CDLXXXII. B à i 1 : Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm không cùng thuộc một đường thẳng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác đó không chứa điểm nào bên trong.
XXVI.
(4)
CDLXXXIII.Giải
CDLXXXIV.
CDLXXXV. Vì số điểm đã cho là hữu hạn và chúng không nằm ừên một đường thẳng, cho nên khi lấy bao lồi của hệ điểm ta sẽ được một đa giác. Giả sử đ ó l à đ a g i á c l ồ i AIA2. .. AP, c á c đ i ể m c ò n l ạ i p h ả i n ằ m t r o n g đ a g i á c b a o lồi.
CDLXXXVI. Gọi AI, Ai+ 1 là hai đỉnh liên tiếp của đa giác bao lồi( tức là xét một cạnh tùy ý Ai Ai+1 )
CDLXXXVII. Do tập các điểm đã cho không nằm ừên một đường thẳng nên tập hợp các điểm không thuộc Ai Ai+ 1 là rỗng.
CDLXXXVIII. Khi đó tồn tại điểm M sao cho:
CDLXXXIX. ZAIMAI+I = MAXZ AỊAJ Ai+1 Ở
đây giá trị lớn nhất lấy theo J=\.M mà i ^j, j ^ i +1 , AjỂ [Ai, Ai+ 1 ] (Giả sử Ai A2,.. .,Am là hệ hữu hạn các điểm cho trước) Khi đó đường tròn ngoại tiếp A AIAJAI+Ilà đường ừòn cần tìm.
CDXC. B à i 2: Trong không gian R2 cho 5điểm bất kì trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào là thẳng hàng. Chứng minh bao lồi của 5 điểm này hoặc là ngũ giác hoặc là tứ giác, hoặc là tam giác.
XXVII. Ai XXVIII.
XXIX. Ai
M
CDXCI. Giải
CDXCII. Có thể sảy ra các trường họp sau:
CDXCIII. THi! Nếu bao lồi là ngũ giác, tức là 5điểm đã cho là các đỉnh của một ngũ giác lồi.
CDXCIV. Khi đó ABCDE chính là bao lồi của họ 5 điểm A, B, c, D, E. Trường hợp này bao lồi là ngũ giác ABCDE.
CDXCV.
CDXCVI. TH?: Nếu tồn tại 4 trong 5 điểm ( chẳng hạn A, B, c, D) tạo thành một tứ giác lồi:
CDXCVII.
CDXCVIII. Theo giả thiết không có 3 điểm nào thẳng hàng nên E không thể nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA. Vì vậy có thể sảy ra các khả năng sau:
XXX. A
XXXI. B
XXXII.
XXXIII. D
XXXIV. 5
XXXV.
CDXCIX.
D. Khi đó bao lồi của 5 điểm đã cho là tứ giác (ABCD).
• Nếu E nằm ở các góc: I hoặc II, hoặc III, hoặc IV. Chẳng hạn E nằm ở góc I:
DI. Khi đó bao lồi là ngũ giác (AEBCD):
DII.
• Nếu E nằm ở một trong các góc 5, 6 , 7, 8 . Chẳng hạn E thuộc góc
DIII.
XXXVI. B
XXXVII.
• E nằm trong tứ giác ABCD:
XXXVIII.E
XXXIX.
XL.
DIV.
DV. Khi đó bao lồi là tứ giác (EBCD)
DVI. THq: Xét một tam giác bất kì. Chẳng hạn AABC.
DVII.
DVIII. Chỉ có thể sảy ra các trường họp sau:
- D và E đều nằm bên trong A ABC. Khi đó bao lồi 5 điểm đã cho trong trường họp này là A ABC.
DIX.
- D nằm trong, E nằm ngoài AABC. Xét tiếp 2 trường họp:
i) Nếu E nằm ở một trong các góc 4, hoặc 5, hoặc 6 . Chẳng hạn E thuộc 4:
XLI. 4
XLII.
XLIII. A
XLIV.
Khi đó bao lồi làABEC.
XLV. E
XLVI.
DXI.
ii) Nếu E nằm ở 1 trong các góc I, II, hoặc III. Chẳng hạn E nằm ừong góc I:
DXII.
DXIII. Khi đó bao lồi là tứ giác (EACB).
- Hoặc là cả hai điểm D, E nàm ngoài AABC. Ta cũng có hai trường họp cơ bản:
iii) Nếu E nằm một trong các góc 4, 5, 6 . Chảng hạn E nằm trong góc 4 như trường hợp ii) ở trên và D nằm một trong các góc 4, 5, 6 . Chẳng hạn D nằm trong góc 4:
DXIV.
DXV. Khi đó bao lồi là tứ giác (BEDC).
iv) Nếu E vẫn nằm ừong góc thứ 4 như trên và D nằm một ừong các góc I, II, III. Chẳng hạn D nằm trong góc I. ta có:
XLVII.
XLVIII. D
XLIX.
DXVI.
DXVII. Khi đó bao lồi là tứ giác (DECB)
DXVIII.Như vậy bao lồi của 5 điểm ừong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là tam giác, tó giác, hoặc ngũ giác.(đpcm).
* NX: Tổng quát cho bài toán trên ta thấy:
DXIX. Bao lồi của tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào thẳng hàng là một đa giác lồi. Tập họp các đỉnh của đa giác lồi này là tập hợp con của tập hợp diểm đã cho.
DXX. B à i 3: Trên mặt phẳng cho một số n-đa giác đều. Chứng minh rằng
bao lồi của nó là một đa giác không ít hơn n đỉnh.
DXXI.Giải DXXII. Cho n - đa giác đều trên mặt phẳng.
DXXIII.Vậy bao lồi của n đa giác đều đó là một đa giác đều đó là một đa giác lồi mà các đỉnh của nó nằm trong tập hợp các đỉnh của n - đa giác đều đã cho.
L.
DXXIV.
LI.
DXXV. Gọi M là số đỉnh của đa giác bao lồi.
DXXVI. Vậy tổng các góc trong của đa giác lồi này là: TĨỊM- 2) DXXVII. ĩĩ{n-2)
DXXVIII.---Sô đo của môi góc trong n - giác đêu: —---.
DXXIX. n
DXXX. Góc ở mỗi đỉnh của m - giác bao lồi đều lớn hơn hoặc bằng:
DXXXI. 7ĩ{n-2) DXXXII. n DXXXIII.
DXXXIV. Gọi a là góc nhỏ nhất trong m góc của đa giác bao lồi. 7ĩ(m-2)
DXXXV. Khi đó: A<
DXXXVI. m
DXXXVII. 71 (n-2) DXXXVIII.
DXXXIX.
DXL. —<——< — <=>m>n. m n m n
DXLI.
DXLII. Mà trong một đa giác thì: số đỉnh bằng số cạnh.
DXLIII. Do vậy số cạnh của đa giác bao lồi không ít hơn n. (đpcm)
DXLIV. Bài 4: Cho đa giác lồi n cạnh (n > 3), gọi d là tổng độ dài các đường chéo, còn p là nửa chu vi đa giác. Chứng minh rằng:
DXLV.
N
DXLVI.
N+Ì
DXLVII.
.2. DXLVIII.
DXLIX.2 _
- Trường hợp đa giác lồi có số cạnh lẻ, tức N=2K+L, i t e N * Khi đó chỉ có các loại đường chéo:
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua một đỉnh.
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua (k - 1) đỉnh.
(1) (2)
LII.d<p<
LIII.
-2
LIV.Giả i
DL. (Ví dụ: đa giác lồi 7 cạnh, k =3 và đa giác này chỉ có hai loại đường chéo là: đường chéo nối hai đinh cách qua một đinh và đường chéo nối hai đỉnh cách qua hai đỉnh)
DLI. Ai
DLII.
DLIII. Ta thấy:
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua một đỉnh thì nhỏ hơn tổng hai cạnh. (Ví dụ: AiA3< AiA2 + A2 A3)
DLIV. Gọi di là tổng độ dài đường chéo loại này thì: di< 2C, (với c là chu vi)
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua hai đỉnh thì nhỏ hơn tổng ba cạnh.
(Ví dụ: AiA4< A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 )
DLV. Gọi d2 là tổng độ dài các đường chéo loại này thì: d2< 3C DLVI. Tương tự, gọi dk_i là tổng độ dài các đường chéo nối hai đinh cách qua (k-1) đ ỉ n h thì: dk_i< k.c
DLVII. Vậy nên từ: d = di + d2 + ...+ dk_i
DLVIII. ( 2 + k ) ( k - ì )
DLIX.---=> d < C( 2 + 3 +. . . + k ) = C-—~Ỹ---
DLX. = p( 2 + k)(k - 1) = p( k2 + k + 2). (3) LV.
DLXI.
DLXII.
DLXIII.
DLXIV.
DLXV.
DLXVI.
DLXVII. Do vậy tò (3) ta có: d K p i ỵ + ỵ +2 ) = p<
DLXVIII. Vậy điều kiện khẳng địĩih của bài toán đúng trong trường họp này.
- Trường hợp đa giác lồi có số cạnh là chẵn, tức n = 2k, K e N*.
Trong trường hợp này có các loại đường chéo sau:
• Đường chéo nối hai đính qua một đỉnh.
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua hai đỉnh.
• Đường chéo nối hai đỉnh cách qua (k - 2) đỉnh.
• Đường chéo “xuyên tâm” nối AIvới AI+K v ớ i i=ì.k. ( c ó k đ ư ờ n g chéo xuyên tâm)
DLXIX.
DLXX. Kí hiệu di là tổng độ dài các đường chéo nối hai đỉnh cách qua i đ ỉ n h ( i = 1 ,2 , ...,k-2 )
Do N — 2K+L nên:
n+1
và:
2K+\ K+Ị
2 2 —
k
2k+2 = \_k+ĩ] = k+l
N N+1
2_ _ 2 . = k(k+l)=jc2+k
N N+1
2_ . 2 .
LVI. Ai
LVII.
DLXXI.Lập luận như phàn trên ta có: di < (i + 1 )C.
DLXXII. Gọi d* là tổng độ dài cỏc đường chộo xuyờn tõm, rừ ràng mỗi đường chéo xuyên tâm có độ dài nhỏ hơn -C.
DLXXIII. Vì thế: Ổ><!c.
DLXXIV.Do vậy : d = di + d2 + ...+ dk _2 + d*< C( 2 + 3 + + ...k-1) + -C.
DLXXV. Ta thấy:
DLXXVI...C( 2 + 3 + + k-1 ) + *c = C( 2+Ấ: ~^)( ~ Ả: 2 )+C| DLXXVII. = p( 2 + k -1 ) + kp
DLXXVIII.= p(k2 - k- 2 + k) = p(k2-2).
(4) DLXXIX. Mặt khác : N=2K nên:
DLXXX.
N DLXXXI.