Phương pháp quy hoạch động và một số bài toán điển hình

Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Lời nói đầu Theo nghĩa đó, xem máy tính nh công cụ để giải toán khái niệm toán đợc quan niệm cách mềm dẻo bao gồm toán hiểu theo nghĩa tuý toán học nh trờng hợp riêng Nói cách đơn giản, ta đồng việc giải toán với việc làm việc ®ã b»ng m¸y tÝnh Nh vËy, häc sư dơng m¸y tính thực chất học cách làm thể giao cho máy tính làm đợc việc mà ta muốn làm Cần ý máy tính vật vô tri vô giác, thông minh máy tính thể thông minh ngời sử dụng Cùng loại máy tính, chất lợng khai thác công cụ khác ngời Vậy giao cho máy điều cần làm? Nói vắn tắt việc lập chơng trình cho máy tính Mỗi chơng trình nhằm mục đích giải toán đó, mục đích phải đợc thể thành dÃy thao tác mà máy thực đợc Việc viết mệnh lệnh để giao cho máy thực đợc gọi việc lập trình cho máy tính Ngời lập trình chuyển lời giải toán thành lệnh cho máy thực Quá trình gồm giai đoạn - Xác định rõ toán cần giải - Xây dựng thuật toán - Viết chơng trình - Thử hiệu chỉnh chơng trình - T liệu hoá chơng trình Mặc dù không tồn phơng pháp vạn giúp ta xây dựng đợc thuật toán giải vấn đề, nhng nhà nghiên cứu đà tìm số phơng pháp xây dựng thuật toán Mỗi phơng pháp áp dụng để giải phạm vi khả rộng toán Có nhiều phơng pháp chiến lợc xây dựng thuật toán nh: Chia- để - trị, phơng pháp tham ăn, quay lui, nhánh cận, Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình quy hoạch động Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp mình, muốn đợc tìm hiểu phơng pháp xây dựng thuật toán phơng pháp Quy hoạch động giải số toán điển hình - đợc ứng dơng rÊt nhiỊu thùc tÕ §Ĩ cã thĨ thùc đợc đề tài này, đà đợc hởng dẫn nhiệt tình thầy giáo Trần Xuân Hào, ủng hộ bạn lớp Tôi xin cảm ơn thầy bạn nhiều Có thể nói, trình thực đề tài đà cố gắng Do đó, kết đạt đợc đáng đợc ghi nhận nhng chắn không tránh khỏi thiếu sót, vấn đề cha làm đợc Rất mong đợc dạy bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn Một lần nữa, xin cảm ơn thầy cô giáo bạn nhiều Vinh, ngày 05 tháng 05 năm 2004 Sinh viên thực hiện: Tô Hữu Hùng Lớp 41B1-CNTT Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Tóm tắt Chơng I Thuật toán phơng ph¸p thiÕt kÕ phỉ dơng I.1 Mét sè kh¸i niƯm I.1.1 Khái niệm thuật toán I.1.1.1 Sơ lợc lịch sử I.1.1.2 Khái niệm toán tÝnh to¸n I.1.1.3 Kh¸i niƯm tht to¸n I.1.1.4 Më réng khái niệm thuật toán I.1.2 Xây dựng thuật toán I.1.2.1 Quan niệm thuật toán I.1.2.2 Mô tả thuật toán I.1.2.3 Hiệu thuật toán I.2 Một số phơng ph¸p thiÕt kÕ tht to¸n phỉ dơng I.2.1 Chia - để trị I.2.2 Phơng pháp tham ăn I.2.3 Phơng pháp quay lui I.2.4 Phơng pháp nhánh cận Chơng II Phơng pháp Quy hoạch động II.1 Nội dung phơng pháp II.2 Các bớc thực Quy hoạch động II.3 Hạn chế Quy hoạch động Chơng III Một số toán điển hình III.1 DÃy không giảm dài nhÊt III.2 D·y chung dµi nhÊt cđa hai d·y số nguyên III.3 Xếp hàng mua vé III.4 Di chuyển từ tây sang đông III.5 Bài toán xếp đồ vật vào Ba lô III.6 Tìm đờng ngắn thành phố Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Mục lục Trang Lời nói đầu Tóm tắt đề tài Chơng I Thuật toán phơng ph¸p thiÕt kÕ phỉ dơng I.1 Mét sè kh¸i niệm I.1.1 Khái niệm thuật toán I.1.1.1 Sơ lợc lịch sử I.1.1.2 Khái niệm toán tính toán I.1.1.3 Khái niệm tht to¸n I.1.1.4 Më réng kh¸i niƯm tht to¸n I.1.2 Xây dựng thuật toán I.1.2.1 Quan niệm thuật toán I.1.2.2 Mô tả thuật toán 11 I.1.2.3 Hiệu thuật toán 12 I.2 Một số phơng pháp thiết kế thuật toán phổ dụng 13 I.2.1 Chia - để trị 13 I.2.2 Phơng pháp tham ăn 14 I.2.3 Phơng pháp quay lui 15 I.2.4 Phơng pháp nhánh cận 18 Chơng II Phơng pháp Quy hoạch động 21 II.1 Nội dung phơng pháp 21 II.2 Các bớc thực Quy hoạch động 23 II.3 Hạn chế Quy hoạch động 24 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Chơng III Một số toán điển hình 26 III.1 DÃy không giảm dài 26 III.2 D·y chung dµi nhÊt cđa hai d·y sè nguyên 29 III.3 Xếp hàng mua vé 33 III.4 Di chuyển từ tây sang đông 36 III.5 Bài toán xếp đồ vật vào Ba lô 40 III.6 Tìm đờng ngắn thành phố 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Chơng I Thuật toán phơng ph¸p thiÕt kÕ phỉ dơng I.1 Mét sè kh¸i niƯm I.1.1 Khái niệm thuật toán I.1.1.1 Sơ lợc lịch sử Thuật toán đà đợc biết đến từ lâu Bản thân thuật ngữ Thuật toán (Algorithm) viết tắt tên nhà toán học kỷ thø IX: Abu Ja’fa Mohammed ibn Musa alKhowarizmi Kh¸i niƯm thuật toán có lịch sử phát triển lâu dài Chóng ta h·y ®iĨm qua mét sè mãc quan träng ã Đầu tiên, thuật toán đợc hiểu nh quy tắc thực phép tính số học với số đợc viết hệ đếm thập phân ã Euclid đề xuất thuật toán để tìm ớc sè chung lín nhÊt cđa hai sè GCD(x,y) • Hibert vào năm 1900 đà đề xuất vấn đề hóc búa cho cộng đồng nhà toán học: HÃy xây dựng thủ tục mà theo sau số hữu hạn phép toán xác định đa thức có nghiệm nguyên hay không Vấn đề đợc biết dới tên gọi Bài toán thứ 10 Hibert ã Chúng ta có ví dụ thuật toán, nhng cha có định nghĩa hình thức thể thuật toán Để chứng minh không tồn thuật toán giải toán tính toán, ta cần có định nghĩa hình thức thuật toán ã Năm 1936, hai nhà toán học Turing Church ngời đà đề xuất mô hình tính toán riêng, mà sau đợc chứng minh tơng đơng ã Bài toán tính dừng (halting problem) toán nghiệm nguyên đa thức (Integer Root Problem) đà đợc chứng minh toán thuật toán giải ã Sự xuất máy tính điện tử động lực thúc đẩy phát triển mạnh mẽ nhà nghiên cứu sở lý thuyết khoa học máy tính nói chung thuật toán độ phức tạp tính toán nói riêng Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình I.1.1.2 Khái niệm toán tính toán (Computational Problem) Một cách không hình thức, toán tính toán ánh xạ từ tập đầu vào vào tập đầu định Chẳng hạn, đầu vào đa thức nhiều biến P đầu giá trị nguyên biến số mà đa thức nhận giá trị Ta nói thuật toán hay máy giải đợc toán liệu vào có thể, dừng đa đầu toán Trong cách trình bày hình thức khái niệm độ phức tạp tính toán, ngời ta giả thiết đầu vào lẫn đầu xâu nhị phân {0, 1}n Định nghĩa Bài toán tính toán F ánh xạ từ tập xâu nhị phân độ dài hữu hạn vào tập xâu nhị phân độ dài hữu hạn: F: {0, 1}* {0, 1}* Một vấn đề quan trọng trớc muốn xử lý đầu vào xâu nhị phân, tìm cách biểu diễn chúng dới dạng xâu Ta dùng xâu để biểu diễn đối tợng nh đa thức, đồ thị, ôtômat, ngôn ngữ, âm thanh, hình ảnh , nh tố hợp đối tợng Ví dụ ã Mỗi số nguyên x biểu diễn dới dạng xâu nhị phân cách viết hệ đếm nhị phân ã Hệ phơng trình tuyến tính Ax = b biểu diễn dới dạng xâu ghép nối xâu biểu diễn nhị phân thành phần ma trận A vectơ b ã Đồ thị biểu diễn ma trận kề ã Đa thức biÕn: P(x) = a0 + a1x + +anxn, hoµn toàn xác định dÃy số n, a0, a1, , an, mà để biểu diễn dÃy số sử dụng xâu nhị phân Máy turing cài đặt để giải mà biểu diễn này, thực đợc thao tác mà ta đòi hỏi Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Ta dùng để ký hiệu mà hoá biểu diễn đối tợng O dới dạng xâu Nếu có nhiều đối tợng O1, O2, , On cần biểu diễn ta dùng ký hiệu Tất nhiên, việc mà hoá đối tợng thực nhiều cách Tuy nhiên việc chọn cách biểu diễn hợp lý có ý nghĩa quan trọng việc xử lý đối tợng Chẳng hạn, không nên biểu diễn đồ thị nh danh sách tất đờng có I.1.1.3 Khái niệm thuật toán Định nghĩa Thuật toán hệ thống chặt chẽ rõ ràng quy tắc nhằm xác định dÃy thao tác đối tợng, cho sau số hữu hạn bớc thực thao tác, ta đạt đợc mục tiêu định trớc Các đặc trng thuật toán ã Tính xác định: Mỗi bớc thuật toán, thao tác phải rõ ràng Không thể gây nên nhập nhằng, lẫn lộn, tuỳ tiện Nói cách khác điều kiện, hai bé xư lý cïng thùc hiƯn mét bíc cđa tht toán phải có kết ã Tính hữu hạn dừng: Một thuật toán phải dừng lại sau số hữu hạn bớc ã Tính đắn: Sau thực tất lệnh thuật toán ta phải đợc kết mong muốn, kết thờng đợc xác định theo định nghĩa cho trớc ã Tính phổ dụng: Thuật toán giải toán lớp toán, có nghĩa thuật toán làm việc với liệu khác nhau, miền xác định dẫn đến kết mong muốn ã Tính có đại lợng vào ra: Khi bắt đầu, thuật toán nhận đại lợng vào mà ta thờng gọi liệu vào, liệu vào thờng lấy từ tập xác định cho trớc Sau kết thúc, thuật toán cho Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình ta số đại lợng tuỳ theo chức mà thuật toán đảm nhiệm, chúng thờng đợc gọi liệu ã Tính hiệu quả: Tính hiệu thuật toán đợc đánh giá dựa tiêu chuẩn sau - Dung lợng nhớ cần có - Số phép toán cần thực - Thời gian cần thiết để chạy - Có dễ hiểu ngời không? - Có dễ cài đặt máy không? I.1.1.4 Mở rộng khái niệm thuật toán Để giải toán máy tÝnh chóng ta thêng ph¶i cã mét quan niƯm réng rÃi thuật toán Cụ thể lu ý đến đặc điểm sau ã Không cần xác định toàn lời giải thao tác theo bớc cách xác, đơn vị rõ ràng Thay vào cần cách chuyển từ bớc giải i tới bớc giải tiếp i+1, tìm cách cắt nhỏ toán thành toán con, thuật toán Đệ quy quan trọng để giải toán tổng quát ã Có nhiều toán cách giải cách giải chấp nhận đợc hạn chế thời gian chạy kích thớc nhớ Nhng chấp nhận kết gần tồn nhiều cách giải đỡ phức tạp có hiệu hơn, thuật toán Heuristic giải toán gần I.1.2 Xây dựng thuật toán I.1.2.1 Quan niệm thuật toán Nh đà nói trên, việc cho toán có nghĩa cho input output Việc giải toán có nghĩa tìm cách xuất phát từ input tìm đợc output theo yêu cầu toán đà đề công việc ta muốn giao cho máy tính làm Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Chính vậy, ta quan tâm đến phơng pháp hiệu để xuất phát từ input toán, ta dẫn đợc output cần thiết Một phơng pháp hiệu để giải toán việc xác định tờng minh output theo input trình bao gồm tập hợp hữu hạn thao tác đơn giản đợc xếp theo trình tự xác định cho theo đó, từ input ta nhận đợc output cần tìm khẳng định output nh toán đòi hỏi Về mặt thuật ngữ, ta gọi trình nh thuật toán (algorithm) Đó quan niệm trực quan thuật toán Nh vậy, giải toán xây dựng thuật toán toán Nói cụ thể hơn, việc giải toán P việc xây dựng tập hữu hạn thao tác đơn giản đợc xếp theo trình tự xác định cho sau hoàn thành dÃy thao tác đó, ta thu đợc output P Chỉ dÃy thao tác nh có khả chuyển giao cho máy tính thực đợc Toán học cần nghiên cứu định tính kết có đợc theo hớng nghiên cứu đÃ, có vị trí xứng đáng toán học nói riêng khoa học nói chung Tuy nhiên, khuôn khổ tin học, nói đến việc giải toán, ta quan tâm đến phơng pháp hiệu để xuất phát từ input toán, dẫn đợc output cần thiết Trong trình nghiên cứu giải toán theo nghĩa nêu trên, toán học đà diẽn trình phát triển đầy kịch tính Cho tới đầu kỷ XX, với lòng tin tiên nghiệm vào việc toán (phát biểu đắn) có thuật toán giải, nhiều nhà toán học đầy tài tâm huyết đà tiến công vào vào toán tồn nh lời thách ®è ngêi VÊn ®Ị then chèt nhÊt cđa lý thuyết tính toán phát sinh Để chứng minh toán có thuật toán giải nó, ta cần đề thuật toán theo quan niệm trực giác khái niệm kiếm định tính đắn toán đà cho Tuy nhiên, cần chứng minh việc thuật toán giải toán đó, quan niệm trực quan thuật toán sở đảm bảo cho 10 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Tìm phần tử lớn D, giả sử ®ã lµ D[i], ta ®ỉi dÊu cđa D[i] coi nh đánh dấu nó, tìm tiếp phần tử j =T[i], lại ®ỉi dÊu D[i], qóa tr×nh cø nh thÕ lïi chØ sè j ®Õn j = i A[i] T[i] D[i] 12 11 3 -1 -2 1 -3 10 -4 11 10 10 -5 12 KÕt đợc dÃy 10 dÃy không giảm dài dÃy đà cho Cài đặt chơng trình Program bai1; uses crt; var i,j,max,n,m:integer; a,t,d:array[1 30] of integer; BEGIN clrscr; write('Moi nhap so phan tu cua day:'); repeat readln(n); if n0; writeln('Moi nhap gia tri cac phan tu cua day:'); for i:=1 to n begin write('a[',i,']='); readln(a[i]); 27 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình end; d[1]:=1;t[1]:=0; for i:=2 to n begin max:=0; for j:=1 to i-1 if (a[j]max)then begin max:=d[j]; t[i]:=j; end; d[i]:=max+1; end; {for i:=1 to n write(t[i],' '); writeln;} max:=0; for i:=1 to n if d[i]>max then begin j:=t[i]; max:=d[i]; m:=i; end; i:=m; while j>0 begin d[i]:=-d[i]; 28 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình j:=t[i]; i:=j; end; {for i:=1 to n write(d[i],' '); writeln;} writeln('Day khong giam dai nhat la:'); if max=1 then write(a[n]) else for i:=1 to n if d[i] j > bj L(i,j) = max{ L(i, j - 1), L(i - 1, j)} (2) ã Nếu i > j > = bj L(i,j) =1 + L(i-1,j-1) (3) Chúng ta lu giá trị L(i,j) vào mảng L[0 m, n] Từ công thức (2) (3) ta thÊy r»ng, nÕu biÕt L[i,j - 1], L[i - 1, j] vµ L[i - 1, j -1] ta tÝnh đ ợc L[i,j], ta tính đợc phần tử mảng L[0 m, n] từ gốc bên trái lần lợt theo đờng chéo song song n m Bây từ mảng L đà đợc làm đầy, ta xây dựng dÃy chung dài k=L[m,n] Ta xác định thành phần c = (c 1,, ck-1, ck) lần lợt từ bên phải Trong bảng L ta từ ô L[m,n] Giả sử ta ô L[i,j] ta cần xác định c l (1≤ L≤ k) NÕu = bj th× ta lÊy cl = ai, giảm l lên « L[i - 1, j - 1] Cßn nÕu bj L[i,j] = L[i, j - 1] L[i,j] = L[i - 1, j] Trong trờng hợp L[i,j]=L[i, j - 1], ta tới ô L[i,j -1] Còn L[i,j] = L[i - 1, j], ta lên ô L[i - 1, j] Tiếp tục trình ta xác định đợc tất thành phần dÃy dài Cài đặt chơng trình Program bai2; type mang1=array[1 100] of integer; 30 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình mang2=array[1 100,1 100] of integer; var a,b,c,pa,pb:mang1; l:mang2; i,j,m,n,dem:integer; function thuoc(ch:integer;x:mang1;k:byte):boolean; var h:byte; begin for h:=1 to k if ch=x[h] then begin thuoc:=true; exit; end; thuoc:=false; end; function max(v1,v2,v3:integer):integer; var p:integer; begin p:=v1; if v2>p then p:=v2; if v3>p then p:=v3; max:=p; end; BEGIN write('Nhap so phan tu cua day so thu nhat: m='); repeat readln(m); 31 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình if m0; for i:=1 to m readln(a[i]); write('Nhap so phan tu cua day so thu 2: n='); repeat readln(n); if n0; for i:=1 to n readln(b[i]); for i:=1 to m if thuoc(b[1],a,i) then l[i,1]:=1 else l[i,1]:=0; for j:=1 to n if thuoc(a[1],b,j) then l[1,j]:=1 else l[1,j]:=0; for i:=2 to m for j:=2 to n l[i,j]:=max(l[i-1,j-1]+ord(a[i]=b[j]),l[i,j-1],l[i-1,j]); if l[m,n] =0 then writeln(‘khong co day chung’) else begin writeln('Do dai cua day dai nhat la:',l[m,n]); for i:=1 to m 32 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán ®iĨn h×nh begin for j:=1 to n write(l[i,j],' '); writeln; end; i:=m;j:=n; dem:=0; while (i>0) and (j>0) begin if a[i]=b[j] then begin inc(dem); pa[dem]:=i; pb[dem]:=j; dec(i); dec(j); end else if l[i,j]=l[i,j-1] then dec(j) else dec(i); end; writeln('day dai nhat cua day la:'); for i:=0dem downto write(a[pa[i]],' '); readln; end; END 33 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình III.3 Xếp hàng mua vé Có N ngời xếp hàng mua vé Ta đánh số họ từ đến N theo thứ tự đứng hàng Thời gian phục vụ bán vé cho ngời thứ i ti Mỗi ngời cần mua vé nhng đợc quyền mua tối đa vé, số ngời nhờ ngời đứng trớc mua hộ Ngêi thø i nhËn mua vÐ cho ngêi thø i+1 thời gian mua vé cho ngời ri Tìm phơng án cho N ngời có vé với thời gian Phân tích toán Xây dựng mảng L[N] với ý nghĩa: L[k] số thời gian Ýt nhÊt ®Ĩ phơc vơ vÐ cho k ngêi (từ đến k) Rõ ràng ngời k tự mua vé thời gian để phục vụ k ngêi lµ t[k] + L[k-1], nÕu ngêi k nhê ngời k-1(xếp hàng mình) mua hộ thời gian Ýt nhÊt phơc vơ k ngêi lµ r[k-1] + L[k-2] VËy thêi gian Ýt nhÊt phôc vô xong k ngêi lµ L[k] =min {t[k] + L[k-1], r[k-1] + L[k-2]} Sau xây dựng xong mảng L, dựa vào mảng T, L, R ta tìm kết ngời cần mua vé ghi vào mảng kết KQ theo nhËn xÐt: NÕu t[k] + L[k-1] ≤ r[k-1] + L[k-2] ngời k mua, ghi KQ[k] =1, ngợc lại ngời k-1 mua, ghi KQ[k-1] =1 Cài đặt chơng tr×nh Program bai3; uses crt; var n,i,j,k: integer; t,r,l,kq:array[0 50] of integer; function min(v1,v2:integer):integer; begin if v10; for i:=1 to n begin write('Moi nhap thoi gian nguoi thu ',i,' mua ve: t[',i,']='); repeat readln(t[i]); if t[i]0; end; writeln; for i:=1 to n-1 begin write('Moi nhap thoi gian nguoi thu ',i,' mua ve: r[',i,']='); repeat readln(r[i]); if (r[i]0) and (r[i]>t[i]); end; writeln; l[0]:=0;l[1]:=t[1]; 35 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình for k:=2 to n begin l[k]:=min(t[k]+l[k-1],r[k-1]+l[k-2]); if l[k]=t[k]+l[k-1] then kq[k]:=1 else kq[k-1]:=1; end; writeln('Tong thoi gian nho nhat la:',l[n]); writeln('Phuong an chon mua ve dat toi uu theo thu tu dung hang.'); for k:=1 to n if kq[k]=1 then write(k,' '); readln; END III.4 Di chuyển từ Tây sang Đông Cho hình chữ nhật M ì N ô vuông, ô chøa mét sè nguyªn Cã thĨ di chun tõ mét ô sang ô thuộc cột bên phải dòng chênh lệch dòng Tìm cách di chuyển từ ô thuộc cột đến cột ®ã thc cét N cho tỉng c¸c sè cđa ô qua nhỏ Giải toán Giả sử số cho mảng A[1 M, N] Dùng mảng F[1 M, N] để xây dùng nh·n cho tõng « theo c«ng thøc truy håi F[i,j] có giá trị tổng số « ®i qua theo ®êng tèt nhÊt tõ mét ô thích hợp thuộc cột đến ô (i,j) thuộc dòng i cột j NhÃn ô thuộc cột giá trị ô NhÃn ô lại, lần lợt từ cột đến cột n đợc xây dựng theo công thức truy hồi sau F[i, k] = min{F[i-1, k-1], F[i, k-1], F[i+1, k-1]} + A[i, k] Ngoài ra, dùng mảng hai chiều T[1 M, N] để ghi lại số dòng ô thuộc cột j-1 tới ô (i, j) mảng chiều KQ[1 N] để ghi lại số dòng ô qua từ cột đến cột N phơng án tối u 36 Luận văn tốt nghiệp Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Ghi chú: Trong chơng trình dới không sử dụng mảng F mà dùng mảng A đè giá trị lên Cài đặt chơng trình Program bai4; uses crt; var a,t:array[0 100,0 100] of integer; kq:array[1 100] of byte; n,m,k,h:byte; function min(i,j:byte):byte; var p:integer; d:byte; begin p:=a[i-1,j-1]; d:=i-1; if a[i,j-1]

0) and (nv2 then max:=v1 else max:=v2; end; BEGIN write(' Moi nhap kich thuoc cua tui: '); repeat 41 ... Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình quy hoạch động Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp mình, muốn đợc tìm hiểu phơng pháp xây dựng thuật toán phơng pháp Quy hoạch động giải số toán điển hình. .. Phơng pháp quy hoạch động số toán điển hình Chơng II Phơng pháp quy hoạch động II.1 Nội dung phơng pháp Phơng pháp quy hoạch động nguyên lý tối u đợc nhà toán học Mỹ R.Bellman đề xuất vào năm... pháp quy hoạch động số toán điển hình I.1.1.2 Khái niệm toán tính toán (Computational Problem) Một cách không hình thức, toán tính toán ánh xạ từ tập đầu vào vào tập đầu định Chẳng hạn, đầu vào