Hàm phân hình và sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình

Nội dung chính của luận văn trình bày các tính chất có liên quan đến hàm phân hình và một số tính chất có liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình.. Chương III: Trình bày về sự hộ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍNH MINH

KHOA TOÁN –TIN

HÀM PHÂN HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn tập thể thầy cô của trường ĐHSP nói chung và các cán bộ giảng viên khoa Toán-Tin nói riêng bao năm qua đã tận tình chỉ dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được học tập tại trường

Em có được kết quả ngày hôm nay là do một phần ở sự nỗ lực của bản thân

và một phần quan trọng ở sự chỉ dạy của thầy cô

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn riêng đến thầy Nguyễn Văn Đông đã tận tình hướng dẫn cho em trong những ngày qua để em hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy

Chắc chắn bài làm của em vẫn còn những sai sót, rất mong được sự đóng góp, chỉnh sửa của quý thầy cô để được hoàn thiện hơn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và kính chúc thầy cô sức khỏe, công tác tốt

TP.HCM, tháng 12, năm 2011

Sinh viên NGUYỄN CƠ THẠCH

MỤC LỤC

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

Chương II: HÀM PHÂN HÌNH 5

2.1 Hàm phân hình 5

2.2 Trường các hàm phân hình 6

2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình 10

2.4 Biểu diễn hàm phân hình 14

Chương III: HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM PHÂN HÌNH 20

3.1 Lý thuyết tổng quát về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình 21

3.2 Khai triển phân thức từng phần của πcot zπ 24

3.3 Công thức Euler đối với 2 1 (2 ) n v n v ζ − ≥ =∑ 29

3.4 Lý thuyết Eisenstein về hàm lượng giác 36

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

Lý thuyết hàm phân hình là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích phức Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm hệ thống lại một số kiến thức về giải tích phức để từ đó giúp cho bản thân có điều kiện nghiên cứu sâu hơn về giải tích phức sau này

Nội dung chính của luận văn trình bày các tính chất có liên quan đến hàm phân hình và một số tính chất có liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình Luận văn còn nghiên cứu một số chuỗi hàm phân hình đặc biệt như chuỗi Euler, Eisenstein

Luận văn gồm ba chương:

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II: Trình bày khái niệm và một số tính chất của hàm phân hình

Chương III: Trình bày về sự hội tụ của chuỗi hàm phân hình và một số chuỗi hàm phân hình đặc biệt

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1: Cho D là tập mở khác rỗng trong  Hàm f: D → 

được gọi là hàm chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mỗi điểm thuộc D

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0∈ D nếu tồn tại một lân cận U mở của z 0 nằm trong D sao cho f |Uchỉnh hình trên U Tập hợp các điểm mà tại đó hàm chỉnh hình luôn

là tập mở trong 

Hàm chỉnh hình còn gọi là hàm giải tích

Hàm chỉnh hình trên  còn gọi là hàm nguyên

Tập hợp các hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là O(D)

Định lý 1.2 (định lý đồng nhất): Các mệnh đề sau về cặp f, g các hàm chỉnh hình trên

miền G⊂ là tương đương:

i) f = g

ii) Tập hợp {ω∈G f: ( )ω =g( )ω }có một điểm giới hạn trong G

iii) Có một c∈G sao cho ( )( ) ( )

Định lý 1.4 (định lý về chuỗi bội): Cho n( ) k( )n ( 0)k

k

f z =∑c z−z là chuỗi lũy thừa hội

tụ trong một đĩa chung B tâm c với n∈  Giả sử ( ) n( )

n

f z =∑ f z hội tụ chuẩn tắc trong

Định nghĩa 1.6 (Cấp của một không điểm và bội tại một điểm):

Nếu f là một hàm chỉnh hình khác hằng 0 trong một lân cận của c, thì từ định

lý đồng nhất ta biết rằng có một số tự nhiên m sao cho :

Ngoài ra, ta thường dùng số ( , )v f c =o c(f − f c( )) để chỉ rằng f nhận giá trị f c( )với bội ( , )

v f c tại c Ta luôn có v f c( , ) 1 ≥ và hai mệnh đề sau tương đương

a) f có bội n < ∞ tại c

b) f z( )= f c( ) (+ −z c F z)n ( ) với F là hàm chỉnh hình tại c và thỏa ( ) 0

F c′ ≠ Đặc biệt v f c( , ) = ⇔ 1 f c′ ( ) ≠ 0

Định lý 1.7: Cho G là một miền trong , f G: →  là hàm chỉnh hình khác hằng Khi đó với mọi a∈ tập hợp thớ

