Giải một số bài toán điện động lực bằng phương pháp ảnh điện và phương pháp ảnh từ

Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ I mở đầu Điện động lực môn học nghiên cứu tợng điện từ giải thích tợng điện từ vào hệ phơng trình Mắcxoen Trong Điện động lực học, nh môn học khác khoa học Vật lý, việc giải tập quan trọng, giúp cho học sinh, sinh viên nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức cách tốt hơn, Nhng muốn giải đợc tập, cần phải có phơng pháp giải Với dạng tập, có nhiều phơng pháp giải Vì việc xây dựng lựa chọn phơng pháp giải hợp lý cho dạng tập cần thiết Trong phần trờng tĩnh điện nh phần từ trờng dòng điện không đổi điện động lực học có ba loại toán sau: Cho biết trờng ( E , ) ( B, A ), xác định phân bố điện tích ( , ) ( j , im ) tơng ứng gây chúng Cho biết phân bố ( , ) ( j , im ) xác định trờng ( E , ) ( B, A ) gây phân bố Xác định lực tơng tác F điện tích dòng điện trờng nh lợng trờng Để giải toán vận dụng nhiều phơng pháp chẳng hạn: - Phơng pháp tính trực tiếp từ định nghĩa Đây phơng pháp tổng quát nhất, song gặp nhiều khó khăn tính toán - Phơng pháp tính tích phân phơng trình Poátxông - Laplatxơ Đây phơng pháp tổng quát, áp dụng đợc cho nhiều trờng hợp Đối với trờng đợc đặc trng nhiều biến số độc lập, việc lấy tích phân đợc tiến hành theo phơng pháp tách biến Phurie-Lame - Phơng pháp dùng định lý Gauxơ định lý dòng toàn phần đợc sử dụng để tính trờng số toán có tính chất đối xứng - Phơng pháp dùng biến hình bảo giác trờng số phức: thay trờng thực trờng phức thuận tiện tính toán Vậy tùy toán cụ thể mà ta vận dụng phơng pháp hay phơng pháp khác để giải cho thuận tiện Trong loại toán loại toán thứ hai thông dụng th ờng gặp Tuy nhiên có trờng hợp yêu cầu tính trờng mà biết đầy đủ thông tin phân bố Chẳng hạn: toán xác định trờng điện tích điểm hay dòng điện gây trờng hợp điện tích đặt cạnh vật dẫn nối đất hay cô lập đặt cạnh khối điện môi trờng hợp dòng điện đặt cạnh khối từ môi Đối với loại toán đặc biệt phơng pháp giải đợc Để giải đợc cách nhanh chóng, trọn vẹn loại toán nêu dùng phơng pháp khác - phơng pháp ảnh trờng điện Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ từ Đây phơng pháp giải tập điện động lực đợc phổ biến vai trò lại không nhỏ Mặt khác, điện động lực học (đợc đa vào giảng dạy cho sinh viên năm thứ Khoa Vật lý trờng Đại học S phạm) môn học có khối lợng kiến thức lớn Vì điều kiện thời gian chơng trình nên sinh không đợc giới thiệu, đợc giới thiệu không kỹ phơng pháp ảnh Vì lý với niềm say mê nghiên cứu môn Điện động lực học, nên chọn đề tài: Giải số toán điện động lực phơng pháp ảnh điện phơng pháp ảnh từ để trình bày luận văn Hy vọng rằng, giúp sinh viên vật lý giải đợc dạng tập Điện động lực cách nhanh chóng trọn vẹn Bằng kiến thức điện đại cơng, điện động lực, giải tích, cách thu thập tài liệu tiếng Việt, tài liệu tiếng Nga có liên quan, cách học hỏi anh chị khoá trớc đặc biệt học hỏi thầy giáo hớng dẫn Nguyễn Huy Công, hoàn thành luận văn với nội dung sau: Sau phần mở đầu, luận văn trình bày sở lý thuyết phơng pháp ảnh điện từ trờng đặc biệt định lý tính nghiệm hệ phơng trình Mắcxoen (mục II) Mục III mục tóm tắt nội dung phơng pháp ảnh điện trờng Sau đó, mục IV, tuyển chọn số tập giải theo phơng pháp ảnh điện với dạng: + Xác định điện thế, cờng độ điện trờng + Xác định mật độ điện tích cảm ứng + Xác định lợng, lực tác dụng (lực điện) Tiếp theo, mục V mục VI, trình bày tóm tắt nội dung phơng pháp ảnh từ, đồng thời tuyển chọn số tập giải theo phơng pháp ảnh từ gồm dạng: + Xác định vectơ A , cảm ứng từ B + Xác định lực tác dụng (lực từ) Đây giai đoạn đầu ngời tập làm nghiên cứu khoa học, với vốn kiến thức cha thật nhiều, với vốn kinh nghiệm ít, với quỹ thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đợc quan tâm đóng góp ý kiến bạn học sinh, sinh viên, thầy cô giáo Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Huy Công - Thầy giúp đỡ nhiều kiến thức, phơng pháp nghiên cứu giới thiệu, cung cấp cho nhiều tài liệu quý giá Vinh, tháng năm 2002 Ngời thực Trịnh Ngọc Hoàng Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ II Cơ sở lý thuyết phơng pháp ảnh trờng điện từ Nếu nh ngời ta xây dựng học Niutơn dựa sở định luật Niutơn, tơng tự nh vậy, điện động lực học đợc xây dựng sở hệ phơng trình Mắcxoen Hệ phơng trình Mắcxoen hệ phơng trình điện động lực Có thể có nhiều phơng pháp khác để giải hệ phơng trình này, nhiên phơng pháp khác cho kết Cơ sở kết luận dựa vào định lý tính nghiệm toán điện động lực: Hệ phơng trình Mắc xoen luôn có nghiệm thời điểm bất kỳ, vị trí không gian chứa trờng Để chứng minh tính đơn trị nghiệm hệ phơng trình Mắcxoen, xét trờng hợp sau đây: Trờng hợp không gian khảo sát hữu hạn: Xét khoảng không gian hữu hạn đợc bao bọc mặt S khép kín chứng minh hệ phơng trình Mắcxoen cho ta nghiệm với điều kiện ban đầu điều kiện biên cho trớc Điều có nghĩa trờng điện từ hoàn toàn xác định thời điểm điểm khoảng thời gian không gian cho giá trị trờng thời điểm ban đầu biên xác định Để làm đợc điều dùng phơng pháp chứng minh phản chứng, tức ta giả thiết ngợc lại: Giả thiết hệ phơng trình Mắcxoen có hai nghiệm khác ( E1 , H1 ) ( E , H ) thoả mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên Do phơng trình tuyến tính nên hiệu nghiệm: Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ E3 = E1 E2 H = H H phải thoả mãn phơng trình Mắcxoen với điều kiện bổ sung sau đây: a) Trờng lạ không Khi ta có j = E1 ; j = E2 Suy j = j - j = E3 b) thời điểm t = điểm thể tích V đại lợng E E 2, H H có giá trị nh Nghĩa thời điểm t = điểm V ta có E = H = c) Trong toàn thời gian từ t = đến t = t1 điểm mặt S thành phần tiếp tuyến vectơ E vectơ H không (do nguyên nhân) Bây áp dụng định lý Pointing: Từ định lý Pointing: ED + BH dv = j E dv E ì H dS t V V S với V thể tích đợc bao diện tích S áp dụng cho trờng E 3, H : E3 D3 + B3 H dv = j E dv E ì H (1) 3 3 dS t V V S Kết hợp (1) với điều kiện c, ta suy toàn thời gian từ t = E ì H 3 dS = đến t = t1: (2) [ ] [ [ ] ] Do thời điểm khoảng thời gian đó: E3 D3 + B3 H j32 (3) dv = - dv t V V Vì tích phân vế phải (3) đại lợng không âm, nên E3 D3 + B3 H dv t V E3 D3 + B3 H dv Nghĩa lơng: W3 = (4) V giảm không đổi Giả sử W3 không đổi, nhng t = theo điều kiện b), lợng W3 trờng E3 , H không nên phải không toàn khoảng thời Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ gian từ t = đến t = t1 (năng lợng W3 giảm; giảm theo điều kiện b), lợng W3 mang giá trị âm, trái với (4)) Năng lợng W3 = toàn khoảng thời gian từ t = đến t = t1 có thể xảy E3 H không điểm thể tích V Điều có nghĩa hai hệ nghiệm E1 , H1 E , H toán ban đầu giả thiết khác phải đồng với Trờng hợp không gian khảo sát vô hạn Để xét không gian vô hạn nhận thấy chứng minh trờng hợp đợc lặp lại tơng tự cần thay điều kiện c) điều kiện vô hạn: Điều kiện là: [ E ì H ] giảm nhanh R (5) R Khi (5) đợc thoả mãn ta có (2), tức là: E ì H 3 dS = suy thời điểm khoảng thời [ ] gian từ t = đến t = t1: E D + B j32 3 3H3 (theo điều kiện (3)) dv = - dv t V V Lập luận tơng tự nh ta suy đợc tính đơn trị nghiệm hệ phơng trình Mắcxoen Tuy nhiên điều kiện (3) dùng cho trờng hợp trờng điện từ không đổi Nó không ứng dụng đợc cho trờng điện từ biến thiên Nh định lý tính nghiệm hệ phơng trình Mắcxoen đợc chứng minh Từ suy hệ quan trọng *Hệ Khi giải toán điện động lực dự đoán nghiệm dựa vào kiện cho ban đầu Nếu chứng minh đợc nghiệm thoả mãn yêu cầu toán đặt (nghiệm thoả mãn phơng trình Mắcxoen điều kiện biên, điều kiện ban đầu) đồng thời ta chứng minh đợc nghiệm cần tìm toán III Phơng pháp ảnh điện Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ Khi đặt điện tích gần vật dẫn nối đất hay cô lập vật dẫn xảy tợng cảm ứng tĩnh điện Kết vật dẫn xuất điện tích