Phân tích sai số của quá trình lặp trong phương pháp chia miền giải phương trình Elliptic

Bài viết nghiên cứu sai số tổng hợp của quá trình tính toán trong một phương pháp chia miền, ở đó trên từng bước lặp có sử dụng các phương pháp gần đúng để giải các bài toán biên trong từng miền con và tính đạo hàm pháp tuyến. Đã chứng minh được rằng sai số trong quá trình tính toán qua các bước lặp không bị khuyếch đại, tức là quá trình tính toán là ổn định.

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 PHÂN TÍCH SAI SỐ CỦA Q TRÌNH LẶP TRONG PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Đặng Quang Á1, Mai Xuân Thảo2 Viện Công nghệ Thông tin, Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu sai số tổng hợp q trình tính tốn phương pháp chia miền, bước lặp có sử dụng phương pháp gần để giải tốn biên miền tính đạo hàm pháp tuyến Đã chứng minh sai số q trình tính tốn qua bước lặp khơng bị khuyếch đại, tức q trình tính tốn ổn định ĐẶT VẤN ĐỀ Trong khoảng hai chục năm trở lại đây, để giải gần tốn biên miền hình học phức tạp phương trình vi phân có hệ số gián đoạn người ta phát triển mạnh phương pháp chia miền (chẳng hạn, [1, 3, 4, 6-8] Ý tưởng chung phương pháp chia miền hình học phức tạp thành miền đơn giản tiến hành giải lặp toán miền cho điều kiện liên hợp biên phân chia thỏa mãn Lợi ích cách làm sử dụng thuật toán hữu hiệu biết giải toán miền đơn giản giảm thiểu nhớ cần thiết Các phương pháp chia miền thường dẫn đến trình lặp mà bước cần giải tốn biên tính đạo hàm mức liên tục Ở mức liên tục hội tụ phương pháp thiết lập Và để nhận lời giải toán người ta phải sử dụng phương pháp gần giải tích số trị mối bước lặp cho toán miền Một vấn đề nảy sinh mà chưa tác giả quan tâm từ trước đến liệu sai số bước lặp có tích lũy khơng, tức q trình lặp mức liên tục hội tụ với điều kiện toán bước lặp giải xác liệu dãy nghiệm gần thực thu có sai số bước lặp có hội tụ tới nghiệm tốn cần giải không? Trong báo nghiên cứu vấn đề cho phương pháp chia miền mà chúng tơi đề xuất [3] Ở đó, báo khác [4] chứng minh hội tụ phương pháp chia miền khẳng định điều nhiều thí dụ tính tốn cụ thể nhờ sử dụng phương pháp sai phân đạo hàm số bước lặp Nhân cần nói vấn đề tương tự sai số tổng hợp trình lặp giải phương trình song điều hịa nghiên cứu [2] MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN Dưới nhắc lại phương pháp chia miền dựa ý tưởng cập nhật giá trị đạo hàm ẩn hàm [2], ngược lại với ý tưởng cập nhật giá trị ẩn hàm TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Saito-Fujita [8] Phương pháp mô tả mơ hình mẫu tốn Dirichlet phương trình Poisson ⎧− ∆u = f , x ∈ Ω, (1) ⎨ x ∈ ∂Ω, ⎩ u = ϕ, Ω miền giới nội khơng gian R với biên ∂Ω liên tục Lipshitz, f ∈ L2 (Ω), ϕ ∈ H (∂Ω) Ở sau H s (Ω), H s (∂Ω) không gian Sobolev [5] Giả sử miền Ω chia thành hai miền không giao Ω1, Ω2 đoạn biên trơn Γ (xem Hình 1) Kí hiệu ∂Ω i biên miền Ω i , Γi = ∂Ω i \ Γ , ν i pháp tuyến ∂Ω i , ui giá trị nghiệm u miền Ω i , tức u i = u Ω i Hình Phương pháp chia miền đề xuất [2] dựa trình lặp giải toán miền cập nhật giá trị đạo ∂u hàm g = gồm bước sau: ∂ν Γ Bước Cho g ( 0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn, g ( 0) = Bước Với k = 0, 1, 2, tiến hành giải hai toán ⎧ −∆ u1( k ) = f , x ∈ Ω1 , ⎪ (k ) x ∈ Γ1 , ⎪ u1 = ϕ , ⎨ (k ) ⎪ ∂ u1 = g ( k ) , x ∈ Γ ⎪ ∂ν ⎩ (2) ⎧−∆ u2( k ) = f , x ∈ Ω , ⎪ (k ) x ∈ Γ2 , ⎨ u2 = ϕ , ⎪ u (k ) = u(k ) , x∈Γ ⎩ (3) Bước Tính lại xấp xỉ g ( k +1) = (1 − τ ) g ( k ) − τ ∂ u2( k ) , x∈Γ ∂ν (4) τ tham số lặp cần lựa chọn Trong [2] chứng minh với τ nhận giá trị khoảng xác định trình lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân có ước lượng sai số || ei( k ) || H ( Ω ) ≤ Cρ k || e1( 0) | Γ || H / ( Γ ) , i (5) TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 ei( k ) = u i( k ) − u i , i = 1, , < ρ < số dương phụ thuộc τ Ω1, Ω2 Ở sau C C1 , C , số Để dễ sử dụng sau ta viết lại công thức (4) dạng g ( k +1) − g ( k ) τ + g (k ) + ∂u 2( k ) = 0, x ∈ Γ ∂ν (4’) PHÂN TÍCH SAI SỐ TỔNG HỢP CỦA QUÁ TRÌNH LẶP Như ta thấy bước q trình lặp (2)-(4) cần phải giải hai tốn biên cho phương trình Poisson lần tính đạo hàm pháp tuyến biên Γ Các toán nói chung phải giải gần phương pháp số phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Do đó, thay lặp u1( k ) , u 2( k ) , g ( k ) người ta nhận xấp xỉ chúng u~ ( k ) , u~ ( k ) , g~ ( k ) với sai số Cụ thể hơn, giả sử hàm xấp xỉ không thỏa mãn xác (2), (3), (4’) mà thỏa mãn với sai số định ⎧ ⎪− ∆u~ ( k ) = f + ξ ( k ) , x ∈ Ω , 1 ⎪ ⎪~ ( k ) (k ) (6) ⎨u1 = ϕ + η1 , x ∈ Γ1 , ⎪ ~ (k ) ⎪ ∂u1 = g~ ( k ) + ζ ( k ) , x ∈ Γ, ⎪⎩ ∂ν ⎧− ∆u~2( k ) = f + ξ 2( k ) , x ∈ Ω , ⎪⎪ ( k ) (k ) ~ ⎨u = ϕ + η , x ∈ Γ2 , ⎪~ (k ) ~ (k ) (k ) ⎪⎩u = u1 + θ , x ∈ Γ, (7) ∂ u~2( k ) (k ) ~ +g + = p ( k ) , x ∈ Γ, k = 0,1, ∂ν g~ ( k +1) − g~ ( k ) τ (8) ξ i( k ) ,η i( k ) , ζ ( k ) , θ ( k ) , p ( k ) hàm sai số có chuẩn khơng gian hàm thích hợp, mà ta rõ sau, đủ bé Để viết cho tiện ta đặt g~ ( 0) = g ( 0) Ta thu nhận đánh giá sai số xấp xỉ thực u~i( k ) so với nghiệm u i (i = 1, 2) Từ đánh giá || u~i( k ) − u i || H ( Ω ) ≤|| u~i( k ) − u i( k ) || H ( Ω ) + || u i( k ) − u i || H ( Ω ) i i i để ý đến (5) ta || u~i( k ) − u i || H ( Ω ) ≤|| u~i( k ) − u i( k ) || H ( Ω ) +Cρ k || e1( 0) | Γ || H / ( Γ ) i i (9) TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Ta phải đánh giá thành phần thứ vế phải bất đẳng thức Đặt ri( k ) = u~i( k ) − u i( k ) , h ( k ) = g~ ( k ) − g ( k ) (i = 1, ; k = 0,1, ); g~ ( 0) = g ( 0) (10) Trừ vế (2), (3), (4’) từ (6), (7), (8) ta ⎧ ⎪− ∆r ( k ) = ξ ( k ) , x ∈ Ω , 1 ⎪ ⎪ (k ) (k ) ⎨r1 = η1 , x ∈ Γ1 , ⎪ (k ) ⎪ ∂ r1 = h ( k ) + ζ ( k ) , x ∈ Γ, ⎪⎩ ∂ν ⎧− ∆r2( k ) = ξ 2( k ) , x ∈ Ω , ⎪⎪ ( k ) (k ) ⎨r2 = η , x ∈ Γ2 , ⎪ (k ) (k ) (k ) ⎪⎩r2 = r1 + θ , x ∈ Γ, h ( k +1) − h ( k ) τ + h (k ) + ∂ r2( k ) = p ( k ) , x ∈ Γ, ∂ν (11) (12) k = 0,1, (13) Phân tích ri( k ) = ri ( k ) + rˆi( k ) , (14) ri ( k ) , rˆi( k ) (i = 1, 2) thỏa mãn toán ⎧ ⎪− ∆r ( k ) = ξ ( k ) , x ∈ Ω , 1 ⎪ ⎪ (k ) (k ) ⎨r1 = η1 , x ∈ Γ1 , ⎪ (k ) ⎪ ∂ r1 = ζ ( k ) , x ∈ Γ, ⎪⎩ ∂ν ⎧ ⎪− ∆rˆ ( k ) = 0, x ∈ Ω , 1 ⎪ ⎪ (k ) ⎨rˆ1 = 0, x ∈ Γ1 , ⎪ (k ) ⎪ ∂ rˆ1 = h ( k ) , x ∈ Γ, ⎪⎩ ∂ν ⎧− ∆r2( k ) = ξ 2( k ) , x ∈ Ω , ⎪⎪ ( k ) (k ) ⎨r2 = η , x ∈ Γ2 , ⎪ (k ) (k ) (k ) ⎪⎩r2 = r1 + θ , x ∈ Γ, (15) (16) (17) TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 ⎧− ∆rˆ2( k ) = 0, x ∈ Ω , ⎪⎪ ( k ) ⎨rˆ2 = 0, x ∈ Γ2 , ⎪ (k ) (k ) ⎪⎩rˆ2 = rˆ1 , x ∈ Γ, Ψ (k ) = − Ký hiệu (18) ∂ r2( k ) , ∂ν (19) r2( k ) tìm từ tốn (15), (17) Từ (16) (18) suy ∂ rˆ2( k ) = S S1−1h ( k ) , ∂ν (20) S1 , S tốn tử Steklov-Poincare (xem [3, 9]) định nghĩa sau: 1/ Giả sử ξ ∈ H 00 (Γ) Thế S iξ = ∂u i ∂ν i (21) Γ ui thác triển điều hịa hàm biên ξ lên Ω i , tức ui nghiệm toán ⎧− ∆u i = 0, x ∈ Ω i , ⎪ ⎨u i = 0, x ∈ Γi , ⎪u = ξ , x ∈ Γ, ⎩ i (22) S i−1ξ = wi |Γ (23) với wi nghiệm toán ⎧ ⎪− ∆w = 0, x ∈ Ω , i i ⎪⎪ ⎨wi = 0, x ∈ Γi , ⎪∂w ⎪ i = ξ , x ∈ Γ ⎪⎩ ∂ν i Từ (13), (14), (19) (20) suy h ( k +1) − h ( k ) τ + ( I + S S1−1 )h ( k ) = p ( k ) + ψ ( k ) , x ∈ Γ, (24) k = 0,1, (25) Ở I toán tử đơn vị Tác động lên hai vế (25) toán tử S1−1 đặt S1−1h ( k ) = z ( k ) ta z ( k +1) − z ( k ) τ (26) + ( I + S1−1 S ) z ( k ) = S1−1 ( p ( k ) + ψ ( k ) ), x ∈ Γ, k = 0,1, 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Từ suy z ( k +1) = ( I − τB) z ( k ) + τS1−1 ( p ( k ) + ψ ( k ) ), x ∈ Γ (27) với B = I + S1−1 S Trong [2] chứng minh S i toán tử đối xứng xác định 1/ dương không gian Λ = H 00 (Γ) < S i ξ ,ξ > Λ ',Λ ≥ C1 || ξ || H / ( Γ ) ( Λ ' không gian đối ngẫu Λ ) B tốn tử đối xứng, xác định dương khơng gian lượng S1 Vì với τ chọn thích hợp ta có q =|| I − τB || S1 < Khi đó, từ (27) suy || z ( k +1) || S1 ≤ q || z ( k ) || S1 +τ || S1−1 p ( k ) || S1 +τ || S1−1ψ ( k ) ) || S1 (27) Bây ta giả thiết hàm sai số có độ trơn sau: ξ i( k ) ∈ L2 (Ω i ), η i( k ) ,θ ( k ) ∈ H / (Γi ), ζ ( k ) , p ( k ) ∈ H / (Γ ) chuẩn chúng không gian tương ứng nhỏ ε , tức || ξ i( k ) || L2 ( Ω ) , || η i( k ) || H / ( Γ ) , || θ ( k ) || H / ( Γ ) , || ζ ( k ) || H / ( Γ ) , || p ( k ) || H / ( Γ ) ≤ ε i i (28) Khi đó, theo lý thuyết phương trình elliptic [5] tốn (6), (7), (15), (17) có (k ) ∂r nghiệm u~i( k ) , ri ( k ) ∈ H (Ω i ) Do đó, theo định lý vết ta có ψ ( k ) = − ∂ν ∈ H / (Γ ) Γ Sử dụng đánh giá thu [2] 1/ (Γ ) C || ξ || H / ( Γ ) ≤|| ξ || S1 ≤ C3 || ξ || H / ( Γ ) ∀ξ ∈ Λ = H 00 ta có || S1−1ψ ( k ) || S1 ≤ C3 || S1−1ψ ( k ) || H / ( Γ ) ≤ C || S1−1 |||| ψ ( k ) || H1 / (Γ) || S1−1 p ( k ) || S1 ≤ C3 || S1−1 p ( k ) || H / ( Γ ) ≤ C3 || S1−1 |||| p ( k ) || H1/ (Γ) Từ (27) , (30), (31) để ý z ( 0) = ta thu đánh giá Cτ || z ( k +1) || S1 ≤ ε 1− q (29) , (30) (31) (32) (k ) Bây từ (16) theo định nghĩa S i ta có rˆ1 |Γ = S1−1h ( k ) Để ý đến (26) ta z ( k ) = rˆ1 (k ) |Γ Do đó, từ (32) (29) suy C || rˆ1( k ) | Γ || H / ( Γ ) ≤|| rˆ1( k ) | Γ || S1 =|| z ( k ) || S1 ≤ Như vậy, ta || rˆ1( k ) | Γ || H / ( Γ ) ≤ 11 C5τ ε 1− q C 4τ ε 1− q TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Do đó, || rˆ1( k ) || H ( Ω ) ≤ C 6τ ε 1− q (33) Điều kéo theo đánh giá nghiệm toán (18): || rˆ2 ( k ) || H ( Ω ) ≤ C 7τ ε 1− q (34) Theo lý thuyết chung đánh giá nghiệm toán elliptic [5] ta nhận đánh giá sau nghiệm toán (15), (17) giả thiết (29) || r1 (k ) || H ( Ω1 ) ≤ C8 ε , || r2 (k ) ||| H1 (Ω2 ) ≤ C8 ε (35) Kết hợp đánh giá (33)-(35) để ý đến ký hiệu (10) ta || u~i( k ) − u i( k ) || H ( Ω ) ≤ C * ε i (36) Cuối cùng, từ (9) (36) ta thu kết quả, mà phát biểu thành định lý sau Định lý Giả sử sai số giải tốn biên tính đạo hàm bước lặp trình lặp (2)-(4) thỏa mãn (6)-(8), (28) Khi đó, tham số lặp τ chọn để đảm bảo trình lặp (2)-(4) hội tụ mức liên tục xấp xỉ thực u~i( k ) nghiệm ta có đánh giá || u~i( k ) − u i || H ( Ω ) ≤ C * ε + Cρ k || e1( 0) |Γ || H / ( Γ ) , i (37) C , C*, < ρ < số phụ thuộc cách phân chia miền tham số lặp KẾT LUẬN Bài báo nghiên cứu sai số tổng hợp q trình thực hóa phương pháp chia miền, sai số phát sinh bước lặp phải sử dụng phương pháp gần giải toán biên miền tính đạo hàm pháp tuyến biên phân chia miền Định lý chứng minh khẳng định sai số bước lặp khơng tích lũy sau nhiều bước lặp, tức khơng dẫn đến tình trạng ổn định tính tốn Vì thế, ta n tâm sử dụng phương pháp gần để nhận lời giải gần toán (1) phương pháp chia miền Các thực nghiệm tính tốn [3, 4] sớm minh chứng cho điều Bằng cách làm tương tự chứng minh tính ổn định tính tốn cho phương pháp chia miền khác [7, 8] 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dang Quang A, Approximate method for solving an elliptic problem withdiscontinuous coefficients, Journal of Comp and Appl Math., 51, (1994), No 2, 193-203 [2] Dang Quang A, Stability analysis of an approximate method for biharmonic equations, Vietnam Journal of Math., 31, (2003), No 2, 137-142 [3] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, Domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem, Proceedings of 2004 International Conference on Applied Mathematics, Methods of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 2006, 309-319 [4] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang, Nghiên cứu thực nghiệm phương pháp chia miền giải toán với điều kiện biên hỗn hợp miền hình học phức tạp, Tạp chí Tin học Điều khiển học, T: 21, S: (2005), 216-229 [5] Lions J L and Magenes E., Problemes aux limites non homogenes et applications, v 1, Dunod, Paris, 1968 [6] Quarteroni A., Valli A., Numerical approximation of partial differential equations, Springer-Verlag Berlin Heidelburg, 1994 [7] Rice J R., Vavalis E A., Yang D., Analysis of a nonoverlapping domain decomposition method for elliptic differential equation, Journal of Comput and Applied Math., 87 (1997), 11-19 [8] Saito N., Fujita H.,Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods, 12th Int Conf on Domain Decomposition Methods, Editors: Tony Chan, Takashi, Hideo, Oliver Pinoneau, 2001, www.DDM.org, 63-70 ERROR ANALYSIS OF INTERTIVE PROCESS IN A DOMAIN DECOMPOSITION METHOD FOR ELLIPTIC EQUATION Dang Quang A1 Mai Xuan Thao2 Institute of Information Technology Faculty of Nature Sciences, Hong Duc University ABSTRACT This paper investigates the total error of a computational process in a domain decomposition method, where at each iteration approximate methods are used for solving boundary value problems in subdomains and for computing normal derivative It is proved that the errors committed at each iteration of the solution process not accumulate or, in other words, the com 13 ... ρ < số phụ thuộc cách phân chia miền tham số lặp KẾT LUẬN Bài báo nghiên cứu sai số tổng hợp q trình thực hóa phương pháp chia miền, sai số phát sinh bước lặp phải sử dụng phương pháp gần giải. .. PHÂN TÍCH SAI SỐ TỔNG HỢP CỦA QUÁ TRÌNH LẶP Như ta thấy bước trình lặp (2)-(4) cần phải giải hai tốn biên cho phương trình Poisson lần tính đạo hàm pháp tuyến biên Γ Các tốn nói chung phải giải. .. giải gần phương pháp số phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Do đó, thay lặp u1( k ) , u 2( k ) , g ( k ) người ta nhận xấp xỉ chúng u~ ( k ) , u~ ( k ) , g~ ( k ) với sai số Cụ thể