1

f− a = ∈z G f z =a

mà ta gọi là tập các a- điểm của f , là tập rời rạc và đóng (tương đối) trong G

Đặc biệt, với mọi tập compact K ⊂G, mỗi tập 1

( ) ,

f− a ∩K a∈ , là tập hữu hạn dẫn đến 1

( )

f− a là tập không quá đếm được, nghĩa là f không có quá đếm được các a - điểm trong G Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con rời rạc và đóng (tương đối) trong G

Định lý 1.8: Cho g G: →G′ là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G′ f là hàm

chỉnh hình trên miền G và là hàm hằng trên mỗi tập thớ của g- 1( )

g− w w∈G′ Khi đó có một hàm chỉnh hình h trong G′sao cho g* ( )h = f hay h g z( ( )) = f z( ), ∀ ∈z G.

1.2 Điểm bất thường

Mệnh đề 1.9: Nếu hàm f có một cực điểm cấp m tại z0 thì (z−z0)l f z( ) → ∞khi z→z0 với mọi số nguyên l<m, trong khi (z−z0)m f z c( ) ó z0 là điểm bất thường bỏ được Đặc biệt f z( ) → ∞khi z→z0

Mệnh đề 1.10: Nếu f có không điểm cấp m tại z0 thì 1

f có cực điểm cấp m tạiz0 Ngược lại nếu f có cực điểm cấp m tại z0thì 1 c zó 0

f là điểm bất thường bỏ được và nếu ta định nghĩa 0

1( )z 0

f = thì 1

f có không điểm cấp m tại z0

Định lý 1.11: Giả sử f là một hàm nguyên khi đó:

i) f là hàm hằng ⇔ ∞ là điểm bất thường bỏ được

ii) f là hàm đa thức ⇔ ∞ là cực điểm của f

iii) f là hàm siêu việt ⇔ ∞là điểm bất thường cốt yếu của f

( ) exp( )

1.4 Về dãy trong không gian mê tric

Định nghĩa 1.14: Cho S là không gian mê tric, một điểm p∈S được gọi là điểm giới hạn hoặc là điểm tụ của tập M ⊂Snếu U∩(M \{ }p )≠ ∅với mọi lân cận U của p

Mọi lân cận của điểm giới hạn p của M chứa vô hạn điểm của M và do đó luôn

có dãy { }c n ⊂M \{ }p với lim n

n c p

→∞ =

Định lý 1.15: S là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi dãy ( )x n trong S đều chứa một dãy con hội tụ

Chương II: HÀM PHÂN HÌNH

Trong lý thuyết hàm các hàm chỉnh với các cực điểm đã đóng một vai trò nổi bật Vào năm 1875 Briot và Bouquet đã gọi những hàm này là các hàm phân hình Mục 2.1 trình bày khái niệm và tính chất của hàm phân hình

Các hàm phân hình không những có thể cộng, trừ, nhân mà còn có thể chia Điều này khiến cấu trúc đại số của các hàm phân hình đơn giản hơn so với các hàm chỉnh hình Đặc biệt các hàm phân hình trên một miền tạo thành một trường Mục 2.2 trình bày cấu trúc đại số của tập các hàm phân hình trên một miền

Mục 2.3 trình bày cấu trúc tô pô của không gian các hàm phân hình

Nội dung chính của mục 2.4 là định lý (2.15) chỉ ra mọi hàm phân hình đều có thể biểu diễn thành thương của hai hàm chỉnh hình

2.1 Hàm phân hình

Định nghĩa 2.1: Cho D là một tập mở khác rỗng trong  Một hàm f được

gọi là hàm phân hình trong D, nếu có một tập con rời rạc P f( ) của D sao cho f

chỉnh hình trên D P f\ ( ) và có cực điểm tại mỗi điểm thuộc P f( )

Dựa vào mệnh đề 1.9 ta chọn ∞ như giá trị của hàm tại mỗi cực điểm :

( ) :

f z = ∞ với z∈P f( )Như vậy các hàm phân hình trong D là các ánh xạ liên tục D→∞ = ∪ ∞ { }

Tập P f( ) được gọi là tập cực của f , tập hợp này là tập đóng tương đối trong

D Lưu ý rằng tập cực có thể là tập ∅ nên các hàm chỉnh hình trong D là hàm phân hình trong D Vì P f( ) là tập rời rạc, đóng tương đối trong D nên tập cực của mỗi hàm phân hình trong D hoặc rỗng, hoặc hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được Một hàm phân hình f trong D mà có tập cực khác rỗng không thể biến toàn bộ

D vào 

ππ

π

= là hàm phân hình không là hàm hữu tỷ có tập cực

là tập vô hạn đếm được với P(cotπz) = 

2.2 Trường các hàm phân hình

Một hàm được gọi là phân hình tại z0 nếu nó phân hình trong một lân cận nào

đó của z0 Khi đó nếu hàm này khác hằng 0 thì nó có khai triển

f g∈M D với các tập cực P f( ), ( )P g thì P f( ) ∪P g( ) là rời rạc và đóng tương

đối trong D và các hàm f g f, , ±g f g, chỉnh hình trong D\(P f( )∪P g( )) Với

mỗi z0∈P f( )∪P g( ) có các số tự nhiên m n, và một lân cận Ucủa z0nằm trong

D với U∩(P f( )∪P g( )) { }= z0 sao cho ( 0)m ( ) và ( 0)n ( )

Khi đó mỗi hàm trong 3 hàm

M D là - đại số (đối với phép cộng, trừ, nhân) và - đại số O D( )là - đại

số con của M D( ) Với mọi f g, ∈M D( ) các tập cực thỏa

Cùng với f , đạo hàm f ' của nó là hàm phân hình trong D Hai hàm này có cùng tập cực P f( ) =P f( '); và nếu q là phần chính của f tại một cực điểm thì q'cũng là phần chính của f ' tại đó

( )

O D là vành giao hoán các hàm chỉnh hình trong D Trong vành O D( ) các hàm chỉnh hình trong D phép chia một hàm g chỉ có thể thực hiện được khi g

khác không trong D Nhưng trong vành M D( ), chúng ta có thể chia bởi các hàm

có không điểm Tập không điểm Z f( ) của một hàm phân hình f ∈M D( )được hiểu là tập không điểm của hàm chỉnh hình f D P f\ ( )∈O D P f( \ ( )) Khi đó Z f( )đóng tương đối trong D và Z f( ) ∩P f( ) = ∅

Định lý 2.2: Các khẳng định sau về hàm phân hình u∈M D( ) là tương đương i) u là một đơn vị trong M D( ), nghĩa là, uu = 1 với u nào đó thuộc M D( ) ii) Tập hợp các không điểm Z u( )là tập rời rạc trong D

Ngoài ra khi i) đúng ta có P u( )  =Z u( ) và Z u( ) =P u( )

Chứng minh: i)⇒ii) Từ phương trình uu = 1 suy ra rằng với c∈D

( ) 0 ( ) và ( ) ( ) 0

u c = ⇔u c = ∞ u c = ∞ ⇔u c =nghĩa là , Z u( ) =P u( ) và  P u( ) =Z u( )  Đặc biệt, Z u( ), là tập cực của một hàm phân hình, nên là tập rời rạc trong D

ii)⇒i) A: =Z u( ) ∪P u( ) là tập rời rạc và đóng tương đối trong D.Trong D A\

hàm u 1

u

=

 chỉnh hình Mọi điểm thuộc Z u( )là một cực điểm của u(mệnh đề 1.10)

và mọi c∈P u( ) là điểm bất thường bỏ được và là không điểm của u vì

1

( )

z→c u z = Điều này có nghĩa u ∈M D( ) 

Trên cơ sở định lý này thương của hai phần tử f g, ∈M D( ) tồn tại trong vành( )

M D khi Z g( ) rời rạc trong D Đặc biệt f M D( )

g∈ ∀f g, ∈O D( )khi Z g( ) rời rạc trong D

Một hệ quả quan trọng của định lý này là:

Hệ quả 2.3: - đại số của các hàm phân hình trong một miền là một trường

Chứng minh: Nếu f ∈M G( ) không phải là phần tử 0và Glà một miền thì

\ ( )

G P f cũng là một miền và f G P f\ ( ) là một hàm chỉnh hình khác 0 thuộc

( \ ( ))

O G P f Khi đó Z f( ) là tập rời rạc trong G (định lý 1.7) và cho nên theo định

lý 2.2 f là một đơn vị trong M G( ) Như vậy mỗi phần tử trong M G( ) \ 0{ }đều là đơn vị 

Trường M( )  chứa trường  ( )z các hàm hữu tỷ như là một trường con thực sự

vì exp , cotz z∉ ( )z

Ta có thể mở rộng định lý 1.8qua kết quả sau

Định lý 2.4: Cho g G: →G' là ánh xạ chỉnh hình từ miền G lên miền G’ Đơn ánh *

g được định nghĩa như vậy là một đơn ánh từ M G( ') vào M G( ) 

Định lý 2.5 (Định lý đồng nhất cho hàm phân hình): Các phát biểu sau về cặp

hàm phân hình f g, trong miền Glà tương đương

Chứng minh: Nếu G là một miền thì G\ ( ( )P f ∪P g( ))cũng là một miền Do

đó các mệnh đề tương đương được suy ra từ định lý 1.2

Sau đây ta trình bày về cấp của hàm phân hình

Nếu f ≠ 0 là hàm phân hình tại z0thì f có khai triển duy nhất

Số nguyên mđược xác định duy nhất bởi phương trình này được gọi là cấp của

f tại z0, ký hiệu o z0( )f Nếu f chỉnh hình tại z0 thì đây là cấp đã được giới thiệu

ở mục 1.6 Từ định nghĩa này ta có: Với một hàm f phân hình tại z0

1) f chỉnh hình tại z0 ⇔o z0( )f ≥0

2) Trong trường hợp m=o z0( )f < 0, z0 là một cực điểm của f với cấp −m

Như vậy các cực điểm của f là những điểm mà cấp của f tại đó âm

Các quy tắc tính toán của hàm o z0( )f : Với mọi hàm f g, phân hình tại z0

i)

0( ) 0( ) 0( )

o f g =o f +o g

ii) o z0(f +g)≥min{o z0( ),f o z0( )g }với đẳng thức xảy ra khi o z0( )f ≠o z0( )g

2.3 Không gian mê-tric các hàm phân hình

Nếu G là một miền trong  và f là hàm phân hình trong G và  :f G→ ∞ được xác định bởi ( )f z = ∞ khi z là cực điểm, ( )f z = f z( )với các z khác thì f là hàm liên tục Xét mê-tric trên M(G) như là mê-tric cảm sinh của mê-tric trênC G( ,∞)Mê-tric d trên ∞ được định nghĩa như sau

và

1( , ) lim

−

a) Nếu a∈ và r > 0 thì có số ρ> 0sao cho B a∞( , )ρ ⊂B a r( , )

b) Ngược lại, nếu ρ >0 a∈ thì có r > 0 sao cho B a r( , )⊂B a∞( , )ρ

c) Với ρ > 0cho trước có một tập compact K⊂  sao cho

Để chứng minh định lý ta cần chứng minh kết quả sau

Bổ đề 2.8: Nếu  là tập con compact của C G( ,∞)thì  là đồng liên tục tại mỗi điểm của G (⊂C G( ,∞) được gọi là đồng liên tục tại điểm a∈G nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0tồn tại δ δ= ( , )a ε > 0 sao cho với z− <a δ

( ( ), ( ))

d f z f a <ε với mọi f ∈ )

Chứng minh: Cố định a∈G và cho ε > 0 và R > 0 được chọn sao cho

Nhưng vì f k liên tục nên có 0 < <δ R sao cho z− <a δ dẫn đến

Chứng minh định lý 2.7 : Giả sử có một a∈G với f a( ) ≠ ∞và đặt M = f a( )

Sử dụng mệnh đề 2.6a có thể tìm một số ρ > 0 sao cho B∞( ( ), )f a ρ ⊂B f a M( ( ), ) Nhưng vì f n → f nên có n0 sao cho ( ( ), ( ))

có f z n( ) ≤ f z n( )− f a( ) + f a( ) ≤2M với mọi z∈B a r( , ) và n≥n0 Khi đó sử dụng (2.3.1) ta có

−

≤+

với mọi z∈B a r( , ) và n≥n0 Vì d f z( n( ), ( ))f z →0 đều với z∈B a r( , )dẫn đến

n

f z − f z → đều với z∈B a r( , ) Vì phần cuối của dãy { }f n bị chặn trên

B(a,r) nên f n không có cực điểm và chỉnh hình gần z = a với n≥n0 Suy ra f chỉnh hình trên một đĩa tâm a

Bây giờ giả sử có một điểm a∈G với f a( ) = ∞ Với hàm g∈C G( ,∞) ta định nghĩa 1

g∈ ∞ Vì f n → f trong C G( ,∞) nên theo

f không đồng nhất bằng 0 , suy ra f là hàm phân hình trong B(a,r) Kết hợp với phần đầu của chứng minh ta có f là hàm phân hình trong G nếu f không đồng nhất bằng

Hệ quả 2.9: M G( )∪ ∞{ }là không gian mê tric đủ

Hệ quả 2.10: O G( )∪ ∞{ } là không gian con đóng của C G( ,∞)

2.4 Biểu diễn hàm phân hình

Định lý 2.11: Cho G là một miền trong  và { }f n là dãy hàm thuộc O G( )sao cho

không có hàm f n nào là hàm hằng 0 Nếu

f z

∞

=

∏ hội tụ trong G về f(z) Nếu a là một không điểm của

f thì a là một không điểm của chỉ một số hữu hạn các hàm f n và bội của các không

điểm của f là tổng các bội của các không điểm của f n tại a

Định nghĩa 2.12: Một nhân tử sơ cấp là một trong các hàm E z p( ) với p= 0,1, 2,

+ + +

= − , p≥ 1 Hàm E p z

a

 

 

  có một không điểm đơn tại a và không có không điểm khác Đồng thời

nếu b là một điểm trong \ G thì E p a b

Xét dãy { }z n bao gồm các điểm { }a j nhưng sao cho mỗi a j được lặp lại phụ thuộc vào số bội m j Khi đó với mỗi n≥ 1có một điểm w trong n \ G sao cho

( , \ )

n n n

w −z =d z  G

Trường hợp { }a j có hữu hạn phần tử thì định lý được chứng minh dễ dàng nên ta

chỉ xét { }a j có vô hạn phần tử Lưu ý rằng giả thiết 2.4.1loại bỏ trường hợp G=  Vì

Với mỗi z∈K có:

( \ , )( , )

hội tụ trong O G( ), do đó f là một hàm chỉnh hình trong G Đồng thời cũng theo định

lý 2.11 f chỉ nhận các điểm z=a j là không điểm cấp m j

z < thì 1 (1 ) 1

2

Log z z

1

n n

δδ

δ

∞ +

=

−

∑ với z ≥ R1

trong G 1 mà không có điểm giới hạn và cho { }m j là một dãy các số nguyên Khi đó nếu ( , )

B a r là một đĩa trong G sao cho 1 αj∈B a r( , ) 1 ∀ ≥j , ta xét phép biến đổi phân tuyến

−Theo chứng minh trên có hàm f trong O G( ) với không điểm tại mỗi a j với bội m j và không có không điểm nào khác sao cho lim ( ) 1

z f z

→∞ = Khi đó g z( ) = f T z( ( )) là hàm chỉnh hình trên G\{ }a với a là điểm bất thường bỏ được Hơn nữa g có các không điểm tại α với bội j m j 

Một trong các kết quả thú vị suy ra từ kết quả trên là

Hệ quả 2.15: Nếu f là hàm phân hình trong miền G thì có các hàm g và h chỉnh hình

trong G sao cho f g

h

=

Chứng minh: Cho { }a j là một dãy các cực điểm của f và giả sử { }m j là cấp của cực điểm tại a j Khi đó theo định lý 2.14có một hàm chỉnh hình h chỉ nhận a jlà các không điểm bội m j Như vậy hf có các điểm bất thường bỏ được tại mỗi a j Suy ra

(Theo nguyên lý không điểm cô lập suy ra rằng tập P f( )các điểm cực của f gồm những điểm cô lập Do tính chất compact nên mỗi hình tròn đóng B(0, )n chỉ chứa hữu hạn phần tử của P f( ).)

g z f z z z

=

chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, tức là một hàm nguyên

Bởi vì lim ( ) 0 ên lim ( )

m

p j j

Trường hợp 2: lim ( ) 0

z f z

→∞ = , ta xét ϕ( )z = f z( ) 1 + Vì ϕ là hàm phân hình và lim ( ) 1