Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Bài viết trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng của tấm tròn theo lý thuyết phi cổ điển. Mô hình tính toán trạng thái ứng suất biến dạng đối với tấm tròn được xây dựng trên cơ sở hệ tọa độ 3 chiều, là hệ phương trình vi phân bậc 2 với các hệ số thay đổi.

TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 RESEARCH THE STRESS-DEFORMED STATE OF CIRCULAR PLATE BY NON-CLASSICAL THEORY USING FINITE DIFFERENCE METHOD Doan Quy Hieu* Vietnam-Russia Tropical Center ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 13/3/2022 This paper presents the application of the finite difference method to study the stress-deformed state of the circular plate according to the non-classical theory The stress-deformed state calculation model for a circular plate was built based on the basis of a 3-dimensional coordinate system, which is a system of second-order differential equations with variable coefficients To solve this problem, it is possible to use approximation methods, and numerical methods such as the finite element method, and finite difference In this paper, the author presents the application of the finite difference method to solve the problem of the circular plate subjected to local loads Based on the calculation results, a comparison of the results obtained by classical and non-classical theory has been made Revised: 12/5/2022 Published: 19/5/2022 KEYWORDS Circular plate Local load Finite difference method Stress-deformed state Non-classical theory NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG TẤM TRÒN THEO LÝ THUYẾT PHI CỔ ĐIỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Doãn Quý Hiếu Trung tâm Nhiệt đới Việt Nga THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 13/3/2022 Ngày hoàn thiện: 12/5/2022 Ngày đăng: 19/5/2022 TỪ KHĨA Tấm trịn Tải trọng cục Phương pháp sai phân hữu hạn Trạng thái ứng suất biến dạng Lý thuyết phi cổ điển TĨM TẮT Bài báo trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng trịn theo lý thuyết phi cổ điển Mơ hình tính toán trạng thái ứng suất biến dạng tròn xây dựng sở hệ tọa độ chiều, hệ phương trình vi phân bậc với hệ số thay đổi Để giải toán này, sử dụng phương pháp tính gần đúng, phương pháp số phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn Trong báo này, tác giả trình bày ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải tốn trịn chịu tải trọng cục Dựa kết tính tốn đưa so sánh kết thu lý thuyết cổ điển phi cổ điển DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5674 Email: dqhieu57@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 250 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 Giới thiệu Ngày nhiều chi tiết kết cấu lĩnh vực hàng không tên lửa - vũ trụ, vị trí khớp nối, liên kết chế tạo dạng vỏ, dầm với đặc trưng độ cứng, chiều dày thay đổi Do đó, nhiệm vụ tăng độ tin cậy cho phương pháp tính tốn cách tính đến trạng thái ứng suất biến dạng (TTUSBD) vùng biên nó, tức vị trí ngàm chặt, tải cục bộ, v.v., nơi diễn TTUSBD kiểu "lớp biên" Trong tài liệu [1] trình bày phương pháp tính tốn kết cấu thành mỏng học kết cấu theo lý thuyết cổ điển Với phát triển vượt bậc công nghệ thông tin phần mềm mơ số, tích hợp phương pháp tính (FEM, FDM, FVM) cho kết đạt tối ưu Bên cạnh có nhiều phương pháp phi cổ điển sử dụng để nghiên cứu độ bền tấm, vỏ loại kết cấu theo hướng khác [2]-[4], đặc biệt vị trí ngàm chặt, lực tập trung, tải trọng cục Trạng thái ứng suất biên chữ nhật có độ dày thay đổi tác dụng tải trọng phân bố tải trọng cục giới thiệu [5], [6] Phương trình trạng thái xây dựng sở lý thuyết đàn hồi chiều Các chuyển vị theo hướng vuông góc với mặt phẳng trung bình biểu diễn dạng đa thức, cao bậc so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff-Love Hệ phương trình cân điều kiện biên thu cách sử dụng phương pháp biến phân Lagrange Theo hướng nghiên cứu này, trạng thái ứng suất biến dạng vỏ nón, vỏ cầu trình bày tài liệu [7], [8] Để giải hệ phương trình vi phân bậc cao với hệ số thay đổi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn [9], [10] Bài báo trình bày kết nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tròn theo lý thuyết phi cổ điển phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp cho phép không giải tốn mỏng, mà cịn có độ dày trung bình Trên sở đó, đưa so sánh kết tính tốn trạng thái ứng suất - biến dạng tròn theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển Hệ phương trình cân trịn theo lý thuyết phi cổ điển Nghiên cứu trịn có độ dày thay đổi đối xứng với mặt phẳng trung tuyến, chịu tải trọng q ( r , ) , hệ tọa độ trụ không thứ nguyên ( r , , z ) (Hình 1) Gọi a b bán kính bên ngồi bên tấm, độ dày thay đổi 2h(r) Các cạnh bên bên với điều kiện biên tự do, tựa ngàm chặt Hình Tấm trịn có độ dày thay đổi Theo tài liệu [2], sử dụng xấp xỉ sau trường chuyển vị tấm: z2 z3 U1 ( r, , z ) = u0 ( r, ) + u1 ( r , ) z + u2 ( r , ) + u3 ( r , ) , 2! 3! z2 z3 U ( r, , z ) = v0 ( r, ) + v1 ( r, ) z + v2 ( r , ) + v3 ( r , ) , 2! 3! z U ( r , , z ) = w0 ( r , ) + w1 ( r , ) z + w2 ( r , ) 2! Phương trình hình học theo lý thuyết đàn hồi chiều có dạng: http://jst.tnu.edu.vn 251 (1) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 U1 U U ,   = ( + U1 ),  z = , r r  z  U U1 U U1 U U  r = r ( ) + ,  rz = + ,  z = + r r r  r z r  z Ứng suất tính theo biểu thức:  r = (2G0 +  ) r +  +  z ,   =  r + (2G0 +  ) +  z , r =  z =  r +  + (2G0 +  ) z ,  r = G0 r ,  rz = G0 rz ,   z = G0  z , Trong đó, hệ số G0 ,  số đàn hồi vật liệu (2) (3) Thay biểu thức (1), (2), (3) vào phương trình vi phân cân theo phương pháp biến phân Lagranger [6], thu hệ phương trình cân trịn theo lý thuyết phi cổ điển:  2 2 2 2 ( K1u 00 + K1u 01 + K1u 011 + K1u 022 )u0 + K1v 02 v0 + K1v 012 v0 + r r   r  2 2 2 2 + K1u 211 + K1u 222 )u2 + K1v 22 v2 + K1v 212 v2 + r r   r  + K1w10 w1 + K1w11 w1 + K1q13 p  q13 p + K1q13m  q13m = 0, r   2 2 2 ( K 2u10 + K 2u11 + K 2u111 + K 2u122 )u1 + K 2v12 v1 + K 2v112 v1 + r r   r +( K1u 20 + K1u 21  2 2 2 2 + K 2u 311 + K 2u 322 )u3 + K 2v 32 v3 + K 2v 312 v3 + r r   r   + K 2w 20 w2 + K 2w 21 w2 + K 2w01 w0 = 0, r r 2    2 2 ( K3u 00 + K3u 01 + K3u 011 + K3u 022 )u0 + K 3v 02 v0 + K3v 012 v0 + r r   r +( K 2u 30 + K 2u 31  2 2 2 2 +( K + K + K3u 211 + K3u 222 )u2 + K3v 22 v2 + K3v 212 v2 + r r   r  + K3w 20 w1 + K3w 21 w1 = 0, r 2    2 2 ( K 4u10 + K 4u11 + K 4u111 + K 4u122 )u1 + K 4v12 v1 + K 4v112 v1 + r r   r u 20 (4) u 21  2 2 2 2 + K 4u 311 + K 4u 322 )u3 + K 4v 32 v3 + K 4v 312 v3 + r r   r   + K 4w 20 w2 + K 4w 21 w2 + K 4w01 w0 = 0, r r 2    2 ( K5u 02 + K5u 012 )u0 + K5v 011 v0 + K5v 022 v0 +  r r  +( K 4u 30 + K 4u 31 +( K5u 22  2 2 2  + K5u 212 )u2 + K5v 211 v2 + K5v 222 v2 + K5w12 w1 = 0,  r r   http://jst.tnu.edu.vn 252 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology ( K6u12 +( K6u 32  2 2 2  + K6u112 )u1 + K6v10v1 + K6v111 v1 + K6v122 v1 + K6w 02 w0 +  r r    2 2 2  + K6u 312 )u3 + K6v 30v3 + K6v 311 v3 + K6v 322 v3 + K6w 22 w2 = 0,  r r   ( K7u 02  2 2 2 + K7u 012 )u0 + K7v 011 v0 + K7v 022 v0 +  r r   2 2 2  + K5u 212 )u2 + K7v 20v2 + K7v 211 v2 + K7v 222 v2 + K 7w12 w1 = 0,  r r   +( K7u 22 ( K8u12 +( K8u 32 227(08): 250 - 257  2 2 2  + K8u112 )u1 + K8v10v1 + K8v111 v1 + K8v122 v1 + K8w 02 w0  r r    2 2 2  + K8u 312 )u3 + K8v 30v3 + K8v 311 v3 + K8v 322 v3 + K8w 22 w2 = 0,  r r   2 2 w 022  w 211  w 222  + K ) w + ( K + K ) w2 + 9 r  r      + K9u11 u1 + K9v12 v1 + K9u 31 u3 + K9v 32 v3 + K9q 33 p  q33 p + K 9q 33m  q33m = 0, r  r  2    2 ( K10w10 + K10w111 + K10w122 ) w1 + ( K10w 211 + K10w 222 ) w2 + K10u 00u0 + K10q 33 p  q33 p r  r      + K10u 01 u0 + K10v 02 v0 + K10u 20u2 + K10u 21 u2 + K10v 22 v2 + K10q 33m  q33m = 0, r  r  2    2 ( K11w011 + K11w022 ) w0 + ( K11w20 + K11w211 + K11w222 ) w2 + K11u10u1 + K11q33 p  q33 p r  r      + K11u11 u1 + K11v12 v1 + K11u 30u3 + K11u 31 u3 + K11v 32 v3 + K11q 33m  q33m = r  r  Ở hệ số K với ký hiệu tham số thay đổi, phụ thuộc vào độ dày số đàn hồi vật liệu Đây hệ phương trình vi phân bậc 2, khơng với hệ số thay đổi Do sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác để chuyển hệ phương trình vi phân ( K9w011 Hệ phương trình vi phân cho tốn biên Khảo sát trịn đẳng hướng, độ dày h( r ) , −h  z  h , tọa độ z = tương ứng với mặt phẳng trung bình Giả sử trịn hình có biên ngàm chặt cạnh r = a, r = b , tải trọng chuyển vị biểu diễn dạng chuỗi lượng giác   q ( r, ) =  Qm ( r ) sin ( m ) , ui ( r, ) = U im ( r ) sin ( m ) , m =1 m =1   m =1 m =1 vi ( r, ) = Vim ( r ) cos ( m ) , w j ( r, ) = W jm ( r ) sin ( m ) , i = 0,3, j = 0,2 (5) Thay (5) vào hệ phương trình cân (4), thu hệ phương trình vi phân hàm chuyển vị U im , Vim , W jm , i = 0,3, j = 0, , m = 1,2,3, có dạng sau: http://jst.tnu.edu.vn 253 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257  u 00    d2 d d2 u 01 d + K1u 011 − K1u 022  m2 U m ( r ) +  K1u 20 + K1u 21 + K1u 211 − K1u 222  m2 U m ( r ) −  K1 + K1 dr dr dr dr     d d d −m( K1v 02 + K1v 012 )V0 m ( r ) − m( K1v 22 + K1v 212 )V2 m ( r ) + ( K1w10 + K1w11 )W1m ( r ) = 0, dr dr dr  u10    d2 d d2 u11 d + K2u111 − K 2u122  m2  U1m ( r ) +  K 2u 30 + K 2u 31 + K 2u 311 − K 2u 322  m2 U 3m ( r ) −  K2 + K2 dr dr dr dr     d d d d )V1m ( r ) − m( K 2v 32 + K 2v 312 )V3m ( r ) + ( K 2w20 + K 2w21 )W2 m ( r ) + K 2w01 W0 m ( r ) = 0, dr dr dr dr  u 00    d2 d d2 u 01 d + K3u 011 − K3u 022  m2 U m ( r ) +  K3u 20 + K3u 21 + K3u 211 − K3u 222  m2 U m ( r ) −  K3 + K3 dr dr dr dr     v 02 v 012 d v 22 v 212 d w10 w11 d − m( K + K )V0 m ( r ) − m( K + K )V2 m ( r ) + ( K + K )W1m ( r ) = 0, dr dr dr  u10    d2 d d2 u11 d + K4u111 − K4u122  m2 U1m ( r ) +  K 4u 30 + K 4u 31 + K 4u 311 − K 4u 322  m2 U 3m ( r ) −  K4 + K4 dr dr dr dr     −m( K 2v12 + K 2v112 d d d d )V1m ( r ) − m( K 4v 32 + K 4v 312 )V3m ( r ) + S  ( K 4w 20 + K 4w 21 )W2 m ( r ) + K 4w01 W0 m ( r ) = 0, dr dr dr dr d  d    m  K5u 02 + K5u 012  U 0m ( r ) + m  K5u 22 + K5u 212 U m ( r ) + dr dr     2 d d +( K5v 011 − m2 K5v 022 )V0m ( r ) + ( K5v 211 − m2 K5v 222 )V2 m ( r ) + m  K5w12W1m ( r ) = 0, dr dr d d  d2    m  K6u12 + K6u112  U1m ( r ) + m  K6u 32 + K6u 312  U 3m ( r ) + ( K6v111 − m K 6v122 + K 6v10 )V1m ( r ) + dr  dr  dr   −m( K 4v12 + K 4v112 d − m K6v 322 + K6v 30 )V3m ( r ) + m  K6w 02W0 m ( r ) + m  K 6w 22W2 m ( r ) = 0, dr d  d    m  K7u 02 + K7u 012  U m ( r ) + m  K7u 22 + K7u 212 U m ( r ) + dr dr     2 d d +( K7v 011 − m2 K7v 022 )V0 m ( r ) + ( K7v 211 − m K7v 222 + K7v 20 )V2 m ( r ) + m  K7w12W1m ( r ) = 0, dr dr d d   u12   m  K8 + K8u112 U1m ( r ) + m  K8u 32 + K8u 312 U 3m ( r ) + m  K8w02W0 m ( r ) dr  dr    2 d d +( K8v111 − m2 K8v122 + K8v10 )V1m ( r ) + ( K8v 311 − m2 K8v 322 + K8v30 )V3m ( r ) + m  K8w22W2 m ( r ) = 0, dr dr d d K 9u11 U1m ( r ) + K 9u 31 U 3m ( r ) − m  K 9v12V1m ( r ) − m  K 9v 32V3m ( r ) + dr dr d d2 +( K 9w011 − m K 9w022 )W0 m ( r ) + ( K 9w 211 − m K 9w 222 )W2 m ( r ) + K 9Q 330Q 33m ( r ) = 0, dr dr u 01 d u 00 u 21 d ( K10 + K10 )U m ( r ) + ( K10 + K10u 20 )U m ( r ) − m  K10v 02V0 m ( r ) − dr dr d2 −m  K10v 22V2 m ( r ) + ( K10w111 − m K10w122 + K10w10 )W1m ( r ) = 0, dr d d ( K11u11 + K11u10 )U1m ( r ) + ( K11u 31 + K11u 30 )U 3m ( r ) − m  K11v12V1m ( r ) − m  K11v 32V3m ( r ) + dr dr d d2 +( K11w011 − m K11w022 )W0 m ( r ) + ( K11w 211 − m K11w 222 + K11w 20 )W2 m ( r ) + K11Q 330Q 33m ( r ) = dr dr +( K6v 311 http://jst.tnu.edu.vn 254 Email: jst@tnu.edu.vn (6) TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 Để giải hệ phương trình (6), ta sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để chuyển hệ phương trình đại số Các xấp xỉ bậc bậc tính gần cơng thức: y yi +1 − yi −1  y yi +1 − yi + yi −1 = + O( s ); = + O( s ) x 2s x s2 Sau biến đổi thu hệ phương trình đại số sau: K1u 011 K1u 01 i −1 K1v 012 i −1 K1w11 i −1 K1w 21 i −1 K1u 211 K1u 21 i −1 K1v 212 i −1 − )u0 + v0 − w1 − w2 + ( − ) u2 + v2 + s2 2s 2s 2s 2s s 2s 2s K u 011 K u 211 K u 011 K u 01 +( K1u 00 − 12 − K1u 022 )u0i − K1v 02 v0i + K1w10 w1i + ( K1u 20 − 12 − K1u 222 )u2i + ( + )u0i +1 − s s s 2s v 012 w11 u 211 u 21 v 212 K K K K K − v0i +1 + w1i +1 + ( + )u2i +1 − v2i +1 = 0, 2s 2s s 2s 2s w 01 u111 u11 v112 w 21 K K K K K K v112 K w21 − w0i −1 + ( 22 − )u1i −1 + v1i −1 − w2i −1 − v1i +1 + w2i +1 + 2s s 2s 2s 2s 2s 2s u 311 u 31 u111 K K 2K2 K 2u 311 +( 2 − )u3i −1 + ( K 2u10 − − K 2u122 )u1i − K 2v12 v1i + K 2w 20 w2i + ( K 2u 30 − − K 2u 322 )u3i + s 2s s s2 K w 01 K u111 K u11 K u 311 K u 31 K v 312 + K 2v 32 v3i + w0i +1 + ( 22 + )u1i +1 + ( 2 + )u3i +1 − v3i +1 = 0, 2s s 2s s 2s 2s ( K3u 011 K3u 01 i −1 K3v 012 i −1 K3w11 i −1 K3u 211 K3u 21 i −1 K3w11 i +1 K3u 211 K3u 21 i +1 − )u0 + v0 − w1 + ( − )u2 + w1 + ( + )u2 s2 2s 2s 2s s 2s 2s s 2s K v 212 K w21 K u 011 + v2i −1 − w2i −1 + ( K3u 00 − 32 − K3u 022 )u0i − K3v 02 v0i + K3w10 w1i + 2s 2s s u 211 u 011 2K K K u 01 K v 012 K v 212 +( K3u 20 − 32 − K3u 222 )u2i − K3v 22 v2i + ( + )u0i +1 − v0i +1 − v2i +1 = 0, (7) s s 2s 2s 2s K w 01 K u111 K u11 K v112 K w 21 K v112 K w21 − w0i −1 + ( 42 − )u1i −1 + v1i −1 − w2i −1 − v1i +1 + w2i +1 + 2s s 2s 2s 2s 2s 2s u111 K 4u 311 K 4u 31 i −1 K 4v 312 i −1 K K 4v 312 i +1 u122 i v12 i w 20 i +( − )u3 + v3 + ( K 4u10 − − K ) u − K v + K w − v3 + 4 s 2s 2s s2 2s K4u 311 K4w01 i +1 K4u111 K4u11 i +1 K4u 311 K4u 31 i +1 u 322 i v 32 i +( K4u 30 − − K ) u + K v + w0 + ( + )u1 + ( + )u3 = 0, 4 s2 2s s 2s s 2s K u 012 K v 011 K u 212 K v 211 K u 012 K v 011 − u0i −1 + v0i −1 − u2i −1 + v2i −1 + + u0i +1 + v0i +1 + K 5u 02u0i − 2s s 2s s 2s s v 011 v 211 u 212 2K 2K K K v 211 − ( 52 + K5v 022 )v0i + K5w12 w1i + K5u 22u2i − ( 52 + K5v 222 )v2i + u2i +1 + v2i +1 = 0, s s 2s s u112 v111 u 312 v 311 v111 K K K K 2K − u1i −1 + 62 v1i −1 − u3i −1 + v3i −1 + K6w02 w0i + K6u12u1i − ( 62 + K6v122 − K6v10 )v1i + 2s s 2s s s v 311 u112 v111 2K K K K u 312 K v 311 + K6w22 w2i + K6u 32u3i − ( 62 + K6v 322 − K6v 30 )v3i + u1i +1 + 62 v1i +1 + u3i +1 + v3i +1 = 0, s 2s s 2s s K 7u 012 i −1 K 7v 011 i −1 K 7u 212 i −1 K 7v 211 i −1 K 7u 012 i +1 K 7v 011 i +1 − u0 + v0 − u2 + v2 + u0 + v0 + K 7u 02u0i − 2s s 2s s 2s s v 011 v 211 2K 2K K u 212 K v 211 −( 72 + K 7v 022 )v0i + K 7w12 w1i + K 7u 22u2i − ( 72 + K 7v 222 − K 7v 20 )v2i + u2i +1 + v2i +1 = 0, s s 2s s ( http://jst.tnu.edu.vn 255 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 K8u112 i −1 K8v111 i −1 K8u 312 i −1 K8v 311 i −1 K8v 311 K u112 u1 + v1 − u3 + v3 − ( + K8v 322 − K8v 30 )v3i + u1i +1 + K8w 02 w0i + 2s s 2s s s 2s v111 v111 u 312 2K K K K v 311 + K8u12u1i − ( 82 + K8v122 − K8v10 )v1i + K8w 22 w2i + K8u 32u3i + v1i +1 + u3i +1 + v3i +1 = 0, s s 2s s w 011 u11 w 211 u 31 w 011 u11 w 011 K9 K K K K K 2K w0i −1 − u1i −1 + w2i −1 − u3i −1 + w0i +1 + u1i +1 − ( 92 + K 9w 022 ) w0i − s 2s s 2s s 2s s w 211 w 211 u 31 2K K K − K9v12 v1i − −( 92 + K 9w 222 ) w2i − K 9v 32v3i + w2i +1 + u3i +1 + K 9q 33Qm = 0, s s 2s w111 K10u 01 i −1 K10w111 i −1 K10u 21 i −1 K10u 00 i K − u0 + w1 − u2 + u0 − K10v 02 v0i − ( 102 + K10w122 − K10w10 ) w1i + 2s s 2s 2s s u 01 w111 u 21 K K K + K10u 20u2i − K10v 22 v2i + 10 u0i +1 + 102 w1i +1 + 10 u2i +1 + K10q 33Qm = 0, 2s s 2s w 011 K11w011 i −1 K11u11 i −1 K11w 211 i −1 K11u 31 i −1 K K11u11 i +1 K11w011 v 32 i i +1 11 w − u + w − u − K v + w + u1 − ( + K11w022 ) w0i + 11 s2 2s s2 2s s2 2s s w 211 w 211 u 31 2K K K + K11u10u1i − K11v12v1i − ( 112 + K11w 222 − K11w 20 ) w2i + K11u 30u3i − + 112 w2i +1 + 11 u3i +1 + K11q 33Qm = 0, s s 2s Trong đó, i = 1,( N − 1), s – tương ứng số nút chia bước chia theo sơ đồ sai phân Tại vị trí gần biên, vị trí tải trọng cục bộ, tăng số lượng điểm chia, giúp cho độ xác đạt cao Chương trình tính tốn lập trình phần mềm Maple − Tính tốn trạng thái ứng suất tròn ảnh hưởng tải trọng cục Khảo sát trịn có độ dày thay đổi, chịu ảnh hưởng tải trọng cục bộ: b  r  r1 0,   3 (r − r1 )   q ( r , ) = Q0 sin  r1  r  r2 , r1 = (5a + 7b) / 12, r2 = (5b + a) / 12 (8)  sin( ),  r2 − r1   0, r2  r  a  Các cạnh r = a, r = b ngàm chặt Kích thước chiều dài, chiều rộng là: a = 1( m ) , b = 0,5 ( m ) , hm = 0,025 ( m ) , h0 = 0,01( m ) , độ dày xác định theo công thức: h( r ) = hm − tg ( )  (a − r ) , tg ( ) = (hm − h0 ) / a ,  − góc nghiêng (Hình 1) Hệ số Poisson  = 0,3 , môđun đàn hồi E = 1011 Pa Kết tính ứng suất trịn theo lý thuyết phi cổ điển thể đồ thị Hình Hình Trên hình này, ký hiệu “PCĐ” tương ứng với lý thuyết phi cổ điển “CĐ” tương ứng với lý thuyết cổ điển Phân tích kết thu được, ta thấy vùng biên, giá trị ứng suất thu theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển trùng với Điều khẳng định độ xác phương pháp phi cổ điển Sai khác kết vùng biên lớn Hình 3, vị trí tải trọng cục bộ, ứng suất   theo hai lý thuyết chênh lệch 40% vị trí r = 0,75 m Khi xác định trạng thái ứng suất tròn theo phương pháp phi cổ điển, ứng suất lớp biên gần vị trí ngàm chặt có thay đổi: ứng suất  r tăng thêm khoảng 25%,   tăng thêm khoảng 28,5% vị trí biên r = b (Hình Hình 3) Như vậy, vị trí ngàm chặt, vị trí tải trọng cục bộ, phương pháp PCĐ cho kết tính tốn ứng suất cao đáng kể so với phương pháp CĐ http://jst.tnu.edu.vn 256 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 250 - 257 Hình Đồ thị   theo bán kính Hình Đồ thị  r theo bán kính Kết luận Trên sở tính tốn lý thuyết ví dụ cụ thể trình bày rút kết luận sau: Sử dụng phương pháp biến phân Lagrange phân tích thành phần chuyển vị dạng đa thức, cao bậc so với lý thuyết cổ điển, xây dựng tốn biên xác định TTUSBD trịn có độ dày thay đổi Bằng phương pháp biến đổi lượng giác, chuyển hệ phương trình cân dạng Sau sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để chuyển dạng hệ phương trình đại số để giải phần mềm MAPLE Đưa so sánh kết tính tốn TTUSBD tròn theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển Khi thiết kế, tính tốn độ bền, ứng suất biến dạng chi tiết dạng vỏ có điều kiện biên ngàm chặt, lực tập trung, tải trọng cục bộ, nên ưu tiên sử dụng phương pháp PCĐ vị trí kết tính tốn ứng suất cao đáng kể so với phương pháp CĐ Phương pháp PCĐ cho phép khơng giải tốn mỏng, mà cịn có độ dày trung bình TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] S P Timoshenko and S Voinovsky-Krieger, Plates and shells, (in Russian), Moscow, 1966, p 636 [2] V V Vasiliev and S A Lurie, “On the problem of constructing a non-classical theory of plates,” (in Russian), Izv AN MTT, no 2, pp 158-167, 1990 [3] V V Firsanov, “Study of stress-Deformed State of Rectangular Plates Based on Nonclassical Theory,” Journal of Machinery Manufacture and Reliability, vol 45, no 6, pp 515-522, 2016 [4] V V Firsanov, “The stressed state of the “boundary layer” type cylindrical shells investigated according to a nonclassical theory,” Journal of machinery, manufacture and reliabitity, vol 47, no 3, pp 241-248, 2018 [5] Q H Doan and V V Firsanov, “Edge stress state of a rectangular plate with variable thickness based on a refined theory,” (in Russian), MAI Proceedings, Moscow, no 110, 2020, doi: 10.34759/trd-2020-110-10 [6] Q H Doan, “Study on the stress-deformed state of rectangular plate with variable thickness according to the non-classical theory” TNU Journal of Science and Technology, vol 226, no 11, pp 124-130, 2021, doi: 10.34238/tnu-jst.4521 [7] V V Firsanov and V T Pham, “Research of the stress-strain state of conical shell under the action of local load based on the non-classical theory,” Journal of Mechanical Engineering Research and Developments, vol 43, no 4, pp 24-32, 2020 [8] V V Firsanov and V T Pham, “Stress-strain state of the spherical shell exposed to an arbitrary load based on a non-classical theory,” (in Russian), Problems of Strength and Plasticity, vol 81, no 3, pp 359-368, 2019 [9] Md Roknuzzaman, B Hossain, R Haque, and T U Ahmed, “Analysis of Rectangular Plate with Opening by Finite Difference Method,” American Journal of Civil Engineering and Architecture, vol 3, pp 165-173, 2015, doi: 10.12691/ajcea-3-5-3 [10] P Katarina, H Marko, and B Zlatko, “Finite difference solution of plate bending using Wolfram Mathematica,” Tehnički glasnik, vol 13, pp 241-247, 2019, doi: 10.31803/tg-20190328111708 http://jst.tnu.edu.vn 257 Email: jst@tnu.edu.vn ... phương trình vi phân bậc cao với hệ số thay đổi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn [9], [10] Bài báo trình bày kết nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng tròn theo lý thuyết phi cổ điển phương. .. phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp cho phép khơng giải tốn mỏng, mà cịn có độ dày trung bình Trên sở đó, đưa so sánh kết tính tốn trạng thái ứng suất - biến dạng tròn theo lý thuyết cổ điển phi. .. suất thu theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển trùng với Điều khẳng định độ xác phương pháp phi cổ điển Sai khác kết vùng biên lớn Hình 3, vị trí tải trọng cục bộ, ứng suất   theo hai lý thuyết