(**) Tóm tắt Trong báo này, thiết lập hội tụ yếu hội tụ dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -không giãn suy rộng không gian Banach lồi Các kết mở rộng kết [6], [9] Đồng thời, chúng tơi xây dựng ví dụ minh họa cho kết đạt Từ khóa: Ánh xạ  -khơng giãn suy rộng, dãy lặp Agarwal, điểm bất động chung Giới thiệu Trong lí thuyết điểm bất động, ánh xạ khơng giãn khái niệm quan trọng hướng nghiên cứu tồn xấp xỉ điểm bất động Nhiều kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn dãy lặp khác cho ánh xạ thiết lập Gần đây, số tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng khái niệm ánh xạ không giãn nhiều cách tiếp cận khác Năm 2011, Aoyama cộng [1] giới thiệu mở rộng ánh xạ không giãn gọi ánh xạ  -không giãn Sau đó, nhiều kết hội tụ đến điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ  -không giãn thiết lập Năm 2017, Pant cộng [6] giới thiệu mở rộng ánh xạ  -không giãn gọi ánh xạ  -không giãn suy rộng, đồng thời, tác giả thiết lập điều kiện cho tồn điểm bất động, khảo sát hội tụ đến điểm bất động lớp ánh xạ dãy lặp Agarwal Năm 2018, Piri cộng [7] thiết lập hội tụ đến điểm bất động ánh xạ  không giãn suy rộng dãy lặp không gian Banach lồi Tuy nhiên, nay, kết hội tụ đến điểm bất động chung ánh xạ  -không giãn suy rộng loại dãy lặp khác chưa nghiên cứu Do đó, báo này, đặt vấn đề thiết lập hội tụ dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -không giãn suy rộng không gian Banach lồi Các kết mở rộng kết [6] từ ánh xạ (*) (**) Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp Trường Đại học Đồng Tháp 70  -không giãn suy rộng sang hai ánh xạ  không giãn suy rộng Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng báo Định nghĩa 1.1 ([3, p 1041], [10, p 1089], [1, Definition 2.2], ([6, Definition 3.1]) Cho E không gian định chuẩn, K tập khác rỗng E T : K  K ánh xạ Khi đó, (1) T gọi ánh xạ khơng giãn với x, y  K ta có || Tx  Ty |||| x  y || (2) T gọi ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) với x, y  K mà || x  Tx |||| x  y || || Tx  Ty |||| x  y || (3) T gọi ánh xạ  -không giãn tồn   [0,1) cho với x, y  K , ta có || Tx  Ty ||2   || Tx  y ||2  || Ty  x ||2 (1  2 ) || x  y ||2 (4) T gọi ánh xạ  -không giãn suy rộng tồn   [0,1) cho với x, y  K mà || x  Tx |||| x  y || || Tx  Ty ||  || Tx  y ||  || Ty  x || (1  2 ) || x  y || Lưu ý ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) ánh xạ  -không giãn suy rộng với   Đồng thời, [6], tác giả đưa ví dụ chứng tỏ tồn ánh xạ  -không giãn suy rộng không ánh xạ  -không giãn, không ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) không ánh xạ không giãn ([6], Example 3.3, Example 3.4) Kí hiệu F (T )  {x  K : Tx  x} tập hợp điểm bất động ánh xạ T : K  K Taïp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THAÙP Mệnh đề 1.2 ([6], Proposition 3.5) Cho E khơng gian định chuẩn, K tập đóng khác rỗng E T : K  K ánh xạ  -không giãn suy rộng cho F (T )   Khi đó, T ánh xạ tựa không giãn, tức || Tx  p |||| x  p || với x  K p  F (T ) Bổ đề 1.3 ([6], Lemma 5.2) Cho E không gian định chuẩn, K tập khác rỗng E T : K  K ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Khi đó, với x, y  K ta có 3 || x  Ty || || x  Tx ||  || x  y || 1 Định nghĩa 1.4 ([2], p 189) Cho E Khơng gian Banach Khi đó, (1) E gọi lồi chặt với u, v  E mà u  v || u |||| v || 1, ta có ||u  v || (2) E gọi lồi với   (0,2], tồn   cho ||u  v || 2(1   ) với u, v  E mà || u |||| v || || u  v ||  Nhận xét 1.5 ([2], p 190, Proposition 6) Nếu E khơng gian Banach lồi E khơng gian Banach lồi chặt phản xạ Tính chất tập hợp điểm bất động F (T ) với T : K  K ánh xạ  -không giãn suy rộng thể qua bổ đề sau: Bổ đề 1.6 ([6], Lemma 3.6) Cho E không gian Banach lồi chặt, K tập lồi đóng khác rỗng E T : K  K ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Khi đó, F (T ) tập lồi đóng Bổ đề 1.7 ([8], Lemma 1.3) Cho E không gian Banach lồi đều,  a  n  b  với F  F (T )  F (S ) d ( x, F )  inf{|| x  y ||, y  F} Định nghĩa 1.9 ([4], Definition 1.1) Cho E không gian Banach Không gian E gọi thỏa mãn tính chất Opial với x  E với dãy {xn } hội tụ yếu đến x , ta có liminf || xn  x || liminf || xn  y || với y  E, x  y n n Trong [4, p 287] [5, p 107], tác giả không gian Hilbert, không gian Banach hữu hạn chiều không gian Banach  : | xn | p  } l p  {( xn )  với chuẩn n 1 1/ p    || x ||   | xn | p   p   thỏa  n 1  mãn tính chất Opial; khơng gian Banach cho  | f | p d   } với Lp  { f :    1/ p   chuẩn || f ||   | f | p d        p  (1, ) \{2} khơng thỏa mãn tính chất Opial Lưu ý với p  (1, ) \{2}, l p Lp hai không gian Banach mà không không gian Hilbert Mệnh đề 1.10 ([6], Proposition 5.3) Cho E không gian Banach có tính chất Opial, K tập đóng khác rỗng E , T : K  K ánh xạ  -không giãn suy rộng, {xn } hội tụ yếu đến p K lim || Txn  xn || Khi đó, Tp  p n với n   , {xn } {yn } hai dãy cho limsup || xn || r , limsup || yn || r Định nghĩa 1.11 ([9], p 534) Cho X không gian định chuẩn K tập khác rỗng X T : K  K ánh xạ Khi đó, T gọi nửa compact với dãy {xn } dãy bị chặn K cho lim || xn  Txn || tồn lim || n xn  (1  n ) yn || r với r  dãy {xn (i ) } {xn } cho dãy {xn (i ) } hội Khi đó, lim || xn  yn || tụ K Định nghĩa 1.12 ([5], p.89) Cho E không gian Banach, K tập khác rỗng E , dãy {xn } bị chặn E x  E Khi (1) Bán kính tiệm cận dãy {xn } x kí hiệu xác định r ( x,{xn }) : limsup || xn  x || n  n  n n Định nghĩa 1.8 ([9], p 534) Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E T , S : K  K ánh xạ Khi đó, T S gọi thỏa mãn điều kiện tồn hàm không giảm ( B) f :[0, )  [0, ) với f (0)=0 f (r )>0 với r >0 cho với x  K , ta có max{|| x  Tx ||,|| x  Sx || }  f (d ( x, F )) n n (2) Bán kính tiệm cận dãy {xn } K kí hiệu xác định 71 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP r ( K ,{xn }) : inf{r ( x,{xn }) : x  K} (3) Tâm tiệm cận dãy {xn } K kí hiệu xác định A( K ,{xn }) : {x  K : r ( x,{xn })  r ( K ,{xn })} Nhận xét 1.13 ([5], p 90, p 117) Cho E không gian Banach, K tập khác rỗng E dãy {xn } bị chặn E Khi đó, (1) Nếu K compact yếu lồi A( K ,{xn }) khác rỗng lồi (2) Nếu E không gian Banach lồi A( K ,{xn }) có điểm Các kết Trong mục này, xét dãy lặp kiểu Agarwal cho hai ánh xạ  -khơng giãn suy rộng có dạng sau: Dãy {xn } xác định x1  K  yn  (1   n ) xn   nTxn , (2.1)   xn 1  (1   n )Txn   n Syn , với n  * ,  n , n  [ ,1   ] với   (0,1), K tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach E T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng Trước hết, chúng tơi thiết lập số tính chất dãy lặp (2.1) Mệnh đề 2.1 Cho E không gian Banach, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng cho F  F (T )  F (S )  , dãy {xn } xác định (2.1) Khi đó, {xn } dãy bị chặn lim || xn  p || tồn với p  F n Chứng minh Với p  F , sử dụng Mệnh đề 1.2, ta có || yn  p || || (1   n ) xn   nTxn  p ||  (1   n ) || xn  p ||  n || Txn  p ||  (1   n ) || xn  p ||  n || xn  p || || xn  p || Sử dụng Mệnh đề 1.2 (2.2), ta có || xn 1  p || || (1   n )Txn   n Syn  p ||  (1  n ) || Txn  p ||  n || Syn  p ||  (1  n ) || xn  p ||  n || yn  p || 72 (2.2)  (1  n ) || xn  p ||  n || xn  p || (2.3) || xn  p || Từ (2.3), ta suy {xn } dãy bị chặn lim || xn  p || tồn n Kết sau thiết lập điều kiện cần đủ cho tồn điểm bất động chung hai ánh xạ  -không giãn suy rộng không gian Banach lồi Mệnh đề 2.2 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K ánh xạ  -không giãn suy rộng dãy {xn } xác định (2.1 ) Khi đó, F =F (T )  F (S )   {xn } bị chặn lim || Txn  xn || lim || Sxn  xn || n n Chứng minh Giả sử {xn } bị chặn lim || Txn  xn || lim || Sxn  xn || Do E n n không gian Banach lồi nên theo Nhận xét 1.13 tồn p  A( K ,{xn }) Khi đó, sử dụng Bổ đề 1.3, ta có r (Tp,{xn })  limsup || xn  Tp || n  3 || xn  Txn ||  limsup || xn  p ||  n  n   limsup || xn  p ||  limsup n  (2.4)  r ( p,{xn }) Lập luận tương tự, ta chứng minh r (Sp,{xn })  r ( p,{xn }) (2.5) Khi đó, từ (2.4), (2.5) định nghĩa bán kính tiệm cận dãy {xn } K , ta suy r (Tp,{xn })  r ( K ,{xn }) r (Sp,{xn })  r ( K ,{xn }) Suy Tp  A( K ,{xn }) Sp  A( K ,{xn }) Sử dụng tính tâm tiệm cận dãy {xn } K , ta có Tp  Sp  p hay p  F  F (T )  F (S ) Do F   Ngược lại, giả sử F   Khi đó, tồn p  F Theo Mệnh đề 2.1, ta có {xn } dãy bị chặn lim || xn  p || tồn Đặt n lim || xn  p || c n Khi đó, từ (2.2) (2.6) ta (2.6) Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP limsup || yn  p || c n (2.7) Do T S ánh xạ  -không giãn suy rộng nên theo Mệnh đề 1.2, ta có || Txn  p |||| xn  p ||, || Syn  p |||| yn  p || (2.8) Khi đó, kết hợp (2.8) với (2.6) (2.7), ta limsup || Txn  p || c, limsup || Syn  p || c (2.9) n n Hơn nữa, c  lim || xn 1  p || Khi đó, kết hợp bất đẳng thức || xn  yn |||| xn  Txn ||  || Txn  Syn ||  || Syn  yn || với (2.11), (2.14) (2.16), ta lim || xn  yn || (2.17) n Mặt khác, từ Bổ đề 1.3, ta có || xn  Sxn || || xn  yn ||  || yn  Sxn || 3 || yn  Syn ||  || yn  xn || 1 3  || xn  yn ||  || yn  Syn || (2.18) 1 Do đó, từ (2.16), (2.17) (2.18), ta lim || xn  Sxn || || xn  yn ||  n   lim || (1   n )Txn   n Syn  p || n   lim || (1   n )(Txn  p)   n ( Syn  p) || (2.10) n  Khi đó, từ (2.9), (2.10) sử dụng Bổ đề 1.7 ta có lim || Syn  Txn || (2.11) n Hơn nữa, kết hợp đẳng thức || xn1  Txn || n || Txn  Syn || với (2.11), ta lim || xn1  Txn || (2.12) n Khi đó, kết hợp bất đẳng thức với || xn1  Syn |||| xn1  Txn ||  || Txn  Syn || (2.11) (2.12), ta lim || xn1  Syn || n Kết hợp điều với (2.6) bất đẳng thức || xn1  p |||| xn1  Syn ||  || Syn  p || || xn1  Syn ||  || yn  p ||, ta c  liminf || yn  p || Khi đó, từ (2.7) ta n lim || yn  p || c Do đó, n c  lim || yn  p || n   lim || (1   n ) xn   nTxn  p || n   lim || (1   n )( xn  p)   n (Txn  p) || (2.13) n  Khi đó, từ (2.6), (2.9), (2.13) sử dụng Bổ đề 1.7, ta lim || Txn  xn || (2.14) n Hơn nữa, || Syn  yn || || Syn  [(1   n ) xn   nTxn ] || || Syn  xn ||  n || xn  Txn || || Syn  Txn ||  || Txn  xn ||  n || xn  Txn || (2.15) Từ (2.11), (2.14) (2.15), ta lim || Syn  yn || (2.16) n Tiếp theo, thiết lập hội tụ yếu dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Định lí 2.3 Cho E khơng gian Banach lồi có tính chất Opial, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng cho F  , dãy {xn } xác định (2.1) Khi đó, dãy {xn } hội tụ yếu đến p  F Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2, ta có dãy {xn } bị chặn lim || xn  Txn || lim || xn  Sxn || n n Vì E khơng gian Banach lồi nên E không gian Banach phản xạ Khi đó, tồn dãy {xn (i ) } {xn } cho {xn (i ) } hội tụ yếu đến p  K Do đó, lim || Txn(i )  xn(i ) || lim || Sxn(i )  xn(i ) || i  i  Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.10, ta có Tp  Sp  p hay p  F  F (T )  F (S ) Tiếp theo, ta giả sử {xn } khơng hội tụ yếu đến p Khi đó, tồn dãy {xn ( k ) } {xn } cho {xn ( k ) } hội tụ yếu đến q  K với p  q Lập luận tương tự trên, từ Mệnh đề 1.10, ta có q  F Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.1, ta có lim || xn  p || lim || xn  q || tồn Sử dụng n n tính chất Opial, ta có n 73 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) lim || xn  p || liminf || xn (i )  p || Định lí 2.5 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng cho F  , thỏa mãn điều kiện ( B) dãy {xn } xác định (2.1) Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh đến p  F Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2, ta có lim || Txn  xn || lim || Sxn  xn || (2.19) n  i   liminf || xn (i )  q || i   lim || xn  q || liminf || xn( k )  q || n k   liminf || xn( k )  p || lim || xn  p || k  n Điều mâu thuẫn Do đó, p  q Vậy {xn } hội tụ yếu đến p  F Tiếp theo, thiết lập số kết hội tụ mạnh dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Định lí 2.4 Cho E khơng gian Banach, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng với F  , dãy {xn } xác định (2.1) liminf d ( xn , F )  Khi đó, dãy {xn } hội tụ n mạnh đến p  F Chứng minh Với p  F , theo Mệnh đề 2.1, ta có lim || xn  p || tồn Do đó, n n n Vì T S thỏa mãn điều kiện B nên tồn hàm không giảm f :[0, )  [0, ) cho f (0)  f (r )  với r  max{|| xn  Txn ||,|| xn  Sxn || }  f (d ( xn , F )) (2.20) Khi đó, từ (2.19) (2.20), ta lim f (d ( xn , F ))  Giả sử lim d ( xn , F )  n n Khi đó, với   0, tồn n0   cho với n  n0 , ta có d ( xn , F )   Khi đó, f (d ( xn , F ))  f ( ) Do lim f (d ( xn , F ))  f ( )  n Điều mâu thuẫn với lim f (d ( xn , F ))  Do n lim d ( xn , F )  liminf { || xn  p ||, p  F} tồn đó, lim d ( xn , F )  Khi đó, theo Định lí 2.4, ta Khi đó, lim d ( xn , F )  liminf d ( xn , F )  Khi suy {xn } hội tụ mạnh đến p  F Định lí 2.6 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh xạ  -không giãn suy rộng cho F  , T S nửa compact dãy {xn } xác định (2.1) Khi đó, n n n n đó, tồn dãy {xn ( k ) } {xn } với dãy {pk }  F , ta có || xn( k )  pk || 2 k Khi đó, theo bất đẳng thức (2.3), ta || xn( k 1)  pk |||| xn ( k )  pk || 2 k Điều dẫn đến || pk 1  pk |||| pk 1  xn ( k 1) ||  || xn ( k 1)  pk ||  2 ( k 1)  2 k  2 ( k 1) Suy {pk } dãy Cauchy F Hơn nữa, theo Bổ đề 1.6, ta có F  F (T )  F (S ) tập đóng khơng gian Banach hay F có tính đầy đủ Do đó, dãy {pk } hội tụ mạnh đến p  F Hơn nữa, từ || xn ( k )  p |||| xn ( k )  pk ||  || pk  p ||  2 k  || pk  p ||, ta có lim || xn( k )  p || Kết hợp với giới hạn k  lim || xn  p || tồn tại, ta suy {xn } hội tụ mạnh n đến p  F 74 n dãy {xn } hội tụ mạnh đến x  F Chứng minh Theo Định lí 2.3, ta có {xn } bị chặn lim || Txn  xn || lim || Sxn  xn || n n Hơn nữa, T S nửa compact nên tồn dãy {xn ( k ) } {xn } cho {xn ( k ) } hội tụ đến p  K Mặt khác, từ Bổ đề 1.3, ta có 3 || xn ( k )  Tp || || xn ( k )  Txn ( k ) ||  || xn ( k )  p || 1 Điều dẫn đến lim || xn ( k )  Tp || hay k  dãy {xn ( k ) } hội tụ đến Tp Sử dụng tính giới hạn, ta có T ( p)  p Lập luận tương tự, ta chứng minh S ( p)  p Vì p  F TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Do đó, theo Mệnh đề 2.1, ta có lim || xn  p || tồn n Suy tồn giới hạn lim d ( xn , F )  liminf { || xn  p ||, p  F} n n Mặt khác, d ( xn( k ) , F ) || xn( k )  p || nên lim d ( xn ( k ) , F )  Do đó, lim d ( xn , F )  Khi k  n đó, theo Định lí 2.4, ta có dãy {xn } hội tụ mạnh đến x  F Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho việc sử dụng kết đạt để chứng tỏ hội tụ dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -không giãn suy rộng Trong đó, Ví dụ 2.8 chứng tỏ dãy lặp (2.1) hội tụ đến điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn nhanh dãy lặp (1.5) [9] Lưu ý rằng, hai ví dụ sau, tất tính tốn số viết phần mềm Scilab-6.0.0 Ví dụ 2.7 Xét E  không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt tối, K  [1,1] hai ánh xạ T , S : K  K xác định bởi: Tx x / neáu x [-1,0], neáu x / 3, -x neáu x (0,1] \ {1 / 3}, Sx x neáu x [-1,0], neáu x / 2, -x / neáu x (0,1] \ {1 / 2} Khi đó, T S hai ánh xạ  -không giãn suy rộng Thật vậy, trước hết ta chứng minh T ánh xạ  -không giãn suy rộng với   0,5 Đặt VP   || Tx  y ||  || Ty  x || (1  2 ) || x  y || Ta cần xét trường hợp sau: Trường hợp Với x, y [-1,0] ta có VP  0,5 | ( x / 3)  y | 0,5 | ( y / 3)  x |  0,5 | ( x / 3)  y  ( y / 3)  x |  (2 / 3) | x  y | (1/ 3) | x  y |  | x y| || Tx  Ty || Trường hợp Với x [-1,0], y  1/ ta có VP  0,5 | ( x / 3)  (1/ 3) | 0,5 |  x |  0,5[(1/ 3)  ( x / 3)]  0,5 x  (2 / 3) x  (1/ 6)  (1/ 3) x || Tx  Ty || Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) Trường hợp Với x  (0,1] \{1/ 3}, y  1/ ta có VP  0,5 |  x  (1/ 3) | 0,5 |  x |  0,5[ x  (1/ 3)]  0,5 x  x  (1/ 6) x || Tx  Ty || Trường hợp Với x, y  (0,1] \{1/ 3} ta có VP  0,5 |  x  y | 0,5 |  y  x | | x  y | | x  y | || Tx  Ty || Trường hợp Với x [-1,0], y  (0,1] \{1/ 3} ta có || Tx  Ty ||| ( x / 3)  y |, VP  0,5 | ( x / 3)  y | 0,5 |  y  x |  0,5[ y  ( x / 3)]  0,5( x  y )  ( x / 3)  y VP  0,5 | ( x / 3)  y | 0,5 |  y  x |  0,5[ y  ( x / 3)]  0,5( x  y )  (2 x / 3)  ( x / 3)  y Do đó, VP | ( x / 3)  y ||| Tx  Ty || Vậy T ánh xạ  -không giãn suy rộng với   0,5 Lập luận tương tự trên, ta chứng tỏ S ánh xạ  -không giãn suy rộng với   0,5 Ta lại có F  F (T )  F (S )  {0} Hơn nữa, giả thiết cịn lại Định lí 2.3, Định lí 2.4, Định lí 2.5, Định lí 2.6 thỏa mãn Do đó, dãy {xn } xác định (2.1) hội tụ đến điểm bất động chung S , T Tuy nhiên, cách chọn x  1/ y  ta có 0,5 || x  Tx || 1/  / || x  y || || Tx  Ty ||  / || x  y || Tương tự, cách chọn x  0,5 y  / ta có 0,5 || x  Sx || 0,25  1/ || x  y || || Sx  Sy || /12  1/ || x  y || Điều dẫn đến hai ánh xạ T , S không thỏa mãn điều kiện (C ) khơng ánh xạ khơng giãn Vì 75 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP vậy, kết hội tụ dãy lặp đến điểm bất động chung ánh xạ không giãn [9] không áp dụng cho hai ánh xạ T , S đưa Bằng tính tốn số, chúng tơi minh họa dáng điệu hội tụ dãy {xn } xác định (2.1) đến hai trường hợp cụ thể sau: Trường hợp: n  50, x1  0,5 ,  n   n  2n  với n  3n   n 1 2n  Hình Dáng điệu hội tụ dãy {xn } xác định (2.1) đến với x1  0,5 Trường hợp: n  50, x1  0,5,  n   n  2n  với n  3n   n 1 2n   x1  0,5    n 1 2n  (2.21)  xn 1  0,5 xn2  sin( yn ) , 3n  3n    n2 n 1 xn  0,5 xn2  yn  2n  2n   dãy lặp (1.5) báo [9] có dạng  x1  0,5    n 1 2n  (2.22)  xn 1  xn  sin( yn ) , 3n  3n    n2 n 1 xn  0,5 xn2  yn  2n  2n   Hình ảnh sau chứng tỏ dãy lặp (2.21) hội tụ đến nhanh dãy lặp (2.22) Hình Dáng điệu hội tụ dãy {xn } xác định (2.1) đến với x1  0.5 Ví dụ 2.8 Xét E  khơng gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt tối, K  [0,1] hai ánh xạ T , S : K  K xác định bởi: Tx  0,5x Sx  sin x với x  K Khi đó, T S ánh xạ không giãn T S ánh xạ  khơng giãn suy rộng Hơn nữa, giả thiết lại Định lí 2.6 [9, Theorem 3.7] thỏa 76 mãn Do đó, theo Định lí 2.6 [9, Theorem 3.7], dãy {xn } xác định (2.1) dãy (1.5) [9] hội tụ đến điểm bất động chung S , T Tuy nhiên, với cách chọn x1  0,5, n 1 2n   n  với n   , dãy n  2n  3n  {xn } xác định (2.1) có dạng Hình Dáng điệu hội tụ dãy lặp (2.21) dãy lặp (2.22) đến Nhận xét 2.9 Các kết Mệnh đề 2.2, Định lí 2.3, Định lí 2.4, Định lí 2.5, Định lí 2.6 tổng quát kết [6] từ ánh xạ  -khơng giãn suy rộng sang hai ánh xạ  -không giãn suy rộng Hơn nữa, ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) ánh xạ  -không giãn suy rộng với   từ Ví dụ 2.7, nhận thấy việc nghiên Taïp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THAÙP cứu hội tụ dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) không cần thiết Bài báo hỗ trợ Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên mã số SPD2018.02.58./ Tài liệu tham khảo [1] K Aoyama and F Kohsaka (2011), “Fixed point theorem for  -nonexpansive mapping in Banach space”, Nonlinear Anal., (74), pp 4387-4391 [2] B Beauzamy (1982), Introduction to Banach spaces and their geometry, North-Holland Mathematics Studies, vol.68, North-Holland, Amsterdam [3] F E Browder (1965), “Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space”, Proc Nat Acad Sci USA, (54), pp 1041-1044 [4] E L Dozo (1973), “Multivalued nonexpansive mappings and Opial's condition”, Proc Amer Math Soc., 38(2), pp 286-292 [5] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.28 Cambridge University Press, Cambridge [6] R Pant and R Shukla (2017), “Approximating fixed points of generalized  -nonexpansive mappings in Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 38 (2), pp 248-266 [7] H Piri, B.Daraby, S Rahrovi and M Ghasemi (2018), “Approximating fixed points of generalized  -nonexpansive mappings in Banach spaces by new faster iteration process”, Numer Algorithms, pp 1-20, first online [8] J Schu (1991), “Weak and strong convergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mappings”, Bull Aust Math Soc., 43 (1), pp 153-159 [9] N Shahzad and R Al-Dubiban (2006), “Approximating common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian Math J., 13 (3), pp 529-537 [10] T Suzuki (2011), “Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., (340), pp 1088-1095 CONVERGENCE OF AGARWAL-TYPE ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS OF TWO GENERALIZED -NONEXPANSIVE MAPPINGS IN UNIFORMLY CONVEX BANACH SPACES Summary In this paper, we come up with establishing the weak and strong convergence of Agarwal type iteration process to common fixed points of two generalized -nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces These results are the extensions of the main ones found in [6] and [9] In addition, some examples are provided for illustration Keywords: Generalized -nonexpansive mapping, Agarwal iteration process, common fixed point Ngày nhận bài: 20/2/2019; Ngày nhận lại: 16/4/2019; Ngày duyệt đăng: 19/4/2019 77 ... hội tụ yếu dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Định lí 2.3 Cho E không gian Banach lồi có tính chất Opial, K tập lồi đóng khác rỗng E , T , S : K  K hai ánh. .. Vậy {xn } hội tụ yếu đến p  F Tiếp theo, thiết lập số kết hội tụ mạnh dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -khơng giãn suy rộng Định lí 2.4 Cho E khơng gian Banach, K tập lồi đóng... dãy {xn } hội tụ mạnh đến x  F Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho việc sử dụng kết đạt để chứng tỏ hội tụ dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung hai ánh xạ  -không giãn suy rộng Trong