Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình không liên tục một biến

Bài viết đề xuất phương pháp Newton suy rộng để tìm nghiệm cho phương trình không liên tục. Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày phương pháp cho phương trình không liên tục trong không gian một chiều.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG LIÊN TỤC MỘT BIẾN Nhận bài: 23 – 07 – 2017 Chấp nhận đăng: 25 – 09 – 2017 Phạm Quý Mườia*, Đỗ Viết Lâna, Dương Xuân Hiệpa, Phan Đức Tuấna Phan Quang Như Anha http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Trong báo chúng tơi đề xuất phương pháp Newton suy rộng để tìm nghiệm cho phương trình khơng liên tục Ở đây, chúng tơi trình bày phương pháp cho phương trình khơng liên tục không gian chiều ¡ Trước hết, đề xuất hàm nửa trơn xấp xỉ cho hàm khơng trơn tương ứng Sau chúng tơi chứng minh số tính chất bản, cần thiết cho việc chứng minh hội tụ phương pháp Newton suy rộng Tiếp theo, chúng tơi trình bày chứng minh hội tụ phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khơng liên tục nghiên báo Cuối cùng, chúng tơi trình bày kết nghiệm số cho vài ví dụ cụ thể Các ví dụ số phương pháp Newton suy rộng có tốc độ hội tụ nhanh phương pháp Newton cổ điển Từ khóa: phương pháp Newton suy rộng; phương trình khơng liên tục; đạo hàm Newton; xấp xỉ nửa trơn; nghiệm phương trình khơng liên tục Giới thiệu ¡ hàm H  khơng liên tục x =   (xem Hình Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu phương trình khơng trơn [1, 2]: 1) Vì phương pháp số thơng thường phương pháp dây cung, phương pháp Newton, tựa Newton, áp dụng [3, 4, 5, 6]   x = H 2  x − f ( x)  s  s  (1) hay   F ( x) := x − H 2  x − f ( x)  = 0, s   s (2) H  : ¡ → ¡ định nghĩa bởi: 0, H  ( x) =   x, x  , x   Ở đây, s  số thực cho trước f  C (¡ ) , tức f hàm khả vi liên tục ¡ Chú ý hàm H  F khơng liên tục Hình (a) Đồ thị hàm H  ( x ) , (b) F ( x) với  = 0.01 Trong báo này, đề xuất phương pháp để tìm nghiệm cho phương trình (2) sau: - Trước hết, hàm H  F (không liên tục, không khả vi) xấp xỉ hàm số P F tương ứng aTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Phạm Quý Mười Email: pqmuoi@ued.udn.vn - Sau đó, thực vòng lặp: Chọn dãy { n }  0, x0  ¡ tính Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-25 | 19 Phạm Quý Mười, Đỗ Viết Lân, Dương Xuân Hiệp, Phan Đức Tuấn Phan Quang Như Anh xn +1 = xn − F ( xn ) Fn ( xn ) n (3) Chú ý rằng, F hàm liên tục Lipschitz (3) vịng lặp Newton trơn hóa [3, 4, 5, 6] Ở đây, hàm số F cho (2) hàm không liên tục nên kết mở rộng kết [3, 4, 5, 6] Mâu thuẫn cho ta x* − 2 Khi s 2 s f ( x* )  s 2 s Lúc   x* = H 2  x* − f ( x* )  = s  s  lặp (3) cho phương trình (2) xem xét vài ví dụ số cụ thể minh họa cho phương pháp tính chất hàm xấp xỉ Những tính chất cần thiết cho việc chứng minh hội tụ phương pháp Newton suy rộng trình bày phần Phần ba, chúng tơi trình bày phương pháp Newton suy rộng cho phương trình (3) chứng minh hội tụ Cuối cùng, chúng tơi trình bày kết số cho số ví dụ cụ thể f ( x* )  s 1   H 2  x* − f ( x* )  = x* − f ( x* )  s s  s  Đóng góp báo đưa điều kiện cho dãy { n } chứng minh hội tụ địa phương vòng Bố cục báo sau: Trong phần hai, đề xuất hàm trơn, tương ứng xấp xỉ hàm không trơn H  F Sau đó, chứng minh vài x* − Giả sử Tiếp theo đưa phương pháp xấp xỉ hàm số không liên tục H  F hàm số P F hàm số liên tục khả vi Newton (xem Hình 2) Thật vậy, ta định nghĩa hàm số P F sau P ( x) = x.e − max{0; − x }  G ( x), =  x, x   x   ,   F ( x) = x − P2  x − f ( x)  , s   s Xấp xỉ nửa trơn cho hàm khơng trơn Trước hết, trình bày tính chất quan * trọng cho nghiệm x phương trình (2) Tính chất phát biểu bổ đề sau: G ( x) = x.e −  − x2  Bổ đề 2.1 Cho f  C1 (¡ ) s  Với x*  ¡ F ( x* ) = hai trường hợp sau xảy ra: (1) x* = (2) x*  2 s 2 Chứng minh Giả sử x*  Ta chứng s minh x* = Thật vậy, từ F ( x* ) = ta có H 2 s 20  * *  *  x − s f ( x )  = x    2 s Hình (a) Đồ thị hàm P ( x) (b) Đồ thị hàm Fò ( x) với  = 0.01 ,  = 0, 0005 f ( x) =| x | Trong phần hàm P F hàm nửa trơn Để thuận tiện cho người đọc, nhắc lại khái niệm hàm nửa trơn Định nghĩa 2.1 Cho U tập mở D  ¡ f ánh xạ xác định D Ánh xạ ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-25 f :U → ¡ gọi khả vi Newton x U tồn ánh xạ F : U → L ( D, ¡ ) cho x0 + h   Khi | f ( x + h) − f ( x ) − F ( x + h) h | =0 h →0 |h| lim L ( D, ¡ ) + Nếu x0   với h = đủ bé, ta có P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h (4) tập phiếm hàm tuyến tính liên = x0 + h − x0 − 1.h = Do tục từ D vào ¡ Khi F gọi đạo hàm Newton f x Định nghĩa 2.2 Cho U tập mở D  ¡ f ánh xạ xác định D Ánh xạ f : U → ¡ gọi khả vi Newton U tồn ánh xạ F : U → L ( D, ¡ ) | P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | h→0 → |h| + Nếu x0   với h = đủ bé, ta có x0 + h   Khi P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h cho với x U , = G ( x0 + h) − G ( x0 ) − (G ( x0 )).h | f ( x + h) − f ( x ) − F ( x + h ) h | lim = h →0 |h| (5) + (G ( x0 )).h − (G ( x0 + h)).h Khi hàm số f gọi hàm Newton nửa trơn  G ( x0 + h) − G ( x0 ) − (G ( x0 ))h F gọi đạo hàm Newton f U Bổ đề 2.2 Với   f  C (¡ ) ta có: + (G ( x0 ))h − (G ( x0 + h)).h (1) P ( x) F ( x ) hàm số liên tục khả vi Vì G (.) khả vi liên tục ¡ nên Newton ¡ với đạo hàm Newton tương ứng ( (G ( x)), P ( x) =   1, )  | x |  | x |    1 − X s ( x)(G ( X s )),   ( F ( x) ) =   f ( x),  s (G ( x)) = e −  − x2   x2 1 +   số G X s = X s ( x) = x − lim h →0 , (6) 2 Xs  s Xs  2 s |h| lim (G ( x0 )).h − (G ( x0 + h)).h h →0 = 0, (7)   đạo hàm hàm  f ( x) s (2) Với x ¡ ta có lim P ( x) = H  ( x),  → 0+ lim+ F ( x) = F ( x)  →0 Chứng minh (1) Với x0  ¡ ta có trường hợp sau: G ( x0 + h) − G ( x0 ) − (G ( x0 )).h |h| = lim (G ( x0 )).h − (G ( x0 + h)).h = h →0 Từ đó, suy | P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | = h→0 |h| lim + Nếu | x0 |=  tì ta xét giới hạn phía Khi h → 0+ | x0 + h |  lim+ h →0 = lim+ h →0 | P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | |h| | G ( x0 + h) − G ( x0 ) − (G ( x0 + h)).h | |h| = 21 Phạm Quý Mười, Đỗ Viết Lân, Dương Xuân Hiệp, Phan Đức Tuấn Phan Quang Như Anh Khi h → 0+ | x0 + h |  lim+ h →0 = lim+   1 − X s ( x)(G ( X s )),   ( F ( x) ) =   f ( x),  s | P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | |h| x0 + h − x0 − h h →0 |h| = | P ( x + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | lim−  = h→0 |h| 0 Như ta có ( X s ( x ) )2 − Vậy P ( x) khả vi Newton ( P ( x)) cho (6) Theo công thức đạo hàm Newton hàm hợp [3], ta có:   F ( x) = −  x − f ( x)  s      P      x − s f ( x)     (2) Nếu | x |  P ( x) = x = H ( x) Từ kết ta có = x − H 2    x − s f ( x)      f ( x) bị chặn nên s   cho   (0;  ) ta có: lim M = Hơn X s ( x) = −    ( F ( x) )  | F ( x) − F ( x* ) − F ( x).( x − x* ) | x * nên | F ( x* + h) − F ( x* ) − F ( x* + h).h | =0 h→0 |h| lim  →0 Bổ đề 2.3 Nếu  A  f ( x)  B, x  U   (0;  )  m1 | F ( x) | m2 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2, ta có m1 | x − x* | Chứng minh   F ( x* ) đạo hàm F    x − s f ( x)    Vậy lim+ F ( x) = F ( x) 22 ln có  lim+ F ( x) = lim+  x − P2  →0  →0  s  cho 2   +  ( X s ( x) )    Khi r  cho x  B( x* , r )   ta  →0  Bổ đề 2.4 Cho x * nghiệm phương trình (2) Như ta có lim+ P ( x) = H  ( x ), x  ¡ s M =e 2 s  A  B Đặt m1 = 1;  m2 = max 2;  ta ln  s  s có  m1 | F ( x) | m2 P ( x) = G ( x) Vì  − x  nên  → 0+ G ( x) →   2  ( F ( x) ) = − X s ( x) M , s  →0 Áp dụng kết (6) ta có kết cần chứng minh Nếu | x |  2 s đó, M định nghĩa bởi: lim  Xs  A B   ( F ( x) )  s s Nếu X s ( x)  | P ( x0 + h) − P ( x0 ) − ( P ( x0 + h)).h | = h→0 |h| 2 , s 2  ( F ( x) ) = f ( x) Do s s Nếu X s ( x)  Tương tự ta chứng minh Xs  ta có Từ suy r  cho h  B (0; r ) \ {0} , ta có | F ( x* + h) − F ( x* ) − F ( x* + h).h | m1  |h| Đặt x = x* + h ta có x  B( x* , r ) ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-25 | F ( x) − F ( x* ) − F ( x).( x − x* ) | m1 | x − x* | * Bổ đề 2.5 Cho x nghiệm phương trình (2) Ta có F ( x* ) − F ( x* )  c. ,   Phương pháp Newton suy rộng Như trình bày phần đặt vấn đề, phương pháp Newton suy rộng cho phương trình (2) sau: Chọn x0  ¡  n cho    Thực bước lặp: Chứng minh Ta có F ( x*) = nên 2.1 Tính xn +1 = xn − F ( x ) − F ( x ) = F ( x ) * * ( ) * = x* − X x* e − − f (0)  s ( )    n +1  X s (0) = − 2 s f (0)  s 2 s Do X s2 F (0) − F (0) = − X s ( ) e  X s ( 0)  2 − X s2 (0) s + Nếu | x* | 2 ( 0)− s  F ( xn ) Fn ( xn ) n 2.2 Chọn  n +1 cho  2  max 0; − X x*   s    + Nếu x* = H 2  − f (0)  = Suy s   s m | x0 − x* | 4c m1 | xn +1 − x* |, 4c (8) m1 số xác định Bổ đề 2.3 Sự hội tụ dãy { xn } đưa định lí sau: Định lí 3.1 Cho x * nghiệm phương trình (2), x0  ¡ số thực tùy ý, dãy ( xn ) định nghĩa vòng lặp xn+1 = xn − F ( xn ), n = 0,1, Fn ( xn ) n Nếu x0 đủ gần x * dãy { n } thỏa mãn  n  m1 | xn − x* |, n = 0,1, 4c dãy { xn } hội tụ đến x * với tốc độ tuyến tính = c 2 s   H 2  x* − f ( x* )  = x*  s   s 1   Do x* = H 2  x* − f ( x* )  = x* − f ( x* ) s s  s  Chứng minh Giả sử x0 đủ gần x * để Bổ đề 2.3 Khi đó, ta có: xn +1 − x* = xn − = Fn ( xn )( xn − x* ) − F n ( xn ) Fn ( xn ) = Fn ( xn )( xn − x* ) − F n ( xn ) + F n ( x* )  F n ( xn ) Đẳng thức xảy f ( x* ) = Điều − F n ( x* ) + F ( x* ) suy F ( x* ) − F ( x* ) = − = 0,   Vậy | F ( x* ) − F ( x* ) | c. ,   F ( xn ) − x* Fn ( xn ) n  F n ( xn ) − F n ( x* ) − Fn ( xn )( xn − x* ) Fn ( xn ) 23 Phạm Quý Mười, Đỗ Viết Lân, Dương Xuân Hiệp, Phan Đức Tuấn Phan Quang Như Anh + Ví dụ 4.2 Cho f ( x) = x4 − 8x2 + ;  = 0, 01 ; F ( x* ) − F n ( x* ) Fn ( xn ) s = 10 ; òn = m1 xn − x c + n m1 m1 *  Vì   n  100n Thực bước lặp xn +1 = xn − m1 xn − x* với n¥ , ta suy 4c xn +1 − x  xn − x* với n  ¥ Bằng phương pháp quy nạp, ta có xn − x*  n x0 − x* Điều suy * dãy { xn } hội tụ đến x * với tốc độ tuyến tính Fịn ( xn ) Fịn ( xn ) Sự hội tụ dãy { xn } thể Bảng Dễ thấy nghiệm x* = x* = −2 , ta lấy x0 gần với nghiệm xn hội tụ nghiệm Nếu lấy x0 = xn → Nếu lấy x0 = −4 xn → −2 Chú ý 3.1 Điều kiện (8) mang tính lí thuyết Trong thực tế, nghiệm xác giá trị mà muốn tìm nên khơng biết Trong thực hành, chọn dãy không âm tùy ý { n } cho tốc độ tiến tới không dãy nhanh tốc độ tuyến tính (chẳng hạn hội tụ bậc đa thức bậc mũ) giá trị ban đầu  đủ bé Một vài ví dụ số phương pháp Newton suy rộng Ví dụ 4.1 Cho f ( x) = x ; = 0,5; s = 100; òn = Thực bước lặp xn +1 = xn − 100n Fòn ( xn ) Fòn ( xn ) Sự hội tụ dãy { xn } thể Bảng Dễ thấy nghiệm x* = , dù ta lấy x0 = 20 xa x * sau bước lặp xn hội tụ x * Kết luận Trong báo này, nghiên cứu tốn tìm nghiệm phương trình khơng liên tục biến, Phương trình (1), xuất tốn chỉnh hóa cho tốn ngược Chúng tơi đề xuất họ hàm khả vi Newton, xấp xỉ cho hàm khơng trơn Phương trình (1) nghiên cứu số tính chất họ hàm Trên sở đó, chúng tơi đề xuất phương pháp Newton suy rộng cho Phương trình (1) 24 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 19-25 chứng minh hội tụ địa phương phương pháp Các ví dụ số ra, phương pháp Newton suy rộng hiệu quả, có tốc độ hội tụ nhanh phương pháp Newton cổ điển cho phương trình trơn Tài liệu tham khảo [1] Thomas Blumensath and Mike E Davies (2008) Iterative thresholding for sparse approximations Journal of Fourier Analysis and Applications, 14(56), 629-654 [2] Thomas Blumensath, Mehrdad Yaghoobi, and Mike E Davies (2007) Iterative hard thresholding and l0 regularisation IEEE International Conference on Acoustics Speech and Signal ProcessingICASSP'07, 3: III-877 IEEE [3] Pham Quy Muoi, Dinh Nho Hao, Peter Maass, and Michael Pidcock (2013) Semismooth newton and quasinewton methods in weighted r1 -regularization Journal of Inverse and Ill-Posed Problems 21(5), pp.665-693 [4] Xiaojun Chen, Zuhair Nashed, and Liqun Qi (2000) Smoothing methods and Semismooth methods for nondifferentiable operator equations SIAM Journal Numerical Analysis 38(5), 12001216 [5] M HinterMuller, K Ito, and K Kunish (2003) The primal-dual active set strategy as a semismooth Newton method SIAM Journal on Optimization 13(3), 865-888 [6] M HinterMuller (2010) Semismooth Newton Method and Applications Oberwolfach-Seminar on Mathematics of PDE-Constrained Optimization, November GENERALIZED NEWTON METHOD FOR NON-CONTINUOUS ONE-VARIABLE EQUATIONS Abstract: In this article, we put forward a generalized Newton method to find out the root of a non-continuous equation Here we only present this method for discontinuous equations in a one-way space First of all, we propose approximate semi-smooth functions for corresponding non-smooth functions Then, we prove some basic properties that are necessary for the testification of the convergence of the generalized Newton method After that, we prove the convergence of this method in non-continuous equations under study Finally, we present the root findings for a number of specific examples The numerical examples show that the convergence speed of the generalized Newton method is as fast as that of the traditional Newton method Key words: generalized Newton method; non-continuous equation; Newton derivative; semi-smooth approximation; root of a non-continuous equation 25 ... * Bổ đề 2.5 Cho x nghiệm phương trình (2) Ta có F ( x* ) − F ( x* )  c. ,   Phương pháp Newton suy rộng Như trình bày phần đặt vấn đề, phương pháp Newton suy rộng cho phương trình (2) sau:... lặp (3) cho phương trình (2) xem xét vài ví dụ số cụ thể minh họa cho phương pháp tính chất hàm xấp xỉ Những tính chất cần thiết cho việc chứng minh hội tụ phương pháp Newton suy rộng trình bày... cứu tốn tìm nghiệm phương trình khơng liên tục biến, Phương trình (1), xuất tốn chỉnh hóa cho tốn ngược Chúng đề xuất họ hàm khả vi Newton, xấp xỉ cho hàm không trơn Phương trình (1) nghiên cứu