khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử fk cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều theo tham số tự do

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH KHOA VT Lí Kiờn Th Bớch Trõm ti: KHO ST S HI T CA PHNG PHP TON T FK CHO BI TON EXCITON 2D TRONG T TRNG U THEO THAM S T DO LUN VN TT NGHIP I HC Thnh ph H Chớ Minh, nm 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH KHOA VT Lí Kiờn Th Bớch Trõm ti: KHO ST S HI T CA PHNG PHP TON T FK CHO BI TON EXCITON 2D TRONG T TRNG U THEO THAM S T DO Ngnh: S PHM VT Lí M S: 102 NGI HNG DN KHOA HC ThS Hong Ngc Trm Thnh ph H Chớ Minh, nm 2013 LI CM N hon thnh tt ti ny, bờn cnh s n lc ca bn thõn, em luụn nhn c s ng viờn, quan tõm v giỳp t thy cụ, gia ỡnh v bn bố Trc ht, em xin gi li cm n sõu sc n cụ Hong Ngc Trm, giỏo viờn hng dn lun ny cụ ó tn tỡnh hng dn, ng viờn, giỳp v to mi iu kin thun li cho em sut quỏ trỡnh thc hin v hon tt lun Em cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ khoa, c bit cỏc thy cụ t Vt lý lý thuyt ó tn tỡnh truyn t nhng kinh nghim, kin thc quý bỏu sut khúa hc, ú l nn tng em cú th hon thnh tt lun Xin cm n gia ỡnh v bn bố ó luụn ng h em sut thi gian hc cng nh thi gian tin hnh lun Cui cựng em xin chõn thnh cm n Hi ng khoa hc ó xột duyt v cho nhng nhn xột vụ cựng quý bỏu lun c hon chnh hn Dự ó c gng ht sc nhng lun khụng th trỏnh nhng hn ch v thiu sút Kớnh mong nhn c s gúp ý, phờ bỡnh xõy dng t phớa thy cụ, bn bố Em xin chõn thnh cỏm n Tp H Chớ Minh, thỏng nm 2013 MC LC MC LC M U Chng 1: C S Lí THUYT 12 1.1 Phng phỏp toỏn t gii phng trỡnh Schrửdinger 12 1.2 Tng quan v exciton 19 1.2.1 Lch s 19 1.2.2 Khỏi nim 20 1.2.3 Phõn loi 21 1.2.4 Tớnh cht 22 1.2.5 Phng trỡnh Schrửdinger cho exciton 2D t trng u 24 Chng 2: PHNG PHP TON T GII BI TON EXCITON HAI CHIU TRONG T TRNG U 28 2.1 Phng phỏp toỏn t gii bi toỏn exciton 2D t trng u 28 2.2 Kt qu - Phõn tớch 33 Chng 3: VAI TRề CA THAM S T DO I VI S HI T CA PHNG PHP TON T 36 3.1 Vai trũ tham s t i vi s hi t ca phng phỏp toỏn t 36 3.2 S ph thuc ca tc hi t vo tham s t vi bi toỏn dao ng t phi iu hũa bc bn 38 3.3 Kho sỏt bi toỏn exciton 2D t trng u 40 3.3.1 Kho sỏt tc hi t ca bi toỏn theo cỏc giỏ tr khỏc nhau40 3.3.2 iu kin chn tham s t ti u 50 KT LUN V HNG PHT TRIN CA TI 53 TI LIU THAM KHO 54 Ph lc 1:Cỏc toỏn t sinh hy mt chiu 57 Ph lc 2: Dng chun ca toỏn t 60 Ph lc 3: a Hamiltonian v dng khụng th nguyờn 63 Ph lc 4:Cỏc toỏn sinh hy hai chiu 65 { } ++M + N ) 68 Ph lc 5: Dng chun ca toỏn t S = exp ( M Ph lc 6:Cỏc thnh phn ma trn cho bi toỏn exciton 2D t trng 70 M U Trong nhng nm gn õy, cỏc nh vt lý quan tõm nhiu n cỏc cu trỳc thp chiu tớnh ng dng cao cng nh cỏc hiu ng c bit ca nú [10, 20] Trong cỏc mụ hỡnh thp chiu ú, loi tinh th nhiu lp bỏn dn GaAs/GaAlAs c s dng tng i ph bin Trong tinh th ny, ỏy vựng dn Al x Ga1 x As (x 0.45) cao hn so vi ỏy vựng dn ca GaAs cho nờn vựng cha GaAs hot ng nh h th vựng cha Al x Ga1 x As úng vai trũ l bc tng th c bit k thut nuụi cy tinh th tiờn tin nh k thut cy chựm phõn t (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phộp to cỏc lp bỏn dn GaAs rt mng (c nm) thỡ bc tng th cú th xem l cao vụ hn Lỳc ny, cỏc ht ti ca GaAs s cựng b nht lp GaAs dc theo b rng: electron b giam nht vựng dn cỏc l trng b nht vựng húa tr y v ta cú mt h khớ in t chuyn ng t khụng gian hai chiu trờn b mt lp bỏn dn GaAs Do l khớ in t t cho nờn v nguyờn tc ph nng lng o c l ph liờn tc Tuy nhiờn, thc nghim quan sỏt c ph nng lng giỏn on ca khớ in t v c bit ph hp th ca bỏn dn xut hin nhng nh hp th l iu ny ch cú th gii thớch bi s tn ti ca trng thỏi liờn kt gia in t v l trng to thnh gi ht exciton [8] Exciton l trng thỏi liờn kt gia in t v l trng thụng qua tng tỏc tnh in, trng thỏi ny l mt gi ht cú kh nng mang v truyn kớch thớch mng nhng khụng lan truyn in tớch Ngy nay, thc nghim chng t s tn ti ca exciton ó c phỏt hin cỏc hu ht cỏc loi tinh th in mụi v bỏn dn [16, 19] Tuy nhiờn, cỏc h exciton hai chiu bỏn dn nhiu lp v nhng hiu ng ca nú c quan tõm nhiu nht c lý thuyt ln thc nghim tớnh ng dng cao ca nú Ngoi ra, cỏc nghiờn cu cho thy õy l vt liu thun li quan sỏt v nghiờn cu ph nng lng exciton [16, 19, 22]; c bit h exciton hai chiu bỏn dn nhiu lp cũn cú nhng hiu ng, c tớnh vt lý thỳ v nh: hiu ng Hall, s tỏch vch in trng v t trng, hin tng ngng t Bose, [18, 22, 23] Khi nghiờn cu ph nng lng ca exciton, ta thu c nhiu thụng tin v tớnh cht quang, tớnh cht in ca bỏn dn, c bit l cỏc cht ny c t t trng Cỏc nghiờn cu ny cú nhng ng dng c bit quan trng vic thit k cỏc h thp chiu kớch c nano Vỡ th, bi toỏn exciton t trng l bi toỏn cú ý ngha thc tin, mang tớnh thi s v ang thu hỳt s quan tõm ca nhiu nhúm nghiờn cu Nh chỳng ta ó bit, th gii vi mụ, phng trỡnh Schrửdinger úng vai trũ trung tõm, quan trng c hc lng t; õy l phng trỡnh ng lc hc giỳp ta gii quyt cỏc bi toỏn chuyn ng ca ht vi mụ Tuy nhiờn, phng trỡnh ny ch cú th xỏc nh nghim gii tớch chớnh xỏc ca nú mt s rt ớt trng hp n gin nh bi toỏn nguyờn t hydro, dao ng t iu hũa; cũn li a s cỏc bi toỏn h lng t thc u phi s dng cỏc phng phỏp tớnh gn ỳng hoc cỏc phng phỏp s tỡm hm riờng v tr riờng Mt nhng phng phỏp gn ỳng c in c nhiu ngi bit n l phng phỏp lý thuyt nhiu lon í tng chớnh ca phng phỏp ny l da vo yu t vt lý ca bi toỏn, tỏch toỏn t Hamilton thnh hai phn: thnh phn th nht c xem l phn chớnh cú th tỡm nghim chớnh xỏc, thnh phn cũn li c xem l nhiu lon Phng phỏp lý thuyt nhiu lon ó chng t hiu qu ca nú qua nhiu bi toỏn khỏc nhau; nhng nú ch gii quyt c nhng bi toỏn tha iu kin l thnh phn nhiu lon nh so vi thnh phn chớnh, i vi nhng bi toỏn khụng tha iu kin ny (bi toỏn phi nhiu lon) thỡ khụng th ỏp dng c phng phỏp ny Bi toỏn exciton t trng vi ln ca t trng cựng thang so vi th Coulomb l mt bi toỏn phi nhiu lon khụng th tỡm c nghim gii tớch chớnh xỏc Phng phỏp toỏn t FK c a nm 1982 gii quyt nhng bi toỏn phi nhiu lon nờu trờn bi mt nhúm giỏo s i hc Belarus [11] í tng chớnh ca phng phỏp toỏn t FK da trờn t tng ca lý thuyt nhiu lon l tỏch Hamiltonian thnh hai phn: phn chớnh cú nghim chớnh xỏc v phn cũn li l nhiu lon, nhiờn khỏc vi lý thuyt nhiu lon ch vic phõn chia Hamiltonian khụng da vo yu t vt lý m n thun da vo hỡnh thc ca cỏc toỏn t Hamiltonian im c bit l phng phỏp cũn a vo mt tham s t do, cú vai trũ hiu chnh tc hi t ca chui b chớnh cho nng lng v hm súng Quy trỡnh gii ca phng phỏp toỏn t FK gm bn bc c bn: (1) biu din Hamiltonian qua cỏc toỏn t sinh hy Dirac a + ( ) , a ( ) : H ( x, p) H (a , a + , ), õy tham s t c a vo thụng qua cỏc toỏn t sinh, hy; (2) tỏch Hamiltonian lm hai phn, thnh phn H 0OM ( a + a, ) giao hoỏn vi toỏn t a + a (thnh phn trung hũa) c xem l phn chớnh, phn cũn li H (a , a + , ) H 0OM ( a + a , ) + V OM ( a + , a , ) , vi V OM ( a + , a , ) xem l nhiu lon: = cỏch tỏch ny H 0OM ( a + a, ) luụn cú nghim l dao ng t iu hũa; (3) chn tham s t cho H 0OM ( a + a, ) l thnh phn chớnh ca Hamiltonian v t õy ta cú nghim riờng ca H 0OM ( a + a, ) l nghim gn ỳng bc zero; (4) xem V OM ( a + , a , ) l thnh phn nhiu lon v tớnh cỏc b chớnh bc cao theo cỏc s thớch hp Khi nghiờn cu v ỏp dng cho nhng bi toỏn c th, phng phỏp toỏn t FK ó chng t nhng u im ca nú nh : Khi ỏp dng phng phỏp ta ch s dng cỏc phộp bin i thun i s, vỡ vy giỳp n gin húa vic tớnh toỏn cỏc yu t ma trn phc m thụng thng phi tớnh tớch phõn ca cỏc hm c bit; ngoi phng phỏp ny cho phộp xột cỏc h c hc lng t vi trng ngoi cú cng bt kỡ v xỏc nh c giỏ tr nng lng v c hm súng ca h ton thay i tham s trng ngoi [5] Phng phỏp toỏn t FK ó c ỏp dng thnh cụng cho mt lot cỏc bi toỏn khỏc nh: dao ng t phi iu hũa, bi toỏn polaron vt lý cht rn, cỏc bi toỏn h nguyờn t [2-5, 7, 12] Chớnh vỡ vy, s la chn phng phỏp toỏn t gii bi toỏn exciton t trng l hp lớ v ó c thc hin nhiu cụng trỡnh trc õy [2-5] Khi ỏp dng phng phỏp toỏn t FK gii phng trỡnh Schrửdinger cho cỏc bi toỏn h nguyờn t, phõn t, chỳng ta gp khú khn l dng th tng tỏc Coulomb cú biu thc cha ta mu s gii quyt ny, ta cú th s dng phộp bin i Levi-Civita hoc Laplace Trong cụng trỡnh [5] ó s dng thnh cụng phộp bin i Levi-Civita gii bi toỏn exciton hai chiu t trng vi kt qu nghim s thu c chớnh xỏc n 20 ch s sau du phy Tuy nhiờn, ỏp dng phộp bin i ny thỡ nng lng E khụng cũn l tr riờng ca toỏn t Hamilton na m c xỏc nh giỏn tip thụng qua vic gii phng trỡnh Z(E) = const vi Z l mt tr riờng hỡnh thc cú giỏ tr khụng i i vi cỏc bi toỏn phc hn nh bi toỏn exciton õm, chỳng tụi ngh rng vic xỏc nh nng lng mt cỏch giỏn tip nh vy khụng thun li bng vic gii trc tip Trong trng hp ny, ta cú th s dng phộp bin i Laplace a phn ta mu s; lỳc ny phng phỏp toỏn t FK ỏp dng c mt cỏch hiu qu m khụng cn phi thụng qua mt bin hỡnh thc no khỏc Trong lun ny, tỏc gi s dng phộp bin i Laplace cho bi toỏn exciton 2D t trng tip tc kho sỏt tớnh hiu qu ỏp dng phộp bin i ny phng phỏp toỏn t Mt cỏc quan trng ỏp dng phng phỏp toỏn t FK ú l vai trũ ca tham s t Vi mi giỏ tr khỏc thỡ tc hi t ca bi toỏn l khỏc v chn ti u thỡ bi toỏn hi t nhanh nht v nghim chớnh xỏc Ngoi ra, chớnh xỏc ca nghim gn ỳng cng ph thuc vo vic chn la Vỡ vy, vic chn la tham s rt cú ý ngha vỡ cho phộp ta tit kim c nhiu ti nguyờn tớnh toỏn Trong cỏc cụng trỡnh [7, 11, 12] ó s dng cỏch chn l da vo iu kin nghim chớnh xỏc khụng ph thuc ca vo tham s t () do, xỏc nh thụng qua iu kin gn ỳng: En = , nhng ỏp dng cho cỏc trng thỏi kớch thớch thỡ phng phỏp ny t hn ch [12] Trong cụng trỡnh [6] ó a iu kin mang tớnh ph quỏt xỏc nh thụng qua bi toỏn dao ng t iu hũa Tuy nhiờn, i vi bi toỏn exciton 2D t trng u, vic kho sỏt cha c tin hnh v th nghim iu kin ó nờu cụng trỡnh [6] Chớnh nhng lý thc tin trờn ó thỳc y tụi thc hin lun Kho sỏt s hi t ca phng phỏp toỏn t FK cho bi toỏn exciton 2D t trng u theo tham s t vi mc tiờu l kho sỏt s hi t ca phng phỏp toỏn t cho bi toỏn c th ang cú tớnh thi s: bi toỏn exciton hai chiu t trng u theo tham s t Lun ch gii hn i tng l exciton trung ho Mc tiờu c thc hin thụng qua cỏc ni dung nghiờn cu sau: Tỡm hiu v phng phỏp toỏn t Tỡm hiu v exciton v bi toỏn exction 2D t trng u Gii bi toỏn exciton 2D t trng u bng phng phỏp toỏn t Kho sỏt s hi t ca phng phỏp toỏn t FK cho bi toỏn exciton 2D t trng u theo tham s t thc hin lun vn, tụi ó s dng phng phỏp nghiờn cu: Tỡm kim, c, ỏnh giỏ, phõn tớch v tng hp ti liu Lp lun, tớnh toỏn xõy dng phng trỡnh Schrodinger cho exiton 2D t trng u Tớnh toỏn, bin i cỏc phộp tớnh toỏn t a phng trỡnh Schrodinger cho exiton 2D t trng u v dng khụng th nguyờn, dng toỏn t sinh hu chiu v v dng chun S dng ngụn ng lp trỡnh Fortran tỡm nghim s Cu trỳc Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia thnh ba chng: Chng 1: C s lý thuyt Chng ny gm hai phn Phn u tiờn gii thiu tng quan v phng phỏp toỏn t FK qua vớ d bi toỏn dao ng t phi iu hũa Trong ú ta ln lt 10 Chng minh = a n = a n = = n n n n n 1 1 + )( a + )= a ( a += aa 0 + a + a )( a + ) ) ( ( n! n! n! n n 1 + 1 + a + ) + a a ( a + ) = n + a a n ( n! n! n n 1 (n 1) n = n + n n n n Ta thy rng mi toỏn t hy cú tỏc dng gim i mt bc ca vector trng thỏi Nh vy c cú bao nhiờu toỏn t hy tỏc dng lờn vector trng thỏi thỡ s hy i by nhiờu bc ca nú Chng minh a + n = n + n + a + n = ( a ) n! + n +1 = n +1 ( n + 1)! ( a ) + n +1 = n +1 n +1 Tng t, ta cng thy rng mi toỏn t sinh cú tỏc dng sinh (tng) lờn mt bc ca vector trng thỏi Nh vy c cú bao nhiờu toỏn t sinh tỏc dng lờn vector trng thỏi thỡ s sinh thờm by nhiờu bc ca nú + Chng minh s liờn hp ca a,a j n a= j a + n = j n j= j j n = j n , j , j n , j , n a j = j a + n Nhn xột: T cỏc tớnh cht (3, 4, 5) trờn ta thy rng: nu nh tỏc dng mt toỏn t cha cựng s toỏn t sinh v toỏn t hy lờn mt vector trng thỏi, thỡ s khụng lm vector ny thay i bc, v ta gi cỏc toỏn t nh th l toỏn t trung hũa; ngc li nu toỏn t cha s toỏn t sinh hy khỏc thỡ s lm thay i bc ca vector trng thỏi 59 Ph lc 2: Dng chun ca toỏn t Dng chun (normal) ca mt biu thc toỏn t c nh ngha l dng ó c bin i cho toỏn t hy luụn v phớa bờn phi ca biu thc, toỏn t sinh luụn v phớa bờn trỏi ca biu thc Mc ớch ca vic a cỏc biu thc toỏn t v dng chun l giỳp cho vic tớnh toỏn cỏc bi toỏn cha nhiu loi toỏn t c d dng hn rt nhiu Thc vy, biu bin tt c trng thỏi qua trng thỏi c bn 0( ) thỡ li dng tớnh cht a 0( ) = v b 0( ) = , chỳng ta s biu din tt c trng thỏi cũn li qua biu thc ch cũn mt loi toỏn t sinh tỏc dng Trng hp cỏc toỏn t sinh, hy vi s m ly tha: Trng hp ny ta ch cn ỏp dng cỏc tớnh cht ca giao hoỏn t trờn l cú th a v dng chun Vớ d: a toỏn t a ( a + ) v dng chun ta thc hin nh sau: + ) a + = + + aa + aa + a ( a + ) = a ( aa a (1 + a + a ) a + = aa = (1 + a + a ) + (1 + a + a )(1 + a + a ) + a = + a + a + + 2a + a + a + aa = + 3a + a + a + (1 + a + a ) a =+ 3a + a + a + a + ( a + ) a 2 = + 4a + a + ( a + ) a Cỏc phộp bin i trờn thng c ỏp dng cỏc biu thc toỏn t cú dng nh cỏc a thc 60 Trng hp hm e m ca cỏc toỏn t sinh, hy: i vi dng hm e m thỡ dng phộp bin i nh trờn s gp khú khn Vỡ cỏc toỏn t sinh hy trờn m khai trin a v dng chun s cú bc ly tha rt cao Nờn ta phi ỏp dng phng phỏp bin i khỏc nh di õy Vớ d: e ( t a + + a ) Vỡ ta cú h thc giao hoỏn a + , a = nờn t õy cỏc toỏn t a , a + v s to thnh mt i s kớn Nh vy ta cú th vit: ( t a + + a ) f ( t ) a g ( t ) a h ( t ) = e e= e e F (t ) + (A2.1) v tin hnh tỡm cỏc hm s f (t ), g (t ), h(t ) theo cỏc bc sau: Bc mt: Ly o hm hai v ca (A2.1) theo bin s t nh sau: ( a + + a ) e ( =) f ' ( t ) a + F ( t ) + g ' ( t ) e f (t )a ae g (t )a eh(t ) + h ' ( t ) F ( t ) t a + + a + (A2.2) nh ngha hm nghch o ca F ( t ) l F ( t ) cho F ( t ) F ( t ) = ta cú: F ( t ) = e h (t ) e g (t ) a e f (t ) a + (A2.3) Nhõn hai v (A2.2) cho F ( t ) v thu gn cỏc s hng ta c: + a= + a f (t ) a + h ' ( t ) f ' ( t ) a + + g ' ( t ) e f (t ) a ae + + Bc hai: S dng cụng thc quen thuc : + A, A,B e A B e A= B+ A,B + A, A, A,B + 2! 3! cựng vi h thc giao hoỏn ca a , a + ta cú: 61 (A2.4) f (t ) a = a + f ( t ) a + , a + = a f ( t ) e f (t ) a ae + + Thay vo (A2.4), ta cú: + a = + a f ' ( t ) a + + g ' ( t ) ( a f ( t ) ) + h ' ( t ) = f ' ( t ) a + + g ' ( t ) a + h ' ( t ) g ' ( t ) f ( t ) (A2.5) Bc ba: ng nht hai v ca (A2.5) v chn iu kin biờn ng nht hai v, ta cú h phng trỡnh: f ' ( t ) = 1, g ' ( t ) = 1, h ' ( t ) g ' ( t ) f ( t ) = Gii h ny ta cú: f (t ) = t + c , g ( t ) = t + c2 , h ( t ) = t + c1t + c3 Da vo biu thc (A2.1), ta cú iu kin t = thỡ: f(t) = g(t) = h(t)= Suy ra: c = c = c = Nh vy dng chun ca e ( t a + + a e ( ) l: t a + + a ) = eta + eta et / 62 (A2.6) Ph lc 3: a Hamiltonian v dng khụng th nguyờn Ta cú toỏn t Hamilton di dng: p c eB Ze Hr = + r + Lz , 2à 2à c r (A3.1) eB Thay c = vo biu thc trờn, ta c: àc p eB eB Ze H r = + Lz r + 2à 2à c 2à c r (A3.2) B u tiờn, ta bin i H ( B) H ( ) ,vi: = l mnh ca t trng so vi ce trng Coulomb Thay B = ce3 vo phng trỡnh ta c: 2 e ce3 e ce3 Ze 2 + H= Lz + (x + y ) + r x y c c e8 Ze i e = + + + x y x y ( ) x r x y 2 y (A3.3) x ax= , y ay = , bE , t: = x = Ta cú : x x x x a = =a x Tng t ta cú: 63 , x , (A3.4) y r= = a2 x2 + y = y r x + y2 = a a (A3.5) Suy ra: a2 e8 + + ( x2 + y2 ) 2 x y a ià 2e4 a Ze = x y 2 y x r b e8 + + 4 ( x2 + y2 ) 2 x y a (A3.6) ià 2e4 Ze = 2 , x y 2 a y x a r ab 2e4 àe2 2 Chn 2 =1 a = = v 2 =1 b = = , àe r0 ab E0 a ta suy phng trỡnh Schrodinger khụng th nguyờn: i + 2 x y Z 2 x + ( x + y ) = y r y x Hay mt cỏch hỡnh thc, h n v nguyờn t, ta cú: = à= c= e= = 1, ta cng thu c biu thc Hamitonian dng khụng th nguyờn: i + H = y 2 x 2 Z x y + (x + y ) x r y Khi ú, n v nng lng s l hng s Rydberg hiu dng R* = m * e / 2 , n v di l bỏn kớnh Bohr hiu dng a* = / e m* 64 Ph lc 4: Cỏc toỏn sinh hy hai chiu nh ngha toỏn t sinh, hu chiu: x a ( x ) = x+ ; x x y b( y ) = y + ; y y Suy ra: x a + ( x ) = x ; x x y b + ( y ) = y ; y y = x (a + a + ) (a + a + ) = = x2 ; x x x x (a a + ); y = (b + b + ) (b + b + ) y2 = ; = y y y y + (b b ); (A4.1) (A4.2) (a + a + ) y + (b + b + ) x x= y (b b ) (a a + ), y x 2 x y Khi = = , ta cú: x y x + + a + b; y = ab (a + a + )(b b + ) (b + b + )(a a + ) = y x T ú, ta cú: + = + a + b ; Lz = i x y = i a + b ab i ab x y ( ( + a + b Lz i ab = Vy: ) ( ) + + (a + a + ) a + (a ) + 2a a + = = x ; x x Tớnh: + + (b + b + ) b + (b ) + 2b b + = = y ; y x 65 ) (A4.3) + + a + (a + ) + 2a + a + b + (b ) + 2b b + = + x +y ; x x 2 Khi = = , ta cú: x y + y2 x= + + + 1) ( M + ) + M + N ; ) + (b ) + a + b + 2(a + a + b +b= ( a x 2 x + a 2a + a + (a + ) ; = (a a= ) x 2 x + y = b 2b + b + (b + ) ; (b b= ) y 2 (A4.4) 2 x a 2a + a + (a + ) + y b 2b + b + (b + ) + = 2 x y 2 Khi =x =y , ta cú: 2 M + ( M + ) N + = 2 x y (A4.5) Chng minh c cỏc h thc giao hoỏn: = [a , a + ] 1,= [b , b + ] 1; x x x+ x x x + = = 1; x x x x x x x x x Chng minh tng t, ta c: [b, b + ] = 1; + a + a = [a , a + ] = aa x Vi: M (a )2 (b )2 , M (a )2 (b)2 , N a a bb , ộựộựộự ,M +++ , N , N , M M N , M 4M 4M === Chng minh cỏc giao hoỏn t: ờỳờỳờỳ ởỷởỷởỷ M , M MM M M (a ) (b) (a ) (b ) (a ) (b ) (a ) (b) 2 2 2 (a ) (a ) (a ) (a ) (b) (b ) (b ) (b) (a ) a 4a a (a ) (a ) (b ) b 4bb (b ) (b) 4a a 4bb 2.2(a a bb 1) N 66 M , N MN NM (a ) (b) a a bb a a bb (a ) (b) (a ) a a (b) bb a (a )3 b (b)3 2 2 a a a a b b b b a (a )3 b (b)3 4(a b ) M N , M NM M N a a bb (a ) (b ) (a ) (b ) a a bb (a ) a a 2(a ) (b ) bb 2(b ) (a )3 a (b )3 b 2.2 (a ) (b ) M Chng minh H giao hoỏn vi L z : ( ) ( ) Lz , M + = + + + + + + + + i a b ab (a ) + (b ) + (a ) + (b ) i a b ab + a + (b + ) b = i a + b(b + ) a (a + ) b + + (a + ) ab + + + + + + + + + + a b a b + (a + ) ab + a + (b + ) b = 0; = i a (b ) b + 2a b (a ) ab ( ) ( ) Lz , M = + + + + i a b ab (a ) + (b) + (a ) + (b) i a b ab + (b) (a ) a + b + a (b) b + = i a + (a ) b ab + (b) a + a 2b ab ab + ab + b + ab + ab = = i a + (a ) b ab 0; ( ) ( ) + + + + Lz , N = + + + + 2i a b ab a a + b b + + 2i a a + b b + a b ab + b aa + + a + bb + ab + a (b + ) b a + aa + b + a + a 2b + a + b + b + ab + bb = 2i (a + ) ab + + + + a b + ab = = 2i a b ab 0; 67 Ph lc 5: Dng chun ca toỏn t S = exp { ( M + + M + N )} Do cỏc toỏn t M + , M , N to thnh mt i s kớn, ta cú th s dng cụng thc quen thuc cho hai toỏn t khụng giao hoỏn bt k X , Y : ( ( ) ) ( ) ( ) exp X + Y = exp [ X , Y ] exp X exp Y , ( A5.1) ta cú th a toỏn t S v di dng chun nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) = exp ( M + + M + N ) exp = f ( ) M + exp g ( ) N exp h( ) M F ( ) (A5.2) õy chỳng ta cn xỏc nh cỏc hm s f ( ), g ( ), h( ) vi iu kin biờn: = f (0) 0,= g (0) 0,= h(0) (A5.3) Ngoi cỏch s dng trc tip cụng thc ( A5.1) ta cú th xỏc nh cỏc hm s trờn theo cỏc bc sau : Bc mt: Ly o hm hai v ca (A5.2) theo sau ú nhõn vi toỏn t ngc S : Ly o hm hai v ca (A5.2) theo : ( ) = f ( ) M F ( ) + g ( ) exp ( f ( ) M ) N exp ( g ( ) N ) exp ( h( ) M ) + h( ) exp ( f ( ) M ) exp ( g ( ) N ) M exp ( h( ) M ) ( M + + M + N ) exp ( M + + M + N ) + + + Sau ú nhõn vi toỏn t ngc S : ( ) ( ) ( S = exp h() M exp g () N exp f () M + Ta c: 68 ) (A5.4) ( ) ( ) ) exp ( g ( ) N ) M exp ( g ( ) N ) exp ( f ( ) M ) ( M + + M = + N ) f ( ) M + + g ( ) exp f ( ) M + N exp f ( ) M + ( + h( ) exp f ( ) M + + (A5.5) Bc hai: Ta s dng cụng thc quen thuc: ( ) ( ) 1 exp X Y exp X =Y + X , Y + X , X , Y + X , X , X , Y + 3! 2! cựng vi cỏc giao hoỏn t, thay vo biu thc (3), ta c: ( ( M + + M = + N ) f ( ) M + + g ( ) N f ( ) M + ( +e g ( ) h( ) M f ( ) N + f ( ) M + ) ) (A5.6) Bc ba: ng nht cỏc h s trc cỏc toỏn t M + , M , N , thu gn ta c h phng trỡnh vi phõn xỏc nh cỏc hm s f ( ), g ( ), h( ) : f ( ) = [ f ( ) + 1] g ( ) h( ) f ( ) g ( ) =1 + 2e h( ) = e g ( ) (A5.7) + C ; [ f ( ) + 1] f ( ) = f ( ) = 2 + C iu kin ti biờn: f (0) = C = C = f () = 2C + 1 ' , h() Thay vo h phng trỡnh, ta c: g () = ln + + C= + C '' ( + 1) + g (0) 0,= h(0) g () = ln + ; h() = p dng iu kin ti biờn= + M exp ln + N exp M + + Vy: = S exp 69 (A5.8) Ph lc 6:Cỏc thnh phn ma trn cho bi toỏn exciton 2D t trng B hm súng c s c chun hoỏ cho nguyờn t Hydro nh sau: k, m = ( M ) ( a + 2k k !( m + k )! m k + ib + ) m ; (A6.1) Vi: N k , m = ( 2k + m + 1) k , m ; M k , m = k ( k + m ) k 1, m ; = M j k , m j M + k , m= ( ) i k !( k + m ) ! (k j )!( k + m j ) ! ( k + 1) ( k + m + 1) = M + k , m 2i k j, m ; (A6.2) k + 1, m ; ( k + i )!( k + m + i )! k !( k + m ) ! k + i, m ; Tớnh thnh phn ma trn ca toỏn t S : Toỏn t S c tỏch lm thnh phn: S1 , S2 S dng cỏc cụng thc (A6.2), ta ln lt tớnh c cỏc thnh phn ma trn ca S1 , S2 nh sau: S1 k , m = i = ( i !) + 2i ( M ) + i (1 + ) N ( M ) i k, m k k !( k + m )! 2i k, m ; = ( ) ( k + m +1) ( k i )! k + m i ! i =0 ( i !)2 ( ) (1 + ) 70 (A6.3) =i 0=j i ! j ! + S2 k , m = i+ j ( M ) + i (1 + ) (i j ) k i ! j ! ( ) = i+ j (1 + ) ( k j +i + m +1) j k, m k !( k + m ) !( k + i j ) !( k + m + i j ) ! (A6.4) (k j )!( k + m j ) ! =i 0=j (i j ) ì N ( M ) k + i j, m ; Khi ú, ta tớnh: 2i i i + k, m m, k S1 k , m = m, k M M N i =0 ( i !) + (1 + ) k k !( k + m ) ! 2i k, m = m, k ) ( ( k + m +1) ( k i )! k + m i ! i =0 ( i !)2 ( ) + ( ) k k !( k + m ) ! 1 2i = m, k m, k ( ) 2 k + m +1) (k i )!( k + m i ) ! i = ( i !) (1 + )( ( ) ( ) i =0 ( i !) k = 2i k !( k + m ) ! ( ) (A6.5) =1 (k i )!( k + m i ) ! (1 + )( k + m +1) ; m, k + s S2 k , m = i+ j m, k + s M + =i 0=j i ! j ! + (i j ) ( ) = =i 0=j i ! j ! + k +s k i+ j (1 + ) ( ) = i = s i !( i s ) ! k +s 2i s (1 + ) N ( M ) j k, m k !( k + m )!( k + i j ) !( k + m + i j ) ! ( k j + m +1) (A6.6) (k j )!( k + m j ) ! (i j ) ì i s ,i j k !( k + m )!( k + s ) !( k + m + s ) ! (k i + s )!( k + m i + s ) ! 71 (1 + )( k + s + m +1) ; Tớnh cỏc phn t ma trn: Ta cú: + m d OM H0 = + Z N + 16 i = ( i !) + 2i ( M ) + i (1 + ) ( M ) ; i N Tớnh: H km ,km = m, k H 0OM k , m + + m Z d S k , m m, k + N 16 m = + (2k + m + 1) + = Z k !( k + m ) ! ( ) d i =0 ( i !) (k i )!( k + m i )! (1 + )( k + m +1) k + 2i m = + (2k + m + 1) + Z k !( k + m ) ! ( ) i =0 ( i !) (k i )!( k + m i )! (1 + )( k + m +1) k + 2i 2d ( ) d t t = dt = ; m H kk = H km ,km = + (2k + m + 1) + + k !( k + m ) ! ( t ) dt k 2Z i =0 ( i !) (k i )!( k + m i )! (1 + t )( k + m +1) 2i k k !( k + m ) ! m = + + + + k m Z I 22ki + m +1 ; (2 1) 2 i = ( i !) ( k i )!( k + m i ) ! 72 (A6.7) Vi: ( t ) dt = p (1 + t ) q + = I pq ( pp ,>qqZ0) (1) q (2 p 2q 3)!!( 2q 1) !! p ( p 1) ! + V OM = + M +M 16 ( Z + d ) i 0=j i ! j ! + = i+ j ( ) M + (i j ) H km ,( k= H ( k + s ,= m ), km + s ,m) i (1 + ) N (A6.8) ( ); M j m, k + s V OM k , m + + + M Z d S k , m m, k + s + M 16 = + ( k + 1) ( k + m + 1) s ,1 + k ( k + m ) s ,1 16 ( = ) ) ( k !( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! + t ) ( k +s 2Z dt ( k + s + m +1) i = s i !( i s ) ! (k i + s )!( k + m i + s ) ! (1 + t ) 2i s ( = + 16 k +s Z i=s ( k + 1) ( k + m + 1) s ,1 + k ( k + m ) s ,1 ) k !( k + m )!( k + s ) !( k + m + s ) ! 2i s I k + s + m +1 ; i !( i s ) ! (k i + s )!( k + m i + s ) ! H ( k ,m ),( k s ,m )= H ( k s ,m ),( k ,m )= H ( k1 ,m ),( k1 + s ,m ) (k1= k s ); ( H k ,k +1 = + 16 k +1 Z i =1 k +s H k ,k + s = Z ( s >1) i=s ( k + 1) ( k + m + 1) i !( i 1) ! ) k !( k + m ) !( k + 1) !( k + m + 1) ! (k i + 1)!( k + m i + 1) ! (A6.9) I 22ki +1m + k !( k + m ) !( k + s ) !( k + m + s ) ! 2i s I k + m + s +1 i !( i s ) ! (k i + s )!( k + m i + s ) ! 73 [...]... giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6] Cuối cùng, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng... toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6] Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ,... bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều kiện chọn ω và đưa ra kết luận 3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử là vai trò của tham số tự do ω Tham số ω được gọi là tham số tự do vì Hamiltonian của hệ không... tưởng phương pháp thể hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương pháp và lưu ý một số vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử Phần hai trình bày tổng quan về exciton: lịch sử, khái niệm, phân loại, tính chất của exciton và phương trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều Trong chương này ta sẽ áp dụng phương. .. tính toán có tốc độ hội tụ cao nhất 35 Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Điểm đặc biệt trong phương pháp toán tử là có đưa vào một tham số tự do ω thông các toán tử sinh, hủy Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Tuy nhiên, ω lại có mặt cả trong thành phần chính Hˆ 0 và phần nhiễu loạn Vˆ Vì... và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều 1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi nhóm của giáo sư Feranchuk I D và Komarov L I ở trường Đại học Belarus [11] và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán. .. lưu ý đến việc chọn tham số ω vì ứng với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau Điều kiện (1.12) trong một số bài toán không cho tốc độ hội tụ cao Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số tự do ω tối ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết và rất có ý nghĩa Ngoài việc chọn tham số ω tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh về giá trị... mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đổi Laplace như trong công trình [7] Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử Chương 3 là các kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính toán Để minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán. .. Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi điều hòa ở trạng thái cơ bản n = 0 khi dùng phương pháp toán tử FK Như đã nói ở trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dạng cụ thể của toán tử Hamilton, do đó có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán Tuy nhiên, cần... nghiệm khảo sát sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh về nghiệm số chính xác Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ bài toán vào tham số tự do sẽ được khảo sát kĩ hơn ở chương 3 Bảng 2.1 đưa ra một số giá trị minh họa cho năng lượng thu được sau 100 vòng lặp ở trạng thái cơ bản 1s và trạng thái kích thích 2 p − , 3d − , với ω được chọn từ điều kiện (1.12) Các chữ số in đậm là phần đã hội tụ về ... Khảo sát hội tụ phương pháp tốn tử FK cho tốn exciton 2D từ trường theo tham số tự do với mục tiêu khảo sát hội tụ phương pháp tốn tử cho tốn cụ thể có tính thời sự: tốn exciton hai chiều từ. .. TRỊ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ 36 3.1 Vai trò tham số tự ω hội tụ phương pháp tốn tử 36 3.2 Sự phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự với tốn dao động tử. .. trường • Giải tốn exciton 2D từ trường phương pháp tốn tử • Khảo sát hội tụ phương pháp tốn tử FK cho tốn exciton 2D từ trường theo tham số tự ω Để thực luận văn, tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu: