So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hyđro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: TS NGUYỄN VĂN HOA SVTH: PHẠM THỊ MAI TP HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS Nguyễn Văn Hoa, định hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu khóa luận này; động viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung giúp đỡ em nhiều thuật toán ngôn ngữ lập trình Em xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý tận tình dạy bảo em suốt bốn năm đại học, để em có kiến thức ngày hôm Em xin cảm ơn bạn lớp Lý khóa 32 người thân giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Em xin cảm ơn ba mẹ bên cạnh tạo điều kiện tốt giúp em hoàn tất khóa luận Sinh viên thực Phạm Thị Mai SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử Hydro 1.1 Lời giải xác cho toán nguyên tử hidro 1.2 Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hidro 12 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính lượng nguyên tử hidro chưa có bổ 16 1.4 Nhận xét 17 Chương Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính bổ lượng nguyên tử Hydro 18 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 18 2.2 Tính bổ lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử 20 2.3 Nhận xét 25 Chương Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính bổ lượng nguyên tử Hydro 26 3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 26 3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 26 3.3 Tính bổ lượng nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ vòng lặp 28 3.4 Nhận xét 30 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 PHỤ LỤC .34 Phụ lục Các toán tử sinh – hủy chiều 34 Phụ lục Dạng chuẩn (Normal) số biểu thức luận văn 37 Phụ lục Toán tử 40 Phụ lục Tính yếu tố ma trận Hˆ 46 Phụ lục Biểu thức bổ bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn 48 Phụ lục Một số chương trình viết ngôn ngữ lập trình Fortran 52 SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1) Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm có bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có tính toán lý thuyết xác Trong đó, phương pháp gần chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô phương pháp nhiễu loạn không sử dụng cho toán nhiễu loạn Trước tình hình đó, việc tìm phương pháp hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi quan tâm năm gần Và phương pháp toán tử với tính toán đại số, xây dựng cho nhóm toán nguyên tử phương pháp nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu Ý tưởng phương pháp toán tử xuất vào năm 1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) đưa vào năm 1982 nhóm nghiên cứu giáo sư Kamarov L I thuộc trường đại học tổng hợp Belarus áp dụng thành công cho nhóm toán vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu khai thác nhiều toán cụ thể, phương pháp toán tử tỏ phương pháp trội hẳn phương pháp truyền thống như: Đơn giản hóa việc tính toán yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân hàm đặc biệt Trong suốt trình tính toán, ta sử dụng phép biến đổi đại số chương trình tính toán Maple, Mathematica,…để tự động hóa trình tính toán Cho phép giải hệ học lượng tử với trường có cường độ Với phương pháp toán tử, bước đầu giải phần khó khăn phương pháp Vật lý lý thuyết, góp phần vào phát triển không ngừng khoa học kỹ thuật toàn cầu 2) Lí chọn đề tài Hiện nay, học lượng tử, có số toán mà có lời giải xác cho phương trình Schrodinger xác định trạng thái SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa dừng, là: toán hạt hố vuông góc, dao động tử điều hòa toán nguyên tử hydro (chuyển động hạt trường xuyên tâm) Đây hệ lí tưởng hóa gặp tự nhiên Việc nghiên cứu hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu đầy đủ phương pháp học lượng tử Ngoài kết thu có tầm quan trọng đặc biệt, gần đó, chúng phản ánh tính chất hệ thực tương ứng Trong toán nguyên tử hydro toán quan trọng vật lý lượng tử Mặc dù toán có lời giải xác toán nguyên tử hydro toán phức tạp Để giải toán này, ban đầu phải xây dựng hệ thống kiến thức toán tử momen xung lượng hệ tọa độ cầu; xét tính chất, trị riêng hàm riêng toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; lượng tử hóa không gian, phân bố electron tính chẵn lẻ hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất toán tử tương ứng với đại lượng vật lí qua toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử cho kết bước đầu đáng tin cậy đưa lời giải cho giá trị trường ngoài, kết hợp với phương pháp nhiễu loạn Tính lượng nguyên tử hydro phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi bậc bổ hội tụ Nếu muốn tăng độ xác lượng, điều chỉnh thông số biến phân toán tử sinh hủy thêm bổ bậc cao đạt kết xác Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm bổ bậc cao giảm nhanh Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm phương pháp để thu lượng hội tụ giá trị xác nhanh tính số máy tính, mà không cần phải tính đến bổ bậc cao điều chỉnh thông số biến phân Chúng tới ý tưởng xây dựng sơ đồ vòng lặp, mà sau vòng lặp thu giá trị lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để giá trị gần Quá trình lặp tiếp, giá tri sau khác giá trị trước khoảng sai khác mong muốn dừng lại Kết cuối thu hội tụ giá trị, giá trị lượng cần tìm SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Do thời lượng nghiên cứu kiến thức hạn chế, nội dụng nghiên cứu dừng lại mức độ khảo sát tính ưu việt hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử Hydro 3) Mục tiêu đề tài Trong luận văn này, tiếp cận phương pháp toán tử công cụ với mục tiêu cụ thể là: Tìm hiểu phương pháp toán tử: sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử lý thuyết nhiễu loạn để tính mức lượng nguyên tử hidro Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức lượng nguyên tử hidro từ so sánh tốc độ hội tụ hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro Từ nhận định xem hướng tiếp cận tốt để lựa chọn cho toán có phức tạp 4) Phương pháp nghiên cứu dự kiến kết đạt Từ khó khăn lý thuyết nhiễu loạn giải toán nguyên tử hydro trường trung bình ưu điểm vượt trội phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử phương pháp sử dụng trình thực luận văn Lập trình ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức lượng nguyên tử hidro từ so sánh tốc độ hội tụ hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn sơ đồ vòng lặp phương pháp toán tử cho việc tìm lượng nguyên tử hydro 5) Cấu trúc luận văn Từ mục tiêu dự kiến kết đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm phần chính: Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu dự kiến kết đạt đuợc Phần nội dung: gồm chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa HYDRO Chương trình bày kết mà học luợng tử đạt đuợc toán nguyên tử hydro: lượng, hàm sóng… Giới thiệu phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hidro dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức lượng nguyên tử hidro chưa có bổ Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Tính bổ lượng nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích sơ đồ lặp Thiết lập sơ đồ vòng lặp Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức lượng nguyên tử hidro Nhận xét kết thu Phần kết luận: tóm tắt lại kết đạt đuợc luận văn, huớng phát triển tới đề tài SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa NỘI DUNG Chương PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Lời giải xác cho toán nguyên tử hidro [2],[4] 1.1 1.1.1 Phương trình Schrodinger nguyên tử hydro Thế hạt khối lượng mo chuyển động trường lực đối xứng xuyên tâm phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r) Do hamilton hạt có dạng:  2 Hˆ    U (r ) 2mO (1.1) Trong nguyên tử hiđrô, tương tác electron hạt nhân phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 chúng Như biết từ học giải tích, toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút toán chuyển động hạt có khối lượng rút gọn  trường lực U(r) Trong trường hợp nguyên tử hiđrô   me m p me  m p Vì m p  me nên   me Nếu bỏ qua kích thước prôtôn, nguyên tử hiđrô coi gồm hạt electron chuyển động trường Coulomb gây tâm đứng yên Chọn gốc tâm hạt nhân gọi r khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron tương tác electron hạt nhân là: U (r )   Ze2 (CGS) r (1.2) Trong đó: Ze điện tích hạt nhân SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa U(r) phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger phương trình dừng Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải toán tọa độ cầu Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt trường hợp có dạng:   me  E  U (r )  2 (1.3) Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng  , r2     r   r  r r  r    r   ,     2   sin   sin      sin      r  1     sin  r sin     (1.4) 2    2  sin   Thay (1.4) vào (1.3) ta được:   2m (r )   ,  e  E  U (r )   r r r r  Do  ,   (1.5) Lˆ2 nên ta viết lại (1.5) sau: 2 2m   Lˆ2 ( r )    e  E  U (r )   2 r r r r  (1.6) Trước hết chứng minh rằng, chuyển động trường đối xứng xuyên tâm, định luật bảo toàn lượng, hai định luật bảo toàn nữa, định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần định luật bảo toàn hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý không SVTH: Phạm Thị Mai Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa gian Muốn ta xét điều kiện giao hoán toán tử Lˆ2 Lˆz với Hˆ Trong trường hợp Hˆ có dạng:    Lˆ2 Hˆ   ( r )   U (r )  r r r 2me r ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  ; HL ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  HL Z Z Ta thấy (1.7) (1.8) Vì toán tử tác động lên biến góc  ,  nên giao hoán với toán tử lấy vi phân theo r Như giống học cổ điển, chuyển động trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: lượng, bình phương mômen Lˆ2 hình chiếu mômen Lˆ Z Do khảo sát trạng thái với giá trị cho ba đại lượng Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm phương trình dạng (1.9)  nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  ) Năng lượng hạt đặc trưng số lượng tử n, trị riêng toán tử đặc trưng số lượng tử quĩ đạo l số lượng tử từ m Thay (1.2) (1.6) vào phương trình (1.9) ý ˆ   2l (l  1)Y ta tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R ( r ) LY lm lm nl hàm sóng  nlm (r , , ) : d  dR  2me  Ze  l  l  1  r  E     R (r )    r dr  dr    r 2me r  1.1.2 (1.10) Năng lượng nguyên tử hiđrô Từ kết học lượng tử ta có công thức tính lượng nguyên tử hiđrô En   E   SVTH: Phạm Thị Mai me4 Z 2 n (CGS) (1.11) Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Trong hệ không thứ nguyên m  e    thì: En   E   Z2 2n2 (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định lượng electron nguyên tử hiđrô Theo (1.11) lượng gián đoạn tỉ lệ nghịch với bình phương số nguyên Tính gián đoạn hệ điều kiện hữu hạn hàm sóng vô cực Ứng với n = 1, lượng có giá trị thấp E1  13, 6eV Khi n tăng mức En liên tiếp gần Khi n   En  Một số mức lượng kích thích E2  3, 4eV ; E3  1, 5eV ; Đối với Coulomb, Z hữu hạn, ta có số vô hạn trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với lượng  m Z 2e kết thúc ứng với lượng 2 Ứng với giá trị cho n (số lượng tử chính) l có giá trị l = 0, 1, 2, , n- Như có tất n giá trị l ; l gọi lượng tử số quỹ đạo xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13) Ba số nguyên n, l, m xác định hàm riêng  nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi ba số lượng tử, m gọi số lượng tử từ Ứng với giá trị cho l m nhận giá trị m  l , l  1, , 1, 0,1, , l  1, l Tất có  2l  1 giá trị m Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trục z Lz  m SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Như vậy, ứng với mức lượng En có nhiều trạng thái khác  nlm , ta nói có suy biến Đối với giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có giá trị lượng En n 1   2l  1  n (1.14) l 0 Nếu không tính đến spin, mức lượng E1 không suy biến, mức kích thích thứ E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc Nếu tính spin có hai giá trị tổng số trạng thái suy biến n2 1.1.3 Hàm sóng nguyên tử hiđrô Hàm sóng chuẩn hóa nguyên tử hiđrô có dạng:  nl m  r, ,   Rnl  r  Ylm  ,  Với  2Zr 2 ao  nao me (1.15) a0: bán kính Bohr thứ Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  nl m  r , ,   hệ giống hydro ứng với giá trị n=1, 2, 3,… n l m 0 SVTH: Phạm Thị Mai  nl m  r , ,    ( Z / a ) / exp(  Zr / a ) Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp 0 GVHD: Nguyễn Văn Hoa ( Z / a ) / (1  Z r / a ) exp(  Z r / a ) 2 ( Z / a ) / ( Z r / a ) exp(  Z r / a ) cos  2 1 0   3 ( Z / a ) / ( Zr / a ) exp(  Zr / a0 ) sin  exp(  i ) (Z / a0 )3/ (1  2Zr / 3a0  Z r / 27a02 ) exp( Zr / 3a0 ) 2 ( Z / a0 )3/ (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos  27  1  3 1 (Z / a0 )3/ (1  Zr / 6a0 )(Zr / a0 )exp(Zr /3a0 )sin  ei 27  81 6  81  2 162  ( Z / a )3 / ( Z r / a 02 ) exp(  Zr / 3a )(3 cos   1) ( Z / a0 )3/ ( Z r / a02 ) exp(  Zr / 3a0 ) sin  cos  e  i ( Z / a ) / ( Z r / a 02 ) exp(  Zr / 3a ) sin  e  i 1.2 Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử [12] hidro Xét toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro hệ SI có dạng:  2  Ze2   Δψ(r )   (r )  E (r ) 2m 4 r (1.16) Trong m, e – khối lượng điện tích điện tử; Z số điện tích SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Ta viết phương trình theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x , y  a0 y , z  a0 z với a0  4  / me bán kính Bohr Khi phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên: Z      Δ   ψ(r )   ( r ) r  (1.17) Với tọa độ lượng có đơn vị a0 ma02 /  Ta viết dạng tường minh sau: Hˆ ( x, y, z )    ( x, y, z ) Với:  2 2 2  Z Hˆ         x y z  x2  y2  z (1.18) (1.19) Ta định nghĩa toán tử sinh huỷ dạng:     a      ,          a           (1.20) với   x, y , z ,  tham số thực dương, ta xác định sau Dễ dàng thấy  a  , a      (1.21) (Phụ lục1trang 46) Các giao hoán công cụ cho tính toán đại số Ta  biểu thức (1.19) qua biểu viết lại thành phần Hamiltonian H diễn toán tử sinh huỷ 1.2.1 Toán tử động 2 T         H   x y z SVTH: Phạm Thị Mai  2        (1.22) Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Từ (1.20) ta có:  a   a    Suy 2     a   a             a  a     a  a   2  a  a   1  2a a  (1.23)     2      Ta thay (1.25) vào (1.24) ta Đặt Hˆ T      aˆ2  aˆ2   1  2aˆ aˆ    (1.24) Aˆ  aˆ2 , (1.25) Aˆ  aˆ2 , Nˆ   aˆ aˆ Thay (1.27) vào (1.26), ta được: 1 Hˆ T    1  Nˆ       Aˆ  Aˆ    (1.26) với   x, y, z 1.2.2 Toán tử Với số hạng liên quan đến tương tác Culông toán tử sinh huỷ nằm mẫu số dấu cần phải đưa dạng chuẩn để sử dụng tính toán Dùng phép biến đổi Laplace ta viết thành phần dạng: Hˆ U   Z x2  y  z Z     dt et ( x 2  y z ) t (1.27) (Phụ lục trang 37) Từ ta có thành phần viết dạng: Z Hˆ nU,k    SVTH: Phạm Thị Mai   dt Sˆ    Sˆ   t   '   (1.28) Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa với: 0 Sˆx  : toán tử chứa số hạng trung hòa, toán tử S x  khi tác dụng lên vector trạng thái thu trạng thái không đổi  m 2i m    1 m ˆ m  2i ˆ i ˆi   1 2i m ˆ i ˆ m ˆ i  Sx  x Nx   2x Ax Ax   x x Ax Nx Ax  1  1 2x  m1 m! i1  i! i,m1  i! m!   il l i ˆ0 (1.29) Sˆx' : toán tử chứa số hạng trung hòa, toán tử Sˆ x' khi tác dụng lên vector trạng thái làm thay đổi trạng thái xét    1ml l m m l   1l l l   1i i i Sˆ  xx Nˆ x Aˆx  x Aˆx   x Aˆx  1 2x ml, 1 m!l! l1 l! i1 i! ' x   i,l1 li 1.2.3 il  1  xil Aˆxi Aˆxl   i!l! im  1 i,m1 i!m!  xi xmAˆxi Nˆ xm   i,l,m1 li  il m ˆ i ˆ m ˆl  x x Ax Nx Ax  i!l!m!  ilm (1.30)  1 Toán tử hamilton Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được: 1 Z  Hˆ   12Nˆ   Aˆ  Aˆ   dt Sˆ  Sˆ' 4 4  t     1 Z   12Nˆ   Aˆ  Aˆ  0 dt Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz0 Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz' Sˆx 0 Sˆy' Sˆz0  4 4  t  Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ  Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ  ' ' x y z ' 0 x y z ' ' x y z ' ' x y z (1.31) ' ' ' x y z Toán tử Hamilton toán nguyên tử hydro chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ  Vˆ (1.32) Thành phần toán tử chứa toán tử trung hòa, xem loại toán tử Hamilton Hˆ toán không nhiễu loạn, với: SVTH: Phạm Thị Mai Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Z Hˆ    (2 Nˆ   1)    x, y , z    ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0) ( S x S y S z ) dt t (1.33) Thành phần toán tử chứa toán tử không trung hòa, xem loại toán tử nhiễu loạn Vˆ , với: ' ' ' ' 0 ' ' ' 0 ' ' '  ' '   2 Z Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ Vˆ    a   a    x y z x y z x y z x 1y z x y z x y z x y z dt 4   0 t2    (1.34) Dùng toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ qua trình tính toán ta tính yếu tố ma trận Hˆ : H nk  n Hˆ k  2i (-1) m m m  i 2i-1 Sˆn(0)  {1+  k   [ ( k   ) (k  2i   )]1/2          , k m=1 m! i=1 (i!)  =0  =1 2i   n ,k (-1) 2i i 2i-1 (-1)m 1/2   [ ( k   ) ( k  i   )] (k  2i) m }        2 i=1 (i!) m=1 m!  =0  =1  (1.35)  (-1)m  (-1)l 2l-1 Sˆ' { m l [(k )]1/2(k 2l)mn ,k 2l   m=0 m! l=1 l!  =0 2i  (-1)i  (-1)m  i  mkm[(k )]1/2n ,k 2i   i=1 i! m=0 m!  =1 (1.36) 2i  (-1)i  (-1)m  (-1)l 2l-1  i  m l [(k )]1/2(k -2l)m[(k 2l )]1/2n ,k 2l2i }   1+2 i=1 i! m=0 m! l=1 l!  =0  =1 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính lượng nguyên tử hidro chưa có bổ E0(0)  000 Hˆ 000  000   Nˆ   000   x, y, z  000 Sˆx0 Sˆ y0 Sˆz0 000 Z  dt  0 1/ t  (1  2 )    x, y,z Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức lượng bậc không trở thành: SVTH: Phạm Thị Mai Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Z E0(0)     Ta đặt       t   t 1         Z t  dt  2 d  E0(0)    2  dt  2  1 d  (1  2 )     E0(0)     Suy (1.37) Để so sánh tính ưu việt hướng tiếp cận, nên không sử dụng phương pháp biến phân, tức chọn thông số biến phân   Suy : E   0.37837915139550750 1.4 (1.38) Nhận xét Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính lượng nguyên tử Hydro chưa có bổ E0  0.37837915139550750 , giá trị sai khác nhiều với giá trị xác Để thu kết tốt hơn, ta tính bổ lượng Tính bổ lượng nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn cách làm phổ biến hiệu SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Chương SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[10],[6] Phương trình Schrodinger phương trình vi phân tuyến tính với đạo hàm riêng phần hệ số biến đổi Nghiệm xác tìm số tương đối nhỏ trường hợp đơn giản như: nguyên tử hydro, toán dao động tử điều hòa, chuyển động hố vuông góc,… Sự phức tạp việc giải phụ thuộc vào dạng số chiều không gian toán cần giải Phần lớn toán học lượng tử dẫn tới phương trình phức tạp mặt toán học, giải cách xác Do thường phải ứng dụng phương pháp gần để giải toán, nghĩa phải tìm cách gần trị riêng hàm riêng Một phương pháp gần quan trọng để giải toán học lượng tử lý thuyết nhiễu loạn Nội dung phương pháp nhiễu loạn sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ  Vˆ (2.2) Trong đó: Thành phần Hˆ toán tử Hamilton có nghiệm riêng xác Hˆ 0 n   n n SVTH: Phạm Thị Mai (2.3) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Thành phần Vˆ lại gọi nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , Vˆ  Hˆ Khi đó, nghiệm phương trình (2.3) gần với nghiệm phương trình (2.1) Lúc xem  n  n nghiệm gần bậc zero (2.1), nghiệm gần bậc cao tính cách xét đến ảnh hưởng Vˆ thông qua bổ lượng hàm sóng Ở ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn nhỏ dễ dàng nhìn thấy bậc nhiễu loạn sơ đồ tính toán qua số mũ  Ta giả thiết trị riêng Hˆ không suy biến có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng  Hˆ đầy đủ trực giao ứng với lượng  , n n với n  0,1, 2, Khi đó, tìm nghiệm (2.1) dạng khai triển theo hàm riêng Hˆ sau:   ( x )   Ck  k ( x ) (2.4) k 0 Không tính tổng quát ta giả thiết hàm sóng cho trạng thái n sau:   n ( x)   n ( x)  C k  k ( x) (2.5) k 0 (k n) Ta ký hiệu En (0) , C j (0) lượng hệ số gần bậc zero, En ( s ) , C j ( s ) , s  bổ vào lượng hệ số hàm sóng Biến đổi toán học, ta En (0)  H nn , C j (0)  , En (1)  Vnn , C j (1)  SVTH: Phạm Thị Mai V jn En (0)  H jj ( j  n) ; Trang 19 [...]... Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn Nội dung của phương pháp nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành... chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách làm phổ biến và khá hiệu quả SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp 2 GVHD: Nguyễn Văn Hoa Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[ 10],[6] Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số... Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể... i 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử [12] hidro Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:  2  Ze2   Δψ(r )   (r )  E (r ) 2m 4 0 r (1.16) Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Ta sẽ viết phương. .. xem  n và  n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của  Ta giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ...  Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ  Sˆ Sˆ Sˆ  0 ' ' x y z ' 0 0 x y z ' 0 ' x y z ' ' 0 x y z (1.31) ' ' ' x y z Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (1.32) Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử Hamilton Hˆ trong bài toán không nhiễu loạn, với: 0 SVTH: Phạm Thị Mai Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1 Z Hˆ 0  ...  Vˆ (2.2) Trong đó: Thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác Hˆ 0 n   n n SVTH: Phạm Thị Mai (2.3) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 , Vˆ  Hˆ 0 Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình... 2 3 2 d  (1  2 )    2 3 2  E0(0)    4  Suy ra (1.37) Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân   1 Suy ra : E 0   0.37837915139550750 1.4 (1.38) Nhận xét Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là E0  0.37837915139550750 , giá trị này còn...Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì: En   E   Z2 2n2 (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrô Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp... một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng  m Z 2e 4 và kết thúc ứng với năng lượng 0 2 2 Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1 Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13) Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng