CÁC bài TOÁN TÍCH PHÂN xác ĐỊNHVÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Mơ CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Mơ CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460101.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Vũ Đỗ Long Hà Nội - Năm 2021 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô cơng tác khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Các thầy cô người trực tiếp giảng dạy, truyền đạt kiến thức, giúp tơi có tảng khoa học vững để tơi thực luận văn Trong suốt trình thực luận văn, nỗ lực thân, tơi cịn nhận giúp đỡ, động viên nhiều từ bạn nhóm Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 2019 - 2021 Nhờ bạn mà thời gian học tơi có ý nghĩa Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long Thầy ln tận tình hướng dẫn cung cấp cho nhiều tài liệu quan trọng Mặc dù công việc bận rộn thầy dành nhiều thời gian giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Nhờ có thầy tơi hoàn thành luận văn cách tốt Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021 Học viên Vũ Thị Mơ i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Chương Khái niệm tích phân xác định 1.1 Giới thiệu định nghĩa tích phân xác định 1.2 Các tiêu chuẩn khả tích 1.3 Công thức Newton - Leibniz 1.4 Các phương pháp tìm tích phân xác định 1.4.1 Phương pháp đổi biến 1.4.2 Phương pháp tích phân phần 1.4.3 Tích phân có giá trị tuyệt đối Mở rộng cho tích phân suy rộng 1.5 1.5.1 Các tính chất tích phân suy rộng 10 1.5.2 Các định lý so sánh 11 Chương Các dạng tốn với tích phân xác định 14 2.1 Phương pháp đổi biến 14 2.2 Phương pháp tích phân phần 18 2.3 Phương pháp tích phân suy rộng 22 2.4 Các tốn tích phân phương trình vi phân 27 2.4.1 Dạng tách biến 28 2.4.2 Dạng tuyến tính 32 ii 2.5 Các toán liên quan đến bất đẳng thức tích tích phân 37 2.5.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân 37 2.5.2 Các bất đẳng thức tích phân cổ điển ứng dụng 40 Chương Các ứng dụng tích phân xác định 3.1 Tìm diện tích hình phẳng 54 3.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = f(x) 54 3.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình tham số 3.1.3 3.2 54 61 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong hệ tọa độ cực 63 Tìm thể tích vật thể tròn xoay 71 3.2.1 Tính thể tích vật thể theo diện tích mặt cắt ngang 71 3.2.2 Thể tích vật thể sinh miền D quay quanh trục Ox 3.2.3 Thể tích vật thể sinh miền D quay quanh trục Oy 3.2.4 74 79 Thể tích vật thể sinh hình phẳng giới hạn đường có phương trình tham số quay quanh trục Ox 80 3.3 Tính độ dài đường cong phẳng 82 3.4 Tính diện tích mặt cong 85 3.5 Các toán chuyển động 87 3.5.1 Cơ sở lý thuyết 87 3.5.2 Các toán 88 Bài toán công lực 90 3.6 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 97 iii LỜI NĨI ĐẦU Tốn học có vai trị quan trọng nhiều ngành khoa học, sở ngành khoa học khác Trong tốn học, tích phân vi phân hai phép tính giải tích, có nhiều ứng dụng toán vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Trong lịch sử, hai phép tính vi phân tích phân phát hồn tồn độc lập với Mầm mống phép tính tích phân có từ thời Hy Lạp cổ đại, cơng trình Archimède, liên quan đến vấn đề cầu phương, cầu tích, cầu trường Đứng trước hình phẳng cụ thể, nhà tốn học có quan niệm riêng diện tích kỹ thuật tính đặc thù Trải qua hàng ngàn năm, người ta tìm phương pháp tổng quát cho phép giải vấn đề, khái niệm tích phân xuất tường minh, đời (cũng phép tính vi phân) địi hỏi kiến thức đại lượng biến thiên, vô bé giới hạn Trong đề thi Đại học mơn Tốn, câu tích phân ln mặc định xuất Tích phân khơng phải câu hỏi khó, tốn nhẹ nhàng có nhiều câu mang tính chất "cho điểm" Tuy nhiên, thực tế năm dạy thấy phần lớn bạn học sinh lớp 12 thường gặp khó khăn giải tốn tích phân chưa thực nắm ứng dụng tích phân thực tế Với mong muốn hệ thống lại kiến thức tích phân xác định, nêu rõ chất tích phân ứng dụng nên tơi lựa chọn đề tài "Các tốn tích phân xác định ứng dụng" Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Khái niệm tích phân xác định Trong chương nhắc đến định nghĩa, tính chất tích phân xác định, tiêu chuẩn khả tích đặc biệt cơng thức Newton-Leibniz Tiếp đó, chương trình bày thêm số phương pháp tính tích phân xác định mở rộng cho tích phân suy rộng Chương Các dạng tốn với tích phân xác định Trong chương chủ yếu trình bày ví dụ cụ thể áp dụng phương pháp nêu chương 1, đa số toán lấy từ đề thi Đại học năm gần Cùng với đó, chương trình bày thêm tốn tích phân phương trình vi phân toán liên quan đến bất đẳng thức tích phân Trong đề thi Đại học, hai dạng tốn coi dạng tốn tương đối khó với bạn học sinh Chương Các ứng dụng tích phân xác định Chương đề cập đến ứng dụng tích phân xác định việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục Ox, Oy Thêm nữa, chương đề cập đến ứng dụng thực tế tích phân tốn vật lý như: tốn chuyển động, tốn cơng lực Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2021 Học viên Vũ Thị Mơ Khái niệm tích phân xác định Chương Khái niệm tích phân xác định 1.1 Giới thiệu định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f : [a, b] → R xác định bị chặn [a, b] Xét cách chia đoạn [a, b] thành đoạn ∆i = [xi−1 , xi ] điểm chia tùy ý a = x0 < x1 < < xn = b Ta gọi phép chia phân hoạch đoạn [a, b] ký hiệu T Kí hiệu |∆xi | = xi − xi−1 , ∀i = 1, 2, , n Số d (T ) = max |∆xi | gọi đường kính phân hoạch T i Kí hiệu P ([a, b]) tập hợp tất phân hoạch [a, b] Định nghĩa 1.1.2 Giả sử f hàm xác định đoạn [a, b], T ∈ P ([a, b]) phân hoạch đoạn [a, b] với điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Trên đoạn ∆i = [xi−1 , xi ] ta lấy điểm ξi tùy ý Kí hiệu ξ = {ξ1 , ξ2 , , ξn } thành lập tổng n n f (ξi ) (xi − xi−1 ) = σf (T, ξ) = i=1 f (ξi ) |∆xi | i=1 Tổng σf (T, ξ) gọi tổng tích phân hàm f đoạn [a, b] ứng với phân hoạch T điểm chọn ξ = {ξ1 , ξ2 , , ξn } Khi phân hoạch T điểm ξ thay đổi ta có phân hoạch khơng đếm tổng tích phân {σf (T, ξ)} Định nghĩa 1.1.3 Ta nói họ tổng tích phân {σf (T, ξ)} có giới hạn I ∈ R d (T ) → nếu: Với ε > cho trước, tồn số δ (ε) > cho với T ∈ P ([a, b]) thỏa mãn d (T ) < δ với cách chọn điểm ξ ta có: |σf (T, ξ) − I| < ε Khi ta viết lim σf (T, ξ) = I d(T )→0 Giới hạn I tồn gọi tích phân xác định hàm f đoạn [a, b] ký hiệu b f (x)dx, I= (1.1) a hàm f gọi khả tích theo nghĩa Riemann đoạn [a, b] Trong kí hiệu (1.1), f gọi làm hàm dấu tích phân, cịn a b gọi cận cận tích phân Nhận xét 1.1.4 Từ định nghĩa tích phân xác định ta suy trực tiếp tính chất sau đây: a f (x)dx = 0, ∀a ∈ R a b a f (x)dx = − a f (x)dx b Định nghĩa 1.1.5 Giả sử f : [a, b] → R hàm bị chặn Với phân hoạch T chia [a, b] thành đoạn ∆i = [xi−1 , xi ] Kí hiệu: Mi = sup f (x) , mi = inf [f (x)] , ωi = Mi − mi , i = 1, 2, , n x∈∆i n x∈∆i n Mi |∆xi |, sf (T ) = Đặt Sf (T ) = i=1 mi |∆xi | i=1 Các tổng Sf (T ) sf (T ) gọi tổng Darboux tổng Darboux hàm f [a, b] Để đơn giản ta kí hiệu S (T ) , s (T ) thay cho Sf (T ) , sf (T ) 1.2 Các tiêu chuẩn khả tích Định lý 1.2.1 (Điều kiện cần) Giả sử f hàm xác định khả tích [a, b] Khi đó, f bị chặn đoạn Định lý 1.2.2 (Điều kiện cần đủ) Giả sử f : [a, b] → R hàm bị chặn, điều kiện cần đủ để f khả tích [a, b] n lim [S (T ) − s (T )] = lim d(T )→0 1.3 d(T )→0 i=1 ωi ∆xi = Công thức Newton - Leibniz Định lý 1.3.1 Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục [a, b] Khi đó, x G (x) = f (t)dt G (x) = f (x) a Định lý 1.3.2 Nếu f (x) liên tục khoảng [a, b] F (x) nguyên hàm f (x) ta có b f (x)dx = F (b) − F (a) a Chứng minh Từ Định lý 1.3.1 ta suy G nguyên hàm f Theo định nghĩa G ta có b G (b) = a f (t)dt, G (a) = a f (t)dt = a b Ta có G (b) = G (b) − = G (b) − G (a) = f (t)dt Thấy với F a nguyên hàm khác f F = G + const b Suy ra, F (b) − F (a) = G (b) − G (a) = f (t)dt a Ví dụ 3.3.2 Tính độ dài đường astroid   x (t) = a cos t t ∈ 0;  y (t) = a sin3 t, π Lời giải Đường cong cho dạng phương trình tham số Độ dài đường cong β L= [x (t)] + [y (t)] dt α π = 3a cos4 tsin2 t + sin4 tcos2 tdt π ⇒ L = 3a sint cos tdt = Ví dụ 3.3.3 Tính độ dài đường cong 3a   x = a(cos t + t sin t) (0 ≤ t ≤ 2π)  y = a(sin t − t cos t), Lời giải Phương trình đường cong cho dạng phương trình tham số Ta có, x (t) = a (− sin t + t cos t) , y (t) = a (cos t + t sin t) Độ dài đường cong 2π 2 [a (− sin t + t cos t)] + [a (cos t + t sin t)] dt L= 2π a2 sin2 t − 2t sin t cos t + t2 cos2 t + cos2 t + 2t sin t cos t + t2 sin2 t dt = 2π 2π a2 ⇒L= (1 + t2 )dt =a √ + t2 dt Suy ra, L= 2π √ t√ a + t2 + ln t + + t2 2 83 √ √ = a π + 4π + ln 2π + + 4π 2 Ví dụ 3.3.4 Tính độ dài đường xoắn Acsimet r = aϕ; ≤ ϕ ≤ 2π Lời giải Phương trình đường cong cho tọa độ cực Ta có, β 2π L= 2π a2 ϕ2 [r(ϕ)] + [r (ϕ)] dϕ = α ϕ2 + ϕ2 + 1dϕ =a 2π 2π = aϕ + a2 dϕ −a ϕd 0 2π √ = 2aπ 4π + − a ϕdϕ ϕ √ = 2aπ 4π + + a 2π √ = 2aπ 4π + + a 2π ϕ2 + ϕ2 + 1 − (ϕ2 + 1) dϕ ϕ2 + dϕ −a ϕ2 + √ = 2aπ 4π + + a ln | ϕ + ϕ2 + 2π ϕ2 + 1dϕ 2π −L Suy ra, √ √ a L = aπ 4π + + ln 2π + 4π + (đvtt) 84 3.4 Tính diện tích mặt cong Xét cung AB đường cong phẳng trơn nằm phía trục Ox Khi đường cong quay quanh trục Ox tạo mặt cong kín, ta gọi mặt quay Bây giờ, ta thiết lập cơng thức tính diện tích mặt ❼ Diện tích bề mặt tạo phép quay quanh trục Ox đường cong y = f (x) đoạn [a; b] tính theo cơng thức b f (x) · Sx = 2π + (f (x)) dx a ❼ Khi đường cong cho dạng phương trình tham số   y = y(t) (t1 ≤ t ≤ t2 )  x = x(t), t2 y(t) · Sx = 2π 2 (x (t)) + (y (t)) dt t1 ❼ Khi đường cong cho hệ tọa độ cực ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β β ρ(ϕ) sin ϕ · Sx = 2π 2 (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ α Ví dụ 3.4.1 Tìm diện tích hình cầu bán kính R Lời giải Bề mặt hình cầu nhận cách quay đường cong √ cho phương trình y = R2 − x2 , −R ≤ x ≤ R Nhờ tính đối xứng, coi diện tích P1 nửa bề mặt thu quay phần hình trịn nằm góc phần tư thứ Ta có, y = −√ x ; R2 − x2 + (y ) = + x2 R2 = R2 − x2 R2 − x2 85 b Thay vào công thức Sx = 2π y(x) + (y (x)) dx ta a R P1 = 2π √ R2 − x2 R √ dx = 2πR2 R2 − x2 Vậy, diện tích tồn hình cầu bán kính R S = 2P1 = 4πR2 Ví dụ 3.4.2 Tìm diện tích bề mặt hình thành chuyển động quay cung Cycloid quanh trục Ox, biết có phương trình tham số   x = a(t − sin t) (0 ≤ t ≤ 2π)  y = a(1 − cos t), Lời giải Ta có, x (t) = a(1 − cos t), y (t) = a sin t Suy ra, t 2 (x (t)) + (y (t)) = a2 − cos t + cos2 t + sin2 t = 2a2 (1 − cos t) = 4a2 sin2 t2 y(t) · Thay vào công thức Sx = 2π (x (t)) + (y (t)) dt, ta t1 2π t a(1 − cos t) · 2a · sin dt 2π t t = −16πa2 − cos2 d cos 2 Sx = 2π t t = − 16πa · cos − cos3 64πa2 ⇒ Sx = 2π 86 Ví dụ 3.4.3 Tìm diện tích bề mặt có cách quay đường cong ρ = √ a cos 2ϕ(a > 0) (Đường cong số Bernoulli) quanh trục Ox Lời giải Do tính đối xứng, ta tính diện tích nửa bề mặt thu cách quay phần đường cong tương ứng với giá trị đối số π 0≤ϕ≤ a sin 2ϕ Ta có ρ (ϕ) = − √ Suy ra, cos 2ϕ 2 a2 sin2 2ϕ a2 cos 2ϕ + sin 2ϕ (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) = a cos 2ϕ + =a = cos 2ϕ cos 2ϕ cos 2ϕ 2 β ρ(ϕ) sin ϕ · Thay vào công thức Sx = 2π 2 (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ ta thu α diện tích nửa bề mặt π/4 P1 = 2π a cos 2ϕ·sin ϕ· √ a dϕ = 2πa2 (− cos ϕ) cos 2ϕ Vậy, S = 2P1 = 2πa2 · (2 − √ π/4 √ = πa2 ·(2− 2) 2) 3.5 Các toán chuyển động 3.5.1 Cơ sở lý thuyết Quãng đường S mà vật thể với vận tốc biến thiên v(t) khoảng thời gian [t1 ; t2 ] xác định tích phân xác định t2 S= v(t)dt t1 87 3.5.2 Các toán Ví dụ 3.5.1 Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc phụ thuộc vào thời gian theo công thức v (t) = 160 − 10t (m/s) Tính quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = đến thời điểm mà vật dừng lại Lời giải Khi vật dừng lại v (t) = ⇔ 160 − 10t = ⇔ t = 16 s Vậy, quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = 0s đến t = 16s 16 s= 16 (160 − 10t)dt = 160t − 5t2 v(t)dt = 0 16 = 1280(m) Ví dụ 3.5.2 Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 10m/s tăng tốc với gia tốc phụ thuộc vào thời gian theo công thức a (t) = 3t + t2 Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Lời giải Hàm vận tốc v(t) = a(t)dt = 3t + t2 dt = 3t2 t3 + + C Lấy mốc thời gian từ lúc tăng tốc ta có v(0) = 10 ⇒ C = 10 Suy ra, 3t2 t3 v(t) = + + 10 Vậy sau 10 giây quãng đường vật 10 S= 3t2 t3 + + 10 dt = 88 t3 t4 + + 10t 12 10 = 4300 m Ví dụ 3.5.3 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) phụ thuộc thời gian có đồ thị phần parabol có đỉnh I ; (như hình vẽ) Tính qng đường vật chuyển động thời gian Lời giải Gọi y = ax2 + bx + c Đồ thị hàm số qua điểm (0; 0) nên = a · 02 + b · + c ⇒ c = Vì tọa độ đỉnh parabol I ;8 nên ta có     a = −32 a( ) + b = 2 ⇒ −b  b = 32   = 2a Suy ra, y = −32x2 + 32x Vậy, quãng đường vật chuyển động −32x2 + 32x dx = S= 16 ≈ 5, 3 Ví dụ 3.5.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy 11 luật v(t) = t + t( m/s) , t khoảng thời gian tính từ lúc A 180 18 bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a (là số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A bao nhiêu? 89 Lời giải Vận tốc B thời điểm t vB = a dt = at + C Do B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên t = v = nên C = Vậy, vB = a · t Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A , suy A 15 giây Vậy, quãng đường hai vật gặp 15 S= 15 11 t + t dt = 75 180 18 v(t)dt = 0 Ta lại có, 10 10 vB dt = 75 ⇔ S= 0 at2 atdt = 75 ⇔ 10 = 75, nên suy a = 1, (m/s2 ) Suy ra, vB = a · t = 1, · 10 = 15m/s 3.6 Bài tốn cơng lực Định nghĩa 3.6.1 Nếu lực không đổi F tác dụng lên vật M dọc theo khoảng cách (độ dời) d, cơng A sinh q trình dịch chuyển tích lực F độ dài khoảng cách d mà tác dụng Ta có cơng thức A = F · d, đó, lực F hiểu tác dụng dọc theo hướng (phương) chuyển động Định nghĩa lực F không đổi Tuy nhiên, nhiều trường hợp lực F biến thiên suốt trình thực cơng Trong tình vậy, người ta thường chia trình thành nhiều phần nhỏ tính cơng tốn phần nhờ lấy tổng cơng tương ứng với ác phần chia (nhờ phép tính tích phân) 90 Ví dụ 3.6.2 Ta xét tốn Vật Lý sau: Một lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu lị xo có độ cứng k có khối lượng khơng đáng kể, đầu lị xo giữ cố định Vật m trượt mặt phẳng nằm ngang khơng có ma sát Từ vị trí cân O kéo lò xo giãn đoạn nhỏ A buông nhẹ, ta thấy vật m chuyển động qua lại vị trí cân O Xác định cơng lực đàn hồi vật từ vị trí x1 đến vị trí x2 Lời giải Chọn trục Ox trùng với phương chuyển động hệ, gốc tọa độ vị trí cân (vị trí vật lị xo khơng biến dạng) Tọa độ x vật giá trị đại số độ biến dạng lò xo, tức vừa xác định độ lớn, vừa cho biết chiều biến dạng Lực đàn hồi xuất lò xo bị biến dạng, ngược chiều với độ biến dạng có độ lớn tỉ lệ thuận với độ biến dạng F = −kx Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành n đoạn biến dạng vô nhỏ ∆x cho tương ứng với độ biến dạng lực đàn hồi coi không đổi Công nguyên tố lực đàn hồi thực đoạn biến dạng ∆x có giá trị ∆A = F ∆x = −kx∆x Cơng tồn phần tổng tất công nguyên tố Trên đồ thị biểu diễn mối liên hệ độ lớn lực đàn hồi độ biến dạng x cơng ngun tố diện tích hình chữ nhật có hai cạnh kx ∆x Cộng tất diện tích nguyên tố phạm vi giới hạn trục x từ giá trị x1 đến x2 , ta 91 cơng tồn phần A n n A= ∆Ai = i=1 F ∆xi i=1 Nếu n lớn ∆xi nhỏ, độ xác lớn Khi đó, n A = lim n→∞ x2 ∆Ai = F (x)dx x1 i=1 ❼ Công thức tổng quát Công A lực thay đổi cho hàm số f = f (x) có hướng dọc theo trục Ox điểm đặt lực di chuyển từ a đến b xác định tích phân xác định b A= f (x)dt a Ví dụ 3.6.3 Một lị xo đặt nằm ngang có độ cứng k, đầu cố định, đầu cịn lại gắn với vật nặng có khối lượng m Ban đầu từ vị trí cân kéo vật đến vị trí lị xo giãn đoạn xo thả nhẹ cho lắc chuyển động Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương dọc theo trục lị xo hướng phía lị xo giãn Biết lực đàn hồi tác dụng lên vật vị trí có tọa độ x xác định biểu thức F = −kx Tính cơng lực đàn hồi dịch chuyển vật từ vị trí ban đầu vị trí cân 92 Lời giải Xét khoảng thời gian dt nhỏ, vật chuyển dời đoạn vi phân dx, khoảng lực đàn hồi tác dụng lên vật có độ lớn xem không đổi F = −kx Vậy, công mà lực đàn hồi thực dịch chuyển vi phân dA = −kxdx Công mà lực thực kể từ vị trí ban đầu đến vị trí lị xo không biến dạng 0 kxdx = − kx2 dA = − A= x0 x0 x0 = kx20 Ví dụ 3.6.4 Một lực 40N cần thiết để kéo căng lò xo có độ dài tự nhiên từ 10 cm đến 15 cm Hãy tính cơng sinh kéo lị xo từ độ dài 15 cm đến 18 cm Lời giải Ban đầu, lị xo có độ dài tự nhiên 10 cm Dùng lực 40N kéo giãn lò xo có độ dài 15cm lị xo bị kéo dãn đoạn có độ dài 5cm = 0, 05m Vậy, ta có f (0, 05) = 40 ⇔ 0, 05.k = 40 ⇔ k = 800 Suy ra, f (x) = 800x Vậy, cơng sinh kéo căng lị xo từ 15 cm đến 18 cm 0,08 A= 0,05 x2 800xdx = 800 93 0,08 = 1, 56 (J) 0,05 Ví dụ 3.6.5 Một người thợ hồ nâng xô nước bị rỉ lên cao 20m với tốc độ cố định Cho trọng lượng xô 3N , trọng lượng ban đầu nước 2N Biết xô nước bị rỉ nên trọng lượng nước xô chảy với tốc độ không đổi thời gian nâng xô nước lên Người ta ước tính lượng nước xơ thay đổi theo đồ thị hình bên Hỏi người thợ hồ dùng công đề nâng xô nước lên cao 20m, với giả sử bỏ qua trọng lượng sợi dây? Lời giải Vì trọng lượng xô 3N không thay đổi nên để đưa xơ lên cao 20m A1 = P1 · h = · 20 = 60 (N m) Trọng lượng nước thay đổi tùy thuộc vào độ cao xô so với mặt đất Gọi x độ cao xơ so với mặt đất Khi đó, f (x) = ax + b, trọng lượng nước tương ứng với độ cao x Đồ thị hàm số f (x) = ax + b qua hai điểm A (0; 2) B (20; 0) nên ta có hệ phương trình    a.0 + b =  b=2 ⇔ ⇒ f (x) = − x +  a.20 + b =  a=−1 10 10 94 Công sinh đưa nước từ mặt đất lên cao 20m 20 A2 = 20 f (x)dx = 0 − x + dx = 10 − x2 + 2x 20 20 = 20(N m) Vậy, công mà người thợ hồ thực để nâng xô nước lên cao 20m A = A1 + A2 = 60 + 20 = 80 (N ) Ví dụ 3.6.6 Một hình trụ đường kính 20cm, chiều dài 80cm chứa đầy áp suất 10 kg/cm2 Cần tốn cơng để giảm thể tích xuống cịn nửa, xem nhiệt độ khơng thay đổi? Lời giải Đối với trình đẳng nhiệt ta có quy luật Bơi-Mariốt P = C , V với P áp suất, V thể tích, C số Kí hiệu Vo thể tích hình trụ, ta tìm số C C = P0 V0 = 10 kg/cm2 · 8π · 103 cm3 = 8π · 104 kgcm Yếu tố công dA áp suất P giảm chiều cao hình trụ lượng dh tính theo cơng thức dA = − πd2 P dh, d = 20cm đường kính hình trụ πd2 4dV dh , nên dh = πd2 Tồn cơng sinh để giảm thể tích xuống cịn nửa biểu diễn Bởi thể tích giảm xuống dV = tích phân V0 /2 V0 /2 dA = − A= V0 V0 P dV = C V0 dV = C ln V0 /2 V ⇒ A ≈ · 104 · 3, 1416 · 0, 6931 kgcm ≈ 1740 kgm 95 KẾT LUẬN Nội dung luận văn "Các tốn tích phân xác định ứng dụng" bao gồm khái niệm tích phân xác định, dạng tốn với tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định Đóng góp luận văn bao gồm: Luận văn hệ thống lại kiến thức tích phân xác định đưa tập minh họa cho phương pháp tính tích phân xác định Luận văn đưa số ứng dụng tiêu biểu tích phân vào toán thực tế đặc biệt ứng dụng vật lý Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 96 Tài liệu tham khảo [1] Đào Thị Kim Chi (2018) Bất đẳng thức tích phân kỳ thi Olympic tốn sinh viên Tạp chí khoa học, số 18 [2] Bùi Xuân Diệu (2009), Bài giảng giải tích I Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [3] Loan Thanh Đạo (2016), Một số phát triển áp dụng bất đẳng thức tích phân, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Thái Nguyên [4] Nguyễn Thu Hịa (2015), Một số ứng dụng tích phân hàm biến hình học vật lý, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Thái nguyên [5] Nguyễn Thị Kim Huyền (2011), Tích phân xác định ứng dụng hình học vật lý, Luận văn Thạc sĩ Phương pháp Toán sơ cấp, Trường Đại học Đà Nẵng [6] Ngơ Thị Sinh (2015), Tích phân ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Phương pháp Toán sơ cấp, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên [7] S.Yu Galkina, O.E Galkin (2015) Tích phân xác định vấn đề liên quan Trường Đại học Quốc gia Nizhny Novgorod 97 ... tốn tích phân chưa thực nắm ứng dụng tích phân thực tế Với mong muốn hệ thống lại kiến thức tích phân xác định, nêu rõ chất tích phân ứng dụng nên tơi lựa chọn đề tài "Các tốn tích phân xác định... 2.5 Các tốn liên quan đến bất đẳng thức tích tích phân 37 2.5.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân 37 2.5.2 Các bất đẳng thức tích phân cổ điển ứng dụng 40 Chương Các ứng dụng tích. .. đối khó với bạn học sinh Chương Các ứng dụng tích phân xác định Chương đề cập đến ứng dụng tích phân xác định việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình