Khóa luận tốt nghiệp toán Tập lồi trong Rn và một số bài toán hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===#T)CQGS=== LIÊU THỊ PHƯƠNG ■ TẬP LỒI TRONG R” VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS. GYC. PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI - 2014 Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài: “ Tập lồi t ron g i?" v à một số b ài to án hì nh họ c”, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt thời gian qua. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: THS. GVC PHAN H ồn g TRƯỜNG, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không ừánh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm thong và những ý kiến đóng góp của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Liêu Thị Phưomg Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - Th.s, GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG. Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.Khóa luận “ Tậ p lồi t ro ng R n và một số bài t oán h ìn h h ọc ” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Sinh viên Liêu Thị Phưong MỤC LỤC I. II. III. I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài IV. Lý thuyết về tập hợp lồi ừong toán học là một phần không thể thiếu của hình học. Nó có rất nhiều ứng dụng và có vị trí quan trọng trong hình học, có liên quan hầu hết các ngành toán học như: Giải tích lồi, toán kinh tế, hình học Có thể nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tài thú vị, nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu phương pháp giải các bài toán hình học hay hơn, thú vi hơn, nhằm bổ xung kiến thức cho bản thâ n e m đ ã chọ n đ ề tài : “ Tập lồ i t ron g R n v à m ột số bài toá n h ìn h h ọc ” để làm đề tài khóa luận. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu И hơn các kiến thức về tập lồi. - Làm rõ ứng dụng một số tính chất của tập lồi trong không gian trong giải một số bài toán hình học. 3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu - Đối tương nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi. - Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán của hình học giải bằng cách sử dụng một số tính chất của tập họp lồi. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cơ sở lý thuyết về tập hợp lồi và một số tính chất. - Nêu một số phương pháp giải bài toán của hình học bằng sử dụng tính chất của tập hợp lồi. 5. Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học. - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan. 5 II. NÔI DUNG CHƯƠNG 1. TẬP HỢP LỒI 1.1. Môt sổ kiến thức bổ trơ • • • Giả SỬA c R"; Xi, x 2 £ A, khi đó đoạn thẳng nối Xi, x 2 là tập tất cả những điểm X e A thỏa mãn: V. X = ẰX! + (1-X,) x 2 , VA, E [0.1]. VI. Khi Xi = x 2 đoạn thẳng X1 X2 gồm chỉ có một điểm Xi. VII. Khi Xi ^ x 2 đoạn thẳng X1 X2 gồm điểm Xi(khi X, =1) và x 2 (khi À^O) và những điểm ứng với À-( A, e (0 , 1 )). VIII. Hai điểm Xi, x 2 gọi là 2 mút của doạn thẳng Xi, x 2 , những điểm khác cả đoạn thẳng X1 X2 gọi là ở giữa Xi và x 2 . • Cho m + 1 điểm độc lập P 0 , Ta biết rằng m phẳng a đi IX. qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao cho( với điểm o nào đó ). X. XI. XII. Tập họp đó gọi là rn đơn hình với các đính P 0 , P!, ,P m . và kí hiệu: XIII. S(Po, Pi, ,?!!!). • Cho m+1 điểm độc lập P 0 , Pi, ,P m . Tập họp những điểm M sao cho: XIV. m XV. PoM = ^ lÃPÕPi, Xi e [0.1] XVI. i=0 XVII. được gọi là m_hộp. XVIII. 3 6 1.2. Định nghĩa tập lồi XIX. Cho A là tập cho trước(trên đường thẳng, mặt phẳng hoặc trong không gian). Tập A <= R n được gọi là lồi nếu Vxi, x 2 £A, VÀ,e R: XX. Xxi + (1- A,)X 2 £ A, VA, e [0.1] XXI. XXII. XXIII. A, B là tập lồi. Còn c, D không phải là tập lồi. • [xi,x 2 ], m_hộp, m_đơn hình là tập lồi • Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi. • Mỗi m_phẳng a trong không gian afin thực A là tập lồi vì nếu 2 điểm P,Q là 2 điểm phân biệt thuộc A thì tất cả đường thẳng PQ thuộc a, do đó đoạn thẳng PQ nằm trong a. 1.3. Tổ họp lồi 1.3.1. Định nghĩa: Véc tơ X E X được gọi là tổ họp lồi của các véc tơ Xi, x 2 , ,x m eXnếu: * Chú ý: tập 0 được gọi là tập lồi. *VÍ dụ: I. II. XXIV. III.m m IV. V. i=0 VI. i=0 XXV. 1.3.2. Đinh lí: Giả sử tập A lồi, Xi, х 2 , ,хщ e A. Khi đó A chứa tất cả các TỔ HỌP LỒI CỦA XI, Х 2 , ,ХЩ • 1.4. Bao lồi và bao lồi đóng 1.4.1. Bao lồi: 1.4.1.1. ĐỊNH NGHĨA: Giả s ử A c X . Giao của tất cả các tập lồi chứa А được gọi là bao lồi của tập A. Kí hiệu: coA. • Ví dụ: Trong R 2 cho B(0, R) = {X : D (о, X) < } . Khi đó: XXVI. coB(0, 1) = B(0, 1). • Nhận xét: - coA là tậplồi nhỏ nhất chứa A. - A lồi А = coA. 1.4.1.2. ĐỊNH LÍ: coA trùng với tập tất cả các tổ họp lồi của A. • Hệ quả: Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ họp lồi của A. 1.4.2. Bao lồi đỏng: 1.4.2.1. ĐỊNH NGHĨA: Giả sử А с X. Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng cả tập A. Ki hiệu CO A. • Nhận xét: CO A là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A. 1.4.2.2. MỆNH ĐỀ: Giả s ử A c X lồi. Khi đó: i) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi. ii) Nếu Xi G intA, x 2 £ A thì : XXVII. [x b x 2 ) ={ ẰXi + (1 - Ằ)x 2 : 0< Ả < 1} Œ intA. XXVIII.Nếu intA Ф 0 thì: A = int Л. XXIX. int А = int A. 1.4.2.3. ĐỊNH //:• Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A, tức là: XXX. со А = со А. • Giả sử tập A D R n đóng và bị chặn. Khi đó coA đóng. XXXI. Nghĩa là: coA = CO A. [...]... Chứng tỏ: [ A , B *) ePl (đpcm) CCLXXV TẬP LỒI CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CCLXXVI MÔT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HOC • • CCLXXVII ••• TRONG Rn TRONG GIẢI Hình học là môn học không những đa dang về nội dung mà cũng rất phong phú về phương pháp giải Để giải một bài toán hình học có rât nhiều cách,đối với lớp bài toán cho một tập hợp mà tập hợp đã cho là một tập lồi ta cũng có thể sử dụng định lý Kelly... CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ KELLY VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT cơ BẢN CỦA TẬP HỢP LỒI ■ • 2.1 Một số tính chất của tập lồi • TÍNH CHẤT 1 : Giả s ử A a c R " ( a E I ) ỉà các tập lồi, I là tập chỉ sổ bất kì Khi đó: A = Pl A„ là một tập lồi LXXXVI aeì • TÍNH CHẤT 2: Giả sử A a Rn (a £ I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số bất a kì Khi đó: A = (J chưa chắc đã là tập lồi LXXXVII ( Hình ảnh minh họa cho hai tập loi A, B) VII *... được và hợp lý vì hai lý do sau: • Thứ nhất, khi cho trước một tập họp A thì bao giờ cũng tồn tại bao lồi COA của nó • Thứ hai, bao lồi C O A là một tập lồi nhỏ nhất chứa A CCLXXX Như vậy việc lấy bao lồi cho một tập hợp vừa sử dụng triệt để được tính chất của tập hợp lồi vừa giúp cho bài toán dễ giải hơn CCLXXXI Dưới đây là một số bài tập: 3.1 Một số bài toán được giải chủ yếu sử dụng tính chất của tập. .. Kelly trong không gian chiều): CLII Giả S Ử A Ị C I R" , i = 1 M, M > N +1 là các tập lồi Biết rằng giao của N +1 tập Ai trong chúng đều khác rỗng Khi đó: n CLIII CLIV □ Một số bài tập ứng dụng: CLV Trong hình học tổ họp thì định lý Kelly là một trong các định lý rất quan trọng Định lý này cho ta một điều kiện đủ để nhận biết khi nào một họ các hình lồi có giao khác rỗng CLVI Dưới đây là một số bài toán. .. là tập lồi trong R" Khi đó riA lồi Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó: LXXVII aff(Ã) = affA • Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó, riA Ф 0 và: LXXVIII LXXIX aff{riA) = affA Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó: a//(riA)=a//(Ã) dim à = dim( riA ) = dimA LXXX ( nếu А Ф 0 ^ riA Ф 0) • Giả sử A là tập lồi trong R" Khi đó: R Ỉ A= A LXXXI ri à = riA LXXXII Hệ quả: Giả sử Al, A là tập lồi ừong Rn. .. bài toán hình học liên quan đến tính giao khác rỗng của các hình lồi Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng ngay t ính chất của tập hợp lồi để giải chúng Vì tập họp lồi có tính chất cơ bản là khi nó chứa hai điểm thì nó chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm ấy Đó là tính chất quan trọng của tập họp lồi có thể tận dụng triệt để để giải các bài toán hình học tổ họp CCLXXVIII Tuy nhiên có những bài toán cho một. .. cho một tập họp nhung tập họp đó không phải là tập họp lồi, vì vậy ta không thể áp dụng các định lý hay vận dụng ngay các tính chất của tập hợp lồi để giải các bài toán đó Do đó trong trường hợp này ta có thể dùng phương pháp khác, đó là ta sẽ lấy bao lồi của tập hợp đã cho sau đó lại sử dụng các ưu thế của tập lồi để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra CCLXXIX Việc lấy bao lồi của một tập hợp... kelly trong không gian 1 chiều được chứng minh CXXI *Định lí Kelly trong không gian 2 chiều R2: CXXII Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n >4) Biết rằng giao của ba hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của n hình lồi cũng khác rỗng CXXIII Chứng minh: CXXIV Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số n các hình lồi - Xét khi n = 4 CXXV Gọi Fi, F2, F3, F là 4 hình lồi sao cho giao của ba hình. .. {x e Rn: ( X , B ) = SS } LIII là một siêu phẳng ừong Rn Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy nhất bằng cách này * Giả sử В là m X n_ma trận, b £ Rn Khi đó tập hợp: M ={x ỄR" : Bx = b } là affine trong Rn và mọi tập affine đều LIV có thể biểu diễn dưới dạng trên • Hệ quả: Mọi tập affine A trong R" là tương giao của một số hữu hạn các siêu phẳng • Chiều của tập affine: LV Chiều của một tập. .. Cho А, в là các tập lồi Với А = {а}, в là hình tròn tâm 0 bán kính R LXXXIX Khi đó: A LJ В không phải tập lồi vì nếu lấy E e a, E e thi EF Ể A ^JB в VIII XC • TÍNH CHẤT • TÍNH XCI AiAị là tập lồi XCII i=1 n c h ấ t 4: Giả sử Ai 0, X 2 > 0 . TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ===#T)CQGS=== LIÊU THỊ PHƯƠNG ■ TẬP LỒI TRONG R” VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Hình học Người hướng. của tập lồi trong không gian trong giải một số bài toán hình học. 3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu - Đối tương nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi. - Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán của hình học. cách sử dụng một số tính chất của tập họp lồi. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cơ sở lý thuyết về tập hợp lồi và một số tính chất. - Nêu một số phương pháp giải bài toán của hình học bằng sử