Trong bài báo này, chúng tôi trình bày về tốc độ hội tụ của phương pháp Newton – Krylov bậc ba, đồng thời đưa ra chứng minh cho tốc độ hội tụ của công thức lặp... Phương pháp Newton đư[r]
(1)THE SPEED OF CONVERGENCE OFTHE THIRD – ODER NEWTON – KRYLOV METHOD
LaiVan Trung*, Quach Thi Mai Lien
TNU – University of Information and Communication Technology
ARTICLE INFO ABSTRACT
Received: 03/12/2020 In recent years, the approximate solution of the system of nonlinear
equations has been studied by many scientists, especially the class of systems of nonlinear equations with a large number of equations The third-order Newton - Krylov method solved these systems very well with the speed of cubed of convergence The convergence of iterated formula has been proofed, however, its only has been confirmed by experiment In this article, we will present the speed of convergence of the third-order Newton - Krylov method and give the proof for the speed of convergence of iterated formula simultaneously Moreover, the article also presents a consult of experiment to proof for the speed of convergence of the Newton–Krylov method
Revised: 01/5/2021 Published: 11/5/2021
KEYWORDS Convergence speed Convergence
Third-order Newton-Krylov method Iterative formula
Nonlinear equations system
TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KRYLOV BẬC BA Lại Văn Trung*, Quách Thị Mai Liên
Trường Đại học Công nghệ thông tin & Truyền thơng – ĐH Thái Ngun
THƠNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT
Ngày nhận bài: 03/12/2020 Những năm gần đây, việc giải gần hệ phương trình phi tuyến
được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt lớp hệ phương trình phi tuyến có số phương trình lớn Phương pháp Newton –Krylov bậc ba giải tốt lớp hệ phương trình với tốc độ hội tụ bậc ba Sự hội tụ công thức lặp chứng minh, nhiên tốc độ hội tụ khẳng định qua thực nghiệm Trong báo này, chúng tơi trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton – Krylov bậc ba, đồng thời đưa chứng minh cho tốc độ hội tụ công thức lặp Ngồi ra, báo cịn trình bày kết thực nghiệm để minh chứng cho tốc độ hội tụ phương pháp
Ngày hoàn thiện: 01/5/2021 Ngày đăng: 11/5/2021 TỪ KHÓA
Tốc độ hội tụ Sự hội tụ
Phương pháp Newton-Krylov bậc ba Cơng thức lặp
Hệ phương trình phi tuyến
DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.3815
(2)1 Giới thiệu
Xét hệ phương trình phi tuyến
0
F x , (1) F f x , f x ; ; f x1 2 n t với f :i n hàm phi tuyến (i 2, , ,n) Phương pháp Newton công bố lần vào năm 1685, sau nhiều nhà khoa học phát triển cải tiến sang giải hệ phương trình phi tuyến với hội tụ bậc cao [1]-[3] Trong [4] trình bày phương pháp New – Krylov bậc ba để giải hệ phương trình (1) sau:
Bước 1: Đặt
1
1
1
n
n n
n n n
F x
x x
F x F x F x
, (2)
và biến đổi công thức (2) thành 1 1
2
n n n n n n
F x F x F x x x F x (3)
Bước 2: Đặt 1
2
n n n
k x F x F x chuyển phương trình (3) thành
2
n n n
F x k x F x (4)
Bước 3: Áp dụng phương pháp Krylov [5] để tìm nghiệm gần k xn phương trình (4) viết cơng thức (3) viết lại sau
n n n n
F x k x s F x , (5) với xn 1 sn x n (6)
Bước 4: Áp dụng thuật toán Newton-Krylov để tìm nghiệm xn 1 hệ (5), (6)
Sự hội tụ cơng thức lặp trình bày [4], [5], nhiên tốc độ hội tụ công thức lặp khẳng định qua thực nghiệm Bài báo trình bày tốc độ hội tụ đưa chứng minh cho tốc độ hội tụ phương pháp
Cấu trúc báo gồm phần: Sau phần giới thiệu Phần 2, trình bày tốc độ hội tụ đưa việc chứng minh cho tốc độ hội tụ công thức lặp; Phần trình bày số kết thực nghiệm; Cuối phần Kết luận
2 Tốc độ hội tụ
Định nghĩa 2.1 (Tốc độ hội tụ) (Xem [6]) Xét dãy en xn a ,n tồn hàm k-tuyến tính
k
n n n
K L , cho en 1 Kenk O en k 1, với
k k
n
e e, ,e
n
e chuẩn Euclid xn gọi hội tụ đến a với tốc độ hội tụ cấp k
(3)S x ,r D, F x tồn tại, F x F Lip S x ,r Khi tồn số
0 thỏa mãn với x0 S x , dãy x ,x , 1 2 xác định công thức (2) hội tụ đến x
Định lý 2.3 (Tốc độ hội tụ phương pháp Newton-Krylov bậc ba) Cho ánh xạ
n n
F : thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2 có đạo hàm đến cấp ba D n Khi dãy xn xác định cơng thức (2) hội tụ đến x với tốc độ hội tụ cấp ba
Sau đây, đưa chứng minh Định lý 2.3 Trong chứng minh này, ta đặt *
n n
e = −x x
và ( )
( )
( ) * *
1
, 1, 2,3 !
j j
F x
C j
j F x
= =
Để chứng minh Định lý 2.3, ta có hàm K – tuyến tính cho
4
1
n n n
e Ke O e
Trước hết ta viết lại công thức (2) sau ( ) ( )1
1 ,
n n n n
x+ =x −F y − F x
với ( ) ( )1
n n n n
y =x − F x − F x
Áp dụng công thức khai triển Taylor hàm F x( ) x ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 ( )( )3
2! 3!
F x =F x +F x x−x + F x x−x + F x x−x +O x−x
Khi ( ) ( )( ) ( )( )2 ( )( )3
2! 3!
n n
F x =F x x −x + F x x−x + F x x−x +O x−x ( ) ( ) ( )
2! 3!
n n n n
F x e F x e F x e O e
= + + +
=F x( ) (en+C e2 n2+C e3 n3+O en 4)
Áp dụng công thức khai triển Taylor hàm F( )x x ta có
( ) ( )* ( )(* *) ( )(* *)2 *
F x =F x +F x x−x + F x x−x +O x−x Khi ( ) ( ) ( )( ) ( )(* *)2 *
2
n n
F x =F x +F x x −x + F x x−x +O x−x
=F x( )* (I+2C e2 n +3C e3 n2+O en 3)
Do ( )
( )
( )( )
( )( )
4
2
2
3
*
2
2 3
n n n n
n
n n n n
F x e C e C e O e
F x
F x F x I C e C e O e
+ + +
=
+ + +
=I−2C e2 n+(4C22−3C e3) n2+O en 3(en+C e2 n2+C e3 n3+O en 4)
= −en C e2 n2+(2C22−2C e3) n3+O en 4.
Suy ( )
( ) 2 ( 22 3)
1
2 2
n
n n n n
n
F x
(4)Do ( )
2
1
n n n n n
y =x+ e +C e − C −C e +O e
Ta có ( ) ( )* ( )(* *) ( )(* *)2 *
n n n n
F y =F x +F x y −x + F x y −x +O y −x
( )* ( *) ( *)2
2
2 n 3 n n
F x I C y x C y x O e
= + − + − +
( )* 2 2 22 3 3 4
n n n
F x I C e C C e O e
= + + + +
Suy ( )
( ) 3 2
2
3
n n n n
n n
n n n
e C e C e O e F x
F y
I C e C C e O e
+ + + = + + + +
2 3 3 ( 2 3 4) 4
n n n n n n n
I C e C e O e e C e C e O e
= − − + + + +
4 3
2 .
4
n n n
C
e C e O e
= − − +
Vậy xn+1=xn−F( )yn −1F x( )n
3
4
n n n n
C
x e C e O e
= − + − +
3
2 .
4 n n
C
x C e O e
= + − +
Do 3
1
4
n n n
C
e + =C − e +O e
, Định lý 2.3 chứng minh
3.Kết thực nghiệm
Trong phần này, chúng tơi đưa số ví dụ cách sử dụng Matlab để tìm nghiệm gần hệ thông qua công thức lặp (3) Trong ví dụ này, bước lặp dừng lại
13 10 n
F x đưa thời gian chạy thuật toán
Ví dụ : Giải gần hệ phương trình :
1
1
2 2
1
1 0
9 x x x
x x x
x x x
(7)
Ta chọn nghiệm gần ban đầu x0 1, 1, T,sau thực bước lặp với thời gian chạy 125. (s) ta nghiệm gần hệ (7)
2 14025812200518 09029464225523 22352512107130T
x . , . , .
Mã code :
(5)f = [x1*x2*x3 ; x1+x2-x3*x3; x1*x1+x2*x2+x3*x3]; y = [x1; x2 ;x3]; xn = [1; -1, 0.1];
R = Jacobian(f,y) ; m = ; tic ; While (m<100)
a = subs(R, {x1, x2, x3}, {xn(1), xn(2), xn(3)} ; A = a’*a ; B = a’*b ;
Tol = 1e^-13 ; z0 = zeros(2 ;1); kn = fom(A, B, z0, tol) ;
% (Tính nghiệm gần k(xn) hệ
2
F xn k xn F xn ) yn = xn + kn;
a = subs(R, {x1, x2; x3}, {yn(1), yn(2), yn(3)}); b = -subs(f, {x1, x2, x3}, {xn(1), xn(2), xn(3)}); A = a’*a ; B = a’*b ;
Tol = 1e^-13 ; z0 = zeros(2 ;1); kn = fom(A, B, z0, tol) ;
% (Tính nghiệm gần sn hệ F xn k xn sn F xn )
xn = xn + sn;
If norm(B)< 1e^-13 breack; else
m = m+1; end; end; toc;
fprintf(‘Thời gian thực hiện:’); disp(toc); If (m=100)
fprintf(‘Không hội tụ sau 100 lần lặp’); else
fprintf(‘Số lần lặp là’); m fprintf(‘Nghiệm là’); xn end
Ví dụ 2: Giải gần hệ phương trình :
1 4
2 4
1 3
1 4
0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
(8)
Bằng cách chọn nghiệm gần ban đầu x0 5 5 , , , 3. T, sau thực ba bước lặp với thời gian chạy 156. (s) ta nghiệm gần hệ phương trình (8)
0 577350269189626 577350269189626 577350269189626. , , , 288675134594813.
4 Kết luận
(6)TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES
[1] M T Darvishi, “A two-step high-order Newton-like method to solve systems of nonlinear equations,” International J of Pure and Applied Mathematics, vol 57, no (4), pp 543-555, 2009
[2] M Frontini and E Sormani, “Third-order methods from quadrature formulae for solving systems of nonlinear equations,” Appl Math Comput, vol 149, pp 771-782, 2004
[3] M T Darvishi and A Barati, “A fourth-order method from quadrature formulae to solve systems of nonlinearequations,” Appl Math Comput, vol 188, pp 257-261, 2007
[4] V T Lai, P K Hoang, M L Quach, and V H Nguyen, “Solving system of nonlinear equations by the third – oder Newton-Krylov method,” TNU Journal of Science and Technology, vol 225, no 06, pp 405-410, 2020
[5] M T Darvishi, and B –C Shin, “High –Order Newton – Krylov Methods to Solve systems of Nonlinear Equation,” J.KIAM, vol 15, no.1, pp 19 -30, 2011