SU HOI TU CUA TICH PHAN SUY RONG LOAI 1

sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức.. sử dụng hệ quả..[r]

I LÝ THUYẾT: Vô bé: ( x → x0 , với x ≠ ∞ ) ( a ) sin u tan u arcsin u acrtan u u ,khi u →0 ( b ) 1−cos u u u →0 α ( c ) (1+u) −1 α u khiu → ( d ) ln ( 1+ u ) u u →0 ( e ) ax −1 x lna x →0 ( f ) e x −1 x x →0 * Quy tắc ngắt bỏ vô bé:ta ngắt bỏ vô bé bậc cao ( lim f ( x )=0 f(x) gọi x → x0 vơ bé) Vô lớn: ( x → ∞ ) Khi x→ ∞ thằng tiến vơ nhanh giữ lại , thằng tiến vơ chậm bỏ * Quy tắc ngắt bỏ vô lớn:ta ngắt bỏ vô lớn bậc thấp ( lim f ( x )=∞ f(x) gọi x→∞ vơ lớn) Ví dụ : lim x→∞ x100 + x 50+1 x 100 lim =1 x 100 + x 99+100 x →∞ x 100 KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ TÍCH PHÂN LOẠI 1: +∞ a) Tích phân bản: hội tụ : α>1 ∫ x1α dx { phân kỳ : α ≤1 a b) Tích phân phức tạp: (dùng tiêu chuẩn)  Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức: ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) g ( x ) hội tụ→ f ( x ) hội tụ f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ {  Dấu hiệu so sánh giới hạn: f (x) lim =k ( ≤ k ≤+∞ ) , f ( x ) hội tụ→ g ( x ) hội tụ x → ∞ g (x) f ( x ) phân kỳ → g ( x ) phân kỳ { * Hệ quả: f ( x ) g ( x ) : hội tụ , phân kỳ +∞  +∞ ∫|f ( x )| dx hội tụ→ ∫ f ( x ) dx hội tụ a a II BÀI TẬP: Xét hội tụ tích phân sau: +∞ a ∫ x 31+ dx (sử dụng hệ quả) Khi x →+∞ tacó : 1 x +1 x +∞ ∫1 x dx +∞ hội tụ →∫ 1 dx hội tụ x +1 +∞ ∫ x√3+x1 dx b (sử dụng hệ quả) Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ x +∞ dx hội tụ → ∫ √x √x = x3 x +1 x √ x dx hội tụ x +1 +∞ c dx ∫ lnx (sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức) Khi x →+∞ tacó :ln x ≤ x → +∞ 1 ≥ lnx x +∞ dx phân kỳ ∫ 1x dx phân kỳ ( α =1 ) → ∫ lnx 2 +∞ d ∫ 1 √ 1+ x √1+ x dx Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ 1 √ 1+ x √ 1+ x2 +∞ 1 = √ x √ x x6 dx hội tụ α = >1 → ∫ dx hội tụ √ 1+ x √ 1+ x e (sử dụng hệ quả) x x x−sin ¿ ¿ ¿ dx x2¿ x +sin x ¿ +∞ ∫¿ ( ) x x−sin¿ ¿ x ¿ Khi x →+∞ tacó : x +sin x ¿ x x−sin ¿ ¿ ¿ dx x2 ¿ x +sin x ¿ +∞ ∫ +∞ f +∞ dx hội tụ ( α =2> ) → ∫ ¿ x2 ∫ sinx 2x dx (sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức) Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ sin x ≤ x2 x +∞ sin x dx hội tụ ( α =2> ) → ∫ dx hội tụ x x g +∞ −2 x ∫ ex dx( sử dụng dấu hiệu so sánh bất đẳng thức ) Khi x →+∞ tacó :e−2 x = ≤1 ( e x >0 , x →+∞ ) 2x e Chia vế cho x2 ta đư ợ: c e−2 x ≤ 2 x x +∞ ∫ +∞ e−2 x dx h ộ i tụ ( α =2> ) → ∫ x dx hội tụ x2 +∞ h ∫ x 4−xx +1 dx (sử dụng hệ quả) Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ x x = 4 x −x +1 x x +∞ x2 dx h ộ i tụ ( α =2> ) → ∫ x 4−x +1 dx hội tụ x2 ... +∞ 1 ≥ lnx x +∞ dx phân kỳ ∫ 1x dx phân kỳ ( α =1 ) → ∫ lnx 2 +∞ d ∫ 1 √ 1+ x ? ?1+ x dx Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ 1 √ 1+ x √ 1+ x2 +∞ 1 = √ x √ x x6 dx hội tụ α = >1 → ∫ dx hội tụ √ 1+ x √ 1+ ...+∞ ? ?1 x dx +∞ hội tụ →∫ 1 dx hội tụ x +1 +∞ ∫ x√3+x1 dx b (sử dụng hệ quả) Khi x →+∞ tacó : +∞ ∫ x +∞ dx hội tụ → ∫ √x √x = x3 x +1 x √ x dx hội tụ x +1 +∞ c dx ∫ lnx (sử dụng... ) Khi x →+∞ tacó :e−2 x = ? ?1 ( e x >0 , x →+∞ ) 2x e Chia vế cho x2 ta đư ợ: c e−2 x ≤ 2 x x +∞ ∫ +∞ e−2 x dx h ộ i tụ ( α =2> ) → ∫ x dx hội tụ x2 +∞ h ∫ x 4−xx +1 dx (sử dụng hệ quả) Khi x