Giới thiệu về định nghĩa tích phân xác định
Hàm số f : [a, b] → R được định nghĩa trên đoạn [a, b] và bị chặn trong khoảng này Để phân tích hàm số, ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn con ∆i = [xi−1, xi] với các điểm chia được chọn tùy ý, theo thứ tự từ a = x0 đến xn = b.
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch trên đoạn [a, b] và ký hiệu là T.
Số d(T) = max i |∆x i | được gọi là đường kính của phân hoạch T.
Kí hiệu P([a, b]) đại diện cho tập hợp tất cả các phân hoạch trên đoạn [a, b] Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn này, T ∈ P([a, b]) là một phân hoạch với các điểm chia a = x0 < x1 < < xn = b Trên mỗi đoạn con ∆i = [xi−1, xi], ta chọn một điểm ξi tùy ý Kí hiệu ξ = {ξ1, ξ2, , ξn} và từ đó thành lập tổng σf(T, ξ).
Tổng σf(T, ξ) là tổng tích phân của hàm f trên đoạn [a, b] với phân hoạch T và điểm chọn ξ = {ξ1, ξ2, , ξn} Khi thay đổi phân hoạch T và điểm ξ, ta tạo ra một tập hợp không đếm được các tổng tích phân {σf(T, ξ)} Định nghĩa 1.1.3 cho biết rằng họ tổng tích phân {σf(T, ξ)} có giới hạn I ∈ R khi độ dài phân hoạch d(T) tiến tới 0.
Với mọi ε > 0 cho trước, luôn tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với mọi
T ∈ P ([a, b]) thỏa mãn d(T)< δ và với mọi cách chọn điểm ξ ta đều có:
Khi đó ta viết lim d(T )→0σf(T, ξ) = I.
Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn [a, b] và ký hiệu
Hàm f(x) được gọi là khả tích theo nghĩa Riemann trên đoạn [a, b] khi tích phân Z a f(x)dx được xác định Trong ký hiệu này, f được xem là hàm dưới dấu tích phân, trong khi a và b lần lượt là cận dưới và cận trên của tích phân.
Nhận xét 1.1.4 Từ định nghĩa của tích phân xác định ta có thể suy trực tiếp được các tính chất sau đây:
Z b f(x)dx. Định nghĩa 1.1.5 Giả sử f : [a, b] → R là một hàm bị chặn Với mỗi phân hoạch T chia [a, b] thành các đoạn con ∆i = [xi−1, xi] Kí hiệu:
Tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của hàm f trên đoạn [a, b] được ký hiệu lần lượt là S(T) và s(T).
Các tiêu chuẩn khả tích
Định lý 1.2.1 khẳng định rằng nếu hàm f được xác định và khả tích trên đoạn [a, b], thì hàm f sẽ bị chặn trong khoảng đó Định lý 1.2.2 chỉ ra rằng một hàm f : [a, b] → R bị chặn nếu và chỉ nếu điều kiện cần và đủ để hàm này khả tích trên [a, b] là giới hạn lim d(T)→0 [S(T)−s(T)] = lim d(T)→0 n.
Công thức Newton - Leibniz
Định lý 1.3.1 Giả sử f : [a, b] → R là một hàm liên tục trên [a, b] Khi đó, nếu G(x) x
Z a f(t)dt thì G 0 (x) = f(x). Định lý 1.3.2 Nếu f(x) liên tục trong khoảng [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có b
Chứng minh Từ Định lý 1.3.1 ta suy ra G là một nguyên hàm của f Theo định nghĩa của G ta có
Z a f(t)dt Thấy ngay với F là một nguyên hàm khác của f thì
Ví dụ 1.3.3 Tính tích phân b
Lời giải Ta có, f(x) = 1,∀x ∈ [a, b] Với mọi phân hoạch T = {x i } của đoạn [a, b] và với mọi cách chọn điểm ξi ta có σf (T, ξ) n
Ví dụ 1.3.4 Tính tích phân I 1
Lời giải Xét hàm số f(x) = e x xác định trên đoạn [0,1] Ta chia đoạn
Trên mỗi đoạn i−1 i ;i i lấy ξ i = i n và ∆ i = 1 n Khi đó, theo định nghĩa tích phân xác định ta có σf(T, ξ) n
Các phương pháp tìm tích phân xác định
Phương pháp đổi biến
Định lý 1.4.1 (Đổi biến x := ϕ(t)) Xét I b
Z a f(x)dx với f(x) liên tục trong [a, b] Thực hiện phép đổi biến x= ϕ(t) thỏa mãn 3 điều kiện sau:
1 ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong [a, b].
3 Khi t biến thiên trong [α, β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b Khi đó, ta có công thức b
Z α f[ϕ(t)]ϕ 0 (t) dt. Định lý 1.4.2 (Đổi biến t := ϕ(x)) Giả sử tích phân cần tính có dạng
Z a f[ϕ(x)]ϕ 0 (x)dx, trong đó ϕ(x) biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b] Khi đó b
Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong [a, b] Khi đó b
Tích phân có giá trị tuyệt đối
Giả sử đoạn [a, b] được chia thành các đoạn nhỏ[a, b] = [a, c 1 ]∪[c 1 , c 2 ]∪ ∪ [c k , b] mà trên mỗi đoạn thì f(x) chỉ có một dấu Khi đó
Mở rộng cho tích phân suy rộng
Các tính chất của tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng có ba tính chất sau đây:
1 f khả tích trên [a;b],∀b ≥ a Khi đó, với mọi α ≥ a thì
Z +∞ α f(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2 f khả tích trên [a;b],∀b ≥ a Khi đó, với mọi α 6= 0 thì
Z +∞ a αf(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
3 f, g khả tích trên [a;b],∀b ≥ a Khi đó:
Các dạng bài toán với tích phân xác định 14
Phương pháp đổi biến
Ví dụ 2.1.1 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011) Tính tích phân I Z 4
Ví dụ 2.1.2 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2013) Tính tích phân I Z 1
Ví dụ 2.1.3 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010) Tính tích phân I Z e
Lời giải Đặt t = lnx+ 2 Ta có dt= 1 xdx. Đổi cận: x= 1 ⇒t = 2, x= e ⇒t= 3.
Ví dụ 2.1.4 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Tính tích phân I Z ln 5 ln 3 dx e x + 2e −x −3. Lời giải Đặt t = e x ⇒dt= e x dx. Đổi cận: x= ln 3⇒t = 3, x= ln 5⇒ t= 5.
Ví dụ 2.1.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2005) Tính tích phân I Z π 2
Ví dụ 2.1.6 (Minh họa đề thi tuyển sinh đại học năm 2016) Tính tích phân I Z π 0 cos 3 xãsinxdx.
Ví dụ 2.1.7 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011) Tính tích phân I Z π 4
0 xsinx+ (x+ 1) cosx xsinx+ cosx dx.
0 xsinx+ (x+ 1) cosx xsinx+ cosx dxZ π 4
Ví dụ 2.1.8 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012) Tính tích phân I Z 1
Lời giải Đặt t =x 2 , suy ra dt= 2xdx. Đổi cận: x= 0 ⇒t = 0, x= 1 ⇒t= 1.
Ví dụ 2.1.9 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2014) Tính tích phân I Z 2
Ví dụ 2.1.10 (Đề thi tuyển sinh đại học năm 2016) Tính tích phân
Phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 2.2.1 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Tính tích phân I Z 3
Ví dụ 2.2.2 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012) Tính tích phân I Z π 4
Ví dụ 2.2.3 (Đề thi tuyển sinh đại học năm 2015) Tính tích phân
Ví dụ 2.2.4 (Minh họa đề thi tuyển sinh đại học năm 2017) Cho hàm số f(x) thỏa mãn
Ví dụ 2.2.5 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011) Tính tích phân I Z π 3
0 xsinx cos 2 xdx Ta có,
Ví dụ 2.2.6 (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2013) Tính tích phân I Z 2
Ví dụ 2.2.7 (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2014) Tính tích phân I Z π 4
Ví dụ 2.2.8 (Đề thi tuyển sinh đại học năm 2019) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R Biết f(4) = 1 và
Lời giải Đặt t = 4x⇒ dt = 4dx Khi đó,
Ví dụ 2.2.9 (Minh họa đề thi tuyển sinh đại học năm 2016) Tính tích phân I Z e 1 xlnxdx.
Phương pháp tích phân suy rộng
Ví dụ 2.3.1 Tính tích phân I Z +∞
Ví dụ 2.3.2 Tính tích phân I Z +∞
Ta có lim x→+∞ (e −2x sin x) = 0 nên I = 2
Ví dụ 2.3.3 Xác định xem tích phân
1 x 2 + 1dx hội tụ hay phân kỳ. Lời giải Chúng ta tính
Z 1 x 2 + 1dx bằng cách đặt x = tanθ Khi đó, dx 1 cos 2 θdθ.
Chúng ta nhớ lại đồ thị của hàm số y = arctan (x)
Ví dụ 2.3.4 Khảo sát sự hội tụ của tích phân I Z +∞
Lời giải Ta có f(x) = ln 3 x x+ 5 > 1 x+ 5 > 1
2x phân kỳ nên theo Định lý so sánh 1 ta suy ra I phân kỳ.
Ví dụ 2.3.5 Khảo sát sự hội tụ của tích phân I Z +∞
Lời giải Ta có lim x→+∞
1 dx x phân kỳ nên theo Định lý so sánh 2 ta suy ra I phân kỳ.
Ví dụ 2.3.6 Khảo sát tự hội tụ của tích phân I Z +∞
Để đánh giá hàm số f(x) = sin x x² + ln 2x khi x tiến đến dương vô cùng, ta có thể đặt g(x) = 1/x² và áp dụng Định lý so sánh Tuy nhiên, kết quả cho thấy f(x) không hội tụ do có dấu bất kỳ Vì vậy, cần xem xét tích phân của hàm trị tuyệt đối để có cái nhìn chính xác hơn về sự hội tụ của f(x).
1 sin x x 2 + ln 2x dx, ta có
1 x 2 dx hội tụ nên J hội tụ Suy ra, tích phân I hội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 2.3.7 Xác định xem tích phân
1 x 2 dx là hội tụ hay phân kỳ.
Lời giải Hàm số f(x) = 1 x 2 không liên tục tại x = 0 nằm trong [−1; 1]. Chúng ta phải tính
1 x 2 dx phân kỳ vì một trong hai tích phân
Ví dụ 2.3.8 Xác định xem
Z 1 0 lnxdx hội tụ hay phân kỳ.
Lời giải Chú ý rằng f(x) = lnx không liên tục tại x = 0 Đầu tiên, chúng ta sử dụng nguyên hàm từng phần để tính
Từ đó, ta nhận được
Bây giờ, chúng ta sử dụng định nghĩa của tích phân suy rộng để tính
Z 1 0 lnxdx= −1−0 = −1 và hội tụ đến −1.
Diện tích thực của đồ thị hàm số lnx trên khoảng [0; 1] được xác định là -1, với diện tích này nằm bên dưới trục Ox.
Ví dụ 2.3.9 Xác định xem
Z 2 1 dx (x−1) 1 3 hội tụ hay phân kỳ.
(x−1) 1 3 không liên tục tại x = 1 Đầu tiên chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm
. Đặt u =x−1, khi đó du= dx và ta nhận được
Bây giờ, chúng ta sử dụng định nghĩa tích phân suy rộng để tính
Về mặt hình học, ta có thể giải thích điều này là diện tích thực của đồ thị hàm số 1
Các ứng dụng của tích phân xác định 54
Tìm diện tích hình phẳng
3.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x) a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong
Bài toán 1 Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi
|f(x)|dx. b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán 2 Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi
|f(x)−g(x)|dx. c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín
Bài toán 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Bước 2 Sử dụng công thức S Z b a
Bài toán 4 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
Bước 1 Giải phương trình tương giao để tìm hoành độ giao điểm
Bước 2 Sử dụng công thức
Chú ý 3.1.1 Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng. d Một số ví dụ minh họa
Hình thang cong (H) được giới hạn bởi các đường y = e^x, y = 0, x = 0 và x = ln 4 Đường thẳng x = k (với 0 < k < ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 và S2 Nhiệm vụ là tìm giá trị của k để diện tích hai phần này có mối quan hệ nhất định.
Lời giải Từ hình vẽ ta có
S1 Z k 0 e x dx= e x | k 0 = e k −1;S2 Z ln 4 k e x dx= e x | ln 4 k = 4−e k Khi đó,
Ví dụ 3.1.3 (Đề thi tuyển sinh đại học năm 2018) Cho hai hàm số f(x) = ax 3 +bx 2 +cx− 1
Để tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x), chúng ta biết rằng hai đồ thị này cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là -3, -1 và 1 Với các hàm số g(x) = dx^2 + ex + 1 (với a, b, c, d, e ∈ R), việc xác định diện tích giữa hai đồ thị trong khoảng từ -3 đến 1 là cần thiết Diện tích này có thể được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu hai hàm số trong khoảng này.
Lời giải Ta có (C) : y = f(x) và (C 0 ) : y =g(x) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ −3;−1; 1.
Từ giả thiết ta có f(0)−g(0) =−3
2. Vậy, diện tích hình phẳng cần tìm là
Ví dụ 3.1.4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P1) : y x 2 +x−2,(P2) : y =x 2 và (d) : y = x+ 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P 1 ) và (P 2 ) là x 2 +x−2 = x 2 ⇔x = 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (P2) và d là x 2 =x+ 2 ⇔x =−1∨x = 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P 1 )là x+ 2 =x 2 +x−2⇔x =−2∨x = 2.
Từ hình vẽ, ta suy ra diện tích hình phẳng cần tìm là
Ví dụ 3.1.5 Người ta cần trồng một vườn hoa theo hình giới hạn bởi một đường Parabol và nửa đường tròn có bán kính √
Vườn hoa Cẩm Tú Cầu có diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn O, với chiều dài đường kính là 2 mét Để trồng hoa trên mỗi mét vuông, cần tối thiểu 250.000 đồng Do đó, số tiền tối thiểu để hoàn thành việc trồng hoa trong vườn này sẽ được tính dựa trên diện tích và chi phí trên mỗi mét vuông.
Để tính diện tích của hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường tròn, trước tiên, chúng ta cần viết phương trình của cả hai hình Sau đó, tiến hành tính toán diện tích giữa hai đường này.
Lời giải Đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R= √
Suy ra, nửa đường tròn trên hình vẽ có phương trình là y =√
Xét parabol (P) có phương trình dạng y = ax 2 +bx+c (a6= 0).
Vì parabol (P) có trục đối xứng là Oy nên b = 0.
(P) cắt Oy tại điểm (0;−1) nên ta có
Vậy, phương trình của (P) là y = 2x 2 −1.
Diện tích của vườn hoa Cẩm Tú Cầu (miền gạch chéo trong hình vẽ) là
≈ 3,237 m 2 Vậy, số tiền tối thiểu để trong xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là
3.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường có phương trình tham số
- Đường cong (C)có phương trình tham số
Trong công thức tính diện tích S Z b a
|f(x)|dx ta thay thế y = f(x) bởi y =ω(t). dx bởi ϕ 0 (t)dt.
Hai cận a, b được thay thế bởi α và β lần lượt là nghiệm của a =ϕ(α) và b= ϕ(β).
- Nếu đường cong (C) kín, trơn từng phần, chạy ngược chiều kim đồng hồ và diện tích S được giới hạn ở phía trái (C) có phương trình tham số
x =ϕ(t) y = ω(t), với 0 ≤t ≤ T, với T là chu kì tuần hoàn của nó Khi đó,
Ví dụ 3.1.6 Tính diện tích của hình elip được giới hạn bởi (E) : x 2 a 2 +y 2 b 2 = 1. Lời giải
Cách 1:Phương trình tham số của hình elip là(E) :
Xét phần diện tích của (E) nằm trong góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng (Oxy). Đổi cận ta có
Khi đó, áp dụng công thức (3.1) cho ϕ(t) = acost, ω(t) = bsint, ta được
Cách 2: Áp dụng công thức (3.2) với ϕ(t) = acost, ω(t) =bsint, ta được
Ví dụ 3.1.7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Cycloide có phương trình tham số là
Ví dụ 3.1.8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong Astroide có phương trình tham số là
3.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ cực
Trước khi đi vào nội dung chính, chúng ta cùng tìm hiểu lại một vài kiến thức quan trọng của phần “Hệ tọa độ cực”.
Lý thuyết hệ tọa độ cực định nghĩa rằng trong mặt phẳng, khi xét một điểm O bất kỳ, có hai chiều quay xung quanh O Nếu chúng ta chọn một chiều quay là chiều dương và chiều còn lại là chiều âm, thì mặt phẳng được coi là đã được định hướng.
Trong mặt phẳng định hướng, chiều quay quanh điểm O được quy ước là dương nếu quay ngược chiều kim đồng hồ và âm nếu quay cùng chiều kim đồng hồ.
Nếu hai vector \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có chung gốc O, thì góc định hướng giữa chúng được xác định bằng cách quay vector \(\vec{a}\) quanh gốc O cho đến khi nó trùng với vector \(\vec{b}\) Ngược lại, nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không chung gốc, ta có thể dựng vector từ một điểm gốc O trên mặt phẳng.
Với mỗi vecto đầu −→a vecto cuối −→ b ta xác định được một góc định hướng, kí hiệu −→a ,−→ b với số đo
Trong không gian đã được định hướng, chúng ta chọn một điểm cố định O và một trục Ox với vector chỉ phương đơn vị là −→ i Từ đó, hệ tọa độ cực được xác định, tạo điều kiện cho việc mô tả vị trí các điểm trong mặt phẳng một cách chính xác.
Oi, và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ tọa độ.
Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:
+ Khoảng cách từ gốc cực O tới điểm M gọi là bán kính: r = OM. + Góc ϕ gọi là góc định hướng giữa cặp vecto −→ i và −−→
Trong hệ tọa độ cực, điểm M được xác định bởi cặp số (r, ϕ), trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ và ϕ là góc tạo bởi đường thẳng nối điểm M với gốc tọa độ Phương pháp này tạo ra một song ánh giữa tập tích Đề-các [0; 2π]×[0; +∞) và các điểm trong mặt phẳng tọa độ cực, cho phép mỗi điểm M tương ứng với một cặp số thứ tự (r, ϕ).
O thì r = 0, còn ϕ tùy ý ) Ngược lại, mỗi cặp số thứ tự (r, ϕ) ứng với một điểm M của mặt phẳng.
Quan hệ giữa hệ tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cực
Lấy trục hoành Ox trùng với trục cực và trục tung ứng với tia ϕ = π
2. Gọi (x, y) và (r, ϕ) lần lượt là tọa độ của cùng một điểm M trong hệ tọa độ Đề-các và hệ tọa độ cực Khi đó
Ngược lại, ta có r 2 = x 2 +y 2 ; tanϕ = y x (trong công thức này có hai góc ϕ tương ứng thỏa mãn tanϕ = y x; 0 ≤ ϕ ≤ 2π nên ta sẽ lấy góc ϕ cùng dấu với y vì y =rsinϕ.
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực
Trong hệ tọa độ cực, hàm số r = f(ϕ) với 0 ≤ ϕ ≤ 2π và r ≥ 0 tạo thành một đường cong, được gọi là đồ thị hàm số trong hệ tọa độ cực Phương trình r = f(ϕ) chính là phương trình của đường cong này.
Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ cực
Trong hệ tọa độ cực, diện tíchS của hình giới hạn bởi các tiaϕ=α, ϕ= β và đường r =f(ϕ) là
Ví dụ 3.1.12 Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường con Cardioide có phương trình trong hệ tọa độ cực là r = a(1 + cosϕ).
Ví dụ 3.1.13 Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường congr =a|cos 2ϕ|.
Ví dụ 3.1.14 Tính diện tích S của hình giới hạn bởi đường cong r= 3 sin 3θ.
Ví dụ 3.1.15 Tính diện tích hình bị giới hạn bởi các đường r = −2 sin 3ϕ và r = 2 sinϕ
Để tính diện tích hình màu xanh lam, ta cần thực hiện phép trừ giữa diện tích hình tròn và diện tích của một cánh hoa hồng Cần lưu ý rằng các cánh hoa hồng sẽ nằm ở các cung π.
Tính diện tích hình tròn
Tính diện tích của một cánh hoa hồng nằm trong α = π
Diện tích hình cần tính là
Ví dụ 3.1.16 Tính diện tích của một hình giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực r = √
Nhìn hình vẽ ta thấy, diện tích của hình cần tìm bằng tổng diện tích:
0;π 3 i , hình được giới hạn bởi một đoạn tia ϕ = π
3 và một phần cung tròn r= sinϕ (tô màu xanh lam).
3;π 2 i hình được giới hạn bởi cùng một đoạn tia ϕ = π
3 và một dây cung của đường tròn r = √
3 cosϕ (tô màu xanh lục).
Diện tích hình cần tính là
24 (đvdt). Bài tập đề nghị
Ví dụ 3.1.17 Tính diện tích của hình được giới hạn bởi đường cong r(ϕ) 1 + cosϕ trong hệ tọa độ cực.
Ví dụ 3.1.18 Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường cong r 7
2cosϕ, r= 2 cosϕ trong hệ tọa độ cực.
Ví dụ 3.1.19 Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường r 3 sinϕ, r =−3 cosϕ, π
Tìm thể tích của vật thể tròn xoay
3.2.1 Tính thể tích của vật thể theo diện tích mặt cắt ngang Định lý 3.2.1 Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Gọi
B là phần của vật thể được xác định giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b Diện tích thiết diện S(x) của vật thể được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (với a ≤ x ≤ b) được thể hiện trong hình dưới đây.
S = S(x) là một hàm liên tục trên [a;b] Khi đó, thể tích V của B là
Ví dụ 3.2.2 Tính thể tích của một ellipsoid có phương trình x 2 a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2 = 1. Lời giải Đầu tiên, ta đi tìm thiết diện của ellipsoid bị cắt bởi mặt phẳng x= const. y 2 b 2 + z 2 c 2 = a 2 −x 2 a 2 ⇔ y 2 b a
Từ phương trình trên, ta suy ra thiết diện của ellipsoid bị cắt bởi mặt phẳng x= const là một hình elip với hai bán trục b a ã√ a 2 −x 2 và c a ã√ a 2 −x 2
Diện tích của hình elip là
. Vậy, thể tích của hình ellipsoid là
Trong trường hợp đặc biệt, khi a = b = c = R, chúng ta thu được công thức tính thể tích của khối cầu V = 4
Cốc thủy tinh hình trụ của bạn A có đường kính đáy 6cm và chiều cao 10cm Khi bạn A nghiêng cốc, nước trong cốc chạm miệng cốc và mực nước tại đáy cốc trùng với đường kính đáy Để tính thể tích lượng nước trong cốc, ta cần sử dụng công thức tính thể tích của hình trụ.
Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh tại vị trí x (−R≤ x≤ R) bất kỳ, ta có diện tích thiết diện là
3.2.2 Thể tích của vật thể sinh bởi miền D khi quay quanh trục Ox
Bài toán 5 Miền (D) giới hạn bởi
Bài toán 6 Miền (D) giới hạn bởi
Bài toán 7 Miền (D) giới hạn bởi
x= a x= b, với (a < b) để tìm hai cận a, b.
Bước 2 Áp dụng công thức V = π
Z b a f 2 (x)−g 2 (x) dx để tìm thể tích của vật thể tròn xoay.
Bài toán 8 Miền (D) giới hạn bởi đồ thị của đường cong bậc hai f(x, y) = 0. Phương pháp giải
Bước 1 Tách đường cong bậc hai f(x, y) = 0 thành
Xác định cận x =a, x= b. Áp dụng công thức V =π
(x) dx để tìm thể tích của vật thể tròn xoay.
Bài toán 9 Miền (D) giới hạn bởi đồ thị các hàm số
Bước 2 Tìm giao điểm a, b, c(a < c < b) là nghiệm của các phương trình f(x) =h(x), f (x) = g(x), g(x) =h(x).
Thực hiện chia hình và tính thể tích của vật thể theo công thức
Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox, với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2(x−1)e^x, trục tung và trục hoành, ta áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay.
Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm
Thể tích khối tròn xoay thu được là
Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π quay quanh trục Ox, ta áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay Thể tích V được tính bằng tích phân từ 0 đến π của hàm số (sinx) bình phương nhân với π Kết quả sẽ cho ta thể tích của khối tròn xoay này.
Lời giải Áp dụng công thức, ta có thể tích của vật thể tròn xoay là
Ví dụ 3.2.6 Cho hình phẳng (S) : x 2 + (y−b) 2 =a 2 ; 0 < a≤ b Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi S khi quay quanh trục Ox.
√a 2 −x 2 dx. Đặt x =aãsint⇒dx= aãcostdt. Đổi cận: x= 0 ⇒t = 0, x=a ⇒t = π
Trên mặt phẳng Oxy, hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số (P) : y = x², (P₀) : y = 4x² và (d) : y = 4 Câu hỏi đặt ra là thể tích khối tròn xoay (H) khi quay quanh trục Ox sẽ bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x 2 = 4 ⇔
Phương trình hoành độ giao điểm của (P 0 ) và (d) là
Gọi V là thể tích cần tìm, khi đó:
Gọi V OAC là thể tích khối còn xoay sinh bởi (H 1 ) :
GọiV OAB là thể tích khối tròn xoay sinh bởi(H 2 ) :
3.2.3 Thể tích của vật thể sinh bởi miền D khi quay quanh trục Oy
Bài toán 10 Miền (D) sinh bởi
Bài toán 11 Miền (D) sinh bởi
Bài toán 12 Miền (D) sinh bởi đồ thị của đường cong bậc hai f(x, y) = 0 quay quanh trục Oy.
Bước 1 Tách đường cong bậc hai f(x, y) = 0 thành hai phần
Bước 2 Xác định hai cận y = a, y = b.
Bước 3 Áp dụng công thức V = π
(y) dy để tính thể tích của vật thể tròn xoay.
Ví dụ 3.2.8 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = 2y 2 , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 quay quanh trục Oy.
Lời giải Áp dụng công thức, ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là
Ví dụ 3.2.9 Cho hình phẳng x 2 + (y−b) 2 =a 2 ; 0 < a≤ b Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi S khi quay quanh trục Oy.
Lời giải Ta cóx 2 +(y−b) 2 =a 2 ⇔x 2 =a 2 −(y −b) 2 ⇒x =± q a 2 −(y−b) 2 Vậy,
3.2.4 Thể tích của vật thể sinh bởi hình phẳng được giới hạn bởi đường có phương trình tham số quay quanh trục Ox
Miền (D) được giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình tham số y(x) :
(t1 ≤ t ≤ t2), thì thể tích của vật thể sinh ra khi (D) quay quanh trục Ox được tính theo công thức
Ví dụ 3.2.10 Tìm thể tích của vật thể thu được khi quay miền (D) quanh trục Ox, biết (D) được giới hạn bởi đường cong có phương trình tham số
Z 0 π/2 a 2 sin 6 tã3acos 2 tã(−sint)dt
1−cos 2 t3 ãcos 2 tãd(cost). Đặt z = cost, ta đổi cận tích phân: t= π
105 Nhân đôi kết quả thu được ta nhận được thể tích của vật thể cần tính là
Tính độ dài đường cong phẳng
Độ dài L của đường cong trơn y = f(x) trong hệ tọa độ Đề-các, với a ≤ x ≤ b, được tính toán dựa trên phương trình của đường cong.
1 + [f 0 (x)] 2 dx. Đường cong có phương trình tham số
Nếu đường cong có phương trình tham số
(α ≤ x≤ β) ứng với a ≤ x≤ b thì độ dài đường cong là
LZ β α q [x 0 (t)] 2 + [y 0 (t)] 2 dt. Đường cong trong hệ tọa độ cực
Nếu đường cong có phương trình trong hệ tọa độ cực là r =r(ϕ), α ≤ϕ ≤ β thì độ dài đường cong L là
Ví dụ 3.3.1 Một con diều hâu bay 15m/stại độ cao180m tình cờ đánh rơi con mồi Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parabol có phương trình y = 180− x 2
Để tính quãng đường di chuyển của con mồi từ lúc rơi cho đến khi chạm đất, ta sử dụng công thức y = 45 - x, trong đó y là độ cao tính từ mặt đất và x là khoảng cách dịch chuyển theo phương ngang.
Lời giải Con mồi chạm đất khi y = 0⇔180− x 2
45 = 0⇔ x= 90(x ≥ 0). Quãng đường con mồi di chuyển từ lúc rơi đến lúc chạm đất chính là độ dài đường cong y = 180− x 2
Ví dụ 3.3.2 Tính độ dài đường astroid
Lời giải Đường cong được cho dưới dạng phương trình tham số Độ dài đường cong là
3ap cos 4 tsin 2 t+ sin 4 tcos 2 tdt
Ví dụ 3.3.3 Tính độ dài đường cong
Lời giải Phương trình đường cong được cho dưới dạng phương trình tham số.
Ta có, x 0 (t) = a(−sint+tcost), y 0 (t) = a(cost+tsint). Độ dài đường cong là
0 q [a(−sint+tcost)] 2 + [a(cost+tsint)] 2 dt
0 q a 2 sin 2 t−2tsintcost+t 2 cos 2 t+ cos 2 t+ 2tsintcost+t 2 sin 2 t dt
Ví dụ 3.3.4 Tính độ dài đường xoắn Acsimet r =aϕ; 0 ≤ ϕ≤ 2π.
Lời giải Phương trình đường cong được cho trong tọa độ cực Ta có,
Tính diện tích của một mặt cong
Xét một cung AB của một đường cong phẳng trơn nằm phía trên của trục
Khi đường cong được quay quanh trục Ox, nó tạo ra một mặt cong kín gọi là mặt quay Để tính diện tích của mặt quay này, chúng ta cần thiết lập công thức phù hợp.
Diện tích bề mặt tạo bởi phép quay quanh trục Ox của đường cong y f(x) trên đoạn [a;b] được tính theo công thức
Khi đường cong được cho dưới dạng phương trình tham số
Khi đường cong được cho trong hệ tọa độ cực ρ= ρ(ϕ), α≤ ϕ≤ β thì
Ví dụ 3.4.1 Tìm diện tích hình cầu bán kính R.
Lời giải Bề mặt của hình cầu có thể nhận được bằng cách quay đường cong được cho bởi phương trình y =√
Nhờ tính đối xứng, diện tích P1 có thể được xác định là diện tích của một nửa bề mặt khi quay phần hình tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Thay vào công thức Sx = 2π
√R 2 −x 2 dx = 2πR 2 Vậy, diện tích của toàn bộ hình cầu bán kính R là
Ví dụ 3.4.2 Tìm diện tích bề mặt được hình thành do chuyển động quay của một cung Cycloid quanh trục Ox, biết nó có phương trình tham số là
Lời giải Ta có, x 0 (t) =a(1−cost), y 0 (t) =asint.
2. Thay vào công thức Sx = 2π
Ví dụ 3.4.3 Tìm diện tích bề mặt có được bằng cách quay đường cong ρ a√ cos 2ϕ(a >0) (Đường cong số 8 của Bernoulli) quanh trục Ox.
Do tính đối xứng, diện tích nửa bề mặt có thể được tính bằng cách quay một phần của đường cong tương ứng với giá trị của đối số.
(ρ(ϕ)) 2 + (ρ 0 (ϕ)) 2 = a 2 cos 2ϕ+ a 2 sin 2 2ϕ cos 2ϕ = a 2 cos 2 2ϕ+ sin 2 2ϕ cos 2ϕ = a 2 cos 2ϕ. Thay vào công thức S x = 2π
Z β α ρ(ϕ) sinϕã q (ρ(ϕ)) 2 + (ρ 0 (ϕ)) 2 dϕ ta thu được diện tích của một nửa bề mặt là
Các bài toán về chuyển động
Quãng đường S mà vật thể đi được với vận tốc biến thiên v(t) trong khoảng thời gian [t 1 ;t 2 ] được xác định bởi tích phân xác định
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi công thức v(t) = 160 - 10t (m/s) Để tính quãng đường mà vật di chuyển từ thời điểm t = 0 cho đến khi dừng lại, ta cần xác định thời gian dừng lại bằng cách giải phương trình v(t) = 0 Sau đó, áp dụng công thức tính quãng đường để tìm kết quả.
Lời giải Khi vật dừng lại thì v(t) = 0 ⇔160−10t = 0⇔ t= 16 s.
Vậy, quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t= 0s đến t = 16s là sZ 16
Một vật có vận tốc ban đầu 10 m/s và tăng tốc theo công thức a(t) = 3t + t² Để tính quãng đường vật đi được trong 10 giây đầu tiên, ta cần xác định hàm vận tốc v(t) bằng cách tích phân gia tốc a(t) Kết quả tích phân a(t) dt = 3t², từ đó ta có thể tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian này.
Lấy mốc thời gian từ lúc tăng tốc ta có v(0) = 10 ⇒C = 10.
Vậy sau 10 giây quãng đường vật đi được là
Ví dụ 3.5.3 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) phụ thuộc thời gian có đồ thị là một phần parabol có đỉnh I
(như hình vẽ) Tính quãng đường vật đó chuyển động được trong thời gian 1 giờ.
Lời giải Gọi y = ax 2 +bx+c Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 0) nên
Vì tọa độ đỉnh của parabol là I
Suy ra, y =−32x 2 + 32x Vậy, quãng đường vật chuyển động được trong 1 giờ là
Ví dụ 3.5.4 (Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = 1
Trong bài toán này, một chất điểm A chuyển động thẳng với vận tốc 18t (m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Một chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây và có gia tốc a (hằng số) Sau 10 giây kể từ khi B bắt đầu chuyển động, B đã đuổi kịp A Câu hỏi đặt ra là vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là bao nhiêu?
Lời giải Vận tốc của B tại thời điểm t là v B Z a dt =at+C.
Do B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên tại t= 0 thì v = 0 nên C = 0.
Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A , suy ra A đã đi được 15 giây. Vậy, quãng đường cả hai vật đi được cho đến khi gặp nhau là
Bài toán về công của lực
Nếu một lực không đổi F tác dụng lên vật M trong một khoảng cách d, thì công A sinh ra trong quá trình dịch chuyển được tính bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách d Công thức biểu diễn mối quan hệ này như sau: A = F × d.
Công A được xác định bởi lực F tác động dọc theo hướng chuyển động Định nghĩa này áp dụng khi lực F không thay đổi Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, lực F có thể biến thiên trong quá trình thực hiện công Để tính toán công trong những tình huống này, người ta thường chia quá trình thành nhiều phần nhỏ và sử dụng phép tính tích phân để tính tổng công tương ứng với các phần đã chia.
Bài toán Vật Lý đề cập đến một con lắc lò xo với vật nhỏ khối lượng m gắn vào lò xo có độ cứng k, trong khi đầu kia của lò xo được giữ cố định Vật m có khả năng trượt trên mặt phẳng ngang không có ma sát Khi kéo lò xo giãn một đoạn nhỏ A từ vị trí cân bằng O và thả nhẹ, vật m sẽ chuyển động qua lại vị trí cân bằng.
O Xác định công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x 1 đến vị trí x 2
Chọn trục Ox theo phương chuyển động của hệ, với gốc tọa độ đặt tại vị trí cân bằng, tức là vị trí của vật khi lò xo không bị biến dạng.
Tọa độ x của vật bằng giá trị đại số của độ biến dạng lò xo, tức là vừa xác định độ lớn, vừa cho biết chiều biến dạng.
Lực đàn hồi xuất hiện khi lò xo bị biến dạng, có hướng ngược lại với độ biến dạng và tỉ lệ thuận với độ biến dạng theo công thức F = -kx Để phân tích lực đàn hồi, ta chia nhỏ độ biến dạng tổng thể thành nhiều đoạn biến dạng rất nhỏ ∆x, giúp lực đàn hồi được coi là không đổi trong mỗi đoạn này.
Công nguyên tố do lực đàn hồi thực hiện trên một đoạn biến dạng ∆x có giá trị
Công toàn phần là tổng hợp của tất cả các công nguyên tố, trong đó công nguyên tố được xác định bằng diện tích hình chữ nhật với hai cạnh là kx và ∆x trên đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa độ lớn lực đàn hồi và độ biến dạng x Khi cộng tất cả các diện tích nguyên tố trong khoảng từ x1 đến x2, ta sẽ thu được công toàn phần A.
F∆xi. Nếu n càng lớn thì ∆xi càng nhỏ, độ chính xác càng lớn Khi đó,
Công A của lực thay đổi cho bởi hàm số f = f(x) và có hướng dọc theo trục
Ox khi điểm đặt của lực di chuyển từ a đến b được xác định bằng tích phân xác định
Một lò xo nằm ngang có độ cứng k, một đầu cố định và đầu còn lại gắn với vật nặng khối lượng m Khi kéo vật đến vị trí lò xo giãn một đoạn xo và thả nhẹ, con lắc sẽ chuyển động Gốc tọa độ được chọn tại vị trí cân bằng, với chiều dương dọc theo trục lò xo hướng về phía lò xo giãn Lực đàn hồi tác dụng lên vật tại vị trí có tọa độ x được xác định bằng một biểu thức cụ thể.
Tính công của lực đàn hồi trong dịch chuyển vật từ vị trí ban đầu về vị trí cân bằng.
Trong khoảng thời gian dt rất nhỏ, vật chuyển động một đoạn vi phân dx, và trong khoảng này, lực đàn hồi tác dụng lên vật được coi là không đổi.
Vậy, công mà lực đàn hồi thực hiện trong dịch chuyển vi phân này là dA= −kxdx.
Công mà lực thực hiện được kể từ vị trí ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là
Để tính công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài 15 cm đến 18 cm, ta biết rằng một lực 40N cần thiết để kéo căng lò xo từ 10 cm đến 15 cm Công thực hiện được trong quá trình này có thể được xác định thông qua công thức tính công của lò xo.
Lò xo có độ dài tự nhiên 10 cm, khi bị kéo giãn bởi lực 40N đến độ dài 15 cm, tức là lò xo bị kéo dãn 5 cm (0,05 m) Từ đó, ta có công thức f(0,05) = 40, dẫn đến 0,05.k = 40, và tính được hệ số đàn hồi k = 800.
Vậy, công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15 cm đến 18 cm là
Một người thợ hồ nâng một xô nước bị rỉ lên cao 20m với trọng lượng xô là 3N và trọng lượng nước ban đầu là 2N Trong quá trình nâng, nước trong xô chảy ra với tốc độ không đổi, dẫn đến sự thay đổi trọng lượng nước theo thời gian Câu hỏi đặt ra là công mà người thợ hồ đã sử dụng để nâng xô nước lên cao 20m là bao nhiêu, với giả định bỏ qua trọng lượng sợi dây.
Lời giải Vì trọng lượng của xô là 3N không thay đổi nên để đưa xô lên cao 20m thì
Trọng lượng của nước thay đổi theo độ cao của xô so với mặt đất, được biểu diễn bằng hàm số f(x) = ax + b Trong đó, x là độ cao của xô, và hàm số này đi qua hai điểm A(0; 2) và B(20; 0), từ đó tạo thành một hệ phương trình để xác định các hệ số a và b.
Công sinh ra khi đưa nước từ mặt đất lên cao 20m là
= 20(N m). Vậy, công mà người thợ hồ thực hiện để nâng xô nước lên cao 20m là
Một hình trụ có đường kính 20 cm và chiều dài 80 cm chứa đầy hơi dưới áp suất 10 kg/cm² Để giảm thể tích của hơi xuống còn một nửa mà không thay đổi nhiệt độ, cần tính toán công cần thiết để thực hiện quá trình này.
Lời giải Đối với quá trình đẳng nhiệt ta có quy luật Bôi-Mariốt
V , với P là áp suất, V là thể tích, C là hằng số.
Kí hiệu Vo là thể tích của hình trụ, ta tìm hằng số C.
Yếu tố công dA của áp suất P khi giảm chiều cao của hình trụ một lượng dh được tính theo công thức dA = −πd 2
4 Pdh, ở đây d = 20cm là đường kính của hình trụ.
Bởi vì thể tích của hơi giảm xuống bằng dV = πd 2
4 dh , nên dh = 4dV πd 2 Toàn bộ công sinh ra để giảm thể tích hơi xuống còn một nửa được biểu diễn bằng tích phân
Luận văn "Các bài toán tích phân xác định và ứng dụng" trình bày khái niệm về tích phân xác định, các dạng bài toán liên quan và những ứng dụng thực tiễn của nó Những đóng góp chính của luận văn bao gồm việc phân tích các bài toán tích phân xác định và khám phá ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau.
1 Luận văn đã hệ thống lại các kiến thức cơ bản về tích phân xác định và đưa ra các bài tập minh họa cho từng phương pháp tính tích phân xác định.
