Tính vững, ổn định và hội tụ của phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình nhiệt

Bài viết này trình bày về phương pháp số để giải phương trình nhiệt với điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet. Xấp xỉ của các đạo hàm bằng phương pháp sai phân hữu hạn giữ vai trò quan trọng trong phương pháp số trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt các bài toán biên. Mời các bạn cùng tham khảo!

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Số 43B, 2020 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT NGƠ NGỌC HƢNG Trường Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh ngongochung@iuh.edu.vn Tóm tắt Trong báo tơi bàn phƣơng pháp số để giải phƣơng trình nhiệt với điều kiện ban đầu điều kiện biên Dirichlet Xấp xỉ đạo hàm phƣơng pháp sai phân hữu hạn giữ vai trò quan trọng phƣơng pháp số lĩnh vực phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn biên Việc nghiên cứu tính quán tính ổn định nghiệm xấp xỉ cần thiết Vì có tính chất này, nghiệm xấp xỉ đảm bảo hội tụ nghiệm xác Ví dụ số đƣợc thực để minh họa cho kết lý thuyết Từ khóa Phƣơng trình nhiệt, phƣơng pháp sai phân hữu hạn, tính vững, tính ổn định CONSISTENCY, STABILITY AND CONVERGENCE OF FINITE DIFFERENCE SCHEMES ON THE HEAT EQUATION Abstract This paper deal with a numerical method for the solution of the heat equation together with initial condition and Dirichlet boundary conditions The approximation of derivatives by finite differences plays a central role in finite difference methods for the numerical solution of differential equations, especially boundary value problems The consistency and the stability of the schemes are described Futhermore, numerical simulations are performed to illustrate the accuracy and stability of the regularized solution Keywords Heat equation, finite difference method, consistency, stability GIỚI THIỆU Trong thực tế, nhiều vấn đề vật lý nhƣ phƣơng trình truyền nhiệt, phƣơng trình sóng, phƣơng trình Poisson phƣơng trình Laplace đƣợc mơ hình hóa phƣơng trình đạo hàm riêng Một số phƣơng trình đạo hàm riêng có nghiệm xác miền đặc biệt Nhƣng nói chung việc xác định nghiệm xác phƣơng trình đạo hàm riêng miền gặp nhiều khó khăn Do đó, việc nghiên cứu phƣơng pháp tính số để tìm nghiệm gần quan trọng Phƣơng pháp sai phân hữu hạn phƣơng pháp dùng để tìm nghiệm xấp xỉ phƣơng trình vi phân Bằng việc phân hoạch miền xác định thành hữu hạn lƣới nhỏ Nghiệm xấp xỉ đƣợc tính điểm lƣới miền xác định [1] Bài viết liên quan đến phƣơng pháp sai phân hữu hạn cho phƣơng trình nhiệt vật liệu có chiều dài L , phƣơng trình có dạng nhƣ sau ut  uxx  f  x ,t  ,  x ,t   (0, L)  (0,T ], (1) với điều kiện ban đầu điều kiện biên Dirichlet u( x,0)  g( x), x [0, L], (2) u(0, t)  h(t), t [0, T], u( L, t)  k(t), t [0, T], (3) (4) hàm chƣa biết u( x , t) giá trị nhiệt độ vị trí thời điểm t , ut ( x, t ) uxx ( x , t) tƣơng ứng đạo hàm riêng cấp cấp hai hàm u( x, t) theo biến thời gian t không gian x Hằng số  © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 106 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT độ dẫn nhiệt vật liệu Hàm số g( x) phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu T thời điểm cuối Các hàm số theo biến thời gian h(t ) k(t) mơ tả dịng nhiệt hai biên Ở giả định vật liệu đồng bề mặt đƣợc cách nhiệt để nhiệt truyền theo hƣớng x Giả sử thêm tốn chỉnh có nghiệm u( x, t) PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Đầu tiên, ta tiến hành rời rạc hóa miền liên tục [0, L]  [0,T ] thành tập N x  Nt điểm lƣới Ở sử dụng điểm chia cách nhau, nghĩa ta chia miền x thành tập điểm cách L xi  i x ,  x  , i  , , Nx , Nx tƣơng tự, miền t đƣợc chia nhƣ sau T t j  i j ,  j  , j  , , Nt Nt (5) (6) Ta ký hiệu uij giá trị u( x, t) điểm lƣới ( xi , t j ) Ta xấp xỉ đạo hàm riêng ut ( xi , t j ) phƣơng trình (1) nhƣ sau uij 1  uij , j  0,, Nt  1, t ý, từ điều kiện ban đầu (2) ta có u( xi ,0)  ui0  g(xi ), i  0,, Nx ut ( xi , t j )  (7) (8) Tƣơng tự, đạo hàm riêng cấp hai uxx ( xi , t j ) ta có xấp xỉ nhƣ sau uxx ( xi , t j )  theo điều kiện Dirichlet, ta có uij1  2uij  uij1 2 x , i  1,, N x  1, u(0, t j )  u0j  h(t j ), j  0,, Nt  1, j  0,, Nt  1, (9) (10) u( L, tj )  uNj x  k(t j ), j  0,, Nt  Vậy ta có cơng thức xấp xỉ cho (1) nhƣ sau  uij 1  uij u j  2uij  uij1   i 1  fi j  , i  1, , N x  1, j  ,, Nt  2 x  t u j  h( t ), u j  k(t ), u0  g( x ) j Nx j i i  (11) (12) fi j  f ( xi ,t j ) Chi tiết, với j  0,, Nt  ta có  u0j  2u1j  u2j u1j 1  u1j i  1,    f10 ,   t  x   u2j 1  u2j u j  2u2j  u3j   f20 , i  2, t  x    uNj x11  uNj x 1 uNj x 2  2uNj x 1  uNj x  i  N  1,    f20  x t 2 x  Do điều kiện biên, u0j  h(t j ) uNj x  k(t j ) , hệ phƣơng trình (13) đƣợc viết lại nhƣ sau © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh (13) TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT  u1j 1  u1j 2u1j  u2j  i  1,    f10  h(t j ),   t  x  x  j 1 j j j j  u  2u2  u3 u2  u2   f20 , i  , t 2x    uNj x11  uNj x 1 uNj x   2uNj x 1     f 2j  k(t j ) i  N x  1, t  x  x  Sắp xếp lại số hạng hệ phƣơng trình (14) ta đƣợc hệ tƣơng đƣơng nhƣ sau  t t u1j 1  u1j  ( 2u1j  u2j )  f1j t  h(t j ), i  1,  x  x  t i  2, u2j 1  u2j  (u1j  2u2j  u3j )  f2j t ,   x    t i  N  1, u j 1  u j  t (u j  2uNj x 1 )  f Nj x 1t  k(t j ) x N x 1 N x 1 Nx 2   x  x t Để đơn giản trình bày, ta đặt r  Hệ phƣơng trình (15) đƣợc viết lại nhƣ sau  x  t u1j   u1j  2ru1j  ru2j  f1j t  h(t j ), i  1,  x  j 1 j j j j j i  2, u  u  r u  ru  ru  f  t,  2  j 1 j j j j u3  u3  ru2  ru3  ru4  f 2j t , i  3,   i  N  2, u j 1  u j  ruNj   2ruNj   ruNj 1  f Nj x 1t , x Nx  Nx    t j 1 j ruNj x   2ruNj x 1  f Nj x 1 t  k(t j ) i  N x  1, uNx 1  uNx 1   x  j 1 Vậy, ta có đƣợc ui , i  N  đƣợc tính nhƣ sau  i  1,  i  2,  i  3,   i  N  2, x   i  N x  1,  Đặt ma trận u1j   (2r  1)u1j  ru2j  f1j t  u2j 1 t 2 x j j j  ru1  ( 2r  1)u2  ru3  f2j t , u3j   107 (14) (15) (16) h(t j ), ru2j  ( 2r  1)u3j  ru4j  f2j t , (17) uNj x1  ruNj   (2r  1)uNj 2  ruNj 1  fNj x 1 t , uNj x11  ruNj x   (2r  1)uNj x 1  f Nj x 1 t  t 2 x k(t j ) © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 108 ma trận  j t   f1 t  h(t j )   u1j   x    j  f2j t    u2       , uj   , Fj          j  j f Nx  t    uN x      j   f j t  t k(t )   uNx 1  N x 1 j  x    2r  r 0 0    2r  1 0   r  r 2r  r 0  A , A 0 0    0 r 2 r  r     0 0 r 2r    Hệ phƣơng trình (15) tƣơng đƣơng với phƣơng trình ma trận nhƣ sau u j 1  Au j  F j , j  0,, Nt  j 1 i Sau giải hệ ta đƣợc u ,i  Nx 1 F j , u j  N  Giá trị biên u j 1 N x 1   N x 1 (18) (19) j 1 N  h(t j 1 ) u  k(t j 1 ) HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP Bổ đề Cho ma trận vuông A  n  n b  a A   0 0  có dạng đƣờng chéo nhƣ sau c   0  b c  0       , a, b,c    a b c   a b  (20) Trị riêng vector riêng A tƣơng ứng nhƣ sau   a 1/2 1 j     sin  n1  c   1/ 2  j  a  j sin j  b  ac cos , v j    c  n   , j  1,, N n1       1/   a  sin n   j   c  n     Chứng minh Xem [2, 3] Định nghĩa (Chuẩn sai số) Với điểm lƣới ( xi , t j )  (0,1)  (0, T) , gọi uij giá trị xấp xỉ nghiệm xác u( xi , t j ) Sai số Err(tj )  (u0j  u( x0 , t j ), u1j  u( x1 , t j ),, uNj x  u( xN x , t j )) i) Cố định thời gian t j , chuẩn sai số theo khơng gian © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 109 Nx ‖ Err(t j ) ‖ 2L2  x(uij  u( xi , t j ))2 i 1 ii) Chuẩn sai số theo không gian thời gian Nt N x ‖ Err() ‖ 2L2  tx(uij  u( xi , t j ))2 j 1 i 1 3.1 Tính vững Nhìn chung điểm lƣới ( xi , t j ) , nghiệm xác khơng thỏa cơng thức rời rạc (12), sai số có dạng nhƣ sau  ij  u( xi , t j 1 )  u( xi , t j )  u(xi 1 , t j )  2u( xi , t j )  u( xi 1 , tj )  f ( xi , t j ) (21) t 2 x Định lý Xấp xỉ theo cơng thức (12) có tính vững, nghĩa  ij hội tụ x t tiến đến Chứng minh Khai triển chuỗi Taylor hàm u( x , t) theo biến t điểm t j , ta đƣợc u( xi , t)  u(xi , t j )  ut ( xi , t j )(t  t j )  utt ( xi , t j ) suy u( xi , t j 1 )  u( x i , t j )  ut ( xi , t j )(t j 1  t j )   u( xi , t j )  ut ( xi , t j ) t  vậy, ta rút đƣợc u( xi , t j 1 )  u( xi , t j ) ( t  t j )2  utt ( xi , t j ) utt ( xi , t j ) 2 , ( t j1  t j )2  ( t)  , utt ( xi , t j ) t  O(( t)2 ) t Tƣơng tự, khai triển chuỗi Taylor hàm u( x, t ) theo biến x điểm xi , ta đƣợc  ut ( xi , t j )  u( x , t j )  u(xi , t j )  ux (xi , t j )( x  xi )   với x  xi 1 , ta đƣợc uxxx ( xi , t j ) ( x  xi )  uxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j ) 24 u( xi 1 , t j )  u( xi , t j )  ux ( xi , t j )( xi 1  xi )   uxxx ( xi , t j ) ( xi 1  xi )3   u( xi , t j )  ux ( xi , t j ) x   với x  xi 1 , ta đƣợc uxxx ( xi , t j ) (  x )3  ( x  xi )4  uxxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j ) 24 (x  xi )2 uxx ( xi , t j ) 12 uxx ( xi , t j ) (22) ( xi 1  xi )4 ( x ) (  x )4 ( xi 1  xi )2 (23) , © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 110 u( xi 1 , t j )  u( xi , t j )  ux ( xi , t j )( xi 1  xi )   uxxx ( xi , t j ) ( xi 1  xi )3   u( xi , t j )  ux ( xi , t j ) x   uxxx ( xi , t j ) (  x )3  Từ (23) (24) ta đƣợc u( xi 1 , t j )  2u(xi , t j )  u( xi 1 , t j )  x Từ (21), (22) (25) ta suy đƣợc utt ( xi , t j )  ij  ut ( xi , t j )  t  2 utt ( xi , t j ) t   O( t  (  x )2 ),  uxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j ) 12 uxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j ) 24  uxx ( xi , t j )  ( xi 1  xi )2 ( xi 1  xi ) ( x ) (24) (  x )4 , uxxxx ( xi , t j ) 12 (  x )2   uxxxx ( xi , t j )    uxx ( xi , t j )  (  x )2   12  uxxxx ( xi , t j )  (  x )2  12 (25)    f ( xi , t j )   đó, ta sử dụng giả thiết phƣơng trình ut  uxx  f  x, t  Ta thấy  ij hội tụ x t tiến đến Do đó, xấp xỉ ta có tính chất vững 3.2 Tính ổn định Để thuận tiện, ta đặt r  Do đó, ta có t 2 x Theo bổ đề 1, ma trận (18) có trị riêng vector riêng tƣơng ứng nhƣ sau  1 j   sin  n1    j   j sin   j  2r  2r cos , v  n   , j  1, , N  n1 j     n  j   sin  n1     ( N x  1) min  Nx 1   2r  2r cos Nx        2r  2r cos   max Nx Nếu  / Nx , ta có đƣợc     min  N 1   4r  r   , x   Nx            r   ,  max  Nx   © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 111 Điều kiện hội tụ cho min dẫn đến r với điều này, (19) ổn định    4   Nx   , (26) VÍ DỤ SỐ Hình Nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xác Phần này, tơi xét ví dụ cho hai trƣờng hợp: r thỏa điều kiện (26), trƣờng hợp r khơng thỏa điều kiện (26) để ta khảo sát tính ổn định nghiệm Ví dụ Ta xét phƣơng trình đạo hàm riêng ut  uxx , ( x, t)  (0,1)  (0,T),  T , với điều kiện ban đầu u( x,0)  sin( x), x  (0,1) , cho biết thêm, tốn có biên Dirichlet u(0, t)  u(1, t)  0, t  (0,T ) Cho trƣớc   , dễ dàng kiểm tra đƣợc tốn có nghiệm xác 16 © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh 112 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT u( x, t )  e   2t sin(2 x) Mục tiêu tốn đây, ta tìm giá trị xấp xỉ cho u( x , t) , uij  u( xi , t j ) Trường hợp Chọn t cho (26) đƣợc thỏa, nghĩa t t r  suy  16  x  x Ta có kết so sánh nghiệm xác nghiệm xấp xỉ t  ta chọn t  4 x Tại t  , so sánh giá trị nghiệm xác u( x) : u( x,4) với nghiệm xấp xỉ Khi N x lớn nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác xem (Hình 1) Trường hợp Chọn t cho điểu kiện (26) bị vi phạm, nghĩa t t r  suy  16  x  x Ta có kết so sánh nghiệm xác nghiệm xấp xỉ t  ta chọn t  16 x Khi điều kiện (26) bị vi phạm, nghiệm xấp xỉ khơng hội tụ nghiệm xác Điều phản ánh kết lý thuyết trình bày, xem (Hình 2) Hình Nghiệm xấp xỉ khơng hội tụ nghiệm xác KẾT LUẬN Trong tơi trình bày phƣơng pháp số để giải phƣơng trình nhiệt phƣơng pháp sai phân hữu hạn Để đảm bảo phƣơng pháp hội tụ, tơi khảo sát tính vững tính ổn định phân tích phổ ma trận Kết báo phƣơng pháp sai phân hữu hạn trƣờng hợp có tính vững tính ổn định với số cách chọn r Ví dụ số đƣợc thiết lập để minh họa kết lý thuyết © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 113 REFERENCES [1] K Sayevand, "Convergence and stability analysis of modified backward time centered space approach for nondimensionalizing parabolic equation," J Nonlinear Sci., pp 11-17, 2014 [2] V FACK, G VANDEN BERGHE, H.E DE MEYER , "Some finite difference methods for computing eigenvalues and eigenvectors of special two-point boundary value problems," Journal of Computational and Applied Mathematics , pp 211-217 , 1987 [3] S Sajavicius, "On the eigenvalue problems for differential operators with coupled boundary conditions," Nonlinear Analysis: Modelling and Control, vol 15, p 493–500, 2010 [4] J.Wang, "A model of competitive stock trading volume," Journal of Political Economy, vol 102, p 127–168, 1994 Ngày nhận bài: 11/11/2019 Ngày chấp nhận đăng: 19/03/2020 © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh ... Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT 111 Điều kiện hội tụ cho min dẫn đến r với điều này, (19) ổn định    4   Nx...106 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT độ dẫn nhiệt vật liệu Hàm số g( x) phân bố nhiệt độ thời điểm ban đầu T thời... Cố định thời gian t j , chuẩn sai số theo khơng gian © 2020 Trƣờng Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT