Một số bài toán về dãy số và phương pháp giải luận văn thạc sỹ toán học

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Lấ VN KHANH MT S BI TON V DY S V PHNG PHP GII LUN VN THC S TON HC NGH AN - 2011 MC LC Trang MC LC. . LI NểI U... Chng Kin thc c s.. 1.1 Cỏc nh ngha c bn v dóy s . 1.2 Cỏc nh lý c bn v dóy s .. Chng Mt s bi toỏn v dóy s v phng phỏp gii 2.1 Mt s dóy s c bit 2.1.1 Dóy s dng xn+1 = f ( xn ) 2.1.2 Dóy s dng xn+1 = xn ( xn ) 2.1.3 Dóy s dng [ n ] .10 2.2 Dóy s nguyờn 12 2.2.1 Nguyờn lý Dirichlet v dóy s nguyờn 12 2.2.2 H n c s v dóy s nguyờn .13 2.2.3 S phc v dóy s nguyờn .14 2.3 Dóy s v bt ng thc 15 2.4 Xỏc nh s hng tng quỏt ca mt dóy s 17 2.4.1 Cụng thc truy hi l mt biu thc tuyn tớnh 18 2.4.2 Cụng thc truy hi l mt h biu thc tuyn tớnh .19 2.4.3 Cụng thc truy hi l biu thc tuyn tớnh vi h s bin thiờn .19 2.4.4 Cụng thc truy hi dng phõn tuyn tớnh vi h s hng .20 2.4.5 Phng phỏp hm sinh 22 2.5 Mt s lp hm chuyn i cỏc cp s .23 2.5.1 Hm s chuyn i t cp s cng 23 2.5.2 Hm s chuyn i t cp s nhõn 26 2.5.3 Hm s chuyn i t cp s iu hũa .29 2.5.4 Mt s lp hm chuyn i cỏc cp s s nguyờn .33 2.6 Dóy s xỏc nh bi cỏc dóy phng trỡnh 38 2.7 Dóy s tun hon. 42 KT LUN . 45 TI LIU THAM KHO .46 LI NểI U Cỏc bi toỏn v dóy s l mt phn quan trng ca i s v gii tớch Cỏc hc sinh, sinh viờn thng phi i mt vi nhiu dng toỏn khú cú liờn quan n ny Khỏi nim dóy s thng khú hỡnh dung v cu trỳc i s trờn cỏc dóy s, c bit l cỏc phộp tớnh i vi cỏc dóy cú cha tham s, cỏc phộp bin i dóy v i s cỏc dóy Dóy s cú v trớ c bit toỏn hc khụng ch l mt i tng nghiờn cu m cũn úng vai trũ nh mt cụng c c lc ca cỏc mụ hỡnh ri rc ca gii tớch lý thuyt phng trỡnh, lý thuyt xp x, lý thuyt biu din, Trong nhiu k thi chn hc sinh gii quc gia, thi Olympic Toỏn quc t, thi Olympic sinh viờn ca cỏc trng i hc v Cao ng, cỏc bi toỏn liờn quan n dóy s cng hay c cp v thng thuc loi khú Cỏc bi toỏn v c lng v tớnh giỏ tr ca tng, tớch cng nh cỏc bi toỏn cc tr v xỏc nh gii hn ca mt hm s cho trc thng cú mi quan h n cỏc c trng ca dóy tng ng Lý thuyt i s v cỏc bi toỏn v dóy s ó c cp hu ht cỏc giỏo trỡnh c bn v gii tớch toỏn hc Tuy nhiờn nú cha c h thng y theo dng toỏn cng nh phng phỏp gii tng ng chng trỡnh toỏn ph thụng Vỡ lý trờn tụi i sõu tỡm hiu ti Mt s bi toỏn v dóy s v phng phỏp gii ch yu bi dng cho hc sinh gii Toỏn v nhm tỡm hiu sõu hn v dóy s Lun gm chng: Chng : Trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn v dóy s cng nh cỏc khỏi nim cú liờn quan Chng : Phõn loi cỏc dóy s, ng thi cng nờu cỏc phng phỏp gii v dóy s Lun c hon thnh ti Trng i hc Vinh di s hng dn ca TS Mai Vn T Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti TS Mai Vn T ngi ó nh hng nghiờn cu, thng xuyờn quan tõm to mi iu kin thun li, cựng vi nhng li ng viờn khớch l tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc thy giỏo , cụ giỏo khoa Toỏn Trng i hc Vinh ó ng viờn, giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh vit v chnh sa lun ny Mc dự ó cú nhiu c gng song lun vn khụng trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi rt mong c nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v bn c lun c hon thin hn Ngh an; thỏng 11 nm 2011 Tỏc gi CHNG 1: KIN THC C S 1.1 CC NH NGHA C BN V DY S nh ngha 1.1.1 Dóy s l mt hm s t Ơ * (hoc Ơ ) vo mt hp s ( Ơ , Â, Ô , Ă , Ê ) hay mt no ú ca cỏc hp trờn Cỏc s hng ca dóy s thng c ký hiu l un ; xn ; ; yn Bn thõn dóy s c kớ hiu l { xn } Vỡ dóy s l mt trng hp c bit ca hm s nờn nú cng cú cỏc tớnh cht ca mt hm s nh ngha 1.1.2 Hm s f : D D c gi l mt hm s co trờn D nu tn ti s thc q,0 < q < 1, cho f ( x) f ( y) q x y , x, y D nh ngha 1.1.3 Dóy s { un } c gi l mt dóy tun hon cng tớnh nu tn ti s nguyờn dng l cho un+l = un , n Ơ (1.1) S nguyờn dng l nh nht tho (1.1) c gi l chu k c s nh ngha 1.1.4 Dóy s { un } c gi l mt dóy tun hon nhõn tớnh nu tn ti s nguyờn dng s,( s > 1) cho usn = un , n Ơ (1.2) S nguyờn dng s nh nht tho (1.2) c gi l chu k c s nh ngha 1.1.5 a) Dóy s { un } c gi l mt dóy phn tun hon cng tớnh nu tn ti s nguyờn dng l cho un+l = un , n Ơ (1.3) S nguyờn dng l nh nht tho (1.3) c gi l chu k c s b) Dóy s { un } c gi l mt dóy phn tun hon nhõn tớnh nu tn ti s nguyờn dng s,( s > 1) cho usn = un , n Ơ S nguyờn dng s nh nht tho (1.4) c gi l chu k c s (1.4) 1.2 MT S NH Lí C BN V DY S nh lý 1.2.1 (V dóy cỏc on thng lng nhau) Cho hai dóy s thc { an } ,{ bn } cho : n Ơ , an bn n Ơ , an+1, bn+1 [ an , bn ] bn an n Khi ú tn ti nht s thc a cho [ an , bn ] = { a} nh lý 1.2.2 (Bolzano Veierstrass) T mt dóy b chn luụn cú th trớch mt dóy hi t nh lý 1.2.3 Nu f ( x) l mt hm s co trờn D thỡ dóy s { xn } xỏc nh bi x0 = a D, xn+1 = f ( xn ) hi t Gii hn ca dóy s l nghim nht trờn D ca phng trỡnh x = f ( x) nh lớ 1.2.4 (Trung bỡnh Cesaro) Nu dóy s { xn } cú gii hn hu hn l a thỡ dóy s cỏc trung bỡnh ( x1 + x2 + + x3 ) cng cú gii hn l a n nh lý ny cú th phỏt biu di dng tng ng nh sau: ( xn+1 xn ) = a thỡ lim xn = a Nu nlim n n nh lớ 1.2.5 (nh lớ Weil v phõn b u) Nu l s vụ t thỡ dóy { n } n1 phõn b u trờn khong ( 0;1) 1 nh lớ 1.2.6 Nu , l cỏc s vụ t dng tho iu kin + = thỡ hai dóy s xn = [ n ] , yn = n , n = 1,2,3 lp thnh mt phõn hoch ca hp cỏc s nguyờn dng CHNG 2: MT S BI TON V DY S V PHNG PHP GII 2.1 MT S DY S C BIT 2.1.1 Dóy s dng xn+1 = f(xn ) õy l dng dóy s thng gp nht cỏc bi toỏn v gii hn dóy s Dóy s ny s hon ton xỏc nh bit f v giỏ tr ban u x0 Do vy s hi t ca dóy s s ph thuc vo tớnh cht ca hm s f ( x) v x0 Mt c im quan trng khỏc ca dóy s dng ny l nu a l gii hn ca dóy s thỡ a phi l nghim ca phng trỡnh x = f ( x) Chỳng tụi cú mt s kt qu c bn nh sau: Bi toỏn (Thi HSG Vit Nam, 2000) Cho dóy s { xn } xỏc nh nh sau: x0 = 0, xn+1 = c c + xn Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca c vi mi giỏ tr x x0 (0, c), xn xỏc nh vi mi nƠ v tn ti gii hn hu hn nlim n Gii xn+1 tn ti thỡ ta cú c c + xn , x0 (0, c) hay c(c 1) x0 , x0 (0, c) c Vi c thỡ < x1 < c Nu < xn < c thỡ c c + xn > c c ,suy xn+1 tn f , ( x) = ti v < xn+1 < c t f ( x) = c c + x thỡ Vi mi x (0, c ) ta cú c+ x c c+ x (c + x)(c c + x ) > c(c c + c ) 2(2 + ) > , T ú suy f ( x) q < vỡ mi x (0, c ) , tc f ( x) l hm s co trờn (0, c ) , suy dóy s ó cho hi t Vy tt c cỏc giỏ tr c cn tỡm l c Mt trng hp na cng cú th xột c s hi t ca dóy s { xn } l trng hp f n iu, c th l Nu f l hm s tng trờn D thỡ { xn } s l dóy n iu Dóy s ny tng hay gim tựy theo v trớ ca x0 so vi x1 { }{ } Nu f l hm gim trờn D thỡ cỏc dóy x2 p , x2 p+1 l cỏc dóy n iu Bi toỏn (Olympic sinh viờn Moscow, 1982) Cho dóy s { xn } xỏc nh bi x0 = 1982, xn+1 = x Hóy tỡm nlim n 3xn Gii Ta cú < x2 < 1, x3 > x2 Vỡ f ( x) = l mt hm s tng t 0,1 3x vo 0,1 nờn dóy { xn } n2 l mt dóy s tng v b chn trờn bi ú cú gii hn Gi s gii hn l a ta cú a = 1 hay a = (Giỏ tr a = loi dóy tng) 3a 10 Trong trng hp f l hm gim, ta cú th chng minh dóy hi t bng cỏch chng minh hai dóy trờn cựng hi t v mt gii hn Tuy nhiờn, khú khn nht l gp cỏc hm s khụng n iu Trong trng hp ny, ta phi xột tng khong n iu ca nú v s hi t ca hm s s tu thuc vo giỏ tr ban u 2.1.2 Dóy s dng xn+1 = xn ( xn ) õy l trng hp c bit ca dóy s dng xn+1 = f ( xn ) Tuy nhiờn, vi dóy s dng ny hi t ca xn thng khụng c t (vỡ quỏ n gin v gii hn ch cú th l hoc ) õy, ta s cú mt yờu cu cao hn l tỡm bc tim cn ca xn , c th l tỡm cho xn = O(n ) Vi cỏc dóy s cú dng ny, nh lý 1.2.4 s t rt hu hiu nh lý 1.2.4 cú nhiu ng dng quan trng vic tỡm gii hn dóy s v cú th phỏt biu cho cỏc trung bỡnh khỏc nh trung bỡnh nhõn, trung bỡnh iu ho, trung bỡnh lu tha Tuy nhiờn, õy ta ch khai thỏc cỏch phỏt biu ca nh lớ 1.2.4 tỡm s cho xn cú gii hn hu hn, theo nh lớ 1.2.4, ta ch n xn = a suy cn tỡm cho xn+1 xn cú gii hn hu hn a Khi ú, nlim n x lim n n n = a1 tc l = Bi toỏn Cho dóy s { xn } c xỏc nh bi xo = 1, xn+1 = sin ( xn ) Chng nxn = minh rng nlim 34 Ta c f (un ) = f (un1) f (un+1) T ú ta cú dóy { f (un )} l cp s nhõn Vy tỡm cỏc hm s chuyn i cp s iu hũa thnh cp s nhõn ta i tỡm cỏc hm s tha tớnh cht sau Bi toỏn 27 Tỡm hm f ( x) xỏc nh, liờn tc trờn Ă \ { 0} v tha iu xy * kin f ( x + y ) = f ( x) f ( y), x, y Ă , x + y (2.16) Gii T iu kin bi toỏn ta suy f ( x) 0, x Nu tn ti x0 xy * cho f ( x0 ) = thỡ f ( x + y ) = f ( x0 ) f ( y), y Ă , x0 + y Suy f ( x) 0 Nu f ( x) > 0, x thỡ (2.16) cú dng ln f ( xy ln f ( x) + ln f ( y) )= , x, y Ă *, x + y x+ y 2 xy g ( x) + g ( y ) , x, y Ă * , x + y ,vi g ( x) = ln f ( x) , theo kt Hay g ( x + y ) = a a qu bi toỏn 25 thỡ g ( x) = + b, a, b Ă Do ú f ( x) = e x +b , a, b Ă x a Th li hm s f ( x) = e x +b , a, b Ă tha iu kin (2.16) a Vy, hm s f ( x) hoc f ( x) = e x +b , a, b Ă tựy ý chuyn i mt cp s iu hũa bt k thnh cp s nhõn 2.5.4 Mt s lp hm chuyn i cỏc cp s s nguyờn 2.5.4.1 Hm s chuyn i cp s cng thnh cp s cng Bi toỏn 28 Tỡm hm f ( x) xỏc nh trờn  v tha iu kin f ( x + y) = f ( x) + f ( y), x, y  Gii Trc ht ta kho sỏt hm s f ( x) hp  + Ti x = 0, y = ta c f (0) = (2.17) 35 Ti x = 1, y = ta c f (2) = f (1) t f (1) = a ta cú f (2) = 2a Ti x = 2, y = ta c f (3) = f (2) + f (1) f (3) = f (1) hay f (3) = 3a Bng phộp quy np ta chng minh c f (n) = nf (1) hay f (n) = na, n Ơ * Tip theo ta kho sỏt hm s f ( x) hp  Thay y = x thay vo cụng thc (2.17) ta cú f (0) = f ( x) + f ( x) f ( x) = f ( x) Khi ú ta cú hm f ( x) l hm l Xột n Â, n < n > , theo chng minh phn trờn ta cú f (n) = na m f (n) = f (n) nờn f (n) = na Vy hm s cm tỡm l f ( x) = ax,x  Bi toỏn 29 Tỡm hm f ( x) xỏc nh trờn  v tha iu kin f( x+ y f ( x) + f ( y ) )= , x, y Â, x + y = 2k , k  2 (2.18) Gii t f (0) = b, f ( x) = b + g ( x) thỡ g (0) = , thay vo cụng thc (2.18) ta cú b + g ( x + y b + g ( x) + b + g ( y ) x + y g ( x) + g ( y ) )= )= , suy g ( 2 2 x + y g ( x) + g ( y ) )= Ln lt chn x = 2k , y = , hoc x = 0, y = 2k ta cú g ( 2 Suy g ( x + y) = g ( x) + g ( y), x, y  Theo kt qu bi toỏn 28 ta cú g ( x) = ax,x  Vy f ( x) = ax+b Bi toỏn 30 Chng minh rng iu kin cn v dóy s { an } lp thnh mt cp s cng l dóy ú phi tha h thc 2am+n = a2m + a2n , m, n Ơ (2.19) Gii iu kin cn Gi s dóy { an } l mt cp s cng vi cụng sai bng d Khi ú an = a0 + (n 1)d , n Ơ * Vy nờn a2m + a2n = 2a0 + (2m + 2n 2)d v 2am+n = a0 + (m + n 1)d T ú ta cú cụng thc (2.19) 36 iu kin Gi s dóy s { an } tha iu kin (2.19) Ta chng minh { an } l mt cp s cng vi cụng sai d = a1 a0 Thay m = vo cụng thc (2.19) ta cú 2an = a0 + a2n Thay n = vo cụng thc (2.19) ta cú 2am = a0 + a2m Thay kt qu vo cụng thc (2.19) ta c 2am+n = 2am + 2an 2a0 (2.20) am+n = am + an a0 Thay m = vo cụng thc (2.20) ta cú an+1 = an + d , d = a1 a0 Vy dóy { an } l mt cp s cng B 11 iu kin cn v mt hm s chuyn mi cp s cng nguyờn dng thnh cp s cng l hm s ú chuyn cỏc s t nhiờn thnh cp s cng Chng minh iu kin cn Nu hm f chuyn mi cp s cng thnh cp s cng thỡ nhin nhiờn hm f chuyn cỏc s t nhiờn thnh mt cp s cng, vỡ cỏc s t nhiờn l cp s cng vi cụng sai nh nht l iu kin Hm f chuyn cỏc s t nhiờn thnh cp s cng, tc l dóy { f (n)} l cp s cng n Ơ Dóy { an } l cp s cng nguyờn dng, vi cụng sai d Ơ Ta phi chng minh dóy { f (an )} l cp s cng Vỡ dóy { f (n)} l cp s cng nờn theo cụng thc (2.20) ta cú f (m + n) = f (m) + f (n) f (0), m, n Ơ Dóy { an } l cp s cng nguyờn dng vi cụng sai l d Ơ suy an+1 = an + d Khi ú f (an+1) = f (an + d ) = f (an ) + f (d ) f (0) Hay f (an+1) f (an ) = f (d ) f (0) khụng i Vy dóy { f (an )} l mt cp s cng vi cụng sai f (d ) f (0) 37 Bi toỏn 31 Xỏc nh hm s f :  à + chuyn mi cp s cng { an } , an  thnh cp s cng Gii gii bi toỏn ny theo b 11 ta ch cn xỏc nh cỏc hm s chuyn dóy s t nhiờn thnh cp s cng Hm f chuyn dóy s t nhiờn thnh cp s cng thỡ ta cú f (m + n) = f (m) + f (n) f (0), m, n Ơ f (m + n) f (0) = f (m) f (0) + f (n) f (0), m, n Ơ t g (n) = f (n) f (0) ta cú g (m + n) = g (m) + g (n) Theo bi toỏn 28 ta cú g ( x) = ax,x Ơ ú a = g (1) Do ú f ( x) = g ( x) + f (0) t f (0) = b thỡ f ( x) = ax+b,x Ơ Kt hp vi bi toỏn 29 ta cú hm s chuyn i mi cp s cng thnh cp s cng hp cỏc s nguyờn l f ( x) = ax+b,x  Th li hm s f ( x) = ax+b,x  tha iu kin bi toỏn Bi toỏn 32 Xỏc nh hm f xỏc nh trờn Ơ * v chuyn cp s cng nguyờn dng { an } cho trc thnh cp s cng { bn } cho trc Gii Nu { an } Ơ * theo kt qu bi 31 ta cú f ( x) = ax+b,x Ơ *, a, b Ă Nu { an } Ơ * , ta cú hm f : Ơ * Ă c xỏc nh nh sau bn f (n) = cn n { an } n { an } Trong ú cn tựy ý Ă chuyn cp s cng nguyờn dng { an } cho trc thnh cp s cng { bn } cho trc 2.5.4.2 Hm s chuyn i cp s nhõn thnh cp s nhõn B 12 Chng minh rng iu kin cn v dóy cỏc s dng { an } lp thnh mt cp s nhõn l dóy s ú phi tha h thc 38 am2 +n = a2m a2n , m, n Ơ (2.21) Chng minh t ln an = bn , n Ơ Khi ú an = ebn v (2.21) cú dng e2bm+n = e b2 m +b2 n 2bm+n = b2m + b2n , m, n Ơ (2.22) Theo bi toỏn 30 thỡ (2.22) l iu kin cn v dóy s { bn } lp thnh cp s cng vi cụng sai d = b1 b0 Theo b ta suy iu phi chng minh T cụng thc (2.21) ta cú Vi m = ta cú an2 = a0a2n Vi n = ta cú am2 = a0 a2m Suy a2m a2n = aa an2am2 an2am2 a = n m a = , ú m+ n hay m+ n a0 a0 a0 W Bi toỏn 33 Xỏc nh cỏc dóy s dng { xn } tha iu kin xmn = xm xn , m, n Ơ * Gii Ta cú x1.n = x1.xn x1 = gi s n = p l s nguyờn t k Khi ú bng quy np ta chng minh c x pk = ( x p ) v nu n = p1 p2 ps s thỡ xn = ( x p1 ) ( x p2 ) ( x ps ) s Trong ú x p cú th nhn giỏ tr tựy ý p nguyờn t T ú ta cú kt lun x p cú th nhn giỏ tr tựy ý p nguyờn t v xn = ( x p ) ( x p ) ( x ps ) s , n = p11 p22 ps s W Bi toỏn 34 Xỏc nh hm s f tha tớnh cht f (mn) = f (m) f (n), m, n Ơ * Gii Ta cú f (1.n) = f (1) f (n) Suy f (1) = Gi s n = p l s nguyờn t Khi ú bng quy np ta chng minh c f ( p k ) = f ( p)k v nu 39 n = p1 p2 ps s thỡ f (n) = f ( p1 ) f ( p2 ) f ( ps ) s Trong ú f ( p ) cú th nhn giỏ tr tựy ý p l mt s nguyờn t Vy f ( p) cú th nhn giỏ tr tựy ý p l mt s nguyờn t v f (n) = f ( p1 ) f ( p2 ) f ( ps ) s n = p1 p2 ps s Bi toỏn 35 Chng minh rng hm s f : Ơ * Ơ * chuyn mi cp s nhõn thnh cp s nhõn v ch hm s ú chuyn cp s nhõn cú cụng bi nguyờn t thnh cp s nhõn Gii iu kin cn Nu hm s f chuyn mi cp s nhõn thnh cp s nhõn thỡ hin nhiờn nú chuyn cp s nhõn cú cụng bi nguyờn t thnh cp s nhõn iu kin Nu hm f : Ơ Ă chuyn cp s nhõn cú cụng bi nguyờn t thnh cp s nhõn Gi s { un } l cp s nhõn ta phi chng minh { f (un )} n cng l cp s nhõn Vi un = u0q ta xột cỏc trng hp sau Nu q l s nguyờn t thỡ bi toỏn c chng minh Nu q khụng phi l s nguyờn t thỡ q = p1 p2 ps s ú pi l s nguyờn t, i Ơ * Khi ú ta cú f (un ) = f (u0q n ) = f (u0 ( p1 p2 ps s )n ) 1.n n ( p ) ( p ) s n ) = f (u0 ( p1 ) = f (u0 n ) f (p 1) f s n ( p2 ) f s n ( ps ) Theo b 12 ta chng minh c f (um+n ) = f (u2m ) f (u2n ) Ta cú f (un+n ) = ( f (u0 ) f 1.( m+ n) (p = f (u0 ) f 1) 21.( m+ n) f ( m+ n) ( p1) f ( p2 ) f s (m+n) ( ps ))2 2.( m+n ) ( p2 ) f 2s (m+n) ( ps ) 40 1.2 m m ( p1 ) f ( p2 ) f s 2m ( ps ) n n f (u0 ) f ( p1 ) f ( p2 ) f s 2n ( ps ) ( m + n ) ( m + n ) (u0 ) f ( p1 ) f ( p2 ) f s ( m+ n) ( ps ) f (u2m ) f (u2n ) = f (u0 ) f =f W Vy ta cú iu phi chng minh 2.6 DY S XC NH BI DY CC PHNG TRèNH Trong toỏn hc, cú rt nhiu trng hp khụng xỏc nh c giỏ tr c th i tng m chỳng ang xột (nh s,hm s) nhng cú th thc hin cỏc phộp toỏn trờn cỏc i tng ú Vớ d cú th khụng bit giỏ tr cỏc nghim ca phng trỡnh, nhng bit c tng ca chỳng Bi toỏn 36 Ký hiu xn l nghim ca phng trỡnh 1 + + + = thuc khong ( 0,1) x x xn Chng minh dóy { xn } hi t Hóy tỡm gii hn ca dóy { xn } 1 + + Dóy { xn } c xỏc nh nht vỡ hm s f n ( x) = + , x x xn liờn tc v n iu trờn ( 0,1) Tuy nhiờn khụng th xỏc nh c giỏ tr c th ca xn Rt may mn, chng minh tớnh hi t ca xn , khụng cn n iu ú Ch cn chng minh tớnh n iu v b chn l Tớnh b chn l m bo vỡ < xn < Vi tớnh n iu, ta chỳ ý mt chỳt n mụi liờn h gia f n ( x ) v f n+1 ( x ) ú f n+1( x) = f n ( x) + x n õy chớnh l chỡa khoỏ chng minh tớnh n iu ca xn Gii Rừ rng xn c xỏc nh mt cỏch nht, < xn < Ta cú 41 f n+1( xn ) = f n ( xn ) + < xn n + ú f n+1 ( ) > Theo tớnh cht ca hm liờn tc, trờn khong ( 0, xn ) cú ớt nht mt nghim ca f n+1 ( x ) v nghim ú chớnh l xn+1 Nh th ta ó chng minh c xn+1 < xn , tc l dóy s { xn } n iu gim Do dóy ny b chn di bi nờn dóy s ó cho cú gii hn Ta s chng minh gii hn núi trờn bng chng minh iu ny, ta cn n kt qu quen thuc sau: 1 1 + + + + > ln n n x = a > ú dóy s gim nờn ta cú xn a, n Tht vy, gi s nlim n 1 Do + + + + n dn n vụ cựng nờn tn ti N cho n 1 1 vi mi n > N , ta cú + + + + > Khi ú, vi n N , ta cú n a 0= 1 1 1 1 + + + < + + + + < =0 xn xn xn n xn n a a x = mõu thun Vy ta phi cú nlim n Bi toỏn 37 (VMO, 2007) Cho s thc a > v f n ( x ) = a10 x n+10 + x n + + x + Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n, phng trỡnh f n ( x ) = a luụn cú ỳng mt nghim dng nht Gi nghim ú l xn , chng minh rng dóy { xn } cú gii hn hu hn n dn n vụ cựng 42 Gii Kt qu ca cõu 1) l hin nhiờn vỡ hm f n ( x ) tng trờn ( 0,+ ) D dng nhn thy < xn < Ta s chng minh dóy xn tng, tc l xn+1 > xn Tng t nh nhng li gii trờn, ta xột f n+1 ( xn ) = a10 xnn+11 + xnn+1 + xnn + + xn + = xn f n ( xn ) + = axn + Vỡ ta ó cú f n+1 ( 1) = a10 +n+1 > a nờn ta ch cn chng minh axn + < a l a s suy xn < xn+1 < Nh vy, cn chng minh xn < a Tht vy nu xn = (a 1)10 ( a 10 a n+10 ) + thỡ f n ( xn ) a ( a a a n+1 ) a = a 1 a ( a n a n ) + a (a 1)( ) > a (do a > ) a a Vy dóy s tng { xn } tng v b chn bi nờn hi t Mt ln na mi liờn h f n+1 ( x ) = x f n ( x) + li giỳp chỳng ta tỡm c mi quan h gia xn v xn+1 T li gii trờn, ta cú th chng minh c rng lim x n n = a a Tht vy, t c = < ta cú a a f n ( c ) f n ( xn ) = kc n (vi k = ( a 1) (( a 1) 1) > ) Theo nh lý Lagrange thỡ f n ( c ) -f n ( xn ) = f() ( c - xn ) vi ( xn , c ) , vỡ f ( ) = ( n + 10 ) a10 n+9 + n n1 + + > , nờn t õy suy kc n > c - xn x =c T ú ta cú c kc n < xn < c Cú ngha l nlim n 43 Bi toỏn 38 (VMO, 2002) Cho n l mt s nguyờn dng Chng minh rng phng trỡnh 1 1 + + + = cú mt nghim nht xn > x x n x Chng minh rng n dn n vụ cựng, xn dn n Vic chng minh phng trỡnh cú nghim nht xn > l hin nhiờn Mi liờn h f n+1( x) = f n ( x) + õy f n ( x) = cho thy xn l dóy s tng (n + 1)2 x 1 1 + + + x x n x bi cho sn gii hn ca xn l ó lm cho bi toỏn tr nờn d hn x = c nhn xột trờn, ta s dựng nhiu Tng t nh cỏch chng minh nlim n nh lý Lagrange ỏnh giỏ khong cỏch gia xn v lm iu ny, ta cn tớnh f n ( ) vi f n ( x) = 1 1 + + + vic tớnh f n ( ) liờn x x n x quan n mt dng tng quen thuc Gii t f n ( x ) nh trờn v gi xn , ( xn > 1) l nghim nht ca phng trỡnh f n ( x ) = Ta cú f n (4) = 1 1 1 1 + + + = + + + 16 (2n 1)(2n + 1) 4n 1.3 3.5 1 1 1 1 = ( + + + ) = 3 n 2n 4n p dng nh lý Lagrange, ta cú = f n ( xn ) f (4) = f '(c) xn vi c ( xn ,4 ) 4n 44 Nhng f '(c) = lim x n n 1 + + > xn < nờn t õy , suy 2 (c 1) (4c 1) 4n = Trong bi toỏn trờn chỳng ta ó s dng nh lý Lagrange ỏnh giỏ hiu s gia xn v giỏ tr gii hn 2.7 DY S TUN HON Tng t nh i vi hm s thụng thng, ta cú th coi dóy s { xn } nh mt hm f ( x ) = xn xỏc nh trờn Ơ v nhn giỏ tr Ă Trong phn ny chỳng tụi quan tõm n hai loi dóy tun hon c bn l tun hon cng tớnh v tun hon nhõn tớnh Bi toỏn 39 Xỏc nh dóy s { un } tha iu kin un+b = un + d , n Ơ ú b Ơ , d Ă Gii t un = d n + Thay vo cụng thc un+b = un + d , ta cú b d d (n + b) + vn+b = n + + d b b Suy vn+b = , ú l dóy tun hon cng tớnh chu k b Vy un = d n + vi l dóy tun hon cng tớnh chu k b b Bi toỏn 40 Xỏc nh dóy s { un } tha iu kin un+b = c.un , n Ơ , ú b Ơ * , c Ă n Gii t un = c b , ta cú c n +b b v n +b n = c.c b Suy vn+b = ú l dóy tun hon cng tớnh chu k b n Vy un = c b vi l dóy tun hon cng tớnh chu k b 45 Bi toỏn 41 Xỏc nh dóy s { un } tha iu kin un+b = c.un + d , n Ơ ú b Ơ * , c Ă Gii Nu c = theo kt qu bi toỏn 40 ta cú un = d n + , vi l dóy tun b hon cng tớnh chu k b Nu c t un = + d Khi ú ta cú c vn+b + d d = c(vn + ) + d , n Ơ c c n Hay vn+b = c.vn theo kt qu bi toỏn 40, ta cú = c b xn ú x xn+b = n -xn n d bx +c n c Ta cú un = n d +cb x n c với c > với c < xn tùy ý cho xn+b = xn , với c > xn tùy ý cho xn+b = xn , với c < Vy nờn Nu c = thỡ un = d n + , vi l dóy tun hon cng tớnh chu k b b n d b +c xn c u = Nu c thỡ n n d +cb x n c xn tùy ý cho xn+b = xn , với c > xn tùy ý cho xn+b = xn , với c < Bi toỏn 42 Xỏc nh dóy s { un } tha iu kin uan = c.un + d , n Ơ ú a Ơ , a { 0,1, 1} , c, d Ă , c Gii Nu c = ú ta cú uan = un + d Thay n = thỡ u0 = u0 + d suy d = Khi ú uan = un thỡ dóy s { un } l dóy tun hon nhõn tớnh chu k a 46 Nu c ú ta t un = + van + d , ta cú c d d d d = c(vn + ) + d van + = c.vn + c c c c Hay van = c.vn , ú v0 = t = n với n = loga c sn với n sn , thỡ san = -sn , n 0, với c > n 0, với c < Ta c d c u = Vi c > thỡ n d +nloga c s n c d c Vi c < thỡ un = d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san = sn , với n với n = sn dãy tuần hoàn : san =-sn , với n Vy nờn Nu c = 1, d thỡ khụng tn ti dóy { un } Nu c = 1, d = thỡ { un } l dóy tun hon nhõn tớnh chu k a Nu < c thỡ d un = c d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san = sn , với n Nu c < thỡ d un = c d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san =-sn , với n 47 KT LUN Ni dung chớnh ca lun l: Trỡnh by mt cỏch cú h thng v dóy s v mt s tớnh cht ca chỳng H thng, phõn dng v a c cỏc phng phỏp gii cho cỏc dng v bi toỏn dóy s tng ng T ú chng minh tng minh mt s tớnh cht ca dóy s Gii chi tit cỏc bi toỏn cú liờn quan n dóy s 48 TI LIU THAM KHO [1] Phan Vn Khi (2006), Cỏc chuyờn s hc, NXB Giỏo dc, H ni [2] Nguyn Vn Mu (2002), Mt s bi toỏn chn lc v dóy s, NXB Giỏo dc, H ni [3] Nguyn Vn Mu, Nguyn Thy Thanh (2003), Gii hn ca dóy s v hm s, NXB Giỏo dc, H ni [4] Nguyn Vn Mu, Trn Nam Dng, Nguyn Minh Tun (2008), Dóy s v ỏp dng, NXB Giỏo dc, H ni [5] Nguyn Vn Mu (2003), Phng trỡnh hm, NXB Giỏo dc, H ni [6] Nguyn Trng Tun( 2003), Bi toỏn hm s qua cỏc k thi olympic, NXB Giỏo dc, H ni [7] V Dng Thy, Nguyn Vn Nho (2001), 40 nm Olympic toỏn hc quc t 1,2, NXB Giỏo dc, H ni [8] Tp toỏn hc v tui tr (2002-2011), NXB Giỏo dc, H ni [...]... và đó cũng chính là một cách chứng minh cho Định lí 1.2.6 2.2 DÃY SỐ NGUYÊN Dãy số nguyên là một phần quan trọng trong lý thuyết dãy số Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên … các bài toán về dãy số nguyên còn quan tâm đến tính chất số học của dãy số như chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau … Các bài toán về. .. giá trị duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán 2 2.1.3 Dãy số dạng [nα ] Dãy số dạng xn = [nα ] có nhiều tính chất số học thú vị Nếu α > 1 thì {[nα ]}n ≥1 là dãy các số nguyên dương phân biệt, có sự biến thiên gần giống một cấp số cộng nhưng lại không phải là một cấp số cộng Dãy số này đặc biệt thú vị khi α là số vô tỉ bậc hai Bài toán 5 Giả sử { f n } và { gn } là hai dãy số nguyên dương hoặc xác định như... tố cùng nhau … Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng Trong nhiều trường hợp, dãy số chỉ là cái bề ngoài, còn bản chất bài toán là một bài toán số học 14 2.2.1 Nguyên lý Dirichlet và dãy số nguyên Nguyên lí Dirichlet là một Nguyên lí hết sức đơn giản nhưng lại vô cùng hữu hiệu trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là chứng minh sự tồn tại của một đối tượng thoả mãn một điều kiện nào đó Sử dụng... các chữ số của n trong hệ đếm nhị phân Từ dãy do 1994 < 2048 = 211 suy ra M = 10 2.2.3 Số phức và dãy số nguyên Số phức có những ứng dụng rất quan trọng trong toán học nói chung và trong lý thuyết dãy số nói riêng Nhờ số phức, chúng ta có thể thấy được mối quan hệ giữa hàm lượng giác và hàm mũ Nhờ số phức, mọi đa thức bậc n đều có đủ n nghiệm và vì vậy Định lý Viet mới phát huy được tác dụng Bài toán. .. đề 1 ta có được cách giải của phương trình sai phân dạng phân tuyến tính (2.10) bằng cách lập và giải hệ phương trình (2.11) Từ đó thu được nghiệm của (2.10) Cách giải bài toán 16 tương tự như cách giải bài toán sau: 23 Bài toán 17 Tìm dãy số {xn } thoả mãn các điều kiện sau x0 = 0; xn+1 = xn + 1 , ∀n ≥ 1 − xn + 1  y0 = 0; z0 = 1  Giải Xét hệ phương trình  yn+1 = yn + zn Giải hệ này ta được ... phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến thiên là rất phức tạp Trong phần này chúng tôi chỉ xét một số dạng đặc biệt, đơn giản của các phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến thiên chủ yếu bằng phương pháp đặt dãy số phụ, đưa về phương trình sai phân tuyến tính Bài toán 15 Tìm số hạng tổng quát của dãy số {xn } biết rằng x1 = a; x2 = b và xn+2 = a ( n ) xn+1 + b ( n ) xn + f (... (vì p là số nguyên tố ) và (vi w p −i + wiu p −i + u i v p −i ) là số nguyên (biểu thức đối xứng đối với u, v, w) W nên vế phải là một số nguyên chia hết cho p 2.3 DÃY SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Sắp xếp lại thứ tự là một thủ thuật thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến bất đẳng thức trong dãy số Việc sắp xếp lại thứ tự các số trên đường thẳng dẫn đến các tính chất đặc biệt mà một dãy số bất kỳ... +…+ b j = 0 2.2.2 Hệ đếm cơ số và dãy số nguyên Hệ đếm cơ số có thể dùng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất rất thú vị Nhìn trên phương diện của một cơ số khác, có thể rất khó nhận ra quy luật, nhưng nếu chọn đúng cơ số thì bài toán trở nên vô cùng đơn giản 15 Nhận xét với b là một số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2 thì mọi số nguyên dương N đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng N =... các số có nhỏ hơn hoặc bằng n chữ số Chọn các số mà trong biểu diễn tam phân của nó chỉ chứa chữ số 2 và chữ số 0 Khi đó có 2n số như vậy và không có ba số nào trong chúng lập thành một cấp số cộng Bài toán 8 (Thi HSG Singapore, 1995) Cho dãy số { f n} xác định bởi f1 = 1; f 2n = f n ; f 2n+1 = f 2n + 1 1 Tính M = max{ f1,…, f1994} 2 Tìm tất cả các giá trị n với 1 ≤ n ≤ 1994 sao cho f n = M Giải. .. x) f ( y ) )= , ∀x, y ∈ ¡ Khi đó dãy số 2 f ( x) + f ( y ) { f (un )} là một cấp số điều hòa Chứng minh Từ giả thiết bài toán dãy số { un } là cấp số cộng nên ta có un = un−1 + un+1 2 f (un−1) f (un+1) un−1 + un+1 )= Khi đó f (un ) = f ( 2 f (un−1) + f (un+1) 2 Theo định nghĩa ta có dãy số { f (un )} là một cấp số điều hòa Bài toán 21 Tìm hàm f : ¡ → ¡ + xác định và liên tục trên ¡ thỏa mãn điều ... d +nloga c s n c d c Vi c < thỡ un = d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san = sn , với n với n = sn dãy tuần hoàn : san =-sn , với n Vy nờn Nu c = 1, d thỡ khụng tn ti dóy... c thỡ d un = c d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san = sn , với n Nu c < thỡ d un = c d +nloga c s n c với n = sn dãy tuần hoàn : san =-sn , với n 47 KT LUN Ni dung