MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN

Đa thức l  một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Không những thế, đa thức l một chủ đề hay v rộng lớn để chúng ta khai thác tìm hiểu. Các b i toán về đa thức l kiến thức kiểm tra không thể thiếu trong các kì thi phổ thông. Đặc biệt trong các kì thi Olimpic quốc tế, chủ đề đa thức, phương trình h m đa thức được xuất hiện thường xuyên với những dạng toán hết sức đa dạng. Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập, luận văn Một v i b i toán về đa thức v phương trình h m đa thức một biến nhằm tìm hiểu, thu thập các t i liệu v phân loại hệ thống các b i toán về đa thức, phương trình h m đa thức một biến.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Cao Thị Na MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Cao Thị Na MỘT VÀI BÀI TỐN VỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN NHỤY Hà Nội - Năm 2017 i Mục lục Lời nói đầu 1 Một vài tốn đa thức 1.1 1.2 Đa thức, nghiệm đa thức 1.1.1 Đa thức biến 1.1.2 Đa thức 1.1.3 Phép cộng trừ đa thức, nhân đa thức 1.1.4 Bậc tổng, hiệu tích đa thức 1.1.5 Phép chia đa thức có dư 1.1.6 Phép chia hết Ước bội 1.1.7 Thuật toán Euclid 10 1.1.8 Nghiệm đa thức, định lí 12 1.1.9 Định lí Viète 19 1.1.10 Đồng thức Newton 22 1.1.11 Các toán 23 Đa thức với hệ số nguyên, đa thức bất khả quy 30 1.2.1 Đa thức với hệ số nguyên 30 1.2.2 Đa thức bất khả quy Z[x] 31 1.2.3 Mối quan hệ bất khả quy Z[x] Q[x] 35 1.2.4 Các toán 37 ii Phương trình hàm đa thức 43 2.1 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) 43 2.2 Phương pháp nghiệm đa thức 57 2.3 Phương pháp khảo sát hệ số 69 2.4 Phương pháp sử dụng bậc đa thức 72 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 LỜI NÓI ĐẦU Đa thức chuyên đề quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Khơng thế, đa thức chủ đề hay rộng lớn để khai thác tìm hiểu Các tốn đa thức kiến thức kiểm tra thiếu kì thi phổ thơng Đặc biệt kì thi Olimpic quốc tế, chủ đề đa thức, phương trình hàm đa thức xuất thường xuyên với dạng tốn đa dạng Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập, luận văn "Một vài toán đa thức phương trình hàm đa thức biến" nhằm tìm hiểu, thu thập tài liệu phân loại hệ thống tốn đa thức, phương trình hàm đa thức biến Bố cục luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một vài toán đa thức Chương dành để trình bày số khái niệm đa thức, định lí bản, tiêu chuẩn bất khả quy với tốn tiêu biểu kì thi Olimpic quốc tế Chương Phương trình hàm đa thức Trong chương chúng tơi trình bày dạng tốn phương trình hàm thường gặp ba phương pháp thường dùng giải phương trình hàm đa thức với tốn tiêu biểu kì thi Olimpic quốc tế Để hoàn thành luận văn, em nhận giúp đỡ thầy cô, bạn bè, đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Nhụy, thầy Seminar mơn Tốn trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn em hồn thành khóa học Cao học 2015-2017 Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận ý kiến góp ý q thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Học viên Cao Thị Na Chương Một vài toán đa thức Trong chương này, chúng tơi trình bày hai nội dung Mục một, giới thiệu kiến thức đa thức định nghĩa đơn thức, đa thức, phép chia hết, chia có dư, định lí Tiếp theo số toán hay đa thức xuất kì thi Olimpic Vấn đề đa thức bất khả quy vành số nguyên trình bày mục hai Tiêu chuẩn đa thức bất khả quy chứng minh kèm theo tập áp dụng 1.1 Đa thức, nghiệm đa thức 1.1.1 Đa thức biến Định nghĩa 1.1.1 (Đơn thức biến) Biểu thức có dạng axk (trong a thuộc trường K; x biến; số mũ k số tự nhiên) gọi đơn thức biến với hệ số K Định nghĩa 1.1.2 (Đa thức biến) Đa thức biến x trường số K biểu thức có dạng P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 ∈ K; an = gọi hệ số đa thức an gọi hệ số cao nhất; a0 gọi hệ số tự Chú ý 1.1.3 Tập hợp tất đa thức biến trường số thực kí hiệu R[x] Nếu hệ số lấy tập hợp số hữu tỉ ta có đa thức với hệ số hữu tỉ Q[x] Nếu hệ số lấy tập hợp số ngun ta có đa thức với hệ số ngun Z[x] Nếu hệ số lấy tập hợp số phức ta có đa thức với hệ số phức C[x] 1.1.2 Đa thức Định nghĩa 1.1.4 (Đa thức nhau) m n k Hai đa thức P (x) = bk xk ak x ; Q(x) = k=0 k=0 m = n ak = bk với k = 0, 1, 2, , m Định lý 1.1.5 (Nguyên lí so sánh hệ số) Cho hai đa thức P (x) = an xn + + a1 x + a0 Q(x) = bm xm + + b1 x + b0 với n ≥ m Nếu tồn n + số đôi khác α1 , α2 , , αn+1 (αi = αj , ∀i = j) cho P (αi ) = Q(αi ) với i = 1, 2, , n + n = m a0 = b0 , a1 = b1 , , an = bn Chứng minh Cho hai đa thức P (x) = an xn + + a1 x + a0 Q(x) = bm xm + + b1 x + b0 Theo n ≥ m Khi ta có n = m + k với k ≥ Xét hiệu P (x)−Q(x) = am+k xm+k +am+k−1 xm+k−1 + .+xm (am −bm )+xm−1 (am−1 − bm−1 )+ + a0 − b0 Theo tồn n+1 số đôi khác α1 , α2 , , αn+1 (αi = αj , ∀i = j)  cho P (αi ) = Q(αi ) Khi P (αi ) − Q(αi ) = Suy     am+k = am+k−1 = = am+1 = ⇒ n = m        a n = bn         am = bm         an−1 = bn−1       am−1 = bm−1  hay an−2 = bn−2       a = b   m−2 m−2                      a0 = b0    a0 = b0    m = n, Vậy   a0 = b0 , a1 = b1 , , an = bn 1.1.3 Phép cộng trừ đa thức, nhân đa thức m n k Cho đa thức P (x) = bk xk ak x , Q(x) = k=0 k=0 Khi phép cộng trừ hai đa thức P (x) Q(x) thực theo hệ số xk ; tức max(m,n) (ak + bk )xk P (x) + Q(x) = k=0 đây, n ≤ m bk = với k = n + 1, , m Khi P (x)Q(x) n+m đa thức bậc m + n có hệ số xác định ck = bk−i i=0 1.1.4 Bậc tổng, hiệu tích đa thức Tính chất 1.1.6 Cho đa thức P (x); Q(x) đa thức bậc m; n tương ứng Khi deg(P ± Q) ≤ max(m; n) deg(P ) = deg(Q) dấu xảy Trong trường hợp m = n deg(P ± Q) nhận giá trị nhỏ m, deg(P Q) = m + n, deg P (Q(x)) = m n 1.1.5 Phép chia đa thức có dư Định lý 1.1.7 Với hai đa thức P (x) Q(x) bất kì, deg(Q) ≥ 1, tồn đa thức S(x) R(x) thỏa mãn đồng thời điều kiện • P (x) = Q(x).S(x) + R(x), • ≤ deg(R(x)) < deg(Q(x)) Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh tính tồn Ta chứng minh quy nạp theo m = deg(P ) Nếu deg(P ) < deg(Q) ta chọn S(x) = R(x) = P (x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện định lí Giả sử m ≥ n định lí chứng minh với đa thức có bậc nhở m Ta chứng minh định lí với đa thức bậc m Giả sử P (x) = m k k=0 ak x , Q(x) H(x) = P (x) − m am bn = n k k=0 bk x Xét đa thức xm−n Q(x) = am x + am−1 x m−1 + + a1 x + a0 − am bn xm−n (bn xn + + b0 ) ... đầu 1 Một vài toán đa thức 1.1 1.2 Đa thức, nghiệm đa thức 1.1.1 Đa thức biến 1.1.2 Đa thức 1.1.3 Phép cộng trừ đa thức, nhân đa thức. .. tế, chủ đề đa thức, phương trình hàm đa thức xuất thường xuyên với dạng tốn đa dạng Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập, luận văn "Một vài tốn đa thức phương trình hàm đa thức biến" nhằm... HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Cao Thị Na MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA