SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Hiền Năm học 2013-2014 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC  THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN  Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Hiền  Ngày tháng năm sinh: 06-06-1984  Nam, nữ: Nữ  Địa chỉ: 242A, KP2, P.Tam Hòa, TP.Biên Hòa, Đồng Nai  Điện thoại: 0169 74 24 604 (CQ)/ (NR); ĐTDĐ:  E-mail: chutchit0606@yahoo.com  Chức vụ: Giáo viên  Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh  TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị cao nhất: Thạc sỹ - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Đại số   CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 26 tháng04 năm 2014 BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Họ và tên: Nguyễn Thị Thu Hiền Năm sinh: 1984 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Báo cáo tóm tắt sáng kiến: Tên nội dung sáng kiến: Số phức và ứng dụng của số phức trong giải một số bài toán hình học  Xuất xứ: Trong chương trình toán THPT lớp 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức có dạng z a bi= + với ,a b ∈ ¡ và i là đơn vị ảo thỏa 2 1i = − . Cách tiếp cận số phức dưới dạng z a bi= + giúp cho học sinh có thể làm dược các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn số phức với một suy nghĩ rất tự nhiên là: làm toán với số phức hoàn toàn giống như làm toán với số thực, chỉ có một điều đặc biệt cần nhớ là: 2 1i = − . Về cơ bản thì có thể nói hầu hết học sinh phần nào chạm được vào số phức. Tuy nhiên học sinh khó mà hiểu được bản chất của số phức, thậm chí có thể tin rằng số phức là con số có thật cũng như số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực. Số phức trong toán học ngày nay thuộc về một lĩnh vực rộng lớn như lĩnh vực số thực. Trong bài viết này, tôi hi vọng có thể giúp người đọc thấy được một vài điều thú vị về số phức, làm quen với ngôn ngữ trong số phức và một số ứng dụng của số phức trong việc giải quyết các bài toán hình học.  Hiệu quả: - Giúp học sinh làm quen với ngôn ngữ số phức, thành thạo trong việc thực hiện các phép tính trên số phức, có thể giải được các bài toán số phức trong các đề thi đại học.  - Bằng việc mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và giải một số bài tập ứng dụng của số phức vào giải toán hình học, các em học sinh khá giỏi đã biết sử dụng số phức như một công cụ giải toán không những mang lại cho các em một phương pháp giải toán mới mà còn góp phần vào việc rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng năng lực giải tóan của học sinh, đặc biệt là trong giải toán hình học. Nhận xét của Hội đồng sáng kiến Người viết Nguyễn Thị Thu Hiền  Mục lục Báo cáo tóm tắt SKKN trang 3 Chương I: Sự ra đời của số phức trang 6 Chương II: Định nghĩa và các phép toán trang 8 Chương III: Số phức và ứng dụng trong hình học  Mô tả một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức trang 14  Một số bài toán áp dụng trang 20  CHƯƠNG I: SỰ RA ĐỜI CUẢ SỐ PHỨC Số phức ra đời giữa thế kỉ 16. Ta biết rằng phương trình bậc hai: 2 1x = − (1) không có nghiệm thực, tức là nó vô nghiệm khi xét trên tập số thực ¡ . Các nhà toán học mong muốn rằng phương trình này có nghiệm, họ còn muốn rằng mọi phương trình đa thức đều phải có nghiệm, và nếu điều này xảy ra thì nghiệm đó không thể là số thực mà phải thuộc một loại số nào đó. Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng tập số thực thành một tập số nào đó để trên tập số này thì phương trình có nghiệm. Năm 1545, nhà toán học Italia là G.Cardano đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình (1) bằng cách dùng kí hiệu 1 − , hiển nhiên là 1 − ∉ ¡ , để thể hiện nghiệm hình thức của phương trình này. Tiếp tục phương pháp hình thức như vậy, G.Cardano kí hiệu nghiệm hình thức của phương trình 2 2 ( )x b b= − ∈¡ là 1b − . Cuối cùng, G.Cardano kí hiệu nghiệm hình thức của phương trình 2 2 ( ) ( , )x a b a b− = − ∈¡ là 1a b + − . G.Cardano đã gọi đại lượng 1a b + − ( , )a b ∈ ¡ là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nó là đại lượng không có thực, tức là một đại lượng giả tưởng. Năm 1572, nhà toán học Italia là Bombelli định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo mà ông gọi là số ảo (tên gọi số phức là do nhà toán học người Đức là K.Gauss đặt ra vào năm 1831). Ông được xem là người sáng tạo nên lí thuyết số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được ích lợi của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích. Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ toán học đã diễn ra rất chậm chạp: năm 1545, G.Cardano đưa ra kí hiệu 1 − nhưng mãi đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ là E.Euler đặt tên dho kí hiệu 1 − là số đơn vị ảo, kí hiệu là i. Điều đó có nghĩa là 2 1, 1i i = − = − .  Tên gọi đơn vị ảo và kí hiệu 1i = − cũng đã gây ra nhiều tranh cãi và nghi ngờ trong giới toán học. Chẳng hạn, nhà toán học I.Newton đã không thừa nhận số ảo. Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là tính chất lạ lẫm đến bí hiểm 2 1i = − bởi vì nó phá vỡ quan hệ thứ tự trên tập hợp số quen thuộc là ¡ . Nhà toán học người Đức là K.Gauss là người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để chỉ các đại lượng ảo. Tuy nhiên, nhà toán học người Irland là W.Hamilton mới là người có công lao biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm thành 1 con số có thật. Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lí thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề hóa để từ đó số phức trở thành một số cũng quen thuộc với người làm toán như số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực.  CHƯƠNG II: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN  Định nghĩa: - Số phức z là một biểu thức có dạng z a bi = + , trong đó a và b là những số thực và I là số thỏa mãn 2 1i = − . - i được gọi là đơn vị ảo, a là phần thực và b là phần ảo của số phức z. - Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . - Số phức 0z a i= + có phần ảo bằng 0 được gọi là số thực. - Số phức 0z bi= + có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thuần ảo). - Số 0 vừa là số thực và là số ảo. - Cho 2 số phức , ' ' 'z a bi z a b i = + = + . Khi đó: ' ' à 'z z a a v b b= ⇔ = = .  Phép cộng và phép trừ số phức:  Phép cộng: Định nghĩa: Với , ' ' 'z a bi z a b i = + = + ta định nghĩa: ' ' ( ')z z a a b b i + = + + + Tính chất: - Tính kết hợp: ( ') '' ( ' '')z z z z z z + + = + + - Tính giao hoán: ' 'z z z z+ = + - Cộng với 0: 0 0z z z + = + = - Với mọi số phức z a bi= + , ta gọi số đối của z là (-z), thì ta có ( ) 0z z+ − =  Phép trừ: Định nghĩa: Với hai số phức z, z’, ta định nghĩa z-z’=z+(-z’) Nếu , ' ' 'z a bi z a b i = + = + thì ' ' ( ')z z a a b b i − = − + −  Phép nhân số phức:  Tích của hai số phức: Với , ' ' 'z a bi z a b i = + = + , ta định nghĩa ' aa ' ' ( ' ')zz bb ab ba i = − + +  Chú ý: - Với k ∈ ¡ và z a bi = + thì kz kz kbi = +  - 0z=0, z ∀ ∈ £  Tính chất: - Tính giao hoán: zz’=z’z - Tính kết hợp: (zz’)z’’=z(z’z’’) - Nhân với 1: 1.z=z.1=z  Số phức liên hợp: - Định nghĩa: Số phức liên hợp của số phức z a bi = + là số phức z a bi = − - Nhận xét: 2 2 .z z a b= +  Mô đun của số phức: - Định nghĩa: Mô đun của số phức z a bi = + là số thực không âm 2 2 a b+ kí hiệu là z . - Nhận xét: .z z z=  Phép chia cho số phức khác 0: Định nghĩa: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số phức kí hiệu là 1 z − , xác định bởi 1 2 z z z − = Phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0: 1 2 ' ' ' z z z z z z z − = =  Biểu diễn hình học của các phép toán đại số:  Biểu diễn hình học của số phức: Định nghĩa: Điểm M(x;y) được gọi là ảnh hình học của số phức z x yi= + . Ngược lại số phức z x yi= + được gọi là tọa độ phức của điểm M(x;y). Ta dùng kí hiệu ( )M z để chỉ tọa độ phức của M là số phức z.  Từ định nghĩa này ra suy ra điểm M(x;-y) đối xứng với M(x;y) qua trục Ox là ảnh hình học của z x yi = − . Ta biết rằng tọa độ của điểm M(x;y) cũng là tọa độ của vec tơ v OM= r uuuur , do đó ta cũng có thể đồng nhất số phức z x yi= + với vec tơ v OM= r uuuur .  Biểu diễn hình học của modul: Xét số phức z x yi= + có tọa độ ảnh hình học M(x;y) trong mp phức. Ta có 2 2 OM x y z= + = . Nói cách khác modul của số phức z x yi= + là độ dài của đoạn OM.  Biểu diễn hình học của các phép toán đại số:  Phép cộng và phép trừ: Xét các số phức 1 1 1 z x y i = + và 2 2 2 z x y i = + lần lượt có ảnh hình học là 1 2 ,M M và các vec tơ 1 2 ,v v . Dễ thấy 1 2 z z ± tương ứng với 1 2 v v ± . Ví dụ: ta có (3+5i)+(6+i)=9+6i. Ảnh hình học của tổng này được thể hiện là Ta có (-3+i)-(2+3i)=-5-2i. Ảnh hình học của hiệu này được thể hiện là Chú ý: 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( )M M x x y y z z= − + − = − .  Tích của một số thực với một số phức:  [...]... thừa của số phức: Định lí: (Công thức De Moivre) z = r (cos t + i sin t ), n ∈ ¥ 8.3.3 Cho Phép chia: Mệnh đề: Giả sử rằng đó: Ta có: z n = r n (cos nt + i sin nt ) z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ), z2 = r2 (cos t 2 + i sin t2 ) ≠ 0 z1 r1 = [ cos(t1 − t2 ) + i sin(t1 − t2 ) ] z2 r2 14 Khi CHƯƠNG III: SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC A 1 Mô tả một số kết quả hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức Căn bậc n của một số phức: ... n>2 là một số nguyên và số phức Z n − z0 = 0 được gọi là căn bậc n của z0 = r (cos t + i sin t ) * Định lí: Cho z0 z0 z0 ≠ 0 Nghiệm của phương trình * là một số phức với r > 0, t * ∈ [0; 2π ) Khi đó có n căn bậc n khác nhau và được cho bởi công thức  t * + 2kπ t * + 2 kπ Z k = n r  cos + i sin n n   ÷, k = 0,1, , n − 1  Chú ý: Ảnh hình học của các căn bậc n của z0 ≠ 0 là các đỉnh của một nn... bên trái của đường tròn tâm D0 = iR , bán kính R 34 BÀI TẬP a =b =c = d 1 Cho a, b,c,d là các số phức phân biệt sao cho và a +b +c +d = 0 2 Chứng minh rằng a,b,c,d là tọa độ của các đỉnh của một hình chữ nhật Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các hình vuông ABDE và ACFG M là trung điểm của đoạn BC Chứng minh rằng AM ⊥ EG 3 4 5 6 7 8 EG = 2 AM và Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các hình vuông... đỉnh của một tam giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính r=62 15 là ác căn bậc ba này có ảnh hình học tương ứng là π  3π     6 17π  M 0  6 2, ÷, M 1  6 2, ÷, M 2  2, ÷ 12  4  12     r C 2 Số phức và hình học 2.1 Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử các số phức z1 , z2 có các ảnh hình học cách giữa hai điểm này được xác định bởi Do đó trong mp phức M 0 ( z0 ) , bán kính R là £... của điểm x1 = 2 cos 8.2 7π 4 2π ) 3 2π 2π = −1; y1 = 2sin = 3 3 3 Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác: Từ sự tương ứng giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực của điểm M, cho phép ta biểu diễn bất kì số phức z = r (cos t * + i sin t * ) r≥0 z = x + yi dưới dạng lượng giác là t * ∈ [0; 2π ) , trong đó và Khi đó ta gọi argument chính của z, kí hiệu là argz và r là modul của z Với mọi z≠0 t* là , modul và. .. Khi đó số đo góc M 1M 3 , M 2 M 4 arg bằng z3 − z1 z4 − z 2 z4 − z 2 z3 − z1 hoặc Phép quay quanh một điểm: Cho góc α và số phức Xét số phức ε = cosα +i sin α z = r (cos t + i sin t ) và M(z) ta có: zε = r [ cos(t + α ) + i sin(t + α )] , zε = r , arg( zε ) = arg z + α Do đó ảnh hình học M’ của góc quay α 19 zε là ảnh của M qua phép quay tâm O Mệnh đề: Giả sử quay α Khi đó C (c ) là ảnh của c =... trục thực: -Phép đối xứng qua trục ảo: 22 z '− z0 = e ( z − z0 ) z'= z z ' = −z -Phép đối xứng qua đường thẳng l đi qua gốc tọa độ O và điểm z0 = e II.9.4 α i 2 là: z ' = eiα z Phép vị tự: Phép vị tự tâm điểm M’(z’) Ta có: B C ( z0 ) , tỉ số r biến điểm M(z) thành z ' = r ( z − z0 ) + z0 Một số bài toán áp dụng Bài toán 1: Về phía ngoài của tứ giác lồi ABCD, lần lượt dựng các hình vuông nhận AB,... thẳng hàng trong mp phức Khi đó trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa zM = độ phức là zG = 2.4 a+b 2 , trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ phức a +b+c 3 là Góc của tam giác: Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ Ngược lại, ta nói tam giác có hướng âm Xét các điểm phân biệt M 1 ( z1 ), M 2 ( z2 ) độ của mặt phẳng phức Góc M1 , M 2 · M 1OM 2 và không... * p = iq = q Hơn nữa nên RQ = RP Bài toán 3: Cho ABCD, BNMK là hai hình vuông không giao nhau, E là trung điểm của AN Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ B 25 xuống đường thẳng CK Chứng minh rằng các điểm E, F, B thẳng hàng Giải: Ta xét bài toán trong mặt phẳng phức Chọn F là gốc tọa độ và CK, FB lần lượt là trục hoành, trục tung Gọi c, k, bi lần lượt là tọa độ của các điểm C, K, B với c,k,b ∈¡ θ=...Xét số phức z = x + yi λ z = λ x + λ yi Số phức r r u = λv Khi đó 8 r r r v = xi + y j ứng với vec tơ r ứng với vec tơ r r u = λ xi + λ y j Số phức dưới dạng lượng giác: 8.1 Tọa độ cực trong mp: Trong mp tọa độ , ta xét điểm M(x;y) không trùng gốc tọa độ Số thực r= x2 + y 2 bởi vec tơ được gọi là bán kính cực của điểm M Góc u ur uu OM t* ∈ [0; 2π ) hợp với . các bài toán số phức trong các đề thi đại học.  - Bằng việc mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và giải một số bài tập ứng dụng của số phức vào giải toán hình học, . tắt sáng kiến: Tên nội dung sáng kiến: Số phức và ứng dụng của số phức trong giải một số bài toán hình học  Xuất xứ: Trong chương trình toán THPT lớp 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức.  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Người thực hiện: