Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Tốn học Mã số: 9.46.01.06 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Thành Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Trường Trường Đại học Vinh Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin-Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối hội tụ hầu chắn hội tụ theo xác suất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Tuy nhiên, ln vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, tốn kinh tế, khoa học tự nhiên số lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Tính độc lập biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết xác suất Tuy nhiên, tượng ngẫu nhiên xảy thực tiễn thường phụ thuộc lẫn Do đó, phải tìm hiểu, nghiên cứu kiểu phụ thuộc khác biến ngẫu nhiên để phù hợp với toán ứng dụng thực tế như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence), 1.3 Sự phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát là, từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian trừu tượng khác như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, 1.4 Sự hội tụ tổng có trọng số biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng điều khiển ngẫu nhiên thống kê tốn học, mơ hình hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu, Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Sự hội tụ tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị khơng gian Hilbert” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, nghiên cứu điều kiện để dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert thỏa mãn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn hội tụ đầy đủ Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert; - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, hội tụ đầy đủ Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu chủ yếu luận án tính phụ thuộc lý thuyết xác suất, hội tụ tổng biến ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu - Phân tích kết đạt được, từ phát triển kỹ thuật, kết vào mơ hình có cấu trúc tương tự, mơ hình tổng qt hơn; - Tổ chức seminar khoa học, tổ chức buổi trao đổi nhóm nghiên cứu với nhà khoa học nước để thảo luận làm nảy sinh ý tưởng, kĩ thuật Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu luật số lớn hội tụ đầy đủ phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh nhà nghiên cứu lĩnh vực Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Khái niệm phụ thuộc âm đôi (pairwise negative dependence), phụ thuộc âm (negative dependence) khái niệm liên kết âm (negative association) biến ngẫu nhiên nghiên cứu từ năm 1966, 1981, 1983 tương ứng Lehmann, Ebrahimi Ghosh Joag-Dev Proschan Năm 2000, Shao chứng minh rằng, bất đẳng thức quan trọng biến ngẫu nhiên độc lập bất đẳng thức Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov, với biến ngẫu nhiên liên kết âm Có nhiều định lý giới hạn thiết lập cho dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm Khái niệm liên kết phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert lần nghiên cứu Burton, Dabrowski Dehling vào năm 1986 Luật mạnh số lớn phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị không gian Hilbert nghiên cứu Ko, Kim Han cho trường hợp không phân phối Thành cho trường hợp phân phối Miao chứng minh bất đẳng thức Hajek-Renyi cho phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị khơng gian Hilbert Sau đó, Huấn, Quảng Thuận giới thiệu khái niệm phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị không gian Hilbert nghiên cứu hội tụ đầy đủ loại phụ thuộc Gần nhất, Huấn hoàn thiện bổ sung kết Tổng có trọng số mơ hình hồi quy phi tham số trường hợp nhiễu phụ thuộc nghiên cứu Thành Yin 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần: Một số kí hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung kiến nghị, Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án, nội dung luận án trình bày ba chương Chương dành để giới thiệu số kiến thức chuẩn bị làm sở cho nghiên cứu luận án Chương dành để trình bày kết nghiên cứu luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert Chương dành để trình bày kết nghiên cứu luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một, liên kết âm xác định không gian xác suất (Ω; F; P) Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất liên kết âm theo tọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ phụ thuộc âm đôi theo tọa độ phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Hilbert Cuối chương, chúng tơi trình bày khái niệm hàm biến đổi quy, hàm biến đổi chậm tính chất chúng 1.1 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm Năm 1981, Ebrahimi Ghosh phát biểu khái niệm phụ thuộc âm cho n biến ngẫu nhiên sau Định nghĩa 1.1.1 Họ biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , , Xn } gọi i) phụ thuộc âm dưới, với x1 , x2 , , xn ∈ R, ta có P(X1 ≤ x1 , , Xn ≤ xn ) ≤ P(X1 ≤ x1 ) P(Xn ≤ xn ), (1.1) ii) phụ thuộc âm trên, với x1 , x2 , , xn ∈ R, ta có P(X1 > x1 , , Xn > xn ) ≤ P(X1 > x1 ) P(Xn > xn ), (1.2) iii) phụ thuộc âm, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (1.1) (1.2) Họ vô hạn biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} gọi phụ thuộc âm với n ≥ 1, họ hữu hạn biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , , Xn } phụ thuộc âm Năm 1981, Alam Saxena đưa khái niệm phụ thuộc mạnh tính phụ thuộc âm phụ thuộc âm đơi một, khái niệm liên kết âm biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.2 Họ biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi liên kết âm Cov f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B) ≤ 0, (1.3) với cặp tập rời A, B tập {1, 2, , n} với hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R cho Covarian cơng thức (1.3) tồn tại, |A| kí hiệu lực lượng tập A Họ vơ hạn biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} gọi liên kết âm với n ≥ 1, họ hữu hạn biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} liên kết âm 1.2 Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm Năm 2009, Ko, Kim Han mở rộng khái niệm liên kết âm cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert thực, khả ly Định nghĩa 1.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị H gọi liên kết âm d ≥ 1, dãy phần tử ngẫu nhiên {( Xi , e1 , , Xi , ed ), i ≥ 1} nhận giá trị Rd liên kết âm Năm 2014, Huấn, Quảng Thuận mở rộng khái niệm Ko, Kim Han sang liên kết âm theo tọa độ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert sau Định nghĩa 1.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị H gọi liên kết âm theo tọa độ với j ≥ 1, dãy biến ngẫu nhiên { Xi , ej , i ≥ 1} liên kết âm Dựa vào ý tưởng Huấn, Quảng Thuận, xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ phụ thuộc âm đôi theo tọa độ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert sau Định nghĩa 1.2.3 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị H gọi phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc âm đôi theo tọa độ) với j ≥ 1, dãy biến ngẫu nhiên { Xi , ej , i ≥ 1} phụ thuộc âm (tương ứng phụ thuộc âm đơi một) Tiếp theo, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Rademacher - Menshov bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert Định lý 1.2.4 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị H thỏa mãn E Xn < ∞ với n ≥ Khi đó, với n ≥ 1, ta có n i=1 k E i=1 (1.4) i=1 n Xi max 1≤k≤n E Xi , ≤ Xi E n 2 E Xi ≤ log (2n) i=1 (1.5) Định lý 1.2.5 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị H thỏa mãn E Xn < ∞ với n ≥ {bn , n ≥ 1} dãy không giảm số dương Khi đó, với n ≥ 1, ta có E max 1≤k≤n bk k n 2 ≤ log (2n) Xi i=1 i=1 E Xi b2i · (1.6) Hơn nữa, với ≤ m ≤ n, ta có E max m≤k≤n 1.3 bk k Xi i=1 ≤ bm m n E Xi i=1 E Xi +8 log (2(n−m)) · b i i=m+1 (1.7) Hàm biến đổi chậm Năm 1976, Seneta phát biểu khái niệm hàm biến đổi quy hàm biến đổi chậm sau Định nghĩa 1.3.1 Hàm số thực R(·) gọi hàm biến đổi quy với số biến đổi quy ρ (với ρ ∈ R) hàm đo được, dương [A, ∞), với A > 0, với λ > ta có R(λx) = λρ x→∞ R(x) lim (1.8) Một hàm biến đổi quy với số biến đổi quy ρ = gọi hàm biến đổi chậm Bổ đề 1.3.2 Cho p > 0, L(·) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞), với A > thỏa mãn xL (x) =0 x→∞ L(x) lim Khi đó, ta có (1.9) 12 Khi đó, ∞ E Xn log2 n 0, ta có ∞ k αp−2 n n=1 P ani Xi > ε(n log2 n)α max 1≤k≤n < ∞ (2.6) i=1 Với αp = ani ≡ 1, hệ sau kết mà thu báo Hiền, Thành Vân (2019) 13 Hệ 2.1.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trị H ≤ p < Khi đó, (2.5) thỏa mãn với ε > 0, ta có ∞ k −1 n P n=1 Xi > ε(n log2 n)1/p max 1≤k≤n < ∞ (2.7) i=1 Hệ sau luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert Hệ 2.1.4 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trị H ≤ p < Khi đó, (2.5) thỏa mãn (n log2 n)1/p 2.2 n Xi → h.c.c n → ∞ i=1 Luật yếu số lớn Định lý sau đây, thiết lập luật yếu số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert Định lý 2.2.1 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị H {bn , n ≥ 1} dãy số dương Với n ≥ 1, k ≥ 1, j ∈ B , đặt (j) (j) (j) (j) (j) Ynk = −bn I Xk < −bn + Xk I |Xk | ≤ bn + bn I Xk > bn , (j) Ynk = Ynk ej j∈B 14 Khi đó, n (j) P |Xk | > bn = lim n→∞ lim n→∞ b n (2.8) k=1 j∈B n (j) Xk E (j) I |Xk | ≤ bn =0 (2.9) k=1 j∈B ta thu luật yếu số lớn bn n P (Xk − EYnk ) → 0, n → ∞ (2.10) k=1 Kết tiếp theo, thu luật yếu số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị không gian Hilbert Định lý 2.2.2 Giả sử < p < 2, L(x) hàm biến đổi chậm, khả vi, xác định [A, ∞), với A > cho xL (x) =0 x→∞ L(x) lim (2.11) {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng số thực thỏa mãn n a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ (2.12) i=1 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H Với n ≥ 1, i ≥ 1, j ∈ B, đặt bn = n1/p L(n + A), (j) (j) Yni = −bn I Xi (j) (j) (j) < −bn + Xi I |Xi | ≤ bn + bn I Xi n (j) Yni ej , Sn Yni = j∈B = Xi i=1 > bn , 15 Khi đó, P |X1 | > bn = (j) (2.13) E(|X1 |2 I(|X1 | ≤ M )) < ∞, ∀M > (j) (2.14) lim n n→∞ j∈B (j) j∈B ta thu luật yếu số lớn bn n P ani (Xi − EYni ) → n → ∞ (2.15) i=1 Hệ 2.2.3 Giả sử L(x) hàm biến đổi chậm, khả vi, xác định [A, ∞), với A > cho thỏa mãn điều kiện (2.11) L(x) ≥ K [A, ∞) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H thỏa mãn (j) E(|X1 |) < ∞ EX1 = 0, (2.16) j∈B Nếu {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng số thực thỏa mãn điều kiện (2.12) Khi đó, ta thu luật yếu số lớn bn n P ani Xi → n → ∞, (2.17) i=1 với bn = nL(n + A), n ≥ Kết luận chương Trong Chương luận án, số luật số lớn định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ thiết lập Để chứng minh luật mạnh số lớn định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ, thường phải sử dụng công cụ quan trọng bất đẳng thức cực đại Tuy nhiên, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ, 16 bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov khơng Thay vào đó, chúng tơi phải chứng minh bất đẳng thức cực đại dạng Rademacher - Mensov cho cấu trúc phụ thuộc Phương pháp chứng minh luật số lớn sử dụng Chương đánh giá tổng riêng phần tử ngẫu nhiên khối dạng [2k , 2k+1 ), sau áp dụng phương pháp dãy Cách tiếp cận cho phép xét dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ khối Đối với luật yếu số lớn, chúng tơi tổng qt hóa kết luật yếu số lớn Feller cách xét dãy số chuẩn hóa bn = nα L(n), L(n) hàm biến đổi chậm Để đạt kết này, cần chứng minh số tính chất hàm biến đổi chậm, thể Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9 Mệnh đề 1.3.10 Ngồi ra, Chương trình bày số ví dụ minh họa tính tối ưu điều kiện đặt giả thiết định lý (Ví dụ 2.1.9, 2.2.2 2.2.3) 17 CHƯƠNG LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý giới hạn dạng luật số lớn hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert 3.1 Luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ Định lý sau chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối nhận giá trị không gian Hilbert Định lý 3.1.1 Giả sử ≤ p < 2, αp ≥ 1, {X, Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối nhận giá trị H L(·) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞), với A > Trong trường hợp p = 1, ta giả sử L(x) ≥ hàm tăng [A, ∞) Đặt bn = nα L(nα ), n ≥ A1/α Giả sử {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} mảng số thỏa mãn n a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ i=1 (3.1) 18 Khi đó, phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn E |X (j) |p Lp (|X (j) | + A) < ∞, E(X) = 0, (3.2) j∈B k αp−2 n n≥A1/α P max 1≤k≤n ani Xi > εbn < ∞, ∀ε > (3.3) i=1 Áp dụng Định lý 3.1.1 với ani ≡ αp = 1, ta suy hệ sau Hệ 3.1.2 Giả sử ≤ p < {X, Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối nhận giá trị H L(·) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞), với A > Khi p = 1, ta giả sử L(x) ≥ hàm tăng [A, ∞) Đặt bn = n1/p L(n1/p ), n ≥ Ap Nếu phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (3.2) k −1 n P n≥Ap max 1≤k≤n Xi > εbn < ∞, với ε > (3.4) i=1 Hệ sau kết luật mạnh số lớn Hệ 3.1.3 Giả sử ≤ p < {X, Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối nhận giá trị H L(·) hàm biến đổi chậm, xác định [A, ∞), với A > Khi p = 1, ta giả sử L(x) ≥ hàm tăng [A, ∞) Đặt bn = n1/p L(n1/p ), n ≥ Ap Nếu phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (3.2) ta thu luật mạnh số lớn max lim n→∞ bn 1≤k≤n k Xi = h.c.c (3.5) i=1 Nếu H không gian hữu hạn chiều Chúng thu Định lý sau 19 Định lý 3.1.4 Cho ≤ p < αp ≥ Giả sử H không gian Hilbert hữu hạn chiều với hệ sở trực chuẩn {e1 , e2 , , ed } {X, Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối nhận giá trị H L(·) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞), với A > Trong trường hợp p = 1, ta giả sử L(x) ≥ hàm tăng [A, ∞) Với n ≥ 1, đặt bn = nα L(nα ), n ≥ A1/α Khi đó, phát biểu sau tương đương i) Phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn E(X) = 0, E ( X p Lp ( X + A)) < ∞ (3.6) ii) Với mảng số {ani , n ≥ 1, ≤ i ≤ n} thỏa mãn n a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ 1, (3.7) i=1 ta có k αp−2 n max P 1≤k≤n n≥A1/α ani Xi > εbn < ∞ với ε > (3.8) i=1 iii) k αp−2 n n≥A1/α P max 1≤k≤n Xi > εbn < ∞ với ε > (3.9) i=1 iv) Luật mạnh số lớn sau thỏa mãn max1≤k≤n lim n→∞ bn k i=1 Xi = h.c.c (3.10) 20 3.2 Luật yếu số lớn Cho dãy biến ngẫu nhiên {Tn , n ≥ 1} dãy số dương {bn , n ≥ 1} Ta kí hiệu Tn /bn bị chặn theo xác suất Tn = OP (bn ), nghĩa lim sup P K→∞ n≥1 |Tn | >K bn = Cho {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị H {bn , n ≥ 1} dãy số dương Với n ≥ 1, k ≥ 1, j ∈ B, đặt (j) (j) (j) (j) (j) Ynk = −bn I(Xk < −bn ) + Xk I(|Xk | ≤ bn ) + bn I(Xk > bn ), (j) Ynk = Ynk ej j∈B Khi đó, thu luật yếu số lớn sau Định lý 3.2.1 Cho < p < 2, {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn Tn = OP (n), (3.11) giả sử L(x) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞) với A > cho xL (x) = x→∞ L(x) lim (3.12) Đặt bn = n1/p L(n + A), n ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H thỏa mãn (j) nP(|X1 | > bn ) = 0, lim n→∞ (3.13) j∈B (j) (j) E(|X1 |2 I(|X1 | ≤ M )) < ∞, với M > j∈B (3.14) 21 Khi đó, ta có luật yếu số lớn bn Tn P (Xk − EYnk ) → n → ∞ (3.15) k=1 Trong trường hợp < p ≤ 1, ta có hệ sau Hệ 3.2.2 Cho < p ≤ 1, {Tn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.11), L(x) hàm biến đổi chậm xác định [A, ∞) với A > thỏa mãn điều kiện (3.12) Khi p = giả thiết L(x) ≥ K với x đủ lớn Đặt bn = n1/p L(n + A), n ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phân phối, nhận giá trị H thỏa mãn (j) E(|X1 |) < ∞ EX1 = 0, (3.16) j∈B Khi đó, ta có luật yếu số lớn bn Tn P Xk → n → ∞ k=1 Kết luận chương Chương luận án thiết lập số luật số lớn định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Khác với cấu trúc phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nghiên cứu Chương 2, phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, áp dụng bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov Do đó, so với kết trình bày Chương 2, điều kiện moment giả thiết thường yếu kết luận thu thường mạnh xét điều kiện moment Một đóng góp Chương định lý dạng Baum - Katz hội tụ đầy đủ Trong kết này, chứng minh định lý dạng Baum - Katz luật mạnh 22 số lớn dạng Marcinkiewicz - Zygmund với dãy số chuẩn hóa tổng quát Khi xét phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị không gian hữu hạn chiều, trường hợp đặc biệt Định lý 3.1.1 tiệm cận đến lời giải cho toán mở đặt tác giả Chen Sung năm 2014 (xem Định lý 3.1.5 Hệ 3.1.9) Bên cạnh đó, chúng tơi xét luật yếu số lớn tổng ngẫu nhiên thay tổng tất định Chương 23 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Xây dựng khái niệm mới, khái niệm phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa độ, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ nhận giá trị không gian Hilbert; - Thiết lập chứng minh số tính chất hàm biến đổi quy hàm biến đổi chậm; - Chứng minh số bất đẳng thức cực đại cho tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ; - Chứng minh bất đẳng thức cực đại cho tổng phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ; - Thiết lập định lý dạng Baum-Katz hội tụ đầy đủ tổng có trọng số dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi theo tọa độ liên kết âm theo tọa độ; - Đưa số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau đây: - Thiết lập luật số lớn số định lý giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc khác như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, nhận giá trị 24 không gian Hilbert; - Nghiên cứu ứng dụng tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc thống kê toán học lĩnh vực khác, mơ hình hồi quy phi tham số, nhiễu ngẫu nhiên có cấu trúc phụ thuộc khác nhau; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc cho biến ngẫu nhiên số lớp không gian khác nhau, đồng thời ý nhiều mảng ứng dụng kết thu lĩnh vực thống kê; - Chứng minh số bất đẳng thức cực đại dạng số phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không gian Hilbert 25 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N T T Hien and L V Thanh (2015), On the weak laws of large numbers for sums of negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Statist Probab Lett., 107, 236–245 N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), On the negative dependence in Hilbert spaces with applications, Appl Math., 64, no 1, 45-59 V T N Anh, N T T Hien, L V Thanh and V T H Van (2019), The Marcinkiewicz-Zygmund type strong law of large numbers with general normalizing sequences, Journal of Theoretical Probability, Online first, https://link.springer.com/article/10.1007/s10959-019-009732 V T N Anh and N T T Hien (2020), On the weak laws of large numbers for weighted sums of dependent identically distributed random vectors in Hilbert spaces (submitted) Các kết luận án trình bày tại: - Hội nghị toàn quốc lần thứ “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015); - Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ (Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017); - Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh, 19/9/2019); 26 - Seminar Bộ môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh (từ năm 2015 đến năm 2019) ... là: Sự hội tụ tổng phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị khơng gian Hilbert Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, nghiên cứu điều kiện để dãy phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị không. .. niệm phụ thuộc âm theo tọa độ phụ thuộc âm đôi theo tọa độ dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert sau Định nghĩa 1.2.3 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị H gọi phụ thuộc. .. hướng tổng quát là, từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian trừu tượng khác như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert,