Bài báo tập trung phân tích giới hạn hội tụ và lí giải nguyên nhân việc không hội tụ của phương pháp Newton khi áp dụng tính toán cho mô hình thép tinh thể. Bài báo lần lượt trình bày: Vấn đề gặp phải, mô hình thép tinh thể, giải thích cùng các minh họa cho việc không hội tụ.
VẬT LIỆU XÂY DỰNG – MƠI TRƯỜNG PHÂN TÍCH GIỚI HẠN HỘI TỤ VÀ LÝ GIẢI NGUYÊN NHÂN VIỆC KHÔNG HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP NEWTON KHI ÁP DỤNG TÍNH TỐN CHO MƠ HÌNH THÉP TINH THỂ TS NGUYỄN CẨN NGƠN Trường Đại học Vinh Tóm tắt: Bài báo tập trung phân tích giới hạn hội tụ lí giải nguyên nhân việc không hội tụ phương pháp Newton áp dụng tính tốn cho mơ hình thép tinh thể Bài báo trình bày: vấn đề gặp phải, mơ hình thép tinh thể, giải thích minh họa cho việc khơng hội tụ phương trình tạo thành mơ hình Việc nghiên cứu hội tụ phương pháp Newton cụ thể cho mơ hình giúp cho việc chọn điều kiện khống chế xác, thuận lợi Điều đặc biệt có ý nghĩa lớn cho mơ hình sử dụng nhiều lần có tính kế thừa cao mơ hình đòi hỏi khả tính tốn lớn [1] Từ khóa: tích phân số Newton, mơ hình thép tinh thể, tính hội tụ, tính phân kỳ, thép bainite Sau đưa mơ hình thép tinh thể (trình bày Mục đây) vào chương trình tính tốn ZéBuLon [7] phương pháp tích phân khơng tường minh Newton Mơ hình kiểm tra mức độ hội tụ cách tính tốn điểm Gauss Tham số vật liệu cho bảng 1, điều kiện gia tải cho bảng Đặt vấn đề Phương pháp tích phân Newton sử dụng rộng rãi [1-6], có mặt hầu hết tính tốn tích phân Tính hội tụ phương pháp mơ hình phụ thuộc nhiều vào chất Bảng Tham số vật liệu C11(GPa) C12(GPa) C44(GPa) 275,2 112,4 81,4 K 22,9 gc -8 8x10 0 -1 d ( m ) (s ) 10 b (m) -10 2,514x10 2,5 a su 0,25 -2 (m ) 14 10 (MPa) R (MPa) G0 (eV) T( K) P q 132 498 0,77 298 0,335 1,12 Bảng Điều kiện gia tải lên điểm Gauss Thời gian (s) 0.0 20.0 11 (MPa) 0.0 0.0 22 (MPa) 0.0 0.0 12 (MPa) 0.0 0.0 Chương trình tính tốn cho thấy q trình tính tốn khơng hội tụ số bước tính nhỏ 34 coi tinh thể thép có 12 mặt trượt nhỏ 314 coi tinh thể thép có 24 mặt trượt Mơ hình thép tinh thể Mơ hình thép tinh thể sử dụng rộng rãi 23 (MPa) 0.0 0.0 31 (MPa) 0.0 0.0 eto33 0.0 0.2 chế ngăn cản vi nứt thông qua việc nghiên cứu mối liên hệ mật độ khuyết tật tinh thể với trường ứng suất, biến dạng cấp độ vi mô [1,3,5,6] Chúng ta nhắc lại phương trình mơ hình với ý nghĩa vật lý tham số nghiên cứu hình thành, phân bố, phát triển Quy luật chảy dẻo: G ( eff ) G 0 exp sign ( ) exp s k bT k bT s eff 1 R p q sign ( ) s Quy luật cứng nguội: int (b) s effs s ints s (b) s Quy luật biến đổi mật độ khuyết tật tinh thể: 54 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 VẬT LIỆU XÂY DỰNG – MÔI TRƯỜNG s s b D grain su u K (T ) g c (T ) , đó: G - lượng kích hoạt tách đúp; s hai hệ thống trượt u s; k B - số Boltmann; T - nhiệt độ tuyệt đối; eff - ứng suất cắt tác dụng trực tiếp lên khuyết tật; R - ứng suất tuyệt đối để dịch chuyển hàng khuyết tật nhiệt độ K; p, q - hai tham số xác định hình dạng lượng kích hoạt; - vận tốc trượt chế độ không phụ thuộc nhiệt độ; int - chuyển động khuyết tật tinh thể bị cản trở rừng khuyết tật tinh thể khác; - tính tới vai trò hợp chất bon, chất kết tủa vùng biên hạt cản trở chuyển động khuyết tật tinh thể; s - hình chiếu ứng suất cắt s lên mặt phẳng trượt; - mật độ khuyết tật tinh thể mặt trượt s; aus - hệ số ảnh hưởng lẫn vector Burgers; s u - module cắt; b - u - khoảng cách trung bình khuyết tật cắt qua mặt phẳng trượt s; D grain - kích thước trung bình hạt; K (T ) - hệ số đặc trưng cho tính hiệu giữ khuyết tật tinh thể; g c (T ) - hệ số đặc trưng cho tính hiệu phá hủy lẫn khuyết tật hệ thống trượt Lý giải nguyên nhân minh họa Để minh họa hoạt động phương.pháp tích phân, nhắc lại hệ phương trình vector phần dư với số đơn giản hóa nhằm đưa hệ đa chiều với 54 ẩn thành hệ ẩn s e t s s m signe( ts ) e q s e e p G0 eff s sign ( )t 1 0 exp s kT R b u u r s s b s u rt rt g c (T ) r u r u t t D r K (T ) b grain 3.1 (1) Nguyên nhân thứ Chúng ta xem xét xuất bước tính biến dạng dẻo đầu tiên, giả sử có mặt phẳng trượt xuất Trong trường hợp này, tất thành phần biến dạng dẻo cân xứng việc xem xét hệ thống giới hạn thành: 11e 11t s m11s q s e e p s G s exp eff t ; eff 1 k T (2) R R b effs s t ; 1 R e e Giả sử 11 có mối liên hệ hai phương trình thơng qua hàm chung e : Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 55 VẬT LIỆU XÂY DỰNG – MÔI TRƯỜNG f1 e s m11s 11t 11e G0 0 exp kT e s s b f m11 s e e eff 1 R 0 t p q effs t ; 1 R effs ; 1 R (3) Giao đồ thị hai hàm số nghiệm hệ Ở giá trị ban đầu thuật toán Newton e t gồm: = Như thấy minh họa hình Khi bước chia nhỏ, thuật toán Newton hội tụ nghiệm mong đợi, bước chia lớn vượt giới hạn, thuật tốn Newton cho nghiệm khơng thực tế Hình Thuật tốn Newton hội tụ nghiệm mong đợi bước chia nhỏ cho nghiệm không thực tế với bước chia lớn 3.2 Nguyên nhân thứ hai Nguyên nhân thứ hai đến từ phương trình biến đổi mật độ khuyết tật tinh thể (Phương trình thứ ba hệ (1)): b rt D grain s s r s u t u rtu K (T ) Lúc bắt đầu xảy trượt, với hướng có tính đối xứng cao chẳng hạn hướng (001), có bốn mặt trượt hoạt động, mặt trượt lại khơng xảy bị ngăn cản hệ số tương tác g (T ) u c rt rtu b (4) quy luật cứng nguội Khi gia tải bước s nhảy lớn, giá trị r lớn nhiều so với s giá trị ban đầu r Do (4) viết lại sau: s b 3rt s g c (T ) s s s rt t rt D grain K (T ) b t t (5) Nghiệm phương trình nghiệm hệ sau: s s b r g ( T ) t f r s s c rt s t t D K (T ) b grain t t f rt s rt s (6) Do đó, giao đồ thị hai hàm nghiệm hệ Đồ thị vẽ với giá trị khác f r Quá trình tìm nghiệm theo phương pháp Newton bắt đầu với: f rt 56 s s t s t b D grain Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 VẬT LIỆU XÂY DỰNG – MƠI TRƯỜNG Hình Quá trình tìm nghiệm hội tụ Hình Q trình tìm nghiệm khơng hội tụ Kết luận Bài báo cung cấp góc nhìn sâu q trình sử dụng thuật tốn Newton việc tìm nghiệm cho mơ hình thép tinh thể Bài báo cho thấy sử dụng phương pháp việc lựa chọn số bước gia tải phải chọn đủ nhỏ để trình tìm nghiệm hội tụ Điều đặc biệt nhạy cảm cần trọng thích đáng sử dụng mơ hình vật liệu phức tạp, với số bậc tự lên đến hàng triệu, tài ngun sử dụng cho tính tốn lên đến 120Gb RAM, thời gian tới vài tháng [1] Việc so sánh với mơ hình vật liệu tinh thể khác có sẵn cho thấy vấn đề chung tính tốn số, điều đòi hỏi phải khống chế số bước tính tối thiểu thực tính tốn Cũng với tính tốn kéo đơn giản đến 20% điểm Gauss với mơ hình mà Abrivard sử dụng [2] cần 282 bước chia Vấn đề bước chia tối thiểu đề cập tới [3,4] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen, C.N (2010) Modélisation du comportement en plasticité et rupture des aciers bainitiques bé lớn irradiés PhD thesis, École Nationale Supérieure des Mines de Paris [2] Abrivard,G (2007) Approche multiéchelle pour la prédiction de la recristallisation des alliages métalliques partir d’une approche micro-mécanique PhD thesis, Ecole des Mines de Paris [3] Musienko, A (2005) Plasticité cristalline en présence de grandes déformations et d’endommagement PhD thesis, Ecole des Mines de Paris [4] Kalidindi, S and Anand, L (1994) Marcoscopic shape change and evolu-tion of crystallographic tecture in pre-textured fcc metals Mechanics and Physics of Solids, 42 :459–490 [5] Libert, M (2007) Etudes expérimentale et numérique de l’effet des mécanismes de plasticité sur la rupture fragile par clivage dans les aciers faiblement alliés PhD thesis, Ecole Centrale Paris [6] Osipov, N (2007) Génération et calcul de microstructures bainitiques, approche locale intragranulaire de la rupture PhD thesis, Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris [7] http://www.zset-software.com/products/zebulon/ Ngày nhận bài: 23/7/2016 Ngày nhận sửa lần cuối: 04/01/2017 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2016 57 ... tìm nghiệm khơng hội tụ Kết luận Bài báo cung cấp góc nhìn sâu q trình sử dụng thuật tốn Newton việc tìm nghiệm cho mơ hình thép tinh thể Bài báo cho thấy sử dụng phương pháp việc lựa chọn số... trưng cho tính hiệu giữ khuyết tật tinh thể; g c (T ) - hệ số đặc trưng cho tính hiệu phá hủy lẫn khuyết tật hệ thống trượt Lý giải nguyên nhân minh họa Để minh họa hoạt động phương. pháp tích phân, ... ban đầu thuật toán Newton e t gồm: = Như thấy minh họa hình Khi bước chia nhỏ, thuật toán Newton hội tụ nghiệm mong đợi, bước chia lớn vượt q giới hạn, thuật tốn Newton cho nghiệm khơng