Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số: 9.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết trình bày luận án trung thực chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hiền ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Thành Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Thành, người đặt toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn ThS Vũ Thị Ngọc Ánh TS Võ Thị Hồng Vân thảo luận góp ý từ lúc viết thảo hoàn thiện luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Dương Xuân Giáp, PGS.TS Phan Đức Thành, PGS.TS Trần Xuân Sinh nhà khoa học đồng nghiệp môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, nghiên cứu sinh, thành viên nhóm seminar PGS.TS Lê Văn Thành chủ trì góp ý, thảo luận bổ ích Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn chân thành sâu sắc động viên, chia sẻ dành cho tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu cơng tác Nguyễn Thị Thanh Hiền iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm 11 1.2 Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16 1.3 Hàm biến đổi chậm 23 Chương Luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert 2.1 Luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ 31 32 2.2 Luật yếu số lớn 43 Chương Luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert 3.1 Luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ 56 57 3.2 Luật yếu số lớn 71 Kết luận kiến nghị 78 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực (Ω, F, P) H B(H) B log x ln x a+ a− EX Var(X) Cov(X, Y ) I(A) h.c.c Không gian xác suất đầy đủ Không gian Hilbert thực, khả ly P Xn → X L Xn →2 X |A| X (j) ·, · X [x] d X=Y lim inf An lim sup An N (0, 1) σ - đại số Borel H Tập số hệ sở trực chuẩn H Logarit số số thực dương x Logarit tự nhiên số thực dương x max{a, 0}, a ∈ R max{−a, 0}, a ∈ R Kỳ vọng biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên X Phương sai biến ngẫu nhiên X Covariance biến ngẫu nhiên X Y Hàm tiêu tập hợp A Hầu chắn Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn hội tụ theo trung bình cấp đến X Lực lượng tập hợp A Tọa độ thứ j phần tử ngẫu nhiên X Tích vơ hướng H Chuẩn sinh tích vơ hướng H Chuẩn phần tử ngẫu nhiên X Phần nguyên số thực x Các phần tử ngẫu nhiên X Y phân phối Giới hạn dãy biến cố {An } Giới hạn dãy biến cố {An } Phân phối chuẩn tắc N (µ, σ ) f (n) ∼ g(n) tr i Phân phối chuẩn với tham số µ, σ f (n) lim = 1, f (n) g(n) hàm số dương n→∞ g(n) Trang thứ i tài liệu trích dẫn tr i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn RV SV K Họ hàm biến đổi quy Họ hàm biến đổi chậm an = o(1) ✷ Hằng số dương khơng giống lần xuất lim an = n→∞ Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ hầu chắn hội tụ theo xác suất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, ln vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn kinh tế, khoa học tự nhiên số lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Tính độc lập biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết xác suất Tuy nhiên, tượng ngẫu nhiên xảy thực tiễn thường phụ thuộc lẫn Do đó, phải tìm hiểu, nghiên cứu kiểu phụ thuộc khác biến ngẫu nhiên để phù hợp với toán ứng dụng thực tế như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence), Những thông tin phân phối, đặc trưng, dáng điệu, tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc (khi số biến ngẫu nhiên đủ lớn) có nhiều ứng dụng thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, tốn tài chính, điều khiển tối ưu, Tùy vào cấu trúc phụ thuộc khác mà cần có kỹ thuật, cơng cụ khác để giải toán với cấu trúc phụ thuộc tương ứng 1.3 Sự phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát là, từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian trừu tượng khác như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, Khi nghiên cứu luật số lớn định lý giới hạn, có nhiều tác giả thu kết tốt như: Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận, 1.4 Sự hội tụ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng điều khiển ngẫu nhiên thống kê tốn học, mơ hình hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu, Bài tốn đánh giá bình phương tối thiểu mơ hình hồi quy bội ngẫu nhiên khởi xướng báo năm 1978 tác giả Lai, Robbins Wei [31] Kể từ đến nay, mơ hình kế thừa tiếp tục phát triển mơ hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn Breton, Musiela xét cho trình nửa martingale [8] gần cơng trình Arie Preminger Giuseppe Storti xét cho q trình nhiễu có xác suất lớn [2] Bài tốn mơ hình hồi quy phi tham số đưa tổng có trọng số biến ngẫu nhiên Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Sự hội tụ tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị khơng gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, nghiên cứu điều kiện để dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert thỏa mãn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn hội tụ đầy đủ Cụ thể, nghiên cứu nội dung sau: - Nghiên cứu bất đẳng thức tính chất liên quan tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi theo tọa độ phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập luật yếu số lớn tổng ngẫu nhiên tổng không ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị khơng gian Hilbert; - Tìm ví dụ phản ví dụ để minh họa cho kết lý thuyết; - Nghiên cứu đề xuất điều kiện để thu hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, hội tụ đầy đủ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu chủ yếu luận án tính phụ thuộc lý thuyết xác suất, hội tụ tổng biến ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu - Phân tích kết đạt được, từ phát triển kỹ thuật, kết vào mơ hình có cấu trúc tương tự, mơ hình tổng quát hơn; - Tổ chức seminar khoa học, tổ chức buổi trao đổi nhóm nghiên cứu với nhà khoa học nước để thảo luận làm nảy sinh ý tưởng, kĩ thuật Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên 73 Chú ý rằng, {Ynk − EYnk , k ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị H Với ε > tùy ý, ta có P bn ≤P Tn (Ynk − EYnk ) > ε k=1 Tn bn (Ynk − EYnk ) > ε, Tn ≤ Kn + P (Tn > Kn) k=1 Tn (Ynk − EYnk ) > εbn , Tn ≤ Kn + ε =P (do (3.2.6)) k=1 Kn l ≤P (Ynk − EYnk ) > εbn l=1 +ε k=1 l =P (Ynk − EYnk ) > εbn max 1≤l≤Kn k=1 l ≤ 2E ε bn +ε (Ynk − EYnk ) max 1≤l≤Kn +ε k=1 (theo bất đẳng thức Markov) Kn ≤ Kb−2 n E Ynk − EYnk +ε (do (1.2.3)) k=1 Kn (j) ≤ Kb−2 n E(Ynk )2 + ε k=1 j∈B Kn ≤ (j) Kb−2 n (j) (j) E(Xk I(|Xk | ≤ bn ))2 + b2n P(|Xk | > bn ) + ε k=1 j∈B (j) = Knb−2 n (j) (j) E(X1 )2 I(|X1 | ≤ bn ) + K nP(|X1 | > bn ) + ε j∈B j∈B (3.2.8) Chứng minh tương tự cách chứng minh điều kiện (2.2.18) Định lý 2.2.4 ta có (j) lim nb−2 n n→∞ (j) E(X1 )2 I(|X1 | ≤ bn ) = j∈B (3.2.9) 74 Từ (3.2.3), (3.2.8) (3.2.9), ta có bn Tn P (Ynk − EYnk ) → n → ∞ (3.2.10) k=1 Kết hợp (3.2.7) (3.2.10), ta thu (3.2.5) Trong trường hợp L(x) = logα x với α ≥ x > 1, ta có hệ sau Hệ 3.2.2 Giả sử < p < 2, α ≥ 0, {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.2.1) bn = n1/p logα (n + 1), n ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H thỏa mãn (j) nP(|X1 | > n1/p logα (n + 1)) = 0, lim n→∞ j∈B (j) (j) E(|X1 |2 I(|X1 | ≤ M )) < ∞, với M > j∈B Khi đó, ta có luật yếu số lớn n1/p logα (n + 1) Tn P (Xk − EYnk ) → n → ∞ k=1 Trong trường hợp < p ≤ 1, ta có hệ sau Hệ 3.2.3 Cho < p ≤ 1, {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.2.1), L(x) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞) với A > thỏa mãn điều kiện (3.2.2) Khi p = giả thiết L(x) ≥ K với x đủ lớn Đặt bn = n1/p L(n + A), n ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H thỏa mãn (j) E(|X1 |) < ∞ EX1 = 0, j∈B (3.2.11) 75 Khi đó, ta có luật yếu số lớn bn Tn P Xk → n → ∞ k=1 Chứng minh Ta thấy rằng, với < p < ta có lim nb−1 n = p = ta n→∞ có nbn−1 ≤ K với n ≥ Chứng minh tương tự Hệ 2.2.6, ta có bn Tn P (Xk − EYnk ) → n → ∞ k=1 (j) n→∞ (j) nb−1 n E |X1 |I(|X1 | > bn ) = lim (3.2.12) j∈B Mặt khác, ta thấy bn Tn EYnk k=1 ≤ bn = bn ≤ bn Tn EYnk k=1 ≤ bn Tn E (j) (j) Xk I(|Xk | ≤ bn ) j∈B k=1 Tn (j) |EYnk | j∈B k=1 + bn Tn (j) (j) E Xk I(|Xk | > bn ) + j∈B k=1 Tn bn Tn (j) nP |Xk | > bn j∈B k=1 (j) nP |X1 | > bn j∈B (do EX1 = 0) ≤ bn = ≤ Tn bn Tn (j) (j) E |Xk |I(|Xk | > bn ) + j∈B k=1 (j) (j) E |X1 |I(|X1 | > bn ) + j∈B 2Tn bn (j) Tn bn Tn bn (j) j∈B (j) j∈B Tn n (j) (j) E |X1 |I(|X1 | > bn ) j∈B P → n → ∞ (do (3.2.1) (3.2.12)) Vậy hệ chứng minh j∈B nP |X1 | > bn E |X1 |I(|X1 | > bn ) = 2nb−1 n (j) nP |X1 | > bn 76 Ví dụ sau với giả thiết Định lý 3.2.1, đảm bảo hội tụ theo trung bình cấp Ví dụ 3.2.4 Giả sử {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn P(Tn = n) = − log(n + 1) log(n + 1) P(Tn = n3 ) = n n Tn P → Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc n lập, phân phối nhận giá trị thỏa mãn {Xn , n ≥ 1} độc lập Khi với {Tn , n ≥ 1} (1) (2) (j) X1 = (X1 , X1 , , X1 , ), (j) P X1 = − j (j) = P X1 = j = , j ≥ Khi đó, EX1 = 0, ∞ EX12 = j=1 (j) nP(|X1 | > n log1/2 (n + 1)) = lim n→∞ π2 = , j2 j∈B với M > 0, ta có ∞ (j) (j) E(|X1 |2 I(|X1 | ∞ (j) E|X1 |2 ≤ M )) ≤ = j=1 j∈B j=1 < ∞ j2 Đặt bn = n log1/2 (n + 1), n ≥ Ta có EYnk = 0, n ≥ 1, k ≥ Áp dụng Định lý 3.2.1, ta n log 1/2 (n + 1) Tn (Xk − EYnk ) = k=1 n log 1/2 (n + 1) Tn P Xk → n → ∞ k=1 77 Tuy nhiên, E Tn n log1/2 (n + 1) Xk k=1 n = E n log(n + 1) Xk I(Tn = n) k=1  + E  Xk  I(Tn = n3 ) n log(n + 1) k=1 n = E n log(n + 1) 1− Xk k=1  + 2  n3 n3 log(n + 1) n 2   log(n + 1) E X k n2 log(n + 1) n k=1 log(n + 1) EX12 − + EX12 n log(n + 1) n log(n + 1) π2 π 1− + = 6n log(n + 1) n π2 n → ∞ → = Do đó, n log 1/2 (n + 1) Tn Xk L2 k=1 Kết luận Chương Chương luận án thiết lập số luật số lớn định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Khác với cấu trúc phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nghiên cứu Chương 2, phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, áp dụng bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov Do đó, so với kết trình bày Chương 2, điều kiện moment giả thiết thường yếu kết luận thu thường mạnh xét 78 điều kiện moment Một đóng góp Chương định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ Trong kết này, chứng minh định lý dạng Baum - Katz luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz - Zygmund với dãy số chuẩn hóa tổng quát Khi xét phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian hữu hạn chiều, trường hợp đặc biệt Định lý 3.1.1 tiệm cận đến lời giải cho toán mở đặt tác giả Chen Sung năm 2014 (xem Định lý 3.1.5 Hệ 3.1.9) Bên cạnh đó, chúng tơi xét luật yếu số lớn tổng ngẫu nhiên thay tổng tất định Chương 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Xây dựng khái niệm mới, khái niệm phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa độ, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập chứng minh số tính chất hàm biến đổi quy hàm biến đổi chậm; - Chứng minh số bất đẳng thức cực đại cho tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ; - Chứng minh bất đẳng thức cực đại cho tổng phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ; - Thiết lập định lý dạng Baum-Katz hội tụ đầy đủ tổng có trọng số dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ liên kết âm theo tọa độ; - Đưa số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau đây: - Thiết lập luật số lớn số định lý giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc khác như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị không gian Hilbert; 80 - Nghiên cứu ứng dụng tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc thống kê toán học lĩnh vực khác, mơ hình hồi quy phi tham số, nhiễu ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc khác nhau; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc cho biến ngẫu nhiên số lớp không gian khác nhau, đồng thời ý nhiều mảng ứng dụng kết thu lĩnh vực thống kê; - Chứng minh số bất đẳng thức cực đại dạng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị khơng gian Hilbert 81 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN N T T Hien and L V Thanh (2015), On the weak laws of large numbers for sums of negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Statist Probab Lett., 107, 236–245 N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), On the negative dependence in Hilbert spaces with applications, Appl Math., 64, no 1, 45-59 V T N Anh, N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), The Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers with general normalizing sequences, Journal of Theoretical Probability, Online first, https://link.springer.com/article/10.1007/s10959-019-00973-2 V T N Anh and N T T Hien (2020), On the weak laws of large numbers for weighted sums of dependent identically distributed random vectors in Hilbert spaces (submitted) 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Alam and K M Lai Saxena (1981), Positive dependence in multivariate distributions, Comm Statist A Theory Methods, 10, no 12, 1183–1196 [2] P Arie and S Giuseppe (2017), Least squares estimation for garch (1,1) model with heavy tailed errors, Econometrics Journal, 19, no 2, 1–41 [3] V T N Anh and N T T Hien (2019), On the weak laws of large numbers for weighted sums of dependent identically distributed random vectors in Hilbert spaces (submitted) [4] V T N Anh, N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), The Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers with general normalizing sequences, Journal of Theoretical Probability, Online first, https://link.springer.com/article/10.1007/s10959-019-00973-2 [5] L E Baum and M Katz (1965), Convergence rates in the law of large numbers, Trans Amer Math Soc., 120, 108–123 [6] N H Bingham, C M Goldie and J L Teugels (1989), Regular variation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 27, Cambridge University Press, Cambridge [7] H W Block, T H Savits and M Shaked (1982), Some concepts of negative dependence, Ann Probab., 10, no 3, 765–772 [8] A Le Breton and M Musiela (1989), Laws of large numbers for semimartingales with applications to stochastic regression, Probab Theory Related Fields, 81, 275–290 [9] R Bojani´c and E Seneta (1971), Slowly varying functions and asymptotic relations, J Math Anal Appl., 34, 302–315 [10] J Borcea, P Brăandộn and T M Liggett (2009), Negative dependence and the geometry of polynomials, J Amer Math Soc., 22, no 2, 521– 567 83 [11] R M Burton, A R Dabrowski and H Dehling (1986), An invariance principle for weakly associated random vectors, Stochastic Process Appl., 23, 301–306 [12] T K Chandra and S Ghosal (1996b), The strong law of large numbers for weighted averages under dependence assumptions, J Theoret Probab., 9, 797–809 [13] T K Chandra and A Goswami (1992), Cesaro uniform integrability and the strong law of number, Sankhya, 54, no 2, 215–231 [14] P Chen and S H Sung (2014), On the strong convergence for weighted sums of negatively associated random variables, Statist Probab Lett., 92, 45–52 [15] P Chen and S H Sung (2016), Complete convergence and strong laws of large numbers for weighted sums of negatively orthant dependent random variables, Acta Math Hungar., 148, no 1, 8395 [16] S Csăorgo, K Tandori and V Totik (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar., 42, no 3–4, 319–330 [17] N Ebrahimi and M Ghosh (1981), Multivariate negative dependence, Comm Statist A - Theory Methods, 10, no 4, 307–337 [18] N Etemadi (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrsch Verw Gebiete, 55, no 1, 119–122 [19] J Galambos and E Seneta (1973), Regularly varying sequences, Proc Amer Math Soc., 41, 110–116 [20] A Gut (2013), Probability: A graduate course, Springer-Verlag, New York [21] J Hájek and A Rényi (1955), A Generalization of an inequality of Kolmogorov, Acta Math Acad Sci Hungar., 6, 281–283 [22] N T T Hien and L V Thanh (2015), On the weak laws of large numbers for sums of negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Statist Probab Lett., 107, 236–245 [23] N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), On the negative dependence in Hilbert spaces with applications, Appl Math., 64, no 1, 45–59 84 [24] J Hoffmann-Jørgensen and G Pisier (1976), The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces Ann Probab., 4, 587– 599 [25] T C Hu, S H Sung and A I Volodin (2016), A note on the strong laws of large numbers for random variables, Acta Math Hungar., 150, no 2, 412–422 [26] N V Huan, N V Quang and N T Thuan (2014), Baum-Katz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 144, no 1, 132–149 [27] N V Huan (2015), On the complete convergence for sequences of random vecrtors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 147, no.1, 205–219 [28] A H Jessen and T Mikosch (2006), Regularly varying functions, Publ Inst Math (Beograd) (N.S), 80, 171–192 [29] K Joag-Dev and K Proschan (1983), Negative association of random variables, with applications, Ann Statist., 11, 286–295 [30] M H Ko, T S Kim and K H Han (2009), A note on the almost sure convergence for dependent random variables in a Hilbert space, J Theoret Probab., 22, 506–513 [31] T L Lai, H Robbins and C Z Wei (1978), Strong consistency of least squares estimates in multiple regression, Proc Natl Acad Sci USA, 75, no 7, 3034–3036 [32] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes, Springer-Verlag, Berlin [33] E L Lehmann (1966), Some concepts of dependence, Ann Math Statist., 37, 1137–1153 [34] D Li, A Rosalsky and A I Volodin (2006), On the strong law of large numbers for sequences of pairwise negative quadrant dependent random variables, Bull Inst Math Acad Sin (N.S.), 1, 281–305 [35] J J Liu, S X Gan and P Y Chen (1999), The Hájek-Rényi inequality for the NA random variables and its application, Statist Probab Lett., 43, 99–105 [36] M Loève (1977), Probability Theory I, 4th Ed.; Springer-Verlag, New York 85 [37] P Matula (1992), A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett., 15, 209– 213 [38] Y Miao (2012), Hájek-Rényi inequality for dependent random variables in Hilbert space and applications, Rev Un Mat Argentina, 53, 101–112 [39] F Móricz (1976), Moment inequalities and the strong laws of large numbers, Z Wahrsch Verw Gebiete, 35, no 4, 299–314 [40] F Móricz (1980), Strong laws of large numbers for quasistationary random fields, Z Wahrsch Verw Gebiete, 51, no 3, 249–268 [41] F Móricz (1987), Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasi-orthogonal sequences of random variables, Proc Amer Math Soc., 101, no 4, 709–715 [42] F Móricz, K.L Su and R.L Taylor (1994), Strong laws of large numbers for arrays of orthogonal random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 65, no 1, 1–16 [43] F Móricz and R.L Taylor (1988), Strong laws of large numbers for arrays of orthogonal random variables, Math Nachr., 141, 145–152 [44] R F Patterson and R L Taylor (1997), Strong laws of large numbers for negatively dependent random elements, Nonlinear Anal., 30, 4229– 4235 [45] R Pemantle (2000), Towards a theory of negative dependence, J Math Phys., 41, 1371–1390 [46] V V Petrov (1975), Sums of independent random variables, Translated from the Russian by A A Brown Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 82 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, x+346 pp [47] V V Petrov (2002), A note on the Borel-Cantelli lemma, Statist Probab Lett., 58, 283–286 [48] G Pisier (1986), Probabilistic methods in the geometry of Bannach spaces, Springer-Verlag, Berlin 86 [49] N V Quang and L V Thanh (2005), On the strong laws of large numbers for two-dimensional arrays of blockwise independent and blockwise orthogonal random variables, Probab Math Statist., 25, no 2, 385–391 [50] A Rosalsky and L V Thanh (2007), On the strong law of large numbers for sequences of blockwise independent and blockwise p-orthogonal random elements in Rademacher type p Banach spaces, Probab Math Statist., 27, no 2, 205–222 [51] Q M Shao (2000), A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, J Theoret Probab., 13, no 2, 343–356 [52] E Seneta (1973), An interpretation of some aspects of Karamata’s theory of regular variation, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.), 15, 111– 119 [53] E Seneta (1976), Regularly varying functions, Lecture Notes in Mathematics, 508, Springer-Verlag, Berlin-New York [54] U Stadtmă uller and L V Thanh (2011), On the strong limit theorems for double arrays of blockwise M -dependent random variables, Acta Math Sin (Engl Ser.), 27, 1923–1934 [55] S H Sung (2011), On the strong convergence for weighted sums of random variables, Statist Papers, 52, no 2, 447–454 [56] S H Sung (2014), Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers for pairwise i.i.d random variables, J Theoret Probab., 27, no 1, 96–106 [57] L V Thanh (2006), On the Brunk-Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwise m-dependent random variables, Esaim: Probability and Statistics, 10, 258–268 [58] L V Thanh (2007), On the strong law of large numbers for ddimensional arrays of random variables, Electron Comm Probab., 12, 434–441 [59] L V Thanh (2013), On the almost sure convergence for dependent random vectors in Hilbert spaces, Acta Math Hungar., 139, no 3, 276– 285 87 [60] L V Thanh and G Yin (2015), Weighted sums of strongly mixing random variables with an application to nonparametric regression, Statist Probab Lett., 105, 195–202 [61] Y Wu and A Rosalsky (2015), Strong convergence for m-pairwise negatively quadrant dependent random variables, Glas Mat Ser III, 50, no 1, 245–259 [62] L X Zhang (2001), Strassen’s law of the iterated logarithm for negatively associated random vectors, Stoch Processes Appl., 95, 311-328 ... quan tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi theo tọa độ phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; ... yếu số lớn tổng ngẫu nhiên tổng không ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm,... niệm phụ thuộc âm theo tọa độ phụ thuộc âm đôi theo tọa độ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert sau Định nghĩa 1.2.5 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị H gọi phụ thuộc