Tập lồi trong rn và một số bài toán hình học (KL06104)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== LIÊU THỊ PHƢƠNG TẬP LỒI TRONG Rn VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS GVC PHAN HỒNG TRƢỜNG HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN n Để hoàn thành khóa luận với đề tài: ”, trước h t em in bà t l ng bi t n s u s c đ n c c th c gi o t H nh h c, c c th c gi o kho To n Trư ng Đ i h c Sư ph m Hà N i đ đ ng vi n gi p đ em su t th i gi n qu Đ c biệt em in ch n thành cảm n th gi o: ThS , ngư i đ tr c ti p hướng d n, ch bảo đ ng g p nhiều ki n qu b u để em c thể hoàn thành khóa luận nà M c d đ c nhiều c g ng h n ch th i gi n ki n th c c th n n n ch c ch n đề tài nà kh ng tr nh kh i nh ng thi u s t V vậ em r t mong nhận s cảm thong nh ng đ ng g p c th c , c c b n sinh vi n để khóa luận c ki n em hoàn thiện h n Em in ch n thành cảm n! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh vi n th c Liêu Thị Phƣơng LỜI CAM ĐOAN Em in c m đo n kh luận nà k t c h c tập nghi n c u c ng với s gi p đ c To n, đ c biệt s hướng d n tận t nh c em qu tr nh c c th th c kho gi o - Th.S, GVC Trong qu tr nh làm kh luận em c th m khảo nh ng tài liệu c li n qu n đ hệ th ng mục tài liệu th m khảo Kh luận “Tập lồi Rn số toán hình học” kh ng c s tr ng l p với c c kh luận kh c N u s i em in hoàn toàn chịu tr ch nhiệm! Sinh viên Liêu Thị Phƣơng MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1 L ch n đề tài Mục đích nghi n c u Đ i tượng, ph m vi nghi n c u Nhiệm vụ nghi n c u C c phư ng ph p nghi n c u II N I DUNG Chư ng Tập hợp lồi 1 M t s ki n th c b trợ 2 Định nghĩ tập lồi T hợp lồi 4 B o lồi b o lồi đ ng 5 N n lồi 6 Tập ffine b o ffine 7 Ph n tư ng đ i Chư ng 2: Định l kell m t s tính ch t c bảnc M t s tính ch t c tập hợp lồi 11 tập lồi 11 2 Định l kell 12 M t s tập ng dụng: 16 Chư ng 3:Ứng dụng m t s tính ch t tập lồi Rn giải m t s to n h nh h c 25 M t s to n giải ch u s dụng tính ch t c tập hợp lồi 26 M t s to n giải b ng c ch l dụng tính ch t c b o lồi k t hợp s tập hợp lồi 35 K T LU N 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài L thu t tập hợp lồi to n h c m t ph n kh ng thể thi u c h nh h c N c r t nhiều ng dụng c vị trí qu n tr ng h nh h c, c li n qu n h u h t c c ngành to n h c như: Giải tích lồi, to n kinh t , h nh h c… C thể n i nghi n c u tập lồi m t đề tài th vị, nhận nhiều s qu n t m c c c nhà kho h c Với mong mu n nghi n c u s u h n h nh h c t m hiểu phư ng ph p giải c c to n h nh h c h h n, th vi h n, nh m b ung ki n th c cho th n em đ ch n đề tài: “Tập lồi Rn số toán hình học” để làm đề tài kh luận Mục đích nghiên cứu - T m hiểu kĩ h n c c ki n th c tập lồi - Làm rõ ng dụng m t s tính ch t c tập lồi kh ng gi n giải m t s to n h nh h c Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đ i tư ng nghi n c u: Ki n th c tập lồi - Ph m vi nghi n c u: M t s to n c s dụng m t s tính ch t c h nh h c giải b ng cách tập hợp lồi Nhiệm vụ nghiên cứu - Tr nh bà c sở l thu t tập hợp lồi m t s tính ch t - N u m t s phư ng ph p giải to n c dụng tính ch t c h nh h c b ng s tập hợp lồi Các phƣơng pháp nghiên cứu - Nghi n c u s dụng c c c ng cụ to n h c - Nghi n c u s ch th m khảo, tài liệu c li n qu n II NỘI DUNG CHƢƠNG TẬP HỢP LỒI 1.1 Một số kiến thức bổ trợ ● Giả s A  Rn; x1, x2  A, đ đo n thẳng n i nh ng điểm  A th 1, x2 tập t t m n:  λ  [0 1] x = λx1 + ( 1- λ) x2 , Khi x1  x2 đo n thẳng gồm ch c m t điểm 1x2 Khi x1  x2 đo n thẳng 1x2 gồm điểm 1(khi λ =1) x2(khi λ=0) nh ng điểm ng với λ( λ  (0, 1)) H i điểm 1, kh c đo n thẳng x2 g i m t c 1x2 g i gi n thẳng 1, x2 , nh ng điểm x2 ● Cho m + điểm đ c lập Po, P1, ,Pm T bi t r ng m phẳng α qu m + điểm đ gồm nh ng điểm M s o cho( với điểm O đ ) m OM =  i 0 m λi OPi với  i 0 λi=1 Ta xét tập hợp gồm nh ng điểm M s o cho: m OM =  i 0 m λi OPi với  i 0 λi=1 λi ≥ 0, i = 0.m Tập hợp đ g i m_đ n h nh với c c đ nh Po, P1, ,Pm kí hiệu: S(Po, P1, ,Pm) ● Cho m+1 điểm đ c lập Po, P1, ,Pm Tập hợp nh ng điểm M s o cho: m PoM =  i 0 λi PoPi, g i m_h p λi  [0.1] 1.2 Định nghĩa tập lồi Cho A tập cho trước(tr n đư ng thẳng, m t phẳng ho c kh ng gi n) Tập A  Rn g i lồi n u  x1, x2  A,  λ  R: x1 + (1- )x2  A,  λ  [0.1] x2 x1 A : tập  g i tập lồi * Ch *Ví dụ: C B A D A, B tập lồi C n C, D kh ng phải tập lồi • [ 1,x2 ], m_h p, m_đ n h nh tập lồi • H nh c u đ n vị kh ng gi n B n ch tập lồi • Mỗi m_phẳng α kh ng gi n fin th c A tập lồi v n u điểm P,Q điểm ph n biệt thu c α th t t đư ng thẳng PQ thu c α, đ đo n thẳng PQ n m α 1.3 Tổ hợp lồi 1.3.1 Định nghĩa: Véc t  X g i t hợp lồi c c c véc t x2, ,xm  X n u: m  λi ≥ (i = 0.m ),  i 0 m λi=1, cho x =  i 0 λix 1, 1.3.2 Định lí: Giả s tập A lồi, t hợp lồi c 1, 1, x2, ,xm  A Khi đ A ch t t c c x2, ,xm 1.4.Bao lồi bao lồi đóng 1.4.1 Bao lồi: 1.4.1.1 Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c g i b o lồi c t t c c tập lồi ch A tập A Kí hiệu: coA   * Ví dụ: Trong R2 cho B(O, R) = x : d  0, x   R Khi đ : coB(0, 1) = B(0, 1) ● Nhận xét: - coA tập lồi nh nh t ch A - A lồi  A = coA 1.4.1.2 Định lí: coA tr ng với tập t t c c t hợp lồi c ● Hệ quả: Tập A lồi ch A ch A t t c c t h p lồi c A 1.4.2 Bao lồi đóng: 1.4.2.1 Định nghĩa: Giả s A  X Gi o c ch t t c c tập lồi đ ng A g i b o lồi đ ng tập A Kí hiệu co A ● Nhận ét: co A tập lồi đ ng nh nh t ch A 1.4.2.2 Mệnh đề: Giả s A  X lồi Khi đ : i) Ph n intA b o đ ng A c ii) N u A c c tập lồi  intA, x2 A : [x1, x2) ={ λ N u intA  Ø thì: + (1 - λ) : 0< λ  1}  intA A = int A int A = intA 1.4.2.3.Định lí: B o lồi đ ng c c tập A tr ng với b o đ ng c A, t c là: co A = coA b o lồi ● Giả s tập A  Rn đ ng bị ch n Khi đ coA đ ng Nghĩ là: coA = co A Đị í é d y: Giả s A  Rn Khi đ điểm c qu n+1 điểm kh c nh u c tập coA t hợp lồi kh ng A 1.5 Nón lồi 1.5.1 Định nghĩa nón: Tập K  Rn g i n n c đ nh t i O n u: x K,  λ >0  λ K 1.5.2 Định nghĩa nón lồi: N n K c đ nh t i O g i n n lồi n u K m t tập lồi, nghĩ là:  x,y  K,  λ,  >  λ +  y • Ví dụ: n R  K := {x = (x1,x2, ,xn)  Rn | xi   i = 1.n } (nón orthant không âm) 1.5.2.1 Mệnh đề: Giả s Kα (α  I ) c c n n lồi c đ nh t i b t k Khi đ  K α n n lồi c đ nh t i I o với tập I tập ch s o 1.5.2.2 Định lí: Tập K  Rn n n lồi c đ nh t i 0khi ch khi:  x,y  K,  λ >  x + y  K, λ  K ● Hệ quả: • Cho K m t n n lồi N u K, x2  K, ,xm  K α1> 0, α2> 0, , αm> Khi đ : m  i 1 λixi  K • Giả s A tập b t k Rn, K tập t t c c t hợp t n tính dư ng c A Khi đ K n n lồi nh nh t ch A • E n m t gi c ABCD: B A E D C Khi đ b o lồi c điểm đ cho t gi c (ABCD) • N u E n m c c g c: I ho c II, ho c III, ho c IV Chẳng h n E n m g c I: Khi đ b o lồi ng gi c (AEBCD): E B A C D • N u E n m m t c c g c 5, 6, 7, Chẳng h n E thu c g c 5: E B A C D 38 Khi đ b o lồi t gi c (EBCD) TH3: Xét m t t m gi c b t k Chẳng h n ABC A I II C B III Ch c thể sả r c c trư ng hợp s u: - D E n m b n  ABC Khi đ b o lồi điểm đ cho trư ng hợp nà  ABC A D E B C - D n m trong, E n m ABC Xét ti p trư ng hợp: i) N u E n m m t c c g c 4, ho c 5, ho c Chẳng h n E thu c 4: E D A B Khi đ b o lồi BEC 39 C ii) N u E n m c c g c I, II, ho c III Chẳng h n E n m g c I: A E C B Khi đ b o lồi t gi c (EACB) - Ho c h i điểm D, E nàm ABC T c ng c h i trư ng hợp c bản: iii) N u E n m m t c c g c 4, 5, Chảng h n E n m g c trư ng hợp ii) tr n D n m m t c c g c 4, 5, Chẳng h n D n m g c 4: D E A C B Khi đ b o lồi t gi c (BEDC) iv) N u E v n n m g c th tr n D n m m t c c g c I, II, III Chẳng h n D n m g c I t c : 40 E D A B C Khi đ b o lồi t gi c (DECB) Như vậ b o lồi c điểm đ kh ng c điểm thẳng hàng t m gi c, t gi c, ho c ng gi c (đpcm) * NX: T ng qu t cho to n tr n t th : B o lồi c tập h u h n c c điểm tr n m t phẳng, kh ng c điểm thẳng hàng m t đ gi c lồi Tập hợp c c đ nh c tập hợp c đ gi c lồi nà tập hợp diểm đ cho Bài 3: Tr n m t phẳng cho m t s n-đ gi c Ch ng minh r ng b o lồi c n m t đ gi c kh ng h n n đ nh Giải Cho n – đ gi c tr n m t phẳng Vậ b o lồi c n đ gi c đ m t đ gi c đ m t đ gi c lồi mà c c đ nh c n n m tập hợp c c đ nh c đ cho 41 n – đ gi c G i m s đ nh c đ gi c b o lồi đ gi c lồi nà là:   m  2 Vậ t ng c c g c c S đo c g c n - gi c đều: G c đ nh c   n  2 n m – gi c b o lồi lớn h n ho c b ng:   n  2 n G i  g c nh nh t m g c c đ gi c b o lồi   m  2 m   n  2 M t kh c:   n Khi đ :  (1) (2) T (1), (2) su r :   m  2   n  2 m  n  1  1 m n    mn m n m n Mà m t đ gi c th : s đ nh b ng s c nh Do vậ s c nh c đ gi c b o lồi kh ng h n n (đpcm) Bài 4: Cho đ gi c lồi n c nh (n  3), g i d t ng đ dài c c đư ng chéo, c n p n chu vi đ gi c Ch ng minh r ng:  n n 1  d  p      2      Giải - Trư ng hợp đ gi c lồi c s c nh l , t c n  2k 1, k  N* Khi đ ch c c c lo i đư ng chéo:  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu m t đ nh 42  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu h i đ nh  ……  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu ( k - 1) đ nh (Ví dụ: đ gi c lồi c nh, k =3 đ gi c nà ch c h i lo i đư ng chéo là: đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu m t đ nh đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu h i đ nh) A1 A2 A7 A3 A6 A4 A5 T th :  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu m t đ nh th nh h n t ng h i c nh (Ví dụ: A1A3< A1A2 + A2A3 ) G i d1 t ng đ dài đư ng chéo lo i nà th : d1< 2C, (với C chu vi)  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu h i đ nh th nh h n t ng b c nh (Ví dụ: A1A4< A1A2 + A2A3 + A3A4 ) G i d2 t ng đ dài c c đư ng chéo lo i nà th : d2< 3C Tư ng t , g i dk-1 t ng đ dài c c đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu (k-1) đ nh th : dk-1< k.C Vậ n n t : d = d1 + d2 + …+ dk-1  d < C( + +…+ k ) = C   k  k 1 = p( + k )( k – ) = p( k2 + k + 2) 43 (3) n  2k 1   Do n  2k 1 nên:       k  2  k        n 1  2k         k 1  k 1     và: n  n 1  k  k 1  k  k       2     Do vậ t (3) t c : d  p(k  k  )  p  n   n 1  2  2    Vậ điều kiện khẳng định c  to n đ ng trư ng hợp nà - Trư ng hợp đ gi c lồi c s c nh ch n, t c n = 2k, k  N* Trong trư ng hợp nà c c c lo i đư ng chéo s u:  Đư ng chéo n i h i đ nh qu m t đ nh  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu h i đ nh  ……  Đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu (k – 2) đ nh  Đư ng chéo “ u n t m” n i Ai với Ai+k với i  1.k (c k đư ng chéo u n t m ) A1 A2 A8 A3 A7 A4 A6 A5 Kí hiệu di t ng đ dài c c đư ng chéo n i h i đ nh c ch qu i đ nh ( i = 1, 2, …,k-2 ) 44 Lập luận ph n tr n t c : di < ( i + )C G i d* t ng đ dài c c đư ng chéo u n t m, rõ ràng đư ng chéo u n t m c đ dài nh h n C V th : d   k C Do vậ : d = d1 + d2 + …+ dk-2 + d*< C( + +… + k-1 ) + k C T th :   k 1 k  2  C k C( + +… + k-1 ) + k C = C 2 = p( 2+ k -1 ) + kp = p(k2 – k – + k ) = p( k2 – ) (4) M t kh c : n  2k nên: 1   n   n 1  2k   2k 1           k k    k.k  k    T (4): d  p(k  )  p  n   n 1  2        Vậ trư ng hợp nà điều khẳng định c to n c ng đ ng Đ điều phải ch ng minh Bài 5: M t đ gi c lồi n c nh chi thành c c t m gi c b ng c c đư ng chéo kh ng c t nh u c n Đồng th i t i đ nh c n h i tụ m t s l c c t m gi c Ch ng minh r ng: n chi h t cho Giải Theo r đ gi c lồi chi thành nhiều t m gi c c c đư ng chéo kh ng c t 45 T t g ch đen màu tr ng cho c c tam gi c s o cho h i t m gi c c c nh chung th c màu kh c nh u V đ nh c n h i tụ s l t m gi c n n t màu vậ th t t c c c nh c đ gi c s thu c t m gi c c ng màu (giả s c c t m gi c đ c c t m gi c g ch đen) Giả s m s c nh c t m gi c tr ng, v h i t m gi c tr ng b t k kh ng c c nh chung n n: m M t kh c c nh c t m gi c tr ng c ng c nh c g ch đen t t c c c nh c đ gi c c ng c c c nh c (1) t m gi c t m gi c g ch đen Ngoài r h i t m gi c g ch đen b t k c ng kh ng c c nh chung n n t ng s c nh c t m gi c g ch đen là: (m + n ) c ng h t cho (2) T (1) (2) su r n (đpcm) Bài 6: Ch ng minh r ng m t đ gi c lồi 22 c nh kh ng thể b ng c ch c t theo c c đư ng chéo để chi đ gi c nà thành ng gi c Giải Xét to n t ng qu t: Cho đ gi c lồi (3n + 1) c nh (n  1) C ng minh r ng kh ng thể b ng c ch c t theo c c đư ng chéo để chi đ gi c thành n ng gi c T ch ng minh to n t ng qu t tr n b ng phư ng ph p qu n p: 46 Với n = th rõ ràng t gi c lồi kh ng thể ph n thành ng gi c b ng c c đư ng chéo Vậ k t luận c to n đ ng n = Giả s to n đ ng đ n n = k, t c m i đ gi c lồi (3k + ) c nh (k 1) kh ng thể ph n thành k ng gi c b ng c c đư ng chéo T ch ng minh to n đ ng đ n n = k + 1, t c m i đ gi c (3k + 4) c nh kh ng thể ph n thành (k+1) ng gi c b ng c c đư ng chéo Thật vậ , t gi s phản ch ng r ng c thể ph n đ gi c (3k + 1) c nh thành (k+1) ng gi c b ng c c đư ng chéo N u ng gi c kh ng qu c nh tr n bi n th s c nh c đ gi c kh ng lớn h n 3(k+1) = 3k+3 Điều nà m u thu n với giả thi t r ng đ gi c c (3k+4) c nh Vậ phải tồn t i nh t m t ng gi c c c nh tr n bi n C t ng gi c nà r kh i đ gi c (3k+4) c nh T giả thi t phản ch ng su r đ gi c (3k+1) c nh c n l i c thể b ng đư ng chéo ph n r k ng gi c (m u thu n với giả thi t qu n p) Vậ giả s phản ch ng s i Vậ k t luận c to n t ng qu t đ ng đ n n = k+1 (k > 1) Do đ to n t ng qu t ch ng minh p dụng to n t ng qu t với n = su r đpcm Bài 7: Ch ng minh m i đ gi c lồi n c nh (n  6) c thể c t r thành c c ng gi c lồi 47 Giải Với n = t lu n chi ch ng thành c c ng gi c lồi Xem phép chi chẳng h n s u: Giả s k t luận c to n đ ng với n = k, (k = 6), t c m i đ gi c lồi k c nh (k  7) c thể c t r thành c c ng gi c lồi T ch ng minh k t luận c to n đ ng với n = k+1 (k > ) Xét với đ gi c lồi (k+1) c nh Khi đ k+1  Xét đ nh li n ti p A1A2A3A4A5 Khi đ t c ng gi c lồi A1A2A3A4A5 Đ gi c A1A5A6…Ak+1 c (k +1 - 3) = k – đ nh (do vậ  k–2) Theo giả thi t qu n p đ gi c k – c nh l i c thể chi r thành c c A3 A2 ng gi c lồi A4 K t hợp với phép chi tr n (t o ng gi c A1A2A3A4A5) su r đ A1 A5 gi c lồi (k+1) c nh c thể ph n thành c c ng gi c lồi Như vậ k t luận c An+1 to n đ ng đ n n = k+1 (k > ) Do đ to n ch ng minh 48 A6 Bài 8: Ch ng minh ràng t ng c c g c c m t đ gi c b t k kề b với c c g c nh h n 1800, th kh ng nh h n 3600 Giải Giả s đ gi c b t k c n c nh  Trư ng hợp 1: Đ gi c đ cho lồi Khi đ m i g c c đ gi c nh h n 1800 G i S1 t ng c c g c c n Vậ S1 = ( n – ).1800 G i S2 t ng c c g c c đ gi c Khi đ S2 c ng t ng c c g c kề b với c c g c nh h n 1800 Khi đ : S2 = n.1800 – S1 = n.1800 – (n – ).1800 = 3600 Vậ S2 = 3600 Trong trư ng hợp nà b t đẳng th c c n ch ng minh đ ng trở thành đẳng th c  Trư ng hợp 2: N u đ gi c đ cho lõm ( chẳng h n đ gi c: ABCDEFKH) A K H F B D E C 49 Như vậ nh t m t g c lớn h n 1800 L b o lồi c đ gi c lõm nà ( ví dụ tr n b o lồi đ gi c AKECB) Rõ ràng s c c g c c c đ gi c lõm lớn h n s c c g c đ gi c b o lồi Mỗi g c c c ng đ nh c đ gi c b o lồi kh ng nh h n g c đ gi c lõm ( Trong ví dụ tr n t th g c B c đ gi c b o lồi đ gi c lõm b ng nh u, c n g c AKEC c đ gi c b o lồi lớn h n c c g c tư ng ng c đ gi c lõm ) N u g i S2 S2 tư ng ng t ng c c g c c đ gi c b o lồi đ gi c lõm kề b với c c g c nh h n 1800 th S2< S2 Theo ph n tr n th S2 = 3600  S2> 3600 Vậ n u g i S t ng c n t m th S  3600 D u “ =” sả r ch đ gi c đ cho đ gi c lồi (đpcm) 50 K T LUẬN Như vậ việc s dụng tính ch t c l phép b o lồi cho t thành c ng việc giải nhiều to n h nh h c Tu nhi n t h tập hợp lồi k t c to n mà t c thể s dụng tr c ti p tính ch t c s dụng phép l tính ch t c b o lồi thích hợp để v tập hợp lồi v tập hợp lồi c thể tận dụng triệt để gi p cho to n đ n giản h n r t nhiều Do th i gi n n ng l c c n h n ch n n đề tài đ t k t nh t định Em r t mong c c th c , c c b n đ ng g p ki n để c em hoàn thiện h n M tl nn em in bà t l ng bi t n s u s c đ i với c c th gi o trư ng đ c biệt th gi o ThS GVC PHAN HỒNG TRƢỜNG đ tận t nh gi p đ em th i gi n v 51 c qu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ V n Lưu Ph n Hu Khải.Giải tích l i NXB Kho h c kĩ thuật [2] Ph n Hu Khải Giải tích l i v [3] H nh h c afine v i toán s c p NXB Gi o dục uclit( Gi o tr nh đ i h c) [4] Ph n Hu Khải Chu n đề i ng h c sinh gi i toán H i toán h nh h c t h p NXB Gi o dục 52 [...]... CHƢƠNG 2 ĐỊNH L KELL VÀ MỘT SỐ T NH CHẤT CƠ BẢN CỦA TẬP HỢP LỒI 2.1 Một số tính chất của tập lồi ● í ấ 1: Giả sử Aα  Rn (α bất kì Khi đó: A =  I í ấ I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số Aα là một tập lồi : Giả s Aα  Rn (α  I ) là c c tập lồi, I là tập ch s b t k Khi đ : A = iI A chư ch c đ là tập lồi i ( H nh ảnh minh h cho h i tập lồi A, B) A B * Ví dụ: Cho A, B là c c tập lồi Với A = a , B... quả: Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ riA lồi • Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ : af f( A ) = af fA • Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ , riA  Ø và: af f (riA) = af fA Hệ quả: Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ : af f( riA ) = af f ( A ) dim A = dim( riA ) = dimA ( n u A  Ø  riA  Ø) • Giả s A là tập lồi trong Rn Khi đ : riA= A ri A = riA Hệ quả: Giả s A1, A2 là tập lồi trong Rn Khi đ : A1 =... phải tập lồi v n u l F 0 R a E 11 ấ 3: Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi, λi  R (i = 1.m ) Khi đ : ● í m  i 1 ● í λiAi là tập lồi Giả s Ai  Rn là nh ng tập lồi Khi đ : ấ m  i 1 Ai là tập lồi ấ 5: Giả s A là tập lồi và 1  0, 2  0 Khi đ : ● í (1+2 )A = 1A + A2 2.2 Định lý kelly * Định lý Kelly trong kh ng gian 1 chiều R1: Tr n đư ng thẳng cho n h nh lồi ( n  3) Bi t r ng gi o c h nh lồi b... tính c tập A được g i là tập A Kí hiệu: linA 1.5.5 Mệnh đề: i) KA = KcoA ii) N u A là tập lồi th KA = A ={ a X: = λb, λ  0, b  A}  0 1.6 Tập affine và bao affine 1.6.1 Tập affine: ● Định nghĩa: Tập A  Rn được g i là tập ffine n u: (1- λ ) + λ A  A,  λ  R )  Rn, (  x,y * Nhận xét: N u A là tập ffine th với A + a ={ x + a: x  A} là tập ffine ● Mệnh đề: Tập M  Rn là kh ng gi n con khi và ch... t tập lồi nh nh t ch Như vậ việc l tính ch t c Dưới đ b o lồi cho m t tập hợp v tập hợp lồi v A s dụng triệt để được gi p cho bài to n dễ giải h n là m t s bài tập: 25 3.1 Một số bài toán đƣợc giải chủ yếu sử dụng tính chất của tập hợp lồi C c Bài 1: Điểm tập hợp lồi C được g i là điểm c c bi n c n u như kh ng tồn t i h i điểm trong c 1 C, x2  C, x1  x2, s o cho n là điểm đo n [ 1, x2] C là điểm... R n TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC H nh h c là m n h c kh ng nh ng đ d ng về n i dung mà c ng r t phong ph về phư ng ph p giải Để giải m t bài to n h nh h c c r t nhiều c ch,đ i với lớp bài to n cho m t tập hợp mà tập hợp đ cho là m t tập lồi t c ng c thể s dụng định l Kell như ph n tr n, đ là c ng cụ h u hiệu để giải c c bài to n h nh h c li n qu n đ n tính gi o kh c rỗng c ch t c c c h nh lồi. .. tính tập hợp lồi để giải ch ng V tập hợp lồi c tính ch t c bản là khi n ch h i điểm th n ch là tính ch t qu n tr ng c toàn b đo n thẳng n i h i điểm Đ tập hợp lồi c thể tận dụng triệt để để giải c c bài to n h nh h c t hợp Tu nhi n c nh ng bài to n cho m t tập hợp nhưng tập hợp đ kh ng phải là tập hợp lồi, v vậ t kh ng thể p dụng c c định l h vận dụng ng c c tính ch t c tập hợp lồi để giải c c bài to... đ trong trư ng hợp nà t c thể d ng phư ng ph p kh c, đ là t s l b o lồi c tập hợp đ cho s u đ l i s dụng c c ưu th c tập lồi để giải qu t c c v n đề mà bài to n đ t r Việc l b o lồi c m t tập hợp là c thể được và hợp l v h i l do sau: ● Th nh t, khi cho trước m t tập hợp A th b o gi c ng tồn t i b o lồi coA c n ● Th h i, b o lồi coA là m t tập lồi nh nh t ch Như vậ việc l tính ch t c Dưới đ b o lồi. ..  n_m trận, b  Rn Khi đ tập hợp: M ={ x  Rn : Bx = b } là affine trong Rn và m i tập ffine đều c thể biểu diễn dưới d ng tr n Hệ quả: M i tập ffine A trong Rn là tư ng gi o c m ts h uh n c c si u phẳng ● Chiều của tập affine: Chiều c m t tập ffine kh ng rỗng được định nghĩ là chiều c kh ng gi n con song song với n Quy ƣớc: dim Ø = -1 ● Định nghĩa: Tập ffine ( n - 1) chiều trong Rn được g i là m... Định nghĩa: Phần trong tƣơng đối của tập A  Rn là phần trong của A trong af fA, kí hiệu là riA C c điểm thu c riA được g i là điểm trong tư ng đ i c • Nhận ét: A1  A2   riA1  riA2 intA = {x  Rn :   > 0, x +  B  A} 9 tập A riA = {x  af fA :   > 0, (x +  B) aff  A } (Trong đ B là h nh c u đ n vị đ ng trong Rn ) ● Các định lí: • Giả s A là tập lồi trong Rn, x  riA, y (1- λ ) + λ A Khi đ ... A tập lồi Rn Khi đ : riA= A ri A = riA Hệ quả: Giả s A1, A2 tập lồi Rn Khi đ : A1 = A  riA1 10 = riA2 CHƢƠNG ĐỊNH L KELL VÀ MỘT SỐ T NH CHẤT CƠ BẢN CỦA TẬP HỢP LỒI 2.1 Một số tính chất tập lồi. ..  Rn (α Khi đó: A =  I í ấ I ) tập lồi, I tập số Aα tập lồi : Giả s Aα  Rn (α  I ) c c tập lồi, I tập ch s b t k Khi đ : A = iI A chư ch c đ tập lồi i ( H nh ảnh minh h cho h i tập lồi. .. 1] Hệ quả: Giả s A tập lồi Rn Khi đ riA lồi • Giả s A tập lồi Rn Khi đ : af f( A ) = af fA • Giả s A tập lồi Rn Khi đ , riA  Ø và: af f (riA) = af fA Hệ quả: Giả s A tập lồi Rn Khi đ : af f(