Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)

Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)Một số lớp phương trình Diophantine (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI HỮU MÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Thái Nguyên - 2017 Mục lục Danh sách kí hiệu Mở đầu Chương Phương trình Diophantine tuyến tính 1.1 Phương trình bậc hai ẩn 1.2 Phương trình bậc nhiều ẩn 15 Chương Một số phương trình Diophantine phi tuyến 23 2.1 Phương trình Pell loại 23 2.2 Phương trình Pell loại 30 2.3 Phương trình Pythagoras 38 Chương Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine 45 3.1 Liên phân số hữu hạn 45 3.2 Liên phân số vô hạn 49 3.3 Liên phân số vơ hạn tuần hồn 50 3.4 Áp dụng vào phương trình Diophante 56 3.4.1 Phương trình bậc hai ẩn Ax + By = C 56 3.4.2 Phương trình x2 − dy2 = ±1 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Danh sách kí hiệu N tập hợp số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỷ R trường số thực C trường số phức Fp trường có p phần tử K[X] vành đa thức với hệ số trường K x trần số x deg P(X) bậc đa thức P(X) mod p modulo p gcd(P(X), Q(X)) ước chung lớn hai đa thức P(X) Q(X) Mở đầu Phương trình Diophantine chủ đề lớn Lý thuyết số, chứa đựng nhiều lý thuyết toán học sâu sắc, gắn liền với nhiều tên tuổi nhiều nhà toán học xuất sắc Mục tiêu đề tài luận văn là: Tìm hiểu số lớp phương trình Diophantine như: phương trình Diophantine tuyến tính; số phương trình Diophantine phi tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras Fermat) Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine Về mặt ứng dụng, luận văn áp dụng lý thuyết để soi sáng toán số học phổ thơng, hệ thống hóa, tổng qt hóa sáng tác toán số học Luận văn cố gắng trở thành tài liệu tham khảo tốt, thiết thực phục vụ cho việc giảng dạy, việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Ngồi thơng qua việc viết luận văn, tác giả luận văn có hội mở rộng nâng cao hiểu biết tốn sơ cấp nói chung số học nói riêng, hình thành kỹ chứng minh định lí số học giải tốn số học, phục vụ tốt cho việc giảng dạy mơn Tốn trường phổ thông Nội dung luận văn trình bày ba chương sau: • Chương Phương trình Diophantine tuyến tính Trong chương chúng tơi trình bày phương trình bậc hai ẩn, nhiều ẩn, số tốn chọn lọc • Chương Một số phương trình Diophantine phi tuyến Trong chương chúng tơi trình bày nội dung phương trình Pell loại 1, phương trình Pell loại , phương trình Pythagoras • Chương Liên phân số ứng dụng phương trình Diophantine Trong chương chúng tơi trình bày cách ngắn gọn kiện liên phân số, đặc biệt ứng dụng chúng để giải phương trình Pell Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng (Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Thái Phiên tạo điều kiện cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến đại gia đình động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả Bùi Hữu Mên Chương Phương trình Diophantine tuyến tính Phương trình Diophantine chủ đề sâu sắc rộng Lý thuyết số Mục đích chương nghiên cứu phương trình Diophantine bậc hai nhiều ẩn Như minh họa cho lý thuyết, ví dụ tốn trích từ đề thi trình bày Đặc tính phương trình Diophantine chúng có hay nhiều ẩn số mà hệ số số nguyên yêu cầu tìm nghiệm nguyên (hoặc nguyên dương) Nhà toán học tiếng thời cổ đại Diophantine có cơng lớn nghiên cứu tiên phong chúng Với phương trình Diophantine cho trước ta đặt câu hỏi sau (xếp theo thứ tự từ dễ đến khó): Câu hỏi Nó có nghiệm ngun hay khơng ? Câu hỏi Nó có số hữu hạn nghiệm hay có vơ số nghiệm? Câu hỏi Hãy tìm tất nghiệm Chẳng hạn, ta xét phương trình Diophantine xn + yn = zn n số nguyên dương lớn hay Với n = phương trình có vơ số nghiệm ta tìm tường minh tất nghiệm Với n > 2, nhà tốn học thiên tài kỷ 17 Pierre de Fermat khẳng định phương trình khơng có nghiệm nguyên dương Kết luận ngày mang tên Định lí lớn Fermat hay Định lí cuối Fermat Người ta khơng tìm thấy dấu vết chứng minh khẳng định Fermat mà thấy ghi Fermat bên lề sách “Số học” Diophantine: “Tơi tìm chứng minh thật tuyệt vời lề sách hẹp nên viết ra” Năm 1983, nhà toán học 29 tuổi người Đức Faltings chứng minh thành công giả thuyết Mordell lĩnh vực Hình học đại số từ suy phương trình xn + yn = zn với n > có số hữu hạn nghiệm nguyên Với thành tựu Faltings nhận Giải thưởng Fields (giải thưởng quốc tế cao dành cho nhà tốn học khơng q 40 tuổi) Năm 1993 nhà tốn học người Anh Andrew Wiles cơng bố phép chứng minh Định lí lớn Fermat Đây câu chuyện lớn Tốn học, tham khảo Amir D Aczel [1] Với đời máy tính, người ta đặt câu hỏi: Có tồn thuật tốn để với phương trình Diophantine cho trước nhờ khẳng định phương trình có nghiệm ngun hay khơng Tiếc thay câu trả lời lại là: khơng có thuật tốn (Định lí Machiakevich) 1.1 Phương trình bậc hai ẩn Phương trình Diophantine đơn giản phương trình bậc hai ẩn ax + by = c (1.1) a, b, c số nguyên cho trước khác Vấn đề đặt với điều kiện a, b, c phương trình (1.1) có nghiệm có cách tìm nghiệm Định lí 1.1.1 Điều kiện cần đủ để phương trình (1.1) có nghiệm ngun (a, b) ước c Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (x0 , y0 ) nghiệm nguyên (1.1) Khi ax0 + by0 = c Nếu d = (a, b) rõ ràng d | c Điều kiện đủ Giả sử d = (a, b) d | c Ta có a = da1 , b = db1 , c = dc1 (a1 , b1 ) = Phương trình (1.1) tương đương với a1 x + b1 y = c1 Xét a1 số {b1 k} với k = 0, 1, 2, , a1 − Vì (a1 , b1 ) = nên số chia cho a1 cho ta số dư khác Vậy k0 , ≤ k0 ≤ a1 − cho b1 k0 = c1 (mod a1 ) Điều có nghĩa là: c1 − b1 k0 = a1 l0 với l0 ∈ Z hay c1 = a1 l0 + b1 k0 Vậy (l0 , k0 ) nghiệm phương trình (1.1) Phép chứng minh định lí hồn thành Tiếp theo ta tìm tất nghiệm phương trình (1.1) Định lí 1.1.2 Nếu (x0 , y0 ) nghiệm ngun (1.1) có vơ số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x, y) cho công thức  b  x = x0 + t, d  y = y0 − a t, d (1.2) t ∈ Z d = (a, b) Chứng minh Trước hết ta kiểm tra cặp số (x, y) cho công thức (1.2) nghiệm Thật ax + by = ax0 + by0 = c Đảo lại, giả sử (x1 , y1 ) nghiệm (1.1) tức ax1 + by1 = c Trừ đẳng thức vào đẳng thức ax0 + by0 = c ta thu a(x1 − x0 ) = b(y0 − y1 ) (1.3) 10 Vì d = (a, b) nên a = a1 d, b = b1 d với (a1 , b1 ) = Thay vào (1.3) ta a1 (x1 − x0 ) = b1 (y0 − y1 ) Vì (a1 , b1 ) = nên y0 − y1 = ta1 x1 − x0 = tb1 Vậy y1 = y0 − ta1 = y0 − at d x1 = x0 + tb1 = x0 + bt d Phép chứng minh kết thúc Thuật tốn tìm nghiệm phương trình Diophantine bậc Từ Định lí 1.1.2 ta thấy để tìm tất nghiệm (1.1) ta cần tìm nghiệm (x0 , y0 ) Ta gọi nghiệm cụ thể nghiệm riêng cơng thức (1.2) gọi nghiệm tổng quát Sau ta trình bày thuật toán cho phép xác định nhanh nghiệm riêng (1.1) Giả sử q0 , q1 , dãy số nguyên dương Với i ≥ ta kí hiệu [q0 , q1 , , qi ] phân số sau [q0 , q1 , , qi ] = q0 + q1 + q2 + · · · + qi−1 + qi Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.3 Giả sử {hn }, {kn } hai dãy số nguyên xác định sau: h−2 = 0, h−1 = 1, h1 = qi hi−1 + hi−2 , k0 = 1, k1 = q1 , ki = qi hki−1 + ki−2 , Khi với i ≥ ta có: (a) hi ki−1 − hi−1 ki = (−1)i−1 ; (b) [q0 , q1 , , qi ] = hkii i ≥ 0, i ≥ ... là: Tìm hiểu số lớp phương trình Diophantine như: phương trình Diophantine tuyến tính; số phương trình Diophantine phi tuyến (phương trình Pell, phương trình Pell mở rộng, phương trình Pythagoras... luận văn trình bày ba chương sau: • Chương Phương trình Diophantine tuyến tính Trong chương chúng tơi trình bày phương trình bậc hai ẩn, nhiều ẩn, số toán chọn lọc • Chương Một số phương trình Diophantine. .. đầu Chương Phương trình Diophantine tuyến tính 1.1 Phương trình bậc hai ẩn 1.2 Phương trình bậc nhiều ẩn 15 Chương Một số phương trình Diophantine