cảm ứng đợc xếp theo trật tự định Lúc đó, việc tính trờng tạo điện tích cho vật dẫn áp dụng đợc phơng pháp thông thờng ta cha biết đợc phân bố điện tích cảm ứng vật dẫn Trong trờng hợp ta xác định trờng phơng pháp ảnh (phơng pháp ảnh điện) Phơng pháp ảnh điện phơng pháp để xác định điện trờng đặc điểm trờng hợp cha biết rõ phân bố điện tích Theo phơng pháp này, thay xác định trờng hệ điện tích vật dẫn gây ra, ta xác định trờng tạo điện tích ảnh qua vật dẫn (điện tích ảnh) Khi vận dụng phơng pháp giải này, ta tiến hành theo lôgic sau: Chọn hệ tọa độ thích hợp (dựa vào hình dạng vật dẫn kiện toán) Dựa vào kiện cho để xác định độ lớn vị trí điện tích ảnh (hoặc đoán nghiệm) Tính trờng điện tích cho điện tích ảnh gây theo nguyên lý chồng chất điện trờng (hoặc chứng minh nghiệm dự đoán nghiệm cần tìm) Sau vận dụng phơng pháp để giải số tập phần tĩnh điện IV Một số tập điện động lực giải theo phơng pháp ảnh điện Bài IV.1: Cho điện tích điểm q mặt phẳng dẫn = Tính trờng tạo hệ đó? Biết khoảng cách điện tích mặt phẳng d Giải : y Xét trờng hệ toạ độ Đềcác, mặt phẳng x = trùng với mặt phẳng dẫn; trục Ox qua điện tích q Gọi q điện tích ảnh q Giả sử q đối xứng với q qua mặt phẳng x = Khi vô hớng điểm P(x, y, z) là: P(x, y, z) q d d q q q' + P = ( x d ) + y + z ( x + d )2 + y + z x (*) r1 = ( x d ) + y + z , r2 = ( x + d ) + y + z lần lợt khoảng cách từ điện tích cho điện tích ảnh đến điểm khảo sát Mặt khác, mặt phẳng x = = 0, đó: Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ p x =0 = q q' + d + y + z d + y2 + z2 =0 q = - q thay vào (*) ta đợc q 1 p = ( x d ) + y + z ( x + d )2 + y + z Từ ta thấy P thoả mãn + p = + + = 0, p (d, 0, 0); (-d, 0, 0) x y z + Tại x = : p = + Khi r1, r2 : = Nh điều giả sử nghiệm vừa tìm đợc mà (theo định lý tính nghiệm) Và ta tính đợc cờng độ điện trờng: +j +k E = - grad = i x y z E = xd x+d + i 3 2 2 2 ( x d ) + y + z ( x + d ) + y + z y y + + j ( x d )2 + y + z 32 ( x + d )2 + y + z 32 q [ [ z + k ( x d )2 + y + z [ ] [ ] ] ] [ ] 2 2 (x + d ) + y + z [ z ] Bài IV.2: Cho vật dẫn choán đầy nửa không gian, = điện tích điểm q nằm chân không Xác định trờng tạo hệ đó? Biết điện tích q cách mặt phẳng phân cách khoảng d Giải : y Ta khảo sát trờng hệ toạ độ Đềcác: P(x,y,z) Mặt phẳng x = trùng với mặt phẳng giới hạn; trục Ox qua điện tích q -q d O d q x + Đối với nửa không gian bên trái (x < 0) điện tích, trờng phải thoả mãn phơng trình Laplac Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ Mặt khác miền đồng Do nghiệm phơng trình Laplac = Suy E = (x < 0) + nửa không gian bên phải (x > 0): Từ vị trí điện tích q điều kiện biên nh vậy, tơng tự số ta thấy rằng: Trờng miền tơng đơng với trờng điện tích q (d, 0, 0) điện tích - q (-d, 0, 0) gây ra: q q P = r1 r2 q 1 hay P = ( x d ) + y + z ( x + d )2 + y + z Và từ suy cờng độ điện trờng miền x > 0: +j +k E = - grad = i y z x q = xd x+d + i 3 2 2 2 2 ( x d ) + y + z (x + d ) + y + z y y + + j 3 ( x d )2 + y + z 2 ( x + d )2 + y + z 2 z z + k 3 2 2 2 (x d ) + y + z (x + d ) + y + z [ ] [ [ [ ] ] [ ] ] [ ] Bài IV.3: Cho vật dẫn choán đầy 3/4 không gian, = điện tích q đặt chân không Xác định trờng tạo hệ đó? Biết vật dẫn có hai mặt phẳng giới hạn vuông góc điện tích q cách mặt phẳng khoảng a Giải: y Ta xét hệ toạ độ Đềcác: M(x,y,z) Mặt phẳng xOz yOz trùng với hai r3 r1 nửa mặt phẳng giới hạn; điện tích q nằm góc phần t thứ -q +q Từ tập trớc ta nhận thấy rằng: r4 a r2 Khi bề mặt vật dẫn mặt phẳng a x phân bố điện tích ảnh tơng tự nh ảnh điện tích cho qua gơng phẳng +q -q (là mặt phẳng dẫn) Do ta dự đoán phân bố điện tích ảnh nh ảnh điện tích cho hai mặt phẳng dẫn xOz yOz hai gơng phẳng Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ Khi vô hớng điểm M(x, y, z) thuộc góc phần t thứ là: q q q q + M = r1 r2 r3 r4 Trong đó: r1 = ( x a) + ( y a) + z r2 = ( x a) + ( y + a) + z r3 = ( x + a) + ( y a) + z r4 = ( x + a ) + ( y + a ) + z (x > 0, y > 0) khoảng cách từ điểm khảo sát đến điện tích cho ảnh Ta thấy rằng: M = 0, M trừ điểm (a, a, 0) Do điều đoán nghiệm nghiệm (theo định luật tính nghiệm) Biết M ta tính đợc cờng độ điện trờng thông qua công thức: E = - grad + miền lại đồng không, cờng độ điện trờng đồng không Bài IV.4: Cho cầu dẫn nối đất có bán kính a điện tích q nằm cách tâm cầu khoảng ( > a) Xác định trờng tạo hệ đó? Giải: Ta nhận thấy trờng hệ tạo M(r,) có tính chất đối xứng qua trục nối tâm r r1 O điện tích q Vì ta chọn hệ toạ a r2 độ cực có gốc O + Đối với miền r < a: O q q Bên cầu điện tích nên phơng trình phơng trình Laplace Nghiệm phơng trình thoả mãn điều kiện cho (quả cầu nối đất) = 0, cờng độ điện trờng miền + Đối với miền r > a: Nếu gọi q điểm (, 0) điện tích ảnh q vô hớng: M = r1 = q q' + r1 r2 r + 2rcos r2 = r + '2 2r' cos khoảng cách từ điểm khảo sát đến q ảnh q Ta xác định q dựa vào định lí Green: n qk k =1 ' k = n qk' k k =1 Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 10 k k' lần lợt vật dẫn chúng tích điện qk qk' Khi M có điện tích q cầu nối đất, ta có: q1 = q , = ; q2 = q , = Khi M điện tích cầu không nối đất tích điện q* ta có q q ' ' ' ' * q1 = , = ; q2 = q , = 4 a Theo định lý Green ta có: qq q' q + = 4 a a Suy q = - q qa q Do M = 2 2 r + ' 2r' cos r + 2rcos Mặt khác, mặt cầu 0: qa q M r =a = a + 2acos a + '2 2a' cos = 0 a Từ ta đợc = Nh bên hình cầu trờng cần xác định tơng đơng với trờng điện tích q (, 0) điện tích ảnh q (, 0) gây ra: a q q M = , với r > a 4 r + 2rcos a a r + 2r cos Từ ta xác định đợc cờng độ điện trờng theo công thức: E = - grad Bài IV.5: Giải tập IV.4 với trờng hợp vật dẫn cầu cô lập điện? Giải: Do vật dẫn cầu cô lập M(r,) điện nên tổng điện tích cầu r r1 a r2 không đổi Vì thay cầu dẫn O điện tích ảnh q điện q '2 q 1' q tích ảnh phải gồm điện tích trái dấu độ lớn để tổng chúng không đổi Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 16 hởng ứng cầu vị trí đặt điện tích q Nhng thân điện tỷ lệ với q: = const.q Vì q U = dU = const q = ' q Nếu đại lợng không phụ thuộc q (trờng hợp điện trờng ngoài) lợng tơng tác lớn gấp đôi (U = .q) Nhng trờng hợp này: U = .q Trong theo phơng pháp ảnh điện điện tích liên kết mặt cầu đợc thay điện tích ảnh q là: a a q = q vị trí = aq Do = a2 a.q = (2 a ) Do q a U=8 (2 a ) * Và lập luận tơng tự IV.10, IV.11, theo phơng pháp ảnh điện lực tác dụng lên điện tích q lực tơng tác điện tích q điện tích ảnh q theo định luật Culông: a q. q F = a2 Suy q a F= (2 a ) Bài IV.13: Tính lực tác dụng lên điện tích q IV.5? Giải: Điện trờng vật dẫn điện tích a q tạo hoàn toàn tơng đơng với điện trờng điện tích q điện tích ảnh q 1' , q '2 tạo Vì lực vật ' q2 q 1' dẫn tác dụng lên điện tích q q Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 17 lực điện tích ảnh q 1' , q '2 tác dụng lên điện tích q theo định luật Culông: F = F1 + F2 + Lực q 1' tác dụng lên q có độ lớn: q.q1' F1 = ( ' ) = a q q a2 q a F1 = lực hút (2 a ) + Lực q '2 tác dụng lên q có độ lớn a q q ' F2 = q.q2 = 02 q 2a F2 = lực đẩy 03 a a ; q '2 = q ; = a đợc xác định IV.5 phơng pháp ảnh điện Do điện tích q bị hút lực có độ lớn: q 2a F = F1 - F2 = (2 a ) Trong q 1' = - q aq (2 a ) F = (2 a ) Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 18 V Phơng pháp ảnh từ Khi đặt dòng điện gần mặt giới hạn hai môi trờng (từ môi) từ môi có tợng từ hoá xảy Kết từ môi có xếp lại dòng điện nguyên tử cho mô men từ dòng điện đợc xếp lại theo phơng trờng Lúc đó, việc tính trờng tạo dòng cho có mặt khối từ môi áp dụng đợc phơng pháp thông thờng ta biết đợc phân bố dòng nguyên tử khối từ môi Trong trờng hợp ta xác định trờng phơng pháp ảnh (phơng pháp ảnh từ) Cũng tơng tự nh phơng pháp ảnh điện, phơng pháp ảnh từ phơng pháp để xác định từ trờng trờng hợp cha biết thông tin phân bố Theo phơng pháp này, thay xác định trờng hệ dòng điện từ môi gây ra, ta xác định trờng dòng điện cho dòng điện ảnh gây Khi vận dụng phơng pháp này, ta tiến hành theo lôgic sau: Chọn hệ tọa độ thích hợp (dựa vào dạng hình học khối từ môi kiện toán) Dựa vào kiện cho để xác định vị trí cờng độ dòng điện ảnh (hoặc dự đoán nghiệm) Tính trờng dòng điện cho dòng điện ảnh gây theo nguyên lý chồng chất từ trờng (hoặc hợp lý hoá nghiệm vừa đoán chứng tỏ nghiệm cần tìm) Sau vận dụng phơng pháp để giải số tập phần từ trờng dòng điện không đổi VI Một số tập điện động lực giải theo phơng pháp ảnh từ Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 19 Bài VI.1: Cho khối từ môi có độ từ thẩm chiếm đầy nửa không gian nửa không gian bên có dòng điện thẳng dài vô hạn cờng độ I đặt song song cách mặt phẳng biên khoảng a Dòng điện đặt chân độ từ thẩm à0 Xác định trờng dòng điện khối từ môi tạo ra? Giải: Ta khảo sát trờng hệ toạ độ y Đềcác: Chọn mặt phẳng x = trùng với bề mặt khối từ môi, trục x hớng à0 M(x,y) môi trờng à0 vuông góc với R R1 dòng, trục z song song với dòng I (nh hình vẽ) I a O a I x Từ cách chọn hệ toạ độ nh vậy, ta thấy: Ax = Ay = A = Az Thế A = Az phải thoả mãn: + Trong miền x > 0: Thế phải thoả mãn phơng trình Laplace A1 = với x > trừ điểm (a, 0) + Trong miền x < 0: Thế phải thoả mãn phơng trình Laplace: A2 = với x < Theo phơng páhp ảnh từ: + Từ trờng miền x > tơng đơng với từ trờng dòng I ảnh I tạo + Từ trờng miền x < tơng đơng với từ trờng dòng ảnh I tạo (Lu ý: Dòng ảnh không nằm miền không gian khảo sát) Mặt khác, biết vectơ dòng điện thẳng dài vô hạn cờng độ I gây điểm cách đoạn r có dạng: àI A= lnr + C (C = const) Do ta suy nghiệm cần tìm có dạng: à0 I à0 I ' ( x > 0) A1 = ln R1 ln R2 A2 = àI " ln R1 ( x < 0) Trong R1 = ( x a ) + y R2 = ( x + a ) + y khoảng cách từ dòng cho ảnh đến điểm khảo sát trờng I = k1I; I = k2I Ta xác định k1, k2 dựa vào điều kiện: + Điều kiện liên tục A mặt giới hạn: = A2 x=0 x=0 + Điều kiện biên vectơ cờng độ từ trờng: A1 (1) Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 20 H1t - H2t = (2) àkI à0 I ln ( x a ) + y ln ( x a) + y (1) = x=0 àk I = ln ( x a ) + y x=0 à0(1 + k1) = àk2 (1) B1t B2t = (2) à0 Trong toạ độ Đềcác: A A A A A A B = [ A] = i z y + j x z + k y x z z x x y y mà Ax = Ay = Az Az B =i j = i Bn + j Bt y x A Bt = x (thành phần tiếp tuyến B ) x Suy A1 à0 I B1t = = x x = = ( x a) ( ( x a) + y ) + k1 ( ( x + a ) + y x = ( x + a) ) Ia (-1 + k1) (a + y ) A2 àk I ( x a) àk Ia B2t = = = x x = ( x a) + y (a + y ) x=0 Từ suy ra: Ia 1 àk Ia ( + k ) = (a + y ) (a + y ) ( ) -1 + k1 = - k2 (2) Từ (1) (2) suy hệ: à0(1 + k1) = àk2 - + k1 = - k2 Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 21 à0 k1 = + k = 2à + Do ta viết đợc dạng tờng minh vectơ: à0 I à0 à0 I 2 2 A = ln ( x a ) + y ln ( x + a ) + y ( x > 0) + A = àI ln ( x a ) + y ( x < 0) + Từ xác định đợc trờng B theo biểu thức: Az Az i j B = [ A ] = y x Ta đợc: I à0 y y i + B1M = 2 2 + ( x a ) + y ( x + a ) + y xa à0 x+a - j + 2 2 + ( x a ) + y ( x + a ) + y y xa B2 M = àI i j 2 2 + ( x a) + y ( x a) + y Từ biểu thức cảm ứng từ ta thấy thoả mãn phơng trình Mắcxoen: B 1M = B2 M = Theo định lý tính nghiệm, ta khẳng định biểu thức tìm đợc nghiệm xác định trờng cần tìm Bài VI.2: Từ giả thiết VI.1 Hãy xác định lực tơng tác dòng điện cho khối từ môi? Giải: Do từ trờng miền x > tạo hệ (dòng I, khối từ môi) hệ (dòng I, ảnh I) tơng đơng Nên lực tơng tác dòng I khối từ môi lực tơng tác dòng I dòng I: I I' F= lực tơng tác đơn vị độ dài 2a à0 I à0 I F = 4a + Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 22 F = à0 à0 I + 4a Bài VI.3: Cho khối từ môi có dạng hình trụ thẳng dài vô hạn bán kính a, độ từ thẩm Môi trờng xung quanh chân không Một dòng điện thẳng dài vô hạn chạy chân không song song với trục hình trụ cách khoảng Xác định từ trờng tạo hệ? Giải: Ta khảo sát trờng hệ toạ M(r,) r R1 độ trụ (r,, z) Chọn trục z trùng R2 với trục khối từ môi (nh hình vẽ) Trong trờng hợp này: a I Vì khối từ môi I I I dòng nên dòng ảnh thay phải à0 gồm dòng thoả mãn: I + I = (1) Từ cách chọn hệ toạ độ nh ta thấy: Ar = A = ; A = Az Do A = Az có dạng: à0 I à0 I ' à0 I " A = ln R ln R ln r (r > a ) 1 2 A2 = àI ' " ln R1 (r < a) đó: R1 = r + 2rcos ; R2 = r + '2 2r' cos I = k1I ; I = k2I ; I = k3I a2 = Từ (1) k1I + k2I = k1 + k2 = (1) Mặt khác, dòng ảnh phải thoả mãn điều kiện biên: A1 = A2 r=a r=a H1t = H2t (2) (3) Từ điều kiện (2): I a4 a2 2 A1 = ln a + 2acos + k1 ln a + 2a cos + k ln a r=a à0 I a 2 a + 2acos + k ln a ln a + 2acos + k1 ln Kết hợp với (1) ta đợc: = Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 23 A1 r=a à0 I I ln a + 2acos (1 + k1 ) + k1 ln 2 = àI k3 ln a + 2acos r=a Do tính chất vectơ: Có vô số vectơ A sai khác gradien hàm vô hớng xác định từ trờng B Nên để đơn giản ta chọn: I A1' = A1 k1 ln ' =A A2 * = A2 Khi điều kiện biên vectơ trở thành: A1' r=a = A2' r=a à0 I àI ln a + 2acos (1 + k1 ) = k3 ln a + 2acos 2 à0(1 + k1) = àk3 (2) B1t B2t = * Đối với điều kiện (3): à0 Trong toạ độ trụ: A A A A A A = z er + r z e + (rA ) r ez r z r r r z [ ] mà Ar = A = Suy ra: +) [ ] Az Az B = A = er e = er Bn + e Bt r r A Bt = z thành phần tiếp tuyến vectơ B r A B1t = = r r = a = à0 I r cos r ' cos + k1 + k2 2 2 r + 2rcos r r = a r + ' 2r' cos a2 vào biểu thức ta đợc: I a cos B1t = (1 k1 ) a + 2acos Thay k2 = - k1 = Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 24 A2 àI r cos = k3 r r = a r + 2rcos r = a àI a cos = k3 a + 2acos +) B2t = Do đó: B1t B2t = (1 - k1) = k3 (3) à0 Từ (1), (2), (3) ta đợc hệ k1 + k2 = à0(1 + k1) = àk3 - k1 = k3 à0 k1 = + à0 k2 = + à0 2à0 k3 = + à0 Từ ta có dạng tờng minh vectơ Và từ xác định đợc B : B = rotA = ì A [ ] Bài VI.4: Cho giả thiết nh VI.3 Hãy xác định lực tơng tác dòng cho khối từ môi đơn vị độ dài Giải: Vì từ trờng dòng I khối từ môi tạo miền r > a tơng đơng với từ trờng dòng I dòng ảnh I, I tạo miền Nên lực tơng tác I khối từ môi lực tơng tác I, I với I: F = FI,I + FI, I à0 I ' I à0 I à0 I à0 = = 2 FI, I = ( ' ) a + ( a ) + FI, I Suy à0 I " I à0 I à0 = = 2 + F= I à0 I à0 + (2 a ) + Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 25 à0 I a ( à0 ) F= 2(2 a )( + ) Bài VI.5: Một khối từ môi chiếm toàn không gian Trong có khoang rỗng hình trụ dài vô hạn bán kính a Trong khoang đặt dòng điện mảnh cờng độ I song song cách trục hình trụ khoảng ( < a) Biết độ từ thẩm khối từ môi Hãy xác định từ trờng hệ tạo ra? Giải: Ta khảo sát trờng hệ toạ M(r,) độ trụ (r,,z) Chọn trục z trùng r R2 với trục khoang trụ (nh hình vẽ) R1 Do khoang rỗng có dòng I I nên dòng ảnh thay phải a I I I thoả mãn: I + I = I (1) à0 với cách chọn hệ toạ độ nh ta thấy: Ar = A = A = Az Thế A = Az có dạng: à0 I à0 I ' A = ln R ln R (r < a ) 1 2 A2 = àI " ln R1 àI " ' ln R (r > a) 2 Hay A = Az = à0 I à0 I 2 2 A1 = ln r + 2rcos k1 ln r + ' 2r' cos , ( r < a) = A2 = k àI ln r + 2rcos k3 àI ln r (r > a) 2 a2 = Từ điều kiện (1) k2I + k3I = I k2 + k3 = (1) Mặt khác, dòng ảnh phải thoả mãn điều kiện biên: A1 = A2 r=a r=a H1t = H2t (2) (3) * Xét điều kiện (2): I a4 a2 2 = A1 ln a + 2acos + k1 ln a + 2a cos r=a Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 26 à0 I a 2 2 a + 2acos ln a + 2acos + k1 ln I I a = (1 + k1 ) ln a + 2acos k1 ln 2 àI àI = A2 k ln a + 2acos k3 ln a r=a 2 Vì có vô số vectơ A sai khác građien hàm vô hớng xác định trờng B Nên ta chọn: à0 I a ' (r > a ) A1 = A1 + k1 ln A2' = A2 + àI k3 ln a (r > a) Khi điều kiện biên vectơ trở thành = A1' r=a = A2' r=a I àI 2 k ln a + 2acos (1 + k1 ) ln a + 2acos = 2 à0(1 + k1) = àk2 (2) B1t B2t = * Điều kiện (3) à0 Trong hệ toạ độ cầu, với A = Az thì: Bt = - Az r A1 I r cos r ' cos = + k1 2 r r = a r + 2rcos r + ' 2r' cos r = a à0 I = ( a cos ) + k cos a + 2acos a A + B2t = r r = a + B1t = àI r cos + k3 k2 2 r + 2rcos r r = a àI = k ( a cos ) + ( k ) a + cos 2 a + 2acos a = Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 27 B1t B = 2t à0 2 (a - cos) + k1 cos = a + 2cos + k cos a a a k1 + k2 = (3) Từ (1), (2), (3) ta đợc hệ: à0 k1 = + k2 + k3 = à0(1 + k1) = àk2 2à0 k2 = + à0 k1 + k2 = à0 k3 = + à0 Do ta biết đợc dạng tờng minh vectơ A Và từ xác định đợc trờng thông qua biểu thức: B = rot A = ì A [ ] Bài VI.6: Cho giả thiết nh VI.5 Hãy xác định lực tơng tác dòng điện khối từ môi đơn vị chiều dài? Giải: Vì trờng dòng I cho khối từ môi tạo miền r < a tơng đơng với từ trờng dòng I ảnh I tạo miền Nên tơng tác I khối từ môi tơng tác I ảnh I nó: à0 I ' I à0 I à0 = F = (') a2 + à0 I 2( ) F = (a )( + ) Bài VI.7: Hai khối từ môi à1, à2 chiếm đầy hai nửa không gian môi trờng à1 có vòng điện mảnh, tròn phẳng có cờng độ I Vòng điện có bán kính a đợc đặt song song với mặt phẳng giới hạn hai môi trờng cách khoảng h Xác định từ trờng hệ tạo ra? Giải: Ta khảo sát trờng hệ toạ độ a trụ (r,,z) Chọn trục z qua tâm I à2 vòng điện vuông góc với mặt phẳng biên Gốc toạ độ O trùng với R2 giao điểm trục z mặt phẳng O biên (nh hình vẽ) Khi từ trờng x hệ tơng đơng với từ trờng tạo z r M(r,,z) dòng I ảnh y h a Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 28 R1 Từ cách chọn nh ta thấy: Az = Ar = A = A = A(r,z) (do t/c đối xứng quanh trục) à1 a I I Thế A = A có dạng: I d d' A1 = + k1 ( ) R1 R ( ' ) A = I k d R ( ) d z ( z > 0) ( z < 0) Theo hình vẽ ta thấy: d = d = a.d R1 = ( z h) + a + r 2ar cos R2 = ( z + h) + a + r 2ar cos Suy ra: 2 àI d d A1 = a + k1 ( z h) + a + r 2ar cos ( z + h) + a + r 2ar cos à2 I d a.k ( z < 0) A2 = ( z h) + a + r 2ar cos Ta xác định k1, k2 dựa vào điều kiện biên: (1) = A2 z=0 z=0 H1t = H2t (2) à1I d a (1 + k1 ) * Điều kiện (1) = 2 h + a + r 2ar cos A1 à2 I d a k2 = 2 h + a + r 2ar cos à1(1 + k1) = à2k2 (1) B1t B2t = * Điều kiện (2) à1 à2 Vì Ar = Az = nên toạ độ cầu: A B = ì A = er + (rA )ez = Bt er + Bn ez r z r r Suy thành phần tiếp tuyến B [ ] ( z > 0) Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 29 A r z A1 +) B1t = = r z z = Bt = - à1I = a r z ( z h) + a + r 2ar cos + k1 z ( z + h) + a + r 2ar cos = d + d z=0 à1I ah(1 + k1 ) (h + a + r 2ar cos )d r +) B2t = A2 = r z z = à2 I d = a k2 2 r z ( z h) + a + r 2ar cos z=0 à2 I = ah k2 (h + a + r 2ar cos )d r Từ suy ra: B1t B2t = - + k1 = - k2 (2) à1 à2 Kết hợp (1) (2) ta đợc: à1 k = + à1 k1 = 2à1 + à1 Từ ta xác định đợc trờng theo biểu thức: B = rotA = ì A à1(1 + k1) = à2k2 - + k1 = - k2 [ ] Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 30 Tài liệu tham khảo Đào Văn Phúc: Điện động lực học, Nxb Giáo dục, 1984 Nguyễn Văn Thoả: Điện động lực học, Tập I, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1982 Thông báo nghiên cứu khoa học, Phần vật lý, Hội đồng khoa học Vật lý trờng ĐHSP Vinh, 1982 Nguyễn Huy Công: Bài tập điện động lực, Trờng ĐHSP Vinh, 1977 V.V Batgin, I.N Toptgin: Tuyển tập tập điện động lực học, Ngời dịch Vũ Thanh Khiết - Nguyễn Phúc Thuần, Nxb Giáo dục, 1980 Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Phúc Thuần: Điện học, Nxb Giáo dục, 1992 Lơng Duyên Bình: Vật lý đại cơng, Tập II, Nxb Giáo dục, 1996 Nguyễn Hữu Mình số tác giả khác: Bài tập Vật lý lý thuyết, Nxb Giáo dục, 1983 .: , , , 1976 [...]... số bài tập phần từ trờng của dòng điện không đổi VI Một số bài tập điện động lực giải theo phơng pháp ảnh từ Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 19 Bài VI.1: Cho khối từ môi có độ từ thẩm à chiếm đầy nửa không gian ở nửa không gian bên kia có một dòng điện thẳng dài vô hạn cờng độ I đặt song song và cách mặt phẳng biên một khoảng a Dòng điện đặt trong chân... Green) Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 15 Bài IV.10: Xác định lực tác dụng giữa điện tích điểm q và mặt phẳng dẫn cho ở bài IV.1? Giải: Vì điện trờng do điện tích q và mặt phẳng dẫn gây ra hoàn toàn tơng đơng với điện trờng do điện tích q tại (d, 0, 0) và điện tích ảnh -q tại (d,0,0) gây ra Do đó lực tác dụng giữa điện tích q và mặt phẳng dẫn cũng bằng. .. 2a F2 = là lực đẩy 4 03 2 a a ; q '2 = q ; = a đã đợc xác định ở bài IV.5 bằng phơng pháp ảnh điện Do vậy điện tích q bị hút bởi một lực có độ lớn: q 2a 1 F = F1 - F2 = 4 0 (2 a 2 ) 2 3 Trong đó q 1' = - q aq 2 4 (2 a 2 ) 2 F = 4 0 3 (2 a 2 ) 2 Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 18 V Phơng pháp ảnh từ Khi đặt một dòng điện gần mặt... bằng lực tác dụng giữa điện tích q và điện tích ảnh - q theo định luật Culông 1 q2 F = 4 0 (2d ) 2 q2 F= 16 0 d 2 hay Bài IV.11: Tính lực tác dụng lên điện tích điểm q đã cho trong bài số IV.6? Giải: Theo phơng pháp ảnh điện: Điện trờng do hệ điện môi 1, 2 và điện tích điểm q tạo ra tơng đơng với điện trờng do điện tích điểm q và điện tích ảnh q gây ra Do đó lực tác dụng lên điện tích q chính bằng lực. .. chính là lực tơng tác giữa dòng I và dòng I: à I I' F= 0 là lực tơng tác trên một đơn vị độ dài 2 2a à0 I à à0 I F = 4a à + à 0 Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 22 F = à à0 à0 I 2 à + à 0 4a Bài VI.3: Cho một khối từ môi có dạng một hình trụ thẳng dài vô hạn bán kính a, độ từ thẩm của nó là à Môi trờng xung quanh là chân không Một dòng điện thẳng... vật ' q2 q 1' dẫn tác dụng lên điện tích q chính q Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 17 bằng lực do các điện tích ảnh q 1' , q '2 tác dụng lên điện tích q theo định luật Culông: F = F1 + F2 + Lực do q 1' tác dụng lên q có độ lớn: q.q1' 1 F1 = 4 ( ' ) 2 0 = a q q 1 2 4 0 a2 q 2 a F1 = là lực hút 4 0 (2 a 2 ) + Lực do q '2 tác dụng lên q có... tâm quả cầu một khoảng Hệ đợc đặt trong chân không Giải: * Khi tăng điện tích q một lợng dq thì năng lợng tơng tác của nó với quả a cầu tăng lên một lợng O q F q dU = dq ở đây là điện thế của điện tích Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 16 hởng ứng trên quả cầu tại vị trí đặt điện tích q Nhng bản thân điện thế này tỷ lệ với q: = const.q Vì vậy q U =... đó R1 = ( x a ) 2 + y 2 và R2 = ( x + a ) 2 + y 2 là khoảng cách từ dòng đã cho và ảnh của nó đến điểm khảo sát của trờng và I = k1I; I = k2I Ta xác định k1, k2 dựa vào các điều kiện: + Điều kiện liên tục của thế A tại mặt giới hạn: = A2 x=0 x=0 + Điều kiện biên của vectơ cờng độ từ trờng: A1 (1) Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 20 H1t - H2t = 0 (2)... có thể xác định trờng bằng phơng pháp ảnh (phơng pháp ảnh từ) Cũng tơng tự nh phơng pháp ảnh điện, phơng pháp ảnh từ là phơng pháp duy nhất để xác định từ trờng trong trờng hợp cha biết các thông tin về sự phân bố Theo phơng pháp này, thay vì xác định trờng do hệ dòng điện và từ môi gây ra, ta đi xác định trờng do dòng điện đã cho và các dòng điện ảnh gây ra Khi vận dụng phơng pháp này, ta tiến hành.. .Giải một số bài toán điện động lực bằng ph ơng pháp ảnh điện và ph ơng pháp ảnh từ 11 Gọi q 1' và q '2 là hai điện tích ảnh của q Bằng cách sử dụng nguyên lý tơng hỗ nh ở bài 4 ta có: q 1' = - q Thế tại điểm M(r, ) là: a ; q '2 = q a 1 q q1' q2' + + M = 4 0 r1 r2 r 1 q a q a q = + 4 0 r1 r2 r Vận dụng kết quả bài IV.4 ta đợc: M q 1 a 1 a q + ... phơng pháp để giải số tập phần từ trờng dòng điện không đổi VI Một số tập điện động lực giải theo phơng pháp ảnh từ Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 19 Bài VI.1:.. .Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ từ Đây phơng pháp giải tập điện động lực đợc phổ biến vai trò lại không nhỏ Mặt khác, điện động lực học (đợc đa vào giảng... a ) Giải số toán điện động lực ph ơng pháp ảnh điện ph ơng pháp ảnh từ 18 V Phơng pháp ảnh từ Khi đặt dòng điện gần mặt giới hạn hai môi trờng (từ môi) từ môi có tợng từ hoá xảy Kết từ môi