Về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale

Bài viết trình bày về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale trong lớp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán thống kê và các ứng dụng. Tuy nhiên bài toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với kích thước mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” sẽ cho phép chúng ta ước lượng được kích thước mẫu cần thiết để chúng ta có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm.

Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh 88 VỀ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI DÃY HIỆU MARTINGALE ON THE MEAN CENTRAL LIMIT THEOREM FOR MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES Tôn Thất Tú1, Lê Văn Dũng1, Lê Thị Thúy Quỳnh2 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: tthattu@gmail.com Học viên Cao học K27-TSC, Đại học Đà Nẵng; Email: quynhle90dn@gmail.com Tóm tắt - Trong lớp định lý giới hạn lý thuyết xác suất Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu toán thống kê ứng dụng Tuy nhiên tốn thống kê nói chung khơng cho phép nhiên cứu với kích thước mẫu lớn vơ hạn, tốn “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng kích thước mẫu cần thiết để áp dụng Định lí giới hạn trung tâm Trong đó, chuẩn L L1 thường sử dụng toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” Trong báo này, thiết lập số kết xấp xỉ phân phối chuẩn theo chuẩn L1 dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale phân phối xác suất Abstract - Among the limit theorems of the probability theory, the central limit theorem plays an important role in the research of statistical problems and its applications However, it is almost impossible for us to study statistical problems with infinite sample sizes Therfore, the problem of “normal approximation” is to enable us to estimate the sample size needed so that the central limit theorem can be applied In this case, the L norm and the L1 norm are usually employed in the problem of “normal approximation” In this paper, we establish some results of normal approximation in L1 for the sequences of identical distributed martingale difference random variables Từ khóa - xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu martingale; bất đẳng thức Berry-Esssen; định lí giới hạn trung tâm Key words - normal approximation; random variables; martingale difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem Đặt vấn đề Cho ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng phương sai  hữu hạn Đặt Sn = X1 + X + + X n Kí hiệu Fn ( x )  ( x) hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Sn /  n biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất Fn ( x ) hội tụ đến  ( x) n →  với x  R Vào năm 1954, Agnew [1] Fn ( x ) hội tụ đến  ( x) L p n →  với p  1/ Trong trường hợp p = hội tụ gọi định lí giới hạn trung tâm theo trung bình Tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm theo trung bình Esseen [5] rằng: ‖ Fn − ‖ = O(n−1/ ) n →  Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  N* ) xác định không gian xác suất (; ; P ) gọi hiệu martingale thỏa mãn hai điều kiện: i E (| X n |)   với n; ii E ( X n / n − 1) = 0, 0 = {, },  , X j −1 ), j  j =  ( X1 , Cho ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên phân phối xác suất hiệu martingale bình phương khả tích Trong báo chúng tơi nghiên cứu tốc độ hội tụ hàm phân phối Fn ( x) = P( Sn /  n  x) hàm  ( x) theo chuẩn L1,  = E( X n2 ) Nhắc lại chuẩn L1 hai hàm f ( x ) g ( x) khả tích R xác định bởi: || f − g ||1 =   | f (t ) − g (t ) | dt − Còn chuẩn L hai hàm f ( x ) g ( x) xác định bởi: || f − g || = suptR | f (t ) − g (t ) | Tích chập hai hàm f ( x ) g ( x) khả tích R xác định bởi: f * g ( x) = +  f ( x − y ) g ( y )dy − Kết nghiên cứu Để chứng minh kết ta cần bổ đề sau 2.1 Bổ đề [3] Cho X and  hai biến ngẫu nhiên Với p  1/ ta có: ‖ FX − ‖ ‖ FX + − ‖ +2(2 p + 1)‖ E( p | X )‖ 1/2 p Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ta sử dụng số C tổng quát nhận giá trị khác tùy thuộc vào biến đổi Ta có định lí sau 2.2 Định lí Nếu E(| X1 |3 )   E( X n2 / n −1 ) =  2(h.c.c.) tồn sốC  (0; ) cho:  E (| X |3 )  || Fn −  ||1  C  +  n   n Chứng minh Lấy Z1 , Z , , Z n  biến ngẫu nhiên độc lập với độc lập với biến ngẫu nhiên X n cho chúng có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai Var (Z j ) = Var ( ) =  Đặt: s = n , m2 = (n − m + 1) / n, U m = s −1 ( X + + X m −1 ), Z = Z1 + + Z n , Wm = s −1 ( Z m +1 + + Z n +  ), m = 1, n Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có: E ( )‖ 1/ s2 − F( Z + )/ s‖ +C ‖ E ( )‖ 1/ s − F( Z + )/ s‖ +C / n (2.1) ‖ Fn − ‖ ‖ F( Sn + )/ s − ‖ +C‖ ‖ F( Sn + )/ s ‖ F( Sn + )/ s ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(82).2014 Tiếp theo ta xét ‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ Áp dụng công thức Lindeberg [6] ta có: P(( Sn +  ) / s  t ) − P(( Z +  ) / s  t ) n =  ( P(U m + Wm + X m / s  t ) − P(U m + Wm + Z m / s  t ) ) m =1 Vì Wm có phân phối chuẩn với kì vọng phương sai m2 Hơn U m, Wm Z m độc lập nên tổng viết thành: 89 Kết hợp (2.1) (2.2), định lí hồn tồn chứng minh 2.3 Hệ Cho     Nếu E (| X1 |3 )   E( X n2 / n −1 ) =  (h.c.c.) tồn số C = C ( ,  )  (0; ) cho C || Fn −  ||1  n Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lí 2.2 2.4 Hệ Nếu E(| X1 |3 )   E( X n2 / n −1 ) =  (h.c.c.) Fn ( x) → ( x) L1 n →  n →  n    t −Um X m     t − U m Zm   − − E       − E  m s   m s     m m =1     m 2 n     Z m − X m   t − U m   Z m − X m  '  t − U m    Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lí 2.2 =   E       −    2.5 Hệ 2 m =1     m s   m   m s   m    n   Nếu E(| X1 |3 )   E( X n2 / n −1 ) =  2(h.c.c.) Z m3 X m      t −Um +  E  3  ''  − m   Fn ( x) → ( x) L n →  m s     m m =1    m s Chứng minh Áp dụng Hệ 2.4 bất đẳng thức n   X m3 X m      t −Um ([2], tr 48): −  E  3  ''  −  m'      s  s m m m   m =1       Fn −    Fn −  Trong đó: (2 )1/ ' -   m ,  m  Ta Fn ( x) → ( x) L n →  -  ( x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên có Chú ý từ Hệ 2.5 ta có Định lí giới hạn phân phối chuẩn tắc trung tâm cổ điển sau Do U mlà m−1 đo giả thiết E( X n2 / n −1 ) =  2.6 Hệ (h.c.c.) nên tổng thứ Vì vậy: Nếu ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, P((Sn +  ) / s  t ) − P((Z +  ) / s  t ) phân phối xác suất có kì vọng phương sai  hữu hạn n với x  R, Z m3 Xm   t −Um   E 3  ''  − m  S n − n m s  m s  m m =1 P(  x) → ( x) n →  n  n X m ''  t − U m ' Xm  + E 3   − m Định lí chúng tơi thiết lập tốc độ hội tụ m s  m s  m m =1 dãy biến ngẫu nhiên bị chặn Lấy tích phân vế áp dụng Định lí Fubini ta 2.7 Định lí  Sn +  Z + | P (  t ) − P (  t ) | dt Cho     Nếu    sup n || X n ||   E( X n2 / n−1 ) = Y − s s (h.c.c.) với Y biến ngẫu nhiên khơng âm tồn n   | X m |3 t −Um Xm  số C = C ( ,  ,  )  (0; ) cho:    E  3 |  ( − m ) |  dt −   s  s m m m m =1   C || Fn −  ||1  n   | Z m |3 t −Um Zm  n +   E  3 |  ( −  m ) |  dt − m m s  m =1  m s Chứng minh Lấy Z1 , Z , , Z n biến ngẫu nhiên n độc lập có phân phối chuẩn tắc độc lập với X n ,    | Xm |  t −Um Xm  E |  ( − m ) | dt  3 biến ngẫu nhiên độc lập với X n Z n , có phân phối m m s m =1  − m s  chuẩn với kì vọng phương sai Var ( ) =  n   | Zm |  t −Um Zm + E   |  ( −  m ) | dt  Đặt: 3 m m s m =1  − m s  s = n , m2 = ((n − m)Y +  ) / n , U m = s −1 ( X + + X m −1 ), Chú ý m  và: Z = ( Z1 + + Z n )Y / s, Wm = s −1 (( Z m +1 + + Z n )Y +  ), m = 1, n + + + 2 Trên  -đại số  (n +1 , Z m ), Wm có phân phối chuẩn với  |  ''( x) | dx =− | ( x − 1) ( x) | dx − ( x + 1) ( x)dx =2 − kì vọng phương sai m2 , Z có phân phối chuẩn tắc Nên ta được: Do áp dụng Bổ đề 2.1 ta có:  Sn +  Z + ‖ Fn − ‖ ‖ F( S + )/ s − F( Z + )/ s‖ +C / n − |P( s  t ) − P( s  t ) | dt Mặt khác, theo Định lí Kantorovich-Rubienstein ([4], n  | Z m |3  n  | X m |3  Định lí 11.8.2) ta có:   2E  3  +  2E  3  m =1  m s  m =1  m s  ‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ = sup | E ( f (( Sn +  ) / s)) − E ( f (( Z + )/ s )) |, n C C E (| X m |3 ) f 1  + CE (| X m | ) 3  +C , (2.2) Trong 1 tập tất hàm 1-Lipschitzian từ R vào R n n  n m =1 m s n Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh 90 Bây với f hàm 1-Lipschitzian từ R vào R tùy ý, ta có: E ( f (( Sn +  ) / s)) − E ( f (( Z +  ) / s)) = Định lí [3] Sau ví dụ minh họa cho hệ đồng thời tồn dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện Định lí 2.2 n Ví dụ Cho (Yn ; n  N* ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, =  {E ( f (Wm + U m + X m / s )) − E ( f (Wm + U m + YZ m / s ))} có phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức là: m =1 n P(Yn = −1) = P(Yn = 1) = 1/ =  {E ( f * m (U m + X m / s )) − E ( f * m (U m + YZ m / s) Đặt X n = Y1.Y2 Yn , ( X n ; n  N* ) dãy m =1 n biến ngẫu nhiên phân phối xác suất Bernoulli đối =  {E (g m (U m + X m / s )) − E ( g m (U m + YZ m / s)} xứng ( X n ; n  N* ) hiệu martingale bình m =1 ( g m = f * m ) phương khả tích có E( X n2 / n −1 ) =  = 2 n  Y Z m − X m  ,,  YZ m − X m  ,, Theo Định lí [3] ta có: = E  g m (U m )  g m (U m ) − E  s s2 | Fn −  ||1 = O(n−1/ ) n →    m =1   n  (YZ m ) ,,,  Trong đó, theo Hệ 2.3 ta có: + E  g m (U m −  mYZ m / s )    | Fn −  ||1 = O(n−1/ ) n →  s m =1   n  X m3  Kết luận − E  g m,,, (U m −  m X m / s )  s m =1 Bài báo thiết lập phép xấp xỉ phân phối chuẩn dãy   Trong  m hàm mật độ phân phối chuẩn có kì biến ngẫu nhiên hiệu martingale phân phối xác suất theo chuẩn L1 thông qua hai định lý 2.2 2.7 vọng độ lệch chuẩn m Trong trường hợp E(| X1 |3 )   định lý giới hạn VìU m m m−1 -đo được, m =  ( m , Y ), nên: trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối E ( X m | m −1 ) = E (YZ m | m −1 ) = (h.c.c.) hệ định lý 2.2 E(Y Zm2 | m−1 ) = E( X m2 | m−1 ) = Y 2(h.c.c.) TÀI LIỆU THAM KHẢO Hơn || gm,,, || || f  || || ,,m ||1  Cm−3, nên ta có: n | E ( f (( Sn +  ) / s)) − E ( f (( YZ j +  ) / s)) | j =1  | Xm |   | YZ m |3   E 3 +E 3  m =1  m s  m =1  m s  n   n   3 3  E +E 2 3/  2 3/  (( n − m ) Y +  ) (( n − m ) Y +  ) m =1   m =1    3   3  C  CE  1/  + CE  1/   n Y n  Y n  n n Định lí chứng minh Nhận xét Trong trường hợp dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  N* ) có phân phối xác suất ta thấy Hệ 2.3 tốt [1] R P Agnew, Global versions of the central limit theorem, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 1(2), 800–804, 1954 [2] Louis H.Y Chen, Larry Goldstein, Qi-Man Shao, Normal approximation by Stein’s method, Springer, 2011 [3] Le Van Dung, Ta Cong Son and Nguyen Duy Tien, L1-bounds for some martingale central limit theorems, Lith Math J., 54(1):48–60, 2014 [4] R.M Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge Univ Press, Cambridge, 2004 [5] C.G Esseen, On mean central limit theorems, Kungl Tekn Högsk Handl Stockholm, 121(3), 1–30, 1958 [6] J.W Lindeberg, Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift, 15(1):211–225, 1922 (BBT nhận bài: 12/06/2014, phản biện xong: 01/07/2014) ... Hệ 2.5 ta có Định lí giới hạn phân phối chuẩn tắc trung tâm cổ điển sau Do U mlà m−1 đo giả thiết E( X n2 / n −1 ) =  2.6 Hệ (h.c.c.) nên tổng thứ Vì vậy: Nếu ( X n ; n  N* ) dãy biến ngẫu... X1 |3 )   định lý giới hạn VìU m m m−1 -đo được, m =  ( m , Y ), nên: trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối E ( X m | m −1 ) = E (YZ m | m −1 ) = (h.c.c.) hệ định lý 2.2... )/ s‖ +C / n − |P( s  t ) − P( s  t ) | dt Mặt khác, theo Định lí Kantorovich-Rubienstein ([4], n  | Z m |3  n  | X m |3  Định lí 11.8.2) ta có:   2E  3  +  2E  3  m =1  m s 