Xet su Hoi tu cua tich phan suy rong

Kết quả phải nhớ I.. Tích phân suy rộng loại 1 Trước tiên ta lưu ý sử dụng các kết quả sau trong xét sự hội tụ của tích phân 1.. Cũng xét tích phân trên nhưng cận dưới không phải là số

Kết quả phải nhớ

I Tích phân suy rộng loại 1

Trước tiên ta lưu ý sử dụng các kết quả sau trong xét sự hội tụ của tích phân

1 Tích phân , 0

a

dx a

x 





 Hội tụ khi  1

Phân kì khi   1.

Điều kiện a 0 là rất cần lưu ý

Chú ý 1 Cũng xét tích phân trên nhưng cận dưới không phải là số dương

Khi xét tích phân trên , 0

m

dx m

x 





 lúc này ta tách ra thành hai tích phân

a

a

Tích phân

a

m

dx

x 

 là tích phân xác định nên hội tụ Như vậy tích phân ban đầu hội tụ khi và chỉ khi

a

dx

x 



 hội tụ

Chú ý 2 Xét tích phân sau , 0

a dx a

x 







 , bằng cách đổi biến số t   x ta cũng có kết quả như trên Hội tụ khi  1

Phân kì khi  1.

Tích phân này có cận trên âm, khi cận trên bằng không hoặc dương ta cũng tách ra hai tích phân

I Tích phân suy rộng loại 1

0

a

dx

a

0

a

dx

x 





  ,

b

a

dx

b a

x a 





b

a

dx

b a

b x 







Hội tụ khi  1

Phân kì khi  1.

Ví dụ bài tập 3.15

2

2

cos( )

1

x dx x



 

Đổi biến số, đặt t   x , lim( )

t

x



  , vậy tích phân ban đầu có dạng

1

cos( ) cos( )





Ta có đánh giá sau

2

t

t

Mà tích phân

2

1

1

dt

t



 hội tụ nên tích phân

2 2 1

cos( ) 1

t dt t





2 2 1

cos( ) 1

t dt t





Lưu ý Trên đây đã dùng phép đổi biến, nếu không đổi biến ta vẫn có thể áp dụng kết quả lý

thuyết trình bày phía trên

Bài này dùng kĩ thuật đối với định lý so sánh 1

3

7 3

xdx



 (phân tích thấy tích phân này suy rộng loại 1 tại cận dưới, cận trên

suy rộng loại 2 nên đầu tiên là tách cận)

4

Trước hết xét tích phân

4 7 3

xdx

x x  x 

 (suy rộng ở nhân tử x 3, do vậy biểu thức

dưới dấu tích phân tương đương

3

1 3

x  )

Đặt  

7 3

x

3

x



3

3

9 12



Vậy tích phân

4 7 3

xdx

x x  x 

4 3

dx

x 

 cùng hội tụ và cùng phân kì

Mà

4

3

dx

x 

 hội tụ suy ra tích phân

4 7 3

xdx

x x  x 

Xét tích phân

7 3

xdx





(phân tích thấy rằng trên tử bậc 1, mẫu bậc 3 vậy hàm dưới mẫu tương đương với 12

x )

Đặt  

7 3

x

Xét g x   12 0, x 4

x

3 7 3

3

1

Suy ra tích phân    

,

  cùng hội tụ và cùng phân kì Mà tích phân

1

x



7 3

xdx



Do hai tích phân suy rộng ở vế phải của (3) đều hội tụ nên suy ra tích phân ban đầu hội tụ

6

3

3

x

dx



3 , vậy đã thức mẫu tương đương

với

x  x

 )

Đặt  

3

3

x

Xét hàm   4

3

1

x

3

3

3



Suy ra tích phân    

,

  cùng hội tụ và cùng phân kì

Mà

4

1

dx

x



 hội tụ nên tích phân ban đầu hội tụ