CCLXXXII. Bài 1: Điểm X E. с của tập hợp lồi с được gọi là điểm cực biên của nó nếu như không tồn tại hai điểm Xi e c, x2 e c, Xi Ф x2, sao cho X là điểm trong của đoạn [xi, x2].
CCLXXXIII.Chứng minh rằng điểm X e с là điểm cực biên của с khi vàchỉ khi
CCLXXXIV.không tồn tại hai điểm Xi G c, x2 £ c, Xi ^ x2, mà : CCLXXXV. X = 1 ( Xi + x2 ).
CCLXXXVI.Giải
CCLXXXVII.=>] Suy ra trực tiếp từ định nghĩa điểm cực biên ( theo bài ra)
CCLXXXVIII. <=] Đảo lại giả sử không tồn tại Xi E c, x2 e c, Xi Ф x2 sao cho:
CCLXXXIX.X = 1 ( Xi + x2 ).
CCXC.Ta đi chứng minh X là điểm cực biên.
CCXCI. Gỉả sử phản chứng X không phải là điểm cực biên, tức là tồn tại CCXCII. Xi GC,x2e c, Xi Ф x2, 3A,1, %2> 0, A,1+A,2=1, sao cho:
CCXCIII. X = Я.1Х1 + Я,2Х2.
CCXCIV. Vì Ầe (0, 1) nên luôn chọn được e> 0 đủ bé sao cho a = A-1 +
8 , ò = Л.1 - 8 , sao cho a, òe (0 , 1 ).
CCXCV. Do С lồi mà Xi e С, x2 £ С nên:
CCXCVI. а = axi + (1 - a) x2 Ê c. b = òx1 + ( l - ò ) x2e c .
CCXCVII. Та thấy a ^ b v à : — ( a + b ) = a + ^ x i + a + ^ x 2 CCXCVIII. =ẰiXi + (1 - )X2
CCXCIX. = A,iXi + Я,2 Х2
CCC. Hay X = — ( a + b ).( mâu thuẫn với giả thiết)
CCCI. Vậy giả sử phản chứng là sai.Tức X là điểm cực biên của c. (đpcm) CCCII. Bài 2: Cho с ÇZ Rn là tập họp lồi, đóng, nhưng không giới nội. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tia s = {z : z = ẰZ°, Х> 0 f-, ở đây z° là véc tơ cố định khác không, sao cho ta có tò X G с suy га: X + s с с.
CCCIII. Giải CCCIV.
CCCV.
CCCVI.
CCCVII.
CCCVIII.
CCCIX.
CCCX.
CCCXI.
CCCXII.
CCCXIII.
CCCXIV.
CCCXV.
CCCXVI.
CCCXVII.
CCCXVIII.
CCCXIX.
CCCXX.
CCCXXI.
CCCXXII.
CCCXXIII.
CCCXXIV.
CCCXXV.
CCCXXVI. Xét dãy: I = CCCXXVII.
CCCXXVIII.
CCCXXIX. Dãy |jc‘j nằm trong tập compac Si = {z : \\Z\\ = l}. Vì thế tồn tại dãy
CCCXXX. con hội tụ đến z° G Si- Không giảm tổng quát, có thể cho là:
CCCXXXI. ]imzi=z°
(1) CCCXXXII. i > io thì: 0 <
CCCXXXIII.
CCCXXXIV.
CCCXXXV.
CCCXXXVI.
CCCXXXVII.
CCCXXXVIII.
CCCXXXIX.
( CC CCCXL.CCCXLI.N
CXLII.+CCCXLIII.
CCCXLIV.
Ý
CCCXLV.
(Ý -JC)
CCCXLVI.
V CCCXLVIII.
CCCXLIX.)
Theo bài ra ta có: С không giới nội nên tồn tại dãy jjj sao cho X* G с, X* ф0 và IIjc1' I —ằ00 (khi i—>oo)
x + s
ý
<1 X .
Do
С lồi nên VẦ G С, V i > i0 thì:
/ i _ \ _ A. i
(x — X ) Л +
Mặt khác từ (1) suy ra:
X&C (2)
X + ý
V
XXIII.
limXXIV.
i-и-co
XXV.■- X + Ầz
°
CCCL. Từ (2), (3), và do С đóng, nên X+ĂZ°, VA,> 0. Mà X e c, kết họp (4) suy га: X + s Ç с
(đpcm)
CCCLI. Bài 3:
CCCLII. Cho hệ phương trình:
CCCLIII. ' CCCLIV. Ojj c+bjj + q >0 A2X+B2Y + C2
>0
CCCLV. anx+bny + cn>0
CCCLVI. Giả sử hệ nói trên có nghiệm và D là tập hợp nghiệm của hệ ấy. Chứng minh rằng D là tập hợp lồi trong R2.
CCCLVII. Giải
CCCLVIII. Giả sử (xi, yi) và (x2, У2) là hai phần tử tùy ý của D và X e R: X €= [0,1]
CCCLIX. T , k^+^i+^>0 Ta có <
CCCLX. [akx2+bky2+ck>0
(3)
(4)
, \ /к =1л .
CCCLXI. Suy ra ta cũng có:
CCCLXII. /1 (ад+^з;1 +сл)+(1 -/1 )(алх2 +^};2 +с4 )>0 (VK=ĨJI, A , e [ 0 ,1 ] ) Hay a*(Ắx, +(L-Ă)X2)+BK(ẲYỈ +(1 -Л)У2)+СК >0 (1) CCCLXIII. Từ (1) chứng tỏ với mọi VẢ: =ГЙ thì:
CCCLXIV. (ĂXị +(1 -Л)х2,Лу1 +(l-Ầ)y2)eD
CCCLXV. Hay Л(%, Jj) + (1 -Ả)(X2, Y2)ED => Theo định nghĩa thì D là tập lồi
CCCLXVI. trong R2 .(đpcm)
CCCLXVII. Bài 4: Cho с là tập họp lồi và X ẼC. Chứng minh rằng điểm X là điểm cực biên của С khi và chỉ khi c\ I X к
CCCLXVIII.Giải
CCCLXIX. =>] Giả sử X là điểm cực biên của с. Ta sẽ chứng minh c\ i X í1 là tập hợp lồi.
CCCLXX. G i ả s ử p h ả n c h ứ n g c \ “ í X )■ k h ô n g l ồ i . T ứ c t ồ n t ạ i X1, X2 e c \ “ í X f - sao cho đoạn [x1, X2 ] không nằm trọn trong c\ i X к Do с lồi mà X1, X2 G С = > [ x1, x2] ỗ C .
CCCLXXI. Vì С khác c\ “I X í- một phần tử là X mà [x1, X2 ] <2 c\ {X í- nên X e [x1, X2].
CCCLXXII. Do X1, x2ẼC\ix} = > X фX1, X ф X2 , kết họp với X G [x1, X2 ] suy ra trái với giả thiết X là điểm cực biên của c.
CCCLXXIII. => Giả sử phản chứng sai, tức c\ “i X Ị” là tập lồi.
CCCLXXIV. <=] Đảo lại: c\ “i X f- là tập lồi, ta sẽ chứng minh X là điểm cực biên
CCCLXXV. của c.
CCCLXXVI.Giả sử phản chứng X không là điểm cực biên của c.
Nghĩa là tồn tại X1, X2 X2sao choX G [x1, X2 ], tức là:
CCCLXXVII. X = XXL+ (1- A-)x2, 0 <X< 1 (*) CCCLXXVIII. Do X1, X2 e С mà X Ф X1, X Ф X2, vì có (*) nên X1,
X2 e c\ \ X í".
CCCLXXIX.Vì c\ “I X í" là tập lồi nên [x1, x2] g C \ U [ . CCCLXXX. Do X G [x1, X 2 ] => X e c\ “I X í- ( vô lý)
CCCLXXXI.=> Giả sử phản chứng sai. Vậy X là điểm cực biên của C.
(đpcm)
CCCLXXXII. B à i 5 : Cho CI, i Ê I là họ cỏc tổ hỗrp lồi trong RN sao chc>P|
(1)CMRpl Pl
(2) CMR nếu I hữu hạn, I = {1,2,...,Ả:} thì: RI Pl Pl
CCCLXXXIII. V CCCLXXXIV. Giải
* Trước hết ta chứng minh bổ đề 5.1 sau:
CCCLXXXV. Cho C ỗ R " là tập lồi. CMRx GriC khi và chỉ khi Vy ec, 3 JU> 1 sao cho:
CCCLXXXVI. /лх+(1-/л)уе c.
CCCLXXXVII. CM:
CCCLXXXVIII. =>] С là tập lồi, X G ric. Khi đó theo định nghĩa phần trong tương đối thì:
CCCLXXXIX. 3 JU> 1: ỊIX+ỊL-SS)YT С, Vy GC.
CCCXC. <=] Do С lồi nên ric Ф 0.
CCCXCI. Lấy tùy ý: y G ric và giả sử y ^ X.
CCCXCII. Do Y Eric (khi đó Y e c ) , vậy theo giả thiết 3 JU> 1 saocho: z= JUX+Ị\-JÙ)Y eC
CCCXCIII. => X = — Z +
CCCXCIV. и
y = Ắz+(l-Ẳ)y
CCCXCV. (Đặt Ả = — ) với 0 <Ả< 1.
И
CCCXCVI. Do ye rie, z e c, Tức z thuộc bao đóng của С) CCCXCVII. Vậy X e ric (đpcm).
• (1) Cho CIlà tập lồi trong Rn. CCCXCVIII.
CCCXCIX.
CD. Theo giả thiết thì I hữu hạn: I = {1,2,...,Ả:}
CDI. Lấy X eQ ta sẽ chứng minh: X e r i pỊ CDII. V CDIII. Vì X e Pl =>x e rìCị
CDIV. Theo bổ đề 5.1 suy ra tồn tại JU> 1 sao cho:
CDV. Lấy /4 = m i n = > /& > 1 CDVI. l<í<fe
CDVII. Do Ci lồi mà X eCi, /ẨỊX + Ặ-/Ẩị)y <=CỊ , \/I = ĨJC và/4 </4 nên ta cũng c ó : / 4 * + ( l - / & ) y V i = 0
CDVIII. Như vậy ta chứng minh được ỹ e Pl thì tồn tại JLU > 1 sao cho:
CDIX. /tx + (l-/4)ỹ ePỊ Vậy ứieo bổ đề 5.1 trên suy ra: X e RÌ Pl
CDX. n n < 8 >
CDXI. NN(đpcm) Do đó RI
Từ (7), (8 ) suy ra RỈ
CDXII. Bài 6 : Cho c c Rn là tập lồi. A: Rn—> Rm là phép biến đổi tuyến tính. Chứng minh: ri(AC) = A(riC)
CDXIII. Giải
• Xét thấy: ri(A(riC)) cz A(riC) c AC CAC (1)
CDXIV. Do vậy: A(rc'C)cAC
(2) CDXV. Do c là tập lồi nên c = r ĩ c , vậy nên:
CDXVI. ĂC = AịnC)
CDXVII. Theo giả thiết A: Rn—> Rm là phép biến đổi tuyến tính nên ta có:
CDXVIII.
CDXIX.
• Lấy z tùy ý sao cho z e A(riC) CDXX. Do đó: z = Az' với z'e riC
CDXXI. Lấy X tùy ý sao cho X e AC, ta cũng có : X = Ax' với x'eC.
CDXXII. Do z'e riC, x'eC, vậy theo bổ đề 5.1 của bài trên ta có: 3|X>
1 sao cho:
CDXXIII. Ỹ=FIZ +(\-Ụ )x’ eC Do A là phép biến đổi tuyến tính nên ta có:
CDXXIV.Ay* - ỊJL Az +0--M ) A x gAC ( d o j * e C )
CDXXV. = ụ z + ụ . - ụ ) x E Á C
CDXXVI. Như vậy với X tùy ý thuộc AC, tồn tại |I> 1 sao cho:
CDXXVII. fiz+(l-ụ)xeAC
CDXXVIII. Vì AC là tập lồi nên tìieo bổ đề 5.1 trên suy ra z e ri(AC)
CDXXIX. Từ đó suy ra: A(riC) CỊ ri(AC)
(9) CDXXX. Từ (8 ), (9) suy ra: ri(AC) = A(riC). (đpcm)
CDXXXI. Bài 7: Giả sử c c R” là tập lồi, compac và khác rỗng.
Chứng minh rằng c có ít nhất một điểm cực biên.
CDXXXII.
CDXXXIII.
CDXXXIV.
CDXXXV.
CDXXXVI.
CDXXXVII.
CDXXXVIII.
CDXXXIX.
CDXL.
CDXLI.
CDXLII.
CDXLIII.
CDXLIV.
CDXLV.
CDXLVI.
CDXLVII.
CDXLVIII.
CDXLIX.
CDL.
CDLI.
CDLII.
CDLIII.
CDLIV.
CDLV.
CDLVI.
CDLVII.
CDLVIII.
CDLIX.
CDLX.
CDLXI.
CDLXII.
CDLXIII.
CDLXIV.
Giải Do c compac nên 3 X e c mà: X >
Ta sẽ chứng minh x° chính là điểm cực biên của c.
Giả thiết phản chứng x° không là điểm cực biên của c, tức là:
X =ị(x1+x2) ’ vớiX’X e C’ X * X
Ta thấy: X = \ { x + x ) = X+Ả^L
, V X e c .
X
Do X > X , V X € c nên suy ra:
2_ 1 X ~ x 2_ 1 li X
~ x
X + '
0 + ( x ’ x2- x ) + — — ậ
X X X
2_ 1
X ~x ' ^ { X ’ X2- X 2_ 1
X~x Hay
Tương tự ta cũng có thể biến đổi:
(1)
0 1 / 1 2\_ 2, X1 2X X =2 \x + x )“ x 2
1_ 2
x~x ^ ( x2’ x ~ x2) 2_ 1
X ~x ' ^ ( x2’ x - x ) (2)
Hay
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
2_ 1 ^ ( x2- x ’ x2~ x ) 2_ 1
J -JC (vô lý)
CDLXV. => Giả sử phản chứng sai => x° chùih là điểm cực biên của c. Khi đó c có ít nhất một điểm cực biên, (đpcm)
CDLXVI. B à i 8 : Cho c c R" là tập lồi, compac và khác rỗng.Kí hiệu c * là tập CDLXVII. họp các điểm cực biên của c. CMR: C=COƠ
CDLXVIII. Giải
CDLXIX. Kí hiệu c* là tập hợp các điểm cực biên của c.
CDLXX. Do c lồi, compac nên c đóng.
CDLXXI.
CDLXXII.
CDLXXIII. coư
CDLXXIV. Khi đó theo định lý tách sẽ tồn tại a € Rn sao cho:
CDLXXV.
CDLXXVI. (3) CDLXXVII. Mặt khác hàm tuyến tính (A,X) xét trên tập compac c phải đạt
cực
CDLXXVIII.tiểu ít nhất một điểm cực biên của c.
CDLXXIX. Vậy tò (3) suy ra vô lý.
CDLXXX. => Giả sử phản chứng sai. Vậy c 2 COƠ
CDLXXXI. Từ (1), (4) suy ra C = COƠ . (đpcm)
3.2. Một số bài toán được giải bằng cách lấy bao lồi kết họp sử