Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton – Krylov bậc ba

Bài viết trình bày về tốc độ hội tụ của phương pháp Newton – Krylov bậc ba, đồng thời đưa ra chứng minh cho tốc độ hội tụ của công thức lặp. Ngoài ra, bài viết còn trình bày một kết quả thực nghiệm để minh chứng cho tốc độ hội tụ của phương pháp.

TNU Journal of Science and Technology 226(07): 50 - 55 THE SPEED OF CONVERGENCE OF THE THIRD – ODER NEWTON – KRYLOV METHOD Lai Van Trung*, Quach Thi Mai Lien TNU – University of Information and Communication Technology ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 03/12/2020 In recent years, the approximate solution of the system of nonlinear equations has been studied by many scientists, especially the class of systems of nonlinear equations with a large number of equations The third-order Newton - Krylov method solved these systems very well with the speed of cubed of convergence The convergence of iterated formula has been proofed, however, its only has been confirmed by experiment In this article, we will present the speed of convergence of the third-order Newton - Krylov method and give the proof for the speed of convergence of iterated formula simultaneously Moreover, the article also presents a consult of experiment to proof for the speed of convergence of the Newton–Krylov method Revised: 01/5/2021 Published: 11/5/2021 KEYWORDS Convergence speed Convergence Third-order Newton-Krylov method Iterative formula Nonlinear equations system TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KRYLOV BẬC BA Lại Văn Trung*, Quách Thị Mai Liên Trường Đại học Công nghệ thông tin & Truyền thơng – ĐH Thái Ngun THƠNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 03/12/2020 Ngày hoàn thiện: 01/5/2021 Ngày đăng: 11/5/2021 TỪ KHÓA Tốc độ hội tụ Sự hội tụ Phương pháp Newton-Krylov bậc ba Công thức lặp Hệ phương trình phi tuyến TĨM TẮT Những năm gần đây, việc giải gần hệ phương trình phi tuyến nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt lớp hệ phương trình phi tuyến có số phương trình lớn Phương pháp Newton –Krylov bậc ba giải tốt lớp hệ phương trình với tốc độ hội tụ bậc ba Sự hội tụ công thức lặp chứng minh, nhiên tốc độ hội tụ khẳng định qua thực nghiệm Trong báo này, trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton – Krylov bậc ba, đồng thời đưa chứng minh cho tốc độ hội tụ công thức lặp Ngồi ra, báo cịn trình bày kết thực nghiệm để minh chứng cho tốc độ hội tụ phương pháp DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.3815 * Corresponding author Email: lvtrungsp@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 50 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 50 - 55 Giới thiệu Xét hệ phương trình phi tuyến F x F t f1 x , f2 x ; ; fn x 0, với fi : (1) n hàm phi tuyến ( i 1, 2, ,n ) Phương pháp Newton công bố lần vào năm 1685, sau nhiều nhà khoa học phát triển cải tiến sang giải hệ phương trình phi tuyến với hội tụ bậc cao [1]-[3] Trong [4] trình bày phương pháp New – Krylov bậc ba để giải hệ phương trình (1) sau: Bước 1: Đặt F xn xn xn , (2) 1 F xn F xn F xn biến đổi công thức (2) thành F x n F xn Bước 2: Đặt k x n 1 F xn F xn xn xn F xn (3) F x n chuyển phương trình (3) thành (4) F xn Bước 3: Áp dụng phương pháp Krylov [5] để tìm nghiệm gần k x n phương trình F xn k xn (4) viết công thức (3) viết lại sau F xn xn với k x n sn sn F xn , (5) xn (6) Bước 4: Áp dụng thuật tốn Newton-Krylov để tìm nghiệm x n hệ (5), (6) Sự hội tụ cơng thức lặp trình bày [4], [5], nhiên tốc độ hội tụ công thức lặp khẳng định qua thực nghiệm Bài báo trình bày tốc độ hội tụ đưa chứng minh cho tốc độ hội tụ phương pháp Cấu trúc báo gồm phần: Sau phần giới thiệu Phần 2, trình bày tốc độ hội tụ đưa việc chứng minh cho tốc độ hội tụ công thức lặp; Phần trình bày số kết thực nghiệm; Cuối phần Kết luận Tốc độ hội tụ Định nghĩa 2.1 (Tốc độ hội tụ) (Xem [6]) Xét dãy en xn an , tồn hàm k- k tuyến tính K L n k n , n cho en Kenk O en k , với enk e, ,e n n en chuẩn Euclid x n gọi hội tụ đến a với tốc độ hội tụ cấp k Định lý 2.2 (Sự hội tụ phương pháp Newton-Krylov bậc ba) Cho ánh xạ F : khả vi liên tục tập lồi mở D http://jst.tnu.edu.vn n Giả sử tồn x 51 n , thỏa mãn Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology S x ,r D, F x 1 tồn tại, F x thỏa mãn với x S x , 226(07): 50 - 55 F Lip S x ,r Khi tồn số dãy x1,x2 , xác định công thức (2) hội tụ đến x Định lý 2.3 (Tốc độ hội tụ phương pháp Newton-Krylov bậc ba) Cho ánh xạ n n thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2 có đạo hàm đến cấp ba D F: n Khi dãy x n xác định công thức (2) hội tụ đến x với tốc độ hội tụ cấp ba Sau đây, đưa chứng minh Định lý 2.3 Trong chứng minh này, ta đặt en = xn − x* F (x ) C j = , j = 1, 2,3 j ! F  ( x* ) ( j) * Để chứng minh Định lý 2.3, ta có hàm K – tuyến tính cho en Ken3 O en Trước hết ta viết lại công thức (2) sau xn+1 = xn − F  ( yn ) F ( xn ) , −1 −1 yn = xn − F  ( xn ) F ( xn ) Áp dụng công thức khai triển Taylor hàm F ( x ) x  ta có với F ( x ) = F ( x ) + F  ( x )( x − x ) + 1 F  ( x )( x − x ) + F  ( x )( x − x ) + O x − x 2! 3! 1 Khi F ( xn ) = F  ( x )( xn − x ) + F  ( x )( x − x ) + F  ( x )( x − x ) + O x − x 2! 3! 1 = F  ( x ) en + F  ( x ) en2 + F  ( x ) en3 + O en 2! 3! ( = F  ( x ) en + C2 en2 + C3en3 + O en ) Áp dụng công thức khai triển Taylor hàm F  ( x ) x  ta có Khi F  ( x ) = F  ( x* ) + F  ( x* )( x − x* ) + F  ( x* )( x − x* ) + O x − x* 2 F  ( xn ) = F  ( x ) + F  ( x )( xn − x ) + F  ( x* )( x − x* ) + O x − x* ( = F  ( x* ) I + 2C2en + 3C3en2 + O en Do ( ( F  ( x ) en + C2en2 + C3en3 + O en F ( xn ) = F  ( xn ) F  ( x* ) I + 2C2en + 3C3en2 + O en ) ) ) ( =  I − 2C2 en + ( 4C22 − 3C3 ) en2 + O en  en + C2en2 + C3en3 + O en   ) = en − C2en2 + ( 2C22 − 2C3 ) en3 + O en Suy http://jst.tnu.edu.vn F ( xn ) 1 = en − C2en2 + ( C22 − C3 ) en3 + O en F  ( xn ) 2 52 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 50 - 55 yn = x + en + C2en2 − ( C22 − C3 ) en3 + O en 2 Ta có F  ( yn ) = F  ( x* ) + F  ( x* )( yn − x* ) + F  ( x* )( yn − x* ) + O yn − x* 2 *  * = F  ( x )  I + 2C2 ( yn − x ) + 3C3 ( yn − x* ) + O en      3  = F  x*  I + 2C2en +  C22 + C3  en2 + O en      Do ( ) F ( xn ) = F  ( yn ) en + C2 en2 + C3en3 + O en   I + C2 en + C22 + C3  en2 + O en   3  =  I − C2en − C3en2 + O en  en + C2en2 + C3en3 + O en   C   = en −  C22 −  en3 + O en   −1 xn+1 = xn − F  ( yn ) F ( xn ) Suy ( Vậy C   = xn − en +  C22 −  en3 + O en   C   = x +  C22 −  en3 + O en     Do en+1 =  C22 − ) C3   en + O en , Định lý 2.3 chứng minh  Kết thực nghiệm Trong phần này, chúng tơi đưa số ví dụ cách sử dụng Matlab để tìm nghiệm gần hệ thông qua công thức lặp (3) Trong ví dụ này, bước lặp dừng lại F xn 10 13 đưa thời gian chạy thuật tốn Ví dụ : Giải gần hệ phương trình : x 1x 2x x1 x2 2 x x Ta chọn nghiệm gần ban đầu x x 32 x 1, (7) T 1, 0.1 , sau thực bước lặp với thời gian chạy 0.125 (s) ta nghiệm gần hệ (7) x 2.14025812200518, 2.09029464225523, T 0.22352512107130 Mã code : Clear all Syms x1 x2 x3 Format long ; http://jst.tnu.edu.vn 53 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 50 - 55 f = [x1*x2*x3 ; x1+x2-x3*x3; x1*x1+x2*x2+x3*x3]; y = [x1; x2 ;x3]; xn = [1; -1, 0.1]; R = Jacobian(f,y) ; m = ; tic ; While (m