Trong bài báo cáo này, các tác giả phát biểu định lí trung bình xấp xỉ cho hàm nửa liên tục dưới trên không gian Asplund. Sử dụng định lí giá trị trung bình xấp xỉ để xây dựng ba điều kiện cần và đủ đặc trưng cho tính tựa lồi vững của hàm số nửa liên tục dưới trên không gian Asplund thông qua dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich.
5 - 2016 ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Bùi Thị Hòa, Trần Thị Tú Trinh (Sinh viên năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Phạm Duy Khánh TÓM TẮT Trong báo cáo này, chúng tơi phát biểu định lí trung bình xấp xỉ cho hàm nửa liên tục không gian Asplund Sử dụng định lí giá trị trung bình xấp xỉ để xây dựng ba điều kiện cần đủ đặc trưng cho tính tựa lồi vững hàm số nửa liên tục không gian Asplund thông qua vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich Trong nghiên cứu chúng tôi, đặc trưng đưa kết Từ khóa: vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich, tựa lồi, tựa lồi vững Định lí giá trị trung bình xấp xỉ Định lí 1.1 (định lí giá trị trung bình xấp xỉ) Cho X không gian Asplund, → :X hàm thường, nửa liên tục X, hữu hạn hai điểm cho trước a b Khi tồn c ∈ [a, b) cho (c) hữu hạn (x) ≥ Hơn nữa, tồn dãy xk (c) ∀x ∈ [a, b] c xk* ( b) ( a) b a b c lim inf xk* , b x k k lim inf xk* , b a ( b) k Trong trường hợp c ( xk ) thỏa a ta có lim xk* ,b a ( a) (b) k (a) Ứng dụng Mệnh đề 2.1 Cho : X hàm nửa liên tục không gian Banach X Xét phát biểu sau: (a) Hàm - tựa lồi vững; (b) y x* , y x Khi a x y x , x y , x* x b Chứng minh: Giả sử hàm - tựa lồi vững x, y X thỏa y x Ta chứng minh: x* , y x y x , Giả sử x * phần tử bất kì x y x Nếu x x* x y 43 x* , y x Bây ta xét trường hợp x Trường hợp 1: y x , y x y Ta xét hai trường hợp: x y Trong trường hợp ta có: x y y x , x y Theo định lí Haln-Banach tồn v* x y BX * cho v* , y x x Xét hàm y cho f :X f z Khi f x v* , z z x X z x f y y v* , y y y x x x Do - tựa lồi vững nên f hàm tựa lồi Do với t hàm x Lấy f x Do x * z Chọn t x x t y x t v* , y x t y x t y x* , z x 0,1 đủ bé cho x x t Trường hợp 2: y y x y y x x x x x z t y t y y Suy ra: x* , y x 44 t y x nên tồn r x đẳng thức ta thu Đặt : f x Khi x Br x z Br x Thay z t x* , y x t x* , y x t y x , y x t x vào bất x t y y x Do đó: x x y y Trong trường hợp ta có x y x cho: x x 0,1 ta có: x , x y x y x y y Do x x y - 2016 y x x y Nên Do hàm - tựa lồi vững lồi vững Áp dụng Trường hợp ta suy x* , y x y nên hàm - tựa x y x y x , x y Để thu điều kiện đủ cho tính tựa lồi vững ta sử dụng số kết bổ trợ liên quan đến tựa lồi nửa liên tục Mệnh đề 2.2 Cho X thỏa u,w hàm tựa lồi, thường, nửa liên tục :X w Giả sử tồn v* u sup v* z ]u,w[ z max X * cho u , v* v* w Khi tồn z ]u,w[ thỏa v* v max v* u , v* w (2.21) r Br v 0, w' ]u,w[: v* v v* w' (2.22) Để chứng minh Mệnh đề 2.2 ta sử dựng số bổ đề sau Bổ đề 2.3 Cho với x, y X thỏa x , ta có lim y Bổ đề 2.4: Cho u, v,w hàm tựa lồi, thường nửa liên tục Khi :X t t x y y hàm tựa lồi, thường, nửa liên tục :X X thỏa v ]u,w[, y w Giả sử tồn v* u v* z max v* u , v* X * z ]u, v[ cho w Khi đó: v lim t t u v v Sử dụng Bổ đề 2.3 2.4 ta chứng minh mệnh đề 2.2 Định lí 2.5 Cho Xét phát biểu sau: (a) Hàm :X hàm nửa liên tục không gian Asplund X - tựa lồi vững; 45 (b) ( y) x* , y ( x) Khi (b) x y x , ( x) x* , y x* ( x ), y* 0, x * x (v ') max Do v* , v ' v* (u), v* (w) Do x , y* , x max v* , u , v* , v nên v* (v ') (v ') max (v ') max max{ v* v* (u), (u), v* v* v* (u), 0, y tựa lồi đơn điệu Khi tựa lồi nên (u) Khi đó, (v ') tựa lồi X * \ , v* cho cho v ]u,w[ X (u), (w) Không max (u) Thật vậy, giả sử (w) với (w) (u) thuẫn với (v ') v* - tựa lồi vững Lấy ( x ) Khi đó, (b) - tựa lồi vững Khi tồn v* khơng tính tổng qt, giả sử (w) v* x* , y không hàm tựa lồi Do đó, tồn u, v ', w v* v* ( x ) Suy ( y) Do toán tử Giả sử ( x) (a) Chứng minh Giả sử (b) Ta chứng minh x, y X , khơng tính tổng qt ta giả sử ( y) nên ˆ x* ( y) max v* (u), (w) (w)} (w) (u) Điều Suy ( z) max (w) mâu (u) (w) Mặt khác, (w) , nên sup x ]u ,w[ v* v* (u), v* (w) Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.2, tồn v ]u,w[ thoả v* (v) max v* (u), v* ( w) r Do (v) (u) v* v* , u v , (v) 0, w' (v) ( w) max ) v* , w v (1 Từ (8), (9) ta suy (v) max nên tồn 46 (u), (w) Lại có 0, v* (v) (u), v* (v) v* (w') nên (w) [0,1] cho v v* , u (1 )w v v* (v) u v* (v) (u) , với v * )w Suy (1 (9) (u), (w) Do (u) nên (w) (w) cho v* v* v* , w v (8) Mặt khác, v ]u,w[ nên tồn v* , u v Br (v) ]v,w[: hàm tựa lồi nên (u) Do (1 v* (v) )v* Ta có v* (u) - 2016 v* ) v* (1 nửa liên tục nên tồn r Do ( z) (u), v* ( z) v* Chọn w' Br (v) ]v,w[ cho cho w' : v (w v) Do v* v* , w v v* Do v* , v [w',u], v* v* cho x [w ',v ] v* v* v* v* w' v B v *, u v* x x* v *, u x v *, u x r w u 0 đề 2.3 x* Bổ dom v* Khi ( x ) nên 0, v* , w'-v v x (w) ( v) dụng Br (v) (w) nên (v) v* Áp (u) z (v) v* x v* (v) (w ') x* , u (w ') Khi tồn v* v* , w tồn (w') ( z) (w) (v ) (w ') (u) Do (b) thoả x* ( x) v* v* v* (v) (w) (v ) (w ') (v) (v) r v* (w ') v* (v) v* cho (u), v* v* u với v* x Br (v) x , (x) (u) ( x) hàm Suy v *, u Do v* ( x) v* v* u x x u (u) Điều mâu thuẫn với u v *, u x nên v* (u) x , ( x) ( z) v* x ( x) (u) z Br (v) (u) Khi Nhận xét 2.1 Ngồi điều kiện hỗn hợp, ta cịn dùng điều kiện toán tử vi phân Frechét để đặt trưng cho tính chất tựa lồi vững sau Định lí 2.3 Cho gian Asplund X Hàm x* ( x ), y* hàm thường, nửa liên tục không - tựa lồi vững với x, y X :X ( y) ta có x* , y x , y* , x y Chứng minh Giả sử x* , y y x* x tựa lồi Khi đó, x , y* , x y y* , x y (10) hàm tựa lồi đó: (11) 47 X x* với x, y ( y) Do đó, ( x ), y* (1) với x, y X x* ( x ), y* ( y) xét trường x, y X x* ( x ), y* ( y) thỏa: x* , y x , y* , x x Bây hợp y y Giả sử x Khi y (11), ta có: y y x* , x x , y* , x x y y Khơng tính tổng qt, ta giả sử: x* , y y x x x* , Lấy r số thực dương thỏa: Theo định lí * v ,y x r y x , v* Xét hàm v* v* Do v* tựa lồi vững nên x* Hay x* , y x v* , y x x y y r tồn (12) v* (u) v* , u , v* , u (u) v* x x , y* , Banach (u) (u) x x y y x* , Hahn – r (13) cho bởi: :X y y X * cho: X Khi đó: u X tựa lồi Khi đó: v* , y x , y* x , y* , x v* , x v* , x y 0, y y (14) Mặt khác, từ (12) (13) ta có x* , y v* , y x x r y Kết hợp (14) (15) ta thu y* , x y* , x Cho y* , x x* 48 y y x x x r x y v* , x y y v* , y x bất đẳng 0 Suy y r x (15) y r x* , thu x* , x y Do (10) Giả sử (10) với x, y X y ( x ), y* (y) Lấy v* thức BX * Ta chứng minh hàm ta v* :X cho - 2016 v* (u) chứng minh Do v* v* , u (u) (u) tựa đơn điệu Giả sử x, y v* v* X hàm tựa lồi Để chứng minh u (u) X nên x* v* u v* X x* ( x ), y* tựa lồi, ta v* ( x ), y* (y) ( y) Ta xét hai trường v* hợp sau: Trường hợp 1: x* Không x* v* , y x Do v* x , y* tính x* v* , y v* , y v* , x tổng x , y* v* , x y y x quát ta giả sử: y nên x* , y x , y* , x x* , y y x* x v* , y y v* , y x v* y x x x Trường hợp 2: x* v* , y x , y* v* , x y y hay x* Do (10) thỏa nên ( x* v* ) ( y* v* ), x y x*, y x , y* , x y x* , y x y* , x x y* , x y y Trong hai trường hợp ta có: x* , y x , y* , x đơn điệu Do đó, với v* BX * , Hàm v* Suy ra: Vậy y hàm tựa lồi nên hàm v tựa lồi vững Hệ 2.1 Cho gian Asplund X Hàm x * * ( x ), y :X là hàm thường, nửa liên tục không - tựa lồi vững với x, y X ( y) ta có x* , y x , y* , x y y x x* y* , x y 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO E.N Barron, R Goebel, R.R Jensen (2012), “Function which are quasiconvex under linear perturbations”, Siam J Optim 22, pp 1089–1108 M Soleimani-damaneh (2007), “Characterization of nonsmooth quasiconvex and pseudoconvex functions”, J Math Anal Appl 330, pp 1387–1392 Vladimir L Levin (1995), “Quasi-convex Functions and Quasi-monotone Operators”, Journal of Convex Analysis, 2, pp 167–172 Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, New York Boris S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I (2006), Basic Theory, Springer, Berlin Nguyen Thi Quynh Trang (2012), “A note on an approximate mean value theorem for Fréchet subgradients”, Nonlinear Analysis, 75, pp 380–33 50 ... v* u v* z max v* u , v* X * z ]u, v[ cho w Khi đó: v lim t t u v v Sử dụng Bổ đề 2.3 2.4 ta chứng minh mệnh đề 2.2 Định lí 2.5 Cho Xét phát biểu sau: (a) Hàm :X hàm nửa liên tục không gian Asplund... tính chất tựa lồi vững sau Định lí 2.3 Cho gian Asplund X Hàm x* ( x ), y* hàm thường, nửa liên tục khơng - tựa lồi vững với x, y X :X ( y) ta có x* , y x , y* , x y Chứng minh Giả sử x* , y y... ), y* (y) Lấy v* thức BX * Ta chứng minh hàm ta v* :X cho - 2016 v* (u) chứng minh Do v* v* , u (u) (u) tựa đơn điệu Giả sử x, y v* v* X hàm tựa lồi Để chứng minh u (u) X nên x* v* u v* X x*