TẬP LỒI
CCLXXVI. • • • TRONG Rn TRONG GIẢI MÔT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HOC
• •
CCLXXVII. Hình học là môn học không những đa dang về nội dung mà cũng rất phong phú về phương pháp giải. Để giải một bài toán hình học có rât nhiều cách,đối với lớp bài toán cho một tập hợp mà tập hợp đã cho là một tập lồi ta cũng có thể sử dụng định lý Kelly như phần ừên, đó là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học liên quan đến tính giao khác rỗng của các hình lồi. Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng ngay tính chất của tập hợp lồi để giải chúng. Vì tập họp lồi có tính chất cơ bản là khi nó chứa hai điểm thì nó chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Đó là tính chất quan trọng của tập họp lồi có thể tận dụng triệt để để giải các bài toán hình học tổ họp.
CCLXXVIII. Tuy nhiên có những bài toán cho một tập họp nhung tập họp đó không phải là tập họp lồi, vì vậy ta không thể áp dụng các định lý hay vận dụng ngay các tính chất của tập hợp lồi để giải các bài toán đó. Do đó trong trường hợp này ta có thể dùng phương pháp khác, đó là ta sẽ lấy bao lồi của tập hợp đã cho sau đó lại sử dụng các ưu thế của tập lồi để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra.
CCLXXIX. Việc lấy bao lồi của một tập hợp là có thể được và hợp lý vì hai lý do sau:
• Thứ nhất, khi cho trước một tập họp A thì bao giờ cũng tồn tại bao lồi
COA của nó.
• Thứ hai, bao lồi COA là một tập lồi nhỏ nhất chứa A.
CCLXXX. Như vậy việc lấy bao lồi cho một tập hợp vừa sử dụng triệt để được tính chất của tập hợp lồi vừa giúp cho bài toán dễ giải hơn.
3.1. Một số bài toán được giải chủ yếu sử dụng tính chất củatập họp lồi tập họp lồi
CCLXXXII. Bài 1: Điểm X E. с của tập hợp lồi с được gọi là điểm cực biên của nó nếu như không tồn tại hai điểm Xi e c, x2 e c, Xi Ф x2, sao cho X là điểm trong của đoạn [xi, x2].
CCLXXXIII.Chứng minh rằng điểm X e с là điểm cực biên của с khi vàchỉ khi
CCLXXXIV.không tồn tại hai điểm Xi G c, x2 £ c, Xi ^ x2, mà :
CCLXXXV. X = 1 ( Xi + x2 ).CCLXXXVI.Giải CCLXXXVI.Giải
CCLXXXVII.=>] Suy ra trực tiếp từ định nghĩa điểm cực biên ( theo bài ra)
CCLXXXVIII. <=] Đảo lại giả sử không tồn tại Xi E c, x2 e c, Xi
Ф x2 sao cho: CCLXXXIX.X = 1 ( Xi + x2 ).
CCXC.Ta đi chứng minh X là điểm cực biên.
CCXCI. Gỉả sử phản chứng X không phải là điểm cực biên, tức là tồn tại CCXCII. Xi GC,x2e c, Xi Ф x2, 3A,1, %2> 0, A,1+A,2=1, sao cho: