NGHIÊN cứu TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG tấm CHỮ NHẬT có độ dày THAY đổi THEO lý THUYẾT PHI cổ điển

Bài báo trình bày phương pháp tính trạng thái ứng suất biến dạng của tấm chữ nhật có tiết diện thay đổi theo lý thuyết phi cổ điển. Phương trình trạng thái của tấm được xây dựng trên cơ sở lý thuyết đàn hồi 3 chiều. Các chuyển vị theo hướng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm được biểu diễn dưới dạng đa thức, cao hơn 2 bậc so với lý thuyết cổ điển của Kirchhoff-Love. Hệ phương trình cân bằng và các điều kiện biên thu được bằng cách sử dụng phương pháp biến phân Lagrange. Sử dụng phương pháp Levi cho tấm chữ nhật đẳng hướng có độ dày thay đổi, thu được hệ phương trình vi phân với các hệ số thay đổi. Để giải bài toán này, tác giả đã sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Dựa trên kết quả tính toán cho tấm chữ nhật có độ dày thay đổi, đã đưa ra so sánh kết quả thu được bằng lý thuyết cổ điển và phi cổ điển.

TNU Journal of Science and Technology 226(11): 124 - 130 STUDY ON THE STRESS-DEFORMED STATE OF RECTANGULAR PLATE WITH VARIABLE THICKNESS ACCORDING TO THE NON-CLASSICAL THEORY Doan Quy Hieu* Vietnam-Russia Tropical Center ARTICLE INFO Received: 19/5/2021 Revised: 18/7/2021 Published: 21/7/2021 KEYWORDS Rectangular plate Lagrange variation method Finite difference method Stress-strain state Boundary laye ABSTRACT This paper presents a method to calculate the stress-deformed state of a rectangular plate with variable cross-section according to nonclassical theory The equation of state of the plate is built on the basis of the three dimensional elastic theory Displacements in the direction perpendicular to the mean plane of the plate are represented as polynomials which are orders higher than the classical theory of Kirchhoff-Love The system of equilibrium equations and the boundary conditions are obtained using the Lagrange variation method Using Levi's method for an isotropic rectangular plate of variable thickness, a system of differential equations with variable coefficients is obtained To solve this problem, the author used the finite difference method Based on the calculation results for rectangular plate whose thickness varies, a comparison of the results obtained by classical and non-classical theory has been made NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG TẤM CHỮ NHẬT CÓ ĐỘ DÀY THAY ĐỔI THEO LÝ THUYẾT PHI CỔ ĐIỂN Doãn Quý Hiếu Trung tâm Nhiệt đới Việt Nga THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 19/5/2021 Ngày hoàn thiện: 18/7/2021 Ngày đăng: 21/7/2021 TỪ KHÓA Tấm chữ nhật Phương pháp biến phân Lagrange Phương pháp sai phân hữu hạn Trạng thái ứng suất biến dạng Lớp biên TĨM TẮT Bài báo trình bày phương pháp tính trạng thái ứng suất biến dạng chữ nhật có tiết diện thay đổi theo lý thuyết phi cổ điển Phương trình trạng thái xây dựng sở lý thuyết đàn hồi chiều Các chuyển vị theo hướng vng góc với mặt phẳng trung bình biểu diễn dạng đa thức, cao bậc so với lý thuyết cổ điển Kirchhoff-Love Hệ phương trình cân điều kiện biên thu cách sử dụng phương pháp biến phân Lagrange Sử dụng phương pháp Levi cho chữ nhật đẳng hướng có độ dày thay đổi, thu hệ phương trình vi phân với hệ số thay đổi Để giải toán này, tác giả sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn Dựa kết tính tốn cho chữ nhật có độ dày thay đổi, đưa so sánh kết thu lý thuyết cổ điển phi cổ điển DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4521 Email: dqhieu57@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn 124 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 124 - 130 Giới thiệu Những năm gần đây, việc nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng (TTUSBD) vỏ lớp biên (các vị trí cạnh ngàm, tải trọng tập trung, tải trọng cục bộ) quan tâm nghiên cứu nhiều nước giới Các chi tiết dạng tấm, vỏ có độ dày thay đổi thường sử dụng rộng rãi lĩnh vực chế tạo máy ô tô, hàng không, tàu biển Do đó, nhiệm vụ nâng cao độ xác tính tốn TTUSBD vỏ có tính cấp thiết cao Việc tính tốn TTUSBD vùng biên cho phép đánh giá độ bền kết cấu vị trí nguy hiểm, giúp cho việc lựa chọn vật liệu, phương án thiết kế sản phẩm tối ưu Lý thuyết cổ điển dùng để tính tốn TTUSBD vỏ trình bày nhiều tài liệu ngồi nước Các phương pháp tính cho hình dạng tấm, vỏ khác tìm thấy tài liệu Nga [1] Tuy nhiên, với phát triển khoa học ngày nay, việc tính toán lý thuyết cổ điển cho thấy nhiều hạn chế, sử dụng nhiều giả thiết, độ xác chưa cao Sử dụng lý thuyết phi cổ điển để tính tốn TTUSBD vỏ nghiên cứu từ lâu có nhiều hướng khác Goldenveizer, Vasiliev, Lurie [2]… Trong cơng trình V.V Firsanov xây dựng lý thuyết xác hóa để tính tốn TTUSBD vỏ phương pháp biến phân - tiệm cận [3], [4] Kết nghiên cứu rằng, vùng gần biên vị trí ngàm chặt, ứng suất bổ sung “lớp biên” có bậc so với ứng suất pháp lớn Các hướng tiếp cận khác phương pháp phi cổ điển kể đến tài liệu [5][7] Ứng dụng phương pháp số sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình phức tạp có hệ số thay đổi đề cập tài liệu [8], [9] Trạng thái ứng suất biên chữ nhật có chiều dày thay đổi tác dụng tải trọng cục giới thiệu [10] Bài báo trình bày phương pháp xây dựng hệ phương trình cân chữ nhật dựa sở phương pháp biến phân Lagrange phân tích chuyển vị theo độ dày Phương pháp không áp dụng cho mỏng mà áp dụng có loại có độ dày trung bình Mơ hình tính tốn thực cho chữ nhật đẳng hướng có độ dày thay đổi, chịu tải trọng phân bố Dựa kết tính tốn, đưa so sánh kết thu lý thuyết cổ điển phi cổ điển Hệ phương trình cân theo lý thuyết phi cổ điển Nghiên cứu chữ nhật có độ dày thay đổi, chịu tải trọng theo phương thẳng đứng q(x, y) hệ tọa độ Đề Oxyz Ký hiệu a b chiều dài chiều rộng, 2h – độ dày thay đổi Độ dày thay đổi theo trục Ox Hình Các trục Ox, Oy nằm mặt phẳng trung bình tấm, cịn trục Oz vng góc với mặt phẳng trung bình Các cạnh x = 0, x = a, y = 0, y = b tự do, tựa ngàm chặt Hình Tấm chữ nhật có độ dày thay đổi Theo tài liệu [2], sử dụng xấp xỉ sau trường chuyển vị tấm: http://jst.tnu.edu.vn 125 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 124 - 130 z2 z3  u3  x , y  , 2! 3! z2 z3 U  x, y, z   v0  x, y   v1  x, y  z  v2  x, y   v3  x, y  , 2! 3! z2 U  x, y, z   w0  x, y   w1  x, y  z  w2  x, y  2! U1  x, y, z   u0  x, y   u1  x, y  z  u2  x, y  (1) Phương trình hình học theo lý thuyết đàn hồi chiều có dạng:  x  U1 x ,  y  U y ,  xy  U1 y  U x , (2)  xz  U1 z  U x ,  yz  U z  U y ,  z  U z Thay (1) vào (2) thu biểu thức biến dạng sau: 3  u v  z i ui z i v z i ,  y   i ,  xy    i  i  ,  z  w1  w2 z, x  i ! i  x i ! i  y i ! i   y w   w   w  z   xz   u1     u2   z   u3   , x   x   x  2!  x   (3)  w   w   w  z  yz   v1     v2   z   v3   y   y   y  2!  Ứng suất tính theo biểu thức:  x  A11 x  A12 y  A13 z ,  y  A21 x  A22 y  A23 z ,  xy  A44 xy ,  z  A31 x  A32 y  A33 z ,  xz  A55 xz ,  yz  A66 yz , (4) Trong đó, hệ số Aij (i  1,6, j  1,6) số đàn hồi Hệ phương trình vi phân cân thu sở phương pháp biến phân Lagrange: U   A  0, (5) Trong đó,  U biến phân biến dạng:  U    x x   y y   z z   xz xz   yz yz   xy xy  dxdydz (6)  A - biến phân công ngoại lực:  h2   A   q( x, y)  w0 ( x, y)  w1 ( x, y)hS1  w2 ( x, y) S2 dxdy (7)   Thay biểu thức (6), (7) vào (5) kết hợp với (1), (3) (4), thu hệ phương trình cân theo lý thuyết phi cổ điển: N x N xy   0, x y N y N xy   0, y x Qxz Qxy   pz0 , x y (8) i i M x M xy i   H xz  0, i  1, 2,3, x y M yi M xyi   H yzi  0, i  1, 2,3, y x M 1xz M yz   H 1z  p1z , x y http://jst.tnu.edu.vn 126 Email: jst@tnu.edu.vn 226(11): 124 - 130 TNU Journal of Science and Technology M xz2 M yz   H z2  pz2 x y Trong sử dụng nội lực sau: h ( N x , N y , N xy , Qxz , Qyz )   ( x , y , xy , xz , yz )dz, h h ( M xi , M yi , M xyi , M xzi , M yzi )   ( x , y , xy , xz , yz ) h zi dz, i! h z i 1 dz, pzi  qhi / i ! (i  1)! h Các điều kiện biên tương ứng cạnh x  0, x  a sau: ( H xzi , H yzi , Qzi )   ( xz , yz , z ) N x  N x  u0  u0 , N xy  N xy  v0  v0 , Qxz  Q xz  w0  w0 , i i M xi  M x  ui  ui , M xyi  M xy  vi  vi , i  1,2,3, M xzi  M i xz (9)  wi  wi , i  1,2; Tại cạnh y  0, y  b : N xy  N xy  u0  u0 , N y  N y  v0  v0 , Qyz  Q yz  w0  w0 , i i M xyi  M xy  ui  ui , M yi  M y  vi  vi , i  1,2,3, (10) i M yzi  M yz  wi  wi , i  1, 2; Trong ký hiệu gạch đầu ngoại lực tác động lên cạnh Dễ thấy điều kiện biên (9), (10) thể tất trường hợp biên tự do, tựa ngàm chặt, số lượng điều kiện biên tương ứng với bậc hệ phương trình cân (8) Do đó, hệ (8) hệ kín giải phương pháp số Giải hệ phương trình (8) với điều kiện biên (9), (10), thu chuyển vị Các ứng suất xác định biểu thức (3), (4), ứng suất cắt theo tài liệu [3], [4] thu cách tích phân hệ phương trình cân lý thuyết đàn hồi: z z z              xz     x  xy dz,  yz     y  xy dz,  z     xz  yz dz x y  y x  x y  h  h  h  Hệ phương trình vi phân cho toán biên Khảo sát chữ nhật đẳng hướng, độ dày h( x) , h  z  h , tọa độ z = tương ứng với mặt phẳng trung bình Bề dày h( x) nhỏ so với kích thước khác chiều dài, chiều rộng Tiếp theo, giả sử chữ nhật Hình có biên tựa cạnh y  0, y  b , tải trọng chuyển vị biểu diễn dạng chuỗi lượng giác   m 1 m 1  q  x, y    Qm  x  sin  m y  , ui  x, y   U im  x  sin  m y  ,  vi  x, y   Vim  x  cos  m y  , w j  x, y   W jm  x  sin  m y  , i  0,3, j  0,2, m 1 (11) m 1 Trong đó,  m  m / b Thay (11) vào hệ phương trình cân (8) điều kiện biên (9), (10), thu hệ phương trình vi phân hàm chuyển vị U im , Vim , W jm , http://jst.tnu.edu.vn 127 Email: jst@tnu.edu.vn 226(11): 124 - 130 TNU Journal of Science and Technology i  0,3, j  0, , m  1,2,3, điều kiện biên tương ứng Hệ phương trình cân chữ nhật sau biến đổi có dạng sau: 3  us d us11 d us 22    K U x   Klvs12 Vsm  x      Kl  Kl    l sm dx dx s 0  s 0  d d d W0 m  x   Klw11 W1m  x   Klw 21 W2 m  x   0, l  1, 2,3, 4, dx dx dx 3   d d2  Kius12 U sm  x     Kivs  Kivs11  Kivs 22 Vsm  x    dx dx s 0 s 0    Klw01  Kiw02 W0 m  x   Kiw12 W1m  x   K iw 22 W2 m  x   0, i  5,6,7,8, K s 0 us1 j (12)  d d U sm  x    K vsj 2Vsm  x    K wj 00  K wj 011  dx dx s 0    d2  K wj 022 W0 m  x    K wj 10  K wj 111   K wj 122 W1m  x   dx     d2   K wj 20  K wj 211   K wj 222 W2 m  x   K qj 33Qm , j  9,10,11 dx   Ở hệ số K với ký hiệu tham số thay đổi, phụ thuộc vào độ dày số đàn hồi Trong khuôn khổ báo không đưa biểu thức hệ số K phức tạp cồng kềnh chúng Đối với chữ nhật có độ dày khơng đổi, hệ số K số, hệ phương trình vi phân giải phép biển đổi Laplace Tuy nhiên, trường hợp có độ dày thay đổi, hệ số K hàm số thay đổi, ta sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình vi phân (12) Ưu điểm phương pháp sai phân hữu hạn trường hợp vị trí gần biên, tăng số lượng điểm chia, giúp cho độ xác đạt cao Chương trình tính tốn lập trình phần mềm Maple Tính tốn trạng thái ứng suất ảnh hưởng tải trọng phân bố Khảo sát có độ dày thay đổi, chịu ảnh hưởng tải trọng phân bố q  x, y   Q0 sin  y  , Q0  const Các thành phần chuyển vị ứng suất xác định theo số hạng thứ chuỗi (11) Các cạnh x  0, x  a ngàm chặt Kích thước chiều dài, chiều rộng là: a  b   м  , h0  0,005 ( м) , hm  0,05( м) , độ dày xác định theo công thức: h( x)  hm  tg    x , Trong đó, tg    (hm  h0 ) / a ,   góc nghiêng (Hình 1) Hệ số Poisson   0,3 , mơđun đàn hồi E  1011 Pa Kết tính ứng suất theo lý thuyết phi cổ điển thể đồ thị Hình 2-5 Trên hình này, ký hiệu “PCĐ” tương ứng với lý thuyết phi cổ điển “CĐ” tương ứng với lý thuyết cổ điển Phân tích kết thu được, nhận thấy vùng biên, giá trị ứng suất thu theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển trùng với (Hình 2) Điều khẳng định độ xác phương pháp phi cổ điển Sai khác kết vùng biên lớn Hình 3, ứng suất  y theo hai lý thuyết chênh lệch 10% vị trí x = 0,7 m Khi xác định trạng thái ứng suất theo phương pháp phi cổ điển, ứng suất lớp biên có thay đổi: ứng suất  x ,  y tăng thêm khoảng 26,3% vị trí biên x = (Hình 2, 3) Ứng suất  z , theo lý thuyết phi cổ điển, vùng biên có bậc với ứng suất  x (Hình 4) Ở ý là, http://jst.tnu.edu.vn 128 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 124 - 130 ứng suất  z theo lý thuyết cổ điển bỏ qua, coi 0, theo lý thuyết phi cổ điển đạt khoảng 30% giá trị ứng suất  x (Hình 2, 4) Đồ thị biểu diễn thay đổi ứng suất  x ,  y ,  z ,  xz theo độ dày (theo trục Oz) cạnh x = thể Hình Hình Đồ thị  x theo chiều dài Hình Đồ thị  y theo chiều dài Hình Đồ thị  z theo chiều dài Hình Đồ thị  x ,  y ,  z ,  xz theo độ dày cạnh x = theo phương pháp PCĐ Kết luận Trên sở tính tốn lý thuyết ví dụ cụ thể trình bày cơng trình này, rút kết luận chủ yếu sau: Sử dụng phương pháp biến phân Lagrange phân tích thành phần chuyển vị dạng đa thức, cao bậc so với lý thuyết cổ điển, xây dựng tốn biên xác định TTUSBD chữ nhật có độ dày thay đổi Đưa so sánh kết tính tốn TTUSBD theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển Tại vùng lân cận biên, ứng suất pháp  x  y có thay đổi, tăng thêm khoảng 26,3% so với lý thuyết cổ điển Giá trị ứng suất pháp cắt  z có bậc với ứng suất pháp khác (xấp xỉ 30% ứng suất pháp cực đại  x ) Dựa vào kết tính tốn, cần phải sử dụng lý thuyết phi cổ điển bậc cao để tính tốn TTUSBD có tiết diện thay đổi Kết nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng, đánh giá http://jst.tnu.edu.vn 129 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 124 - 130 xác thành phần ứng suất chi tiết, phần tử kết cấu tính tốn, thiết kế lĩnh vực khí - động lực, chế tạo máy TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] S P Timoshenko and S Voinovsky-Krieger, Plates and shells, (in Russian), Moscow, 1966, p 636 [2] V V Vasiliev and S A Lurie, “On the problem of constructing a non-classical theory of plates,” (in Russian), Izv AN MTT, no 2, pp 158-167, 1990 [3] V V Firsanov and T N Doan, “Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory,” Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal, Begell House, INC, vol 6, no 2, pp 135-166, 2015 [4] V V Firsanov, “The stressed state of the “boundary layer” type cylindrical shells investigated according to a nonclassical theory,” Journal of machinery, manufacture and reliabitity, vol 47, no 3, pp 241-248, 2018 [5] E M Zveryaev, “Constructive theory of thin elastic shells,” (in Russian), M.V Keldysh, no 33, p 25, 2016, doi: 10.20948/prepr-2016-33 [Online] Available: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2016-33 [Accessed Apr 10, 2021 [6] A Dicarlo, P P Guidugli, and W O Williams, “Shells with thickness distension,” Int J Solid and Structures, vol 38, no 6-7, pр 1201-1225, 2001 [7] G Jaiani, “Differential hierarchical models for elastic prismatic shells with microtemperatures,” ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol 95, no 1, pp 77-90, 2015 [8] Roknuzzaman Md, Hossain Md, Haque Md, Rashedul, Ahmed Dr, “Analysis of Rectangular Plate with Opening by Finite Difference Method,” American Journal of Civil Engineering and Architecture, vol 3, pp 165-173, 2015, doi: 10.12691/ajcea-3-5-3 [9] P Katarina, H Marko, and B Zlatko, “Finite difference solution of plate bending using Wolfram Mathematica,” Tehnički glasnik, vol 13, pp 241-247, 2019, doi: 10.31803/tg-20190328111708 [10] Q H Doan and V V Firsanov, “Edge stress state of a rectangular plate with variable thickness based on a refined theory,” (in Russian), MAI Proceedings, Moscow, no 110, 2020 doi: 10.34759/trd-2020110-10 http://jst.tnu.edu.vn 130 Email: jst@tnu.edu.vn ... hướng có độ dày thay đổi, chịu tải trọng phân bố Dựa kết tính tốn, đưa so sánh kết thu lý thuyết cổ điển phi cổ điển Hệ phương trình cân theo lý thuyết phi cổ điển Nghiên cứu chữ nhật có độ dày thay. .. TTUSBD chữ nhật có độ dày thay đổi Đưa so sánh kết tính tốn TTUSBD theo lý thuyết cổ điển phi cổ điển Tại vùng lân cận biên, ứng suất pháp  x  y có thay đổi, tăng thêm khoảng 26,3% so với lý thuyết. .. 130 ứng suất  z theo lý thuyết cổ điển bỏ qua, coi 0, theo lý thuyết phi cổ điển đạt khoảng 30% giá trị ứng suất  x (Hình 2, 4) Đồ thị biểu diễn thay đổi ứng suất  x ,  y ,  z ,  xz theo độ