Giúp học sinh khá giỏi lớp 9 giải bài toán cực trị và bài toán về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai bằng cách sử dụng định lí vi ét

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN

VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Người thực hiện: Hoàng Minh Hạnh Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Hải SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

MỤC LỤC

Tr

ang

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

1 MỞ ĐẦU1.1.Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở bậc tiểu học, trung học cơ sở hay trung học phổthông, môn toán là một môn học khó nhưng cũng rất hấp dẫn và lý thú Việchọc toán có ý nghĩa rất lớn đối với học sinh Nó giúp các em từng bước pháttriển năng lực tư duy khoa học; hình thành kĩ năng ứng dụng toán học vàothực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác

Ở trường THCS, trong dạy học toán, cùng với việc hình thành cho họcsinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lý thì việc dạy học giảicác bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong các vấn đề trung tâmcủa phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS

có thể coi giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán

Trong chương trình toán THCS Định lý Vi-ét ” là một phần kiến thức

vô cùng quan trọng Định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò như mộtchiếc "chìa khoá" mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán khác nhau, từnhững bài toán cơ bản đến các bài toán nâng cao như: bài toán về nghiệm củaphương trình quy về bậc hai, toán chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN,GTNN của biểu thức Điều này cho thấy, phạm vi ứng dụng của định lý Vi-

ét trong giải toán là rất đa dạng và phong phú Và để giải được các dạng toánnày đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ vớikiến thức mới một các có logic và hệ thống

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được nhàtrường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toántham dự kì thi các cấp thành phố và cấp Tỉnh, tôi cũng rất trăn trở làm sao đểcác em làm tốt các dạng toán này đồng thời giúp các em có tư duy sáng tạotrong quá trình khai thác ứng dụng của định lý Vi-ét Và cao hơn là giúp các

em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán

Xuất phát từ thực tế và những lý do được ở trên tôi đã lựa chọn đề tài

nghiên cứu: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 sử dụng định lý Vi-et giải

bài toán tìm cực trị và bài toán về số nghiệm của của phương trình quy về bậc hai ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức về định lí Vi-et, biết phân tích cácđiều kiện đề bài cho, xác định rõ yêu cầu, có sự phân loại và định hướng rõràng đối với mỗi bài toán có liên quan, từ đó có hướng giải đúng, có thế tự tingiải bài tập nhanh hơn, có hiệu quả cao.Trên cơ sở đó giúp học sinh phát triểnnăng khiếu của bản thân thông qua việc tìm hiểu ứng định lý Vi-ét ở mức độcao hơn

- Mở ra cho các em những góc nhìn mới mẻ về định lý Vi-ét, đáp ứngnguyện vọng trong việc nâng cao kiến thức, khám phá kiến thức mới, kíchthích sự tìm tòi sáng tạo , từ đó tạo ra niềm say mê yêu thích đối với toán họcnhiều hơn

- Góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán, đặc biệt là nâng cao chấtlượng học sinh khá giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh khá giỏi lớp 9A, 9C trường Trung học cơ sở Đông Hải - Thành phố Thanh Hóa - Tỉnh Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, phân tích tổng hợpcác vấn đề lý luận về việc dạy toán ứng dụng định lý Vi-ét

- Phương pháp pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm

để kiểm tra kết quả áp dụng đề tài

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút ra những bài học cho bảnthân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó rất phong phú và đa dạng Cónhiều cách vận dụng định lý tùy thuộc vào đặc thù của mỗi bài toán Điều nàytương đối khó đối với học sinh THCS Để vận dụng tốt nội dung này khôngchỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức và có kỹ năng giải toán nhấtđịnh mà còn hỏi các em phải trải qua các thao tác của tư duy như: phân tích,tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hóa Thông qua đócác em biết tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề; có kĩ năng phát hiện nhữngkiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh; Có khảnăng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết Điều này giúpphát huy tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh góp phần xây dựngrèn luyên các em trở thành những con người năng động sáng tạo thích ứng với

sự thay đổi cuả hoàn cảnh và sự phát triển của xã hội

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm:

Tại trường THCS Đông Hải, ở lớp 9A và 9C do tôi giảng dạy thì nhữngbài toán cơ bản về ứng dụng của định lý Vi-ét như: tính tổng và tích cácnghiệm của phương trình bậc hai, nhẩm nghiệm, tìm hai số khi biết tổng vàtích, xét dấu nghiệm của phương trình bậc hai các em đã biết cách làm Cònnhững bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao liên quan đến một số bàitoán chứa tham số về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai, chứng minhbất đẳng thức hoặc tìm cực trị thì các em đều không thể biết cách vận dụngđịnh lý Vi-et để làm

Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 9, bản thân tôi nhận thấy đây làdạng toán khó mà trong các tài liệu tham khảo cũng chỉ đưa ra bài tập và giải

mà không nêu được phương pháp rõ ràng cho dạng toán Do đó học sinhkhông biết phương pháp suy luận để vận dụng kiến thức đã học

Trước vấn đề trên tôi thấy cần thiết phải có một cách tiếp cận mới vềứng dụng của định lý Viet giải một số bài toán nâng cao để giúp học sinh cóthêm kiến thức, nâng cao kỹ năng trong giải toán vận dụng định lý Vi-et, bồidưỡng tư duy sáng tạo của các em

2.3 Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

Để phát huy hiệu quả phát triển tư duy sáng tạo của học sinh đòi hỏi ngườigiáo viên cần có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu đầu tư Vì vậy trong quátrình giảng dạy tôi đã áp dụng giải pháp sau đây:

+) Bước đầu tạo sự hứng thú cho các em bằng các bài toán vận dụng cơ bản

Từ các kiến thức cơ bản đó khai thác, xây dựng và hệ thống những dạng bàitoán vận dụng mới với nhận dạng rõ ràng giúp học sinh độc lập suy nghĩ vàsáng tạo trong cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức

đã học Muốn vậy, tôi đã cho học sinh lật đi lật lại vấn đề, tìm ra những khíacạnh sâu sắc của nội dung để học sinh hiểu đúng và nắm chắc kiến thức Và

để đạt được điều này, tôi đã chuẩn bị nhiều câu hỏi chủ đạo có tính địnhhướng, giao công việc cụ thể để HS phát hiện tìm tòi ra lời giải và đã vậndụng những kiến thức nào trong lời giải đó

+) Sau khi phân loại và hướng dẫn các ví dụ, ở cuối mỗi phần, tôi sẽ giao bàitập để các em luyện tập củng cố kiến thức Và cuối cùng là kiểm tra kiến thức

và đánh giá kỹ năng vận dụng

Sau đây tôi xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh khá giỏi

lớp 9 sử dụng định lý Vi-ét để giải bài toán tìm cực trị và bài toán về số nghiệm của của phương trình quy về bậc hai ”

PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ

Kiến thức vận dụng:

1/ Định lý Vi-ét đảo: (Tìm 2 số biết tổng và tích )

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của

phương trình bậc hai : x2  Sx P   0

2/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có nghiệm

  b2  4ac0

Trong phần này tôi sẽ vận dụng định lý Vi-ét đảo để chứng minh bất

đẳng thức và tìm GTLN, GTNN mà các biểu thức có tính đối xứng, (có thể đưa về dạng chứa tổng và chứa tích của hai biến) có điều kiện ràng buộc là đẳng thức cũng có tính chất đối xứng

Tôi đưa ra phương pháp giải toán như sau:

Đặt vế chứa biến của bất đẳng thức hoặc biểu thức cần tìm cực trị là A

- Biểu diễn tổng hai biến và tích hai biến theo A

- Sử dụng định lý Vi-ét đảo: hai biến đó là nghiệm của phương trình bậc hai với tham số A

- Để tồn tại hai biến đó thì phương trình bậc hai (tham số A) phải có nghiệm.

Từ đó tìm được miền giá trị của A

Cách làm này đã tạo được rất nhiều hứng thú với các em vì đã giải quyết được một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị mà lâu nay các

em vẫn rất e ngại bằng một công cụ đơn giản, quen thuộc, đó là định lý Vi-ét đảo.

Ví dụ 1: Cho a, b thỏa mãn: a + b =1 Chứng minh: 3 3 1

a b

A ab

a b 

Nhận xét: Đặt A = a3b3 ab và biết a + b =1 thì việc tìm tích ab theo A

là rất đơn giản Từ đó xác định phương trình bậc hai nhận a, b làm nghiệm

và tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm là công việc tương đối dễ dàng với học sinh khá Để giải bài toán này theo phương pháp khác đòi hỏi học sinh phải nắm được các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ và phải biết cách áp dụng Điều này đối với học sinh khá cũng không phải dễ

Ví dụ 2: Cho các số thực x , y , z khác 0 và thoả mãn điều kiện

y; z là nghiệm của phương trình: t2  x3  x t x  2 0(1)

Để tồn tại y, z thì pt (1) phải có nghiệm

a b 

Nhận xét:

- Việc giải bài toán trên bằng cách sử dụng hệ quả bất đẳng thức Cosi là không khó Nhưng đối với các em, việc vận dụng bất đẳng thức phụ vào giải

toán lại là khó Cách làm này đã giúp các em tháo gỡ được khó khăn trên đồng thời mở ra cho các em một hướng suy nghĩ mới cho các bài toán cực trị hai biến có thể đưa về dạng chứa tổng và tích

- Ba ví dụ: 1, 2, 3 cách làm bài toán không phức tạp Tuy nhiên nhiều bài toán phức tạp hơn, ngoài việc sử dụng điều kiện tồn tại của hai biến còn phải kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức bậc hai một biến

x; y là nghiệm của phương trình: t2  2 a t a  2  4a 1 0 (2)

Để tồn tại x, y thì pt (2) phải có nghiệm

Nhận xét: Đối với bài toán này, thông thường các em sẽ làm như sau

Tìm x + y và xy theo a sau đó thay vào P và tìm GTLN, GTNN của P mà

không có điều kiện gì của a Như vậy chỉ có GTNN mà không có GTLN Đó là sai lầm chủ yếu của HS khi không sử dụng Vi-et đảo tìm ĐK để x, y tồn tại suy ra điều kiện của a Do đó GV cần chỉ ra và khắc sâu để HS không mắc phải sai lầm này

Những bài toán cực trị phức tạp có căn bậc hai hoặc bậc ba cũng có thể vận dụng định lý Viet để giải

Ví dụ 5: Cho x; y dương thỏa mãn: 1 1 2

PHẦN II: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

; a

b S

- Điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0  ac0

P S

P S

về bài toán phương trình trùng phương chứa tham số như sau:

Ví dụ 1: Cho phương trình: x4  2mx2 m2  3m  (1)2 0

a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiêm

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm

c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

e) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Với ví dụ trên, học sinh đã biết đặt x 2 bằng ẩn phụ t ( t 0) vì các em đã giải quen phương trình bậc bốn trùng phương Tuy nhiên, sau khi đưa về

phương trình bậc hai ẩn t thì các em lại không biết xử lý theo yêu cầu bài toán như thế nào cho phương trình bậc hai đó Một vài em biết phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình bậc hai ẩn t vô nghiệm Còn các trường hợp khác, các em không suy luận được Vướng mắc ở đây là các em chưa tìm được mối liên hệ giữa số nghiệm x với số nghiệm t Do đó khi đặt ẩn phụ

 

x t t  tôi đã nêu rõ: với t = 0 thì x 2 0nên được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì x2 t nên được 2 nghiệm x =  t , với t <0 thì không có nghiệm x Từ đó vấn đáp để học sinh tự suy luận đi đến các trường hợp cụ thể về số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương.

Hướng dẫn:

Đặt x2 t t 0, thay vào pt (1) ta được pt: t2 2mt m 2  3m 2 0 2 

Với t = 0 thì x2 = 0 nên được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì x2 = t nên được 2 nghiệm x =  t

a) Để phương trình (1) vô nghiệm  pt (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

m  thì phương trình (1) vô nghiệm

b) Để phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t 0

TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t1  0 t2 P0

m

m m

Kết luận : Vậy với 2 1

3 m hoặc m 2 thì phương trình (1) có nghiệm

c) Để phương trình (1) có 1 nghiệm  pt (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm

âm hoặc pt (2) có nghiệm kép bằng 0

TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm

Kết luận : Vậy không có giá trị m nào để phương trình (1) có 1 nghiệm

d) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  pt (2) có 1 nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu

TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

Kết luận : Vậy với 1m2 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

e) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  pt (2) có 1 nghiệm bằng 0

2

m m

thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Nhận xét: Từ ví dụ 1, học sinh đã có cái nhìn khá rõ ràng cho bài toán về

nghiệm của phương trình bậc 4 trùng phương vì các trường hợp là dưới sự dẫn dắt của giáo viên, các em tự suy luận bằng kiến thức xét dấu theo định lý Vi-ét đã học, nên tôi yêu cầu các em đưa ra bài toán tổng quát:

Bài toán tổng quát 1 Cho phương trình bậc bốn trùng phương:

ax4 bx2  c 0 1  a0, x R 

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 1 nghiệm

d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Hướng dẫn:

Đặt x2 t t 0, thay vào pt (1) ta được phương trình bậc hai ẩn t:

at2bt c 0 2 

Với t = 0 thì được 1 nghiệm x = 0; với mỗi t > 0 thì được 2 nghiệm x =  t

a) Để phương trình (1) vô nghiệm  pt (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

TH1: Phương trình (2) vô nghiệm   0

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm âm 1 2

c) Để phương trình (1) có 1 nghiệm  pt (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm

âm hoặc pt (2) có 1 nghiệm kép bằng 0

TH1: Phương trình (2) có 1 nghiệm t = 0 và 1 nghiệm âm

1 2

00

d) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  pt (2) có 1 nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu: t1 0 t2  ac0

e) Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  pt (2) có 1 nghiệm bằng 0

và 1 nghiệm dương

1 2

00

Nhận xét: Với cách chỉ rõ mối quan hệ về nghiệm x và nghiệm t như trên đã

tạo hứng thú cho các em trong cách suy luận đồng thời bước đầu tạo thói quen viết rõ ràng mối quan hệ về số nghiệm x với số nghiệm t khi đặt ẩn phụ.

Để phát triển tư duy của các em hơn nữa, tôi đưa ra ví dụ 2 như sau:

Ví dụ 2: Cho phương trình x2  2x2  2mx2  2x m 3 0 1 

a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

c) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm

d) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

e) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

f) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Thông thường các em sẽ đặt ẩn phụ là: x 2 - 2x = t đưa phương trình (1) về phương trình t 2 - 2mt + m + 3 = 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm   0 Phương trình(1) có 2 nghiệm khi phương trình (2) có hai nghiệm   0 Còn trường hợp phương trình (1) có 4 nghiệm thì các em không biết làm Một vài em hiểu vấn

đề tốt hơn thì sau khi đặt ẩn phụ x 2 - 2x = t, từ điều kiện có nghiệm của pt ẩn

x theo t, các em suy ra được điều kiện của t là t  -1 Khi đó, các em biết được là để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm t

 -1 Đây là bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với mốt số thực khác 0 vượt ra ngoài khả năng của các em vì các em mới được trang bị kiến thức so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 0 (hay xét dấu ngiệm)

từ định lý Vi-ét Như vậy, với cách là thứ nhất là sai, còn cách làm thứ hai lại

đi đến bế tắc Do đó, tôi đã hướng dẫn các em suy luận để đặt ẩn phụ như sau:

Hướng dẫn:

Vì x2  2x x 2  2x 1 1x12  1suy ra x2  2x 1 x12  0 x nênĐặt t x 2 2x1 khi đó t 0, suy ra x2  2x t  1 Thay vào phương trình(1) ta được phương trình sau: t2  2m1t3m 4 0 2 

Với t = 0 thì x2  2x 1 0 ta được 1 nghiệm x = 1,

Với mỗi t > 0 thì x2  2x  1 t x 12 t nên ta được 2 nghiệm

1

x   t