Ổn định và điều khiển hệ phương trình nơron có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ NGỌC HOA ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ NGỌC HOA ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ " hoàn thành nhận thức tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án công trình công bố Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Lê Thị Ngọc Hoa i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho nhận xét quý báu để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Lê Thị Ngọc Hoa ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.3 Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.4 Hệ phương trình vi phân điều khiển 10 1.5 Mô hình mạng nơron có trễ 11 1.6 Bài toán ổn định hóa 12 1.7 Các bổ đề bổ trợ 14 iii Ổn định ổn định hóa hệ nơron có trễ 16 2.1 Ổn định hệ phương trình nơron có trễ 16 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ 24 2.3 Một số ví dụ 29 Kết luận chung 34 Tài liệu tham khảo 35 iv Một số ký hiệu viết tắt R+ Tập hợp số thực không âm Rn Không gian Euclid n chiều < x, y > xT y Tích vô hướng véctơ x, y x Chuẩn véctơ Euclid x xt Chuẩn đoạn quĩ đạo trễ xt : xt = sup x(t + s) t∈[−h,0] Rn×r Không gian ma trận n × r chiều AT Ma trận chuyển vị A I Ma trận đồng λ(A) Giá trị riêng A λmax (A) Giá trị riêng lớn A: λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) Giá trị riêng nhỏ A: λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} C([0, t], Rn ) Tập hàm liên tục [0, t] giá trị Rn C ([0, t], Rn ) Tập hàm khả vi liên tục [0, t] giá trị Rn L2 ([0, t], Rn ) Tập hàm khả tích bậc [0, t] giá trị Rn A≥0 Ma trận xác định không âm A>0 Ma trận xác định dương diag{x1 , , xn } Ma trận có số hạng đường chéo x1 , , xn LM I Bất đẳng thức ma trận tuyến tính v Mở đầu Trong lý thuyết định tính hệ động lực, toán ổn định điều khiển có vai trò quan trọng Nghiên cứu toán ổn định toán điều khiển hệ động lực trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Hệ mạng tế bào thần kinh (nơron) mô hình toán sinh học mô tả nhiều lĩnh vực ứng dụng xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu liên kết tế bào thần kinh Các mô hình nơron có trễ phổ biến có nhiều ứng dụng thực tế Bởi vậy, việc nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ nơron có trễ vấn đề quan trọng, nhiều nhà nghiên cứu nước quan tâm, thu nhiều kết quan trọng Trong luận văn này, trình bày số kết nghiên cứu gần tính ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nơron có trễ Các hệ nơron xét luận văn hệ có trễ tổng quát, hệ nơron với hàm kích hoạt khác nhau, độ trễ hàm số liên tục bị chặn khoảng hữu hạn Phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính sử dụng linh hoạt để giải toán ổn định ổn định hóa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày sở toán học: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, toán ổn định ổn định hóa Chương trình bày điều kiện đủ tính ổn định ổn định hóa hệ nơron có trễ Chương Cơ sở toán học Chương trình bày số kiến thức sở toán học về: hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, toán ổn định hóa bổ đề bổ trợ Nội dung chương trình bày từ tài liệu [1], [3] 1.1 Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân:    x(t) ˙ = f (t, x(t)),   x(t0 ) = x0 , t ∈ I = [t0 − b, t0 + b] , (1.1) x ∈ Rn , t0 ≥ 0, đó: f ( ) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a} Nghiệm hệ phương trình (1.1) hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Giả sử f (t, x) liên tục I × D Và sử dụng đồng thức sau: −x(t) ˙ − Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) t + W2 c(x(s))ds = 0, t−k(t) ta thu 2ζ T (t)N T [−x(t) ˙ − Ax(t) + W0 f (x(t)) t + W1 g(x(t − h(t))) + W2 (2.8) c(x(s))ds] = t−k(t) Từ (2.5) đến(2.8) ta có V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤2xT (t)P x(t) ˙ + xT (t)[Q + 2αP + kHD2 H − e−2αh2 R]x(t) + x˙ T (t)[h22 R + (h2 − h1 )2 S]x(t) ˙ − xT (t − h1 )[e−2αh1 Q + e−2αh2 S]x(t − h1 ) − xT (t − h(t))[e−2αh2 R + e−2αh2 S]x(t − h(t)) + 2e−2αh2 xT (t)Rx(t − h(t)) + 2e−2αh2 xT (t − h1 )Sx(t − h(t)) t − e−2αk cT (x(s))D2 c(x(s)ds + 2ζ T (t)N T [−Ax(t) − x(t)] ˙ t−k + 2ζ T (t)N T W0 f (x(t)) + 2ζ T (t)N T W1 g(x(t − h(t))) t + 2ζ T (t)N T W2 c(x(s))ds (2.9) t−k(t) 21 Bằng cách sử dụng mệnh đề (1.7.1) và(1.7.2),ta có 2ζ T (t)N T W0 f (x(t)) ≤ ζ T (t)N T W0 D0−1 W0T N ζ(t) + f T (x(t))D0 f (x(t)), (2.10) 2ζ T (t)N T W1 g(x(t − h(t))) ≤ζ T (t)N T W1 D1−1 W1T N ζ(t) + g T (x(t − h(t)))D1 g(x(t − h(t))), (2.11) t 2ζ T (t)N T W2 c(x(s))ds ≤ke2αk ζ T (t)N T W2 D2−1 W2T N ζ(t) t−k(t) t + k −1 e−2αk ( c(x(s))ds)T × t−k(t) t × D2 ( c(x(s))ds) (2.12) t−k(t) ≤ke2αk ζ T (t)N T W2 D2−1 W2T N ζ(t) t + e−2αk cT (x(s))D2 c(x(s)ds t−k Lại sử dụng điều kiện (1.7) từ ma trận Di > 0, i = 0, 1, ma trận đường chéo, ta có f T (x(t))D0 f (x(t)) ≤ xT (t)F D0 F x(t), T T g (x(t − h(t)))D1 g(x(t − h(t))) ≤ x (t − h(t))GD1 Gx(t − h(t)) 22 (2.13) Từ (2.9) đến (2.13) ta thu V˙ (t,xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ 2xT (t)P x(t) ˙ + xT (t)[Q + 2αP − e−2αh2 R + kHD2 H + F D0 F ]x(t) + x˙ T (t)[h22 R + (h2 − h1 )2 S]x(t) ˙ − xT (t − h1 )]× × [−e−2αh1 Q + e−2αh2 S]x(t − h1 ) + xT (t − h(t))[−e−2αh2 R − e−2αh2 S + GD1 G]x(t − h(t)) + 2e−2αh2 xT (t)Rx(t − h(t)) + 2e−2αh2 xT (t − h1 )Sx(t − h(t)) + 2ζ T (t)N T [−Ax(t) − x(t)] ˙ + ζ T (t)[N T W0 D0−1 W0T N + N T W1 D1−1 W1T N + ke2αk N T W2 D2−1 W2T N ]ζ(t) Cho nên V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ ζ T (t)Ωζ(t),   T Ξ11 Ξ12 −A N3 Ξ14     −2αh2 T S −N2   ∗ Ξ22 e  + Ω, Ω=   T  ∗ ∗ Ξ −N 33     ∗ ∗ ∗ Ξ44 với Ω = N T W0 D0−1 W0T N + N T W1 D1−1 W1T N + ke2αk N T W2 D2−1 W2T N Bằng việc sử dụng bổ đề Schur (bổ đề 1.7.3), ta có Ω < Ξ < 23 Như vậy, ta có V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ 0, ∀t ≥ Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức khác biệt từ đến t, ta V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2αt , ∀t ∈ R+ Hơn lấy điều kiện (2.2) tính đến, ta thu λ x(t, φ) ≤ V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2αt ≤ Λe−2αt φ , Do x(t, φ) ≤ Λ −αt e φ , λ t ≥ 0, Định lý chứng minh Nhận xét 2.1.2 Từ chứng minh định lý (2.1.1), chứng minh bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) cho trường hợp ma trận A không cần phải ma trận đường chéo với số hạng dương Nhận xét 2.1.3 Định lý (2.1.1) cho điều kiện đủ ổn định mũ hệ nơron có trễ đưới dạng LMI Để tìm nghiệm LMI ta sử dụng kỹ thuật thuật toán giải LMI sách [2] 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ Xét hệ nơron điều khiển có trễ (1.5), f (.), g(.), c(.) hàm kích hoạt hàm trễ h(.), k(.) thỏa mãn điều kiện (1.6) 24 Chúng ta đưa điều kiện đủ ổn định cho hệ nơron điều khiển (1.5) Để cho đơn giản hóa công thức chứng minh, ta đưa vào kí hiệu sau: G = diag{bi , i = 1, , n}, H = diag{ci , i = 1, , n}, F = diag{ai , i = 1, , n}, c2 = max{c2i , i = 1, , n}, Λ1 =λmin (M −1 P M −1 ), Λ2 =λmax (M −1 P M −1 ) + h1 λmax (M −1 QM −1 ) + h32 λmax (M −1 RM −1 ) 1 + (h2 − h1 )2 (h2 − h1 )λmax (M −1 SM −1 ) + c2 k λmax (X2−1 ), 2 Ψ11 = Q + 2αP − e−2αh2 R − M AT − AM + BY + Y T B T , Ψ12 = −M AT + Y T B T + e−2αh2 R, Ψ14 = −M AT + Y T B T + P − M, Ψ22 = −e−2αh2 R − e−2αh2 S, Ψ33 = −e−2αh1 Q − e−2αh2 S, Ψ44 = h22 R + (h2 − h1 )2 S − 2M Ψ77 = ke−2αk (X2 − 2M ) Định lý 2.2.1 Cho α > Giả sử tồn ma trận đối xứng xác định dương M, P , Q, R, S, ba ma trận đường chéo dương Xi , i = 0, 1, 2, ma trận Y thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) sau:   U1 U2   <  ∗ U3 25 (2.14) đó:         U1 =         T T T Ψ11 Ψ22 (−M A + Y B ) Ψ14 ∗ Ψ22 e−2αh2 S ∗ ∗ Ψ33 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ W0 M W1 M    −M W0 M W1 M     −M W0 M W1 M  ,  Ψ44 W0 M W1 M     ∗ X0 − 2M   ∗ ∗ X1 − 2M   kW2 M M F kM H     kW2 M 0 M G       0  kW2 M , U2 =    kW2 M  0      0 0      0 0   0  Ψ77     0   ∗ −X0  U3 =     ∗  ∗ −kX     ∗ ∗ ∗ −X1 Khi hệ (1.5) ổn định hóa với hàm điều khiển ngược là: u(t) = Y M −1 x(t), 26 t ∈ R+ , nghiệm x(t, φ) thỏa mãn x(t, φ) ≤ Λ2 −αt e φ , Λ1 t ∈ R+ Chứng minh Kí hiệu N1 = N2 = N3 = N4 = M −1 , Di = Xi−1 , i = 0, 1, 2, K = Y M −1 , A = A − BK Xét hàm Lyapunov-Krasovskii xác định chứng minh định lý (2.1.1) cho hệ đóng t x(t) ˙ = −Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) + W2 c(x(s))ds, t−k(t) A = A + BK, K = Y M −1 Từ định lý (2.1.1) nhận xét(2.1.2), hệ đóng hệ α- ổn định  T −1 Φ14 Φ11 Φ12 −A M   ∗ Φ e−2αh2 S −M −1  22    ∗ ∗ Φ33 −M −1   Φ= ∗ ∗ Φ44  ∗    ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗   ∗ ∗ ∗ ∗ Φ < 0, M −1 W0 M −1 W1 M −1 W0 M −1 W1 M −1 W0 M −1 W1 M −1 W0 M −1 W1 −X0−1 ∗ −X1−1 ∗ ∗  kM −1 W2   −1 kM W2     −1 kM W2    kM −1 W2  ,         −2αk −1 −ke X2 T Φ11 =Q + 2αP − e−2αh2 R + F X0−1 F + kHX2−1 H − A M −1 − M −1 A, T Φ12 = − A M −1 + e−2αh2 R, T Φ14 = −A M −1 + P − M −1 , 27 Φ22 = − e−2αh2 R − e−2αh2 S + GX1−1 G, Φ33 = −e−2αh1 Q − e−2αh2 S, Φ44 =h22 R + (h2 − h1 )2 S − 2M −1 Bây giờ, nhân hai vế trái phải Φ với ma trận nhân tử Θ = diag{M, M, M, M, M, M, M }, đặt P = M P M, Q = M QM, R = M RM, S = M SM, với hàm điều khiển ngược: u(t) = Kx(t), K = Y M −1 , ta thu   U4 U5  L = ΘΦΘ =   ∗ U6 đó: (2.15)  T T T Ψ11 Ψ22 (−M A + Y B )   e−2αh2 S  ∗ Ψ22 U4 =    ∗ ∗ Ψ33   ∗ ∗ ∗  W0 M   W0 M U5 =   W0 M   W0 M  Ψ14 ,    −M  ,  −M    Ψ44  W1 M kW2 M    W1 M kW2 M  ,  W1 M kW2 M    W1 M kW2 M 28 U6 = diag{−M X0−1 M, −M X1−1 M, −ke−2αk M X2−1 M } Ψ11 =Q + 2αP − e−2αh2 R − M AT − AM + BY + Y T B T + M F X0−1 F M + kM HX2−1 HM, Ψ22 = − e−2αh2 R − e−2αh2 S + M GX1−1 GM Từ bất đẳng thức (M − Xi )Xi−1 (M − Xi ) ≥ 0, i = 0, 1, 2, ta −M Xi−1 M ≤ Xi − 2M, i = 0, 1, (2.16) Chú ý : Φ < tương đương với L < Vì vậy, sử dụng bổ đề Schur điều kiện (2.16), điều kiện L < tương đương với (2.14) Định lý chứng minh 2.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.3.1 (Ổn định mũ) Cho hệ nơron có trễ biến thiên dạng khoảng (1.8) u(t) = hàm trễ cho bởi:     h(t) = 0.1 + 0.3sin2 t, t ∈ I =    h(t) = 0.1, t ∈ R+ \I, 29 [2kπ, (2k + 1)π] k≥0 k(t) = 0.5 | sint |, ma trận cho trước là:     0  4.5633 0.2651 −3.1608 −2.0491        A= , W = 8.0563   3.1859 −0.1573 −2.4687,     10.4616 2.0368 −1, 3633 0.5776   −0.7727 −0.8370 3.8019    , W1 =  0.1004 0.6677 −2.4431     −0.6622 1.3109 −1.8407    0.4516 −0.7623 −2.9857   , W2 =  0.2978 −0.2356 2.9846     −0.0245 1.2345 0.3798 F = diag{0.1019, 0.3419, 0.0633}, G = diag{0.1892, 0.2678, 0.0988}, H = diag{0.0478, 0.4786, 0.0573} Đáng ý hàm có trễ h(t), k(t) không khả vi Như vậy, ta có h1 = 0.1, h2 = 0.4, k = 0.5, với α = 0.1 sử dụng thuật toán giải LMI Toolbox ta tìm nghiệm sau:   3.3538  16.6615 15.6676   , P = 15.6676 31.9317 −11.1455     3.3538 −11.1455 80.2501 30   15.2746  34.3438 49.6489   , Q= 49.6489 95.7703 −26.6354     15.2746 −26.6354 279.2169 R = S = diag{682.8857; 682.8857; 682.8857}, D0 = diag{530.1764; 259.8161; 770.6729}, D1 = diag{60.7901; 38.5704; 292.5837}, D2 = diag{598.3266; 113.2884; 679.6303},     17.5677 23.3543 7.6534  0.0888 0.1231 0.0411       , N2 = 0.0729 0.1619 −0.0010, N1 =  13.2316 32.3273 −0.7707         2.8624 −2.0052 40.1712 0.0184 0.0006 0.1996     1.1835  −0.0015 0.0018 0.0003 4.2338 3.6774        N3 =  , N = −0.0022 0.0034 0.0005 3.3037 5.0558 −0.5220     −0.0003 0.0002 0.0001 0.6553 −0.7298 7.5336 Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) hệ (1.8) thỏa mãn x(t, φ) ≤ 28.9806e−0.1t φ ∀t ≥ Ví dụ 2.3.2 (Ổn định hóa) Xét hệ nơron (1.5) h(t) = 0.2 + 0.3 | sint | 31     k(t) = 0.4cos2 t,    k(t) = 0, t∈I= π π [2l , (2l + 1) ], 2 l≥0 t ∈ R+ \I, ma trận cho trước:         0.15 0 0.5 0.12  0.2 0.1 0.1 0.2 A= , W0 =  , W1 =  ,W2 =  , 0.1 −0.3 0.1 0.2 0.5 0.1         0.4  0.1  0.5  0.1 F = , G =  , H =  , B =   0.5 0.2 0.3 Đáng ý hàm có trễ h(t), k(t) không khả vi Như vậy, ta có h1 = 0.2, h2 = 0.5, k = 0.4, với α = 0.1, sử dụng thuật toán giải LMI Toolbox, LMI cho nghiệm sau:      2.4644 −0.0050  2.7017 −0.0024 P = , Q =  , −0.0050 2.5779 −0.0024 1.7527   442.4320  R=S= , Y = −22.3723 −1.4497 , 442.4320 32       1.2045 −0.0048 1.3405 M = , X =   , −0.0048 1.2261 1.4784      1.5293 627.8544  X1 =  , X =   1.5730 629.8994 Như vậy, hệ 0.1-ổn định hóa nghiệm x(t, φ) hệ đóng thỏa mãn: x(t, φ) ≤ 18.1868e−0.1t φ , ∀t ≥ Hàm điều khiển ngược là: u(t) = Y M −1 x(t) = [−18.5790 33 − 1.2549]x(t) Kết luận chung Luận văn trình bày vấn đề sau: • Trình bày hiểu khái niệm hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, phương pháp hàm Lyapunov việc giải toán ổn định hóa bổ đề liên quan • Trình bày điều kiện đủ tính ổn định ổn định hóa hệ nơron có trễ với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa 34 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [2] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M (1995), LMI Control Toolbox for Use with MATLAB, The MathWorks Inc, Massachusetts [3] Kharitonov V (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser, Berlin [4] Thuan M.V., Phat V.N (2012), "New criteria for stability and stabilization of neural networks with mixed interval time- varying delays", Vietnam Joural of Mathematics, 40(1), pp 79-93 35 ... học: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, toán ổn định ổn định hóa Chương trình bày điều kiện đủ tính ổn định ổn định hóa hệ nơron có trễ. .. định ổn định hóa hệ nơron có trễ Chương trình bày tiêu chuẩn tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ Nội dung trình bày từ tài liệu [3], [4] 2.1 Ổn định hệ phương trình nơron có trễ. .. Chương trình bày số kiến thức sở toán học về: hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, toán ổn định hóa bổ đề bổ trợ Nội dung chương trình